易錯(cuò)點(diǎn)06 圓-2021年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)易錯(cuò)題（解析版）

易錯(cuò)點(diǎn)06圓

i.圓的定義及相關(guān)概念（圓的圓心、直徑、半徑、面積、周長(zhǎng)）

2.圓周角、圓心角關(guān)系及相關(guān)計(jì)算

3.垂徑定理運(yùn)用

4.點(diǎn)、直線、圓和圓的位置關(guān)系

5.切線性質(zhì)判定

6.正多邊形和圓

7.弧長(zhǎng)、母線長(zhǎng)，扇形面積、椎體體積表面積計(jì)算

8.圓的綜合應(yīng)用

易錯(cuò)題01對(duì)弧、弦、圓心角等概念理解不深刻。

1.（2020?沐陽(yáng)縣模擬）如圖，已知點(diǎn)C是。。的直徑48上的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作弦￡）￡,

使CO=CO.若俞的度數(shù)為35°,則黃的度數(shù)是.

【答案】105°

【解析】解：連接O。、OE,

?俞的度數(shù)為35°,

AZAOD=35°,

?：CD=CO,

：.ZODC=ZAOD=35Q,

?：OD=OE,

：.ZODC=ZE=35°,

AZPO￡=110°,

Z.ZAOE=15°,

：.ZBOE=\O50,

???1S的度數(shù)是105°.

故答案為105°.

支式練習(xí)

I.（2020?望花區(qū)二模）如圖，在單位長(zhǎng)度為1米的平面直角坐標(biāo)系中，曲線是由半徑為2

米，圓心角為120°圓弧多次復(fù)制并首尾連接而成，現(xiàn)有一點(diǎn)尸從/（4為坐標(biāo)原點(diǎn)），

以每秒絲米的速度沿曲線向右運(yùn)動(dòng)，則在第2020秒時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為

3

【答案】0

7T

【解析】解：點(diǎn)運(yùn)動(dòng)一個(gè)虛用時(shí)為120?2+21T=2秒.

1803

如圖，作COL48于。，AB交于點(diǎn)￡

在RtZL4C￡>中，；//￡>C=90°，//8=2//C8=60°，

2

.?.NC4D=30°,

，CZ）=Xldx2=l,

22

：.DE=CE-CD=2-1=1,

.?.第1秒時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E,縱坐標(biāo)為1；

第2秒時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B,縱坐標(biāo)為0；

第3秒時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F,縱坐標(biāo)為-1；

第4秒時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)G,縱坐標(biāo)為0；

第5秒時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)H,縱坐標(biāo)為1；

...點(diǎn)P的縱坐標(biāo)以1,0,-1,0四個(gè)數(shù)為一個(gè)周期依次循環(huán),

；2020+4=505,

/.第2020秒時(shí)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為是0.

故答案為0.

2.（2020?青島模擬）如圖，已知N8、CD是。。的直徑，AE=AC，ZAOE=32°,那么

NCOE的度數(shù)為度.

【答案】64°

【解析】解：?.?定=南，（已知）

AZAOE=ACOA（等弧所對(duì)的圓心角相等）；

又N4OE=32°,

；.NCCM=32°,

ZCOE=ZAOE+ZCOA=64°.

故答案是：64°.

3.（2020?蒙山縣模擬）如圖，。。中有弦以為折痕對(duì)折，若劣弧恰好經(jīng)過圓心

O,則/ZO8的度數(shù)是°.

【答案】120

【解析】解：過。點(diǎn)作OCYAB于C,

由題意得，。。=工。/,

2

：.ZOAC=30°,

*：OA=OB,

：.ZOBA=ZOAC=30°,

???408=120°,

故答案為：120.

易錯(cuò)題02圓周角定理是重點(diǎn)，同?。ǖ然。┧鶎?duì)的圓周

角相等，直徑所對(duì)的圓周角是直角。直角的圓周角所對(duì)的弦是直徑，

一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。

1.（2021?武漢模擬）如圖，A、B、C在。。上，OA,08是圓的半徑，連接Z8,BC,AC.若

ZABO=55°,則N/C8的度數(shù)是.

【答案】35°

【解析】解：

：.ZOAB=ZOBA=55°,

.?.408=180°-2X55°=70°,

/.ZACB=—ZAOB=35,>,

2

故答案為：35°.

支式練習(xí)

1.（2020?長(zhǎng)春二模）如圖，四邊形/8CO的頂點(diǎn)/、B、C均在。。上.若/ZOC=150°,

則N/8C的大小為度.

【答案】105

【解析】解：如圖，在優(yōu)弧NC上取一點(diǎn)D,連接49,DC.

,.?/8+/Z￡>C=180°,

又?.?N/￡>C=-1N/OC=1X150°=75°,

22

/.ZJ5C=105°,

故答案為105.

2.（2020?射陽(yáng)縣二模）如圖，/、B、C三點(diǎn)在。。上，連接OC,OA,BC,若N4BC

=23°,則N/1OC的度數(shù)為.

C

BA

【答案】46°

【解析】解：'：ZA0C^2ZABC,NABC=23°,

，N/OC=46°,

故答案為46°.

3.（2020?泰安一模）如圖，圓O的直徑AB過弦CD的中點(diǎn)E,若/C=24°,則/。=

【答案】66°

【解析】解：???圓。的直徑過弦8的中點(diǎn)E，

：.ABLCD,

：.ZAED=90°,

；/N=/C=24°,

/.ZD=90°-24°=66°.

故答案為66°.

易錯(cuò)題03對(duì)垂徑定理的理解不夠，不會(huì)正確添加輔助線運(yùn)

用直角三角形進(jìn)行解題。

1.在直徑為100c”？的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示，若油面寬N8=80cm,

求油的最大深度

【答案】20cm

【解析】解：如圖，過。作OCL48于點(diǎn)C,并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)。，連結(jié)。4,

依題意得CD就是油的最大深度，

根據(jù)垂徑定理得：AC——AB—40cm,OA—50cm,???(6分)

2

=22=22=3

在RtaQIC中，根據(jù)勾股定理得：OC7OA-ACV50-400(cm),

:.CD=OD-OC=50-30=20(cm),

答：油的最大深度是20?！?

變式練習(xí)

1.(2020?閩侯縣模擬)把球放在長(zhǎng)方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示,

已知EF=CD=2cm,則球的半徑為cm.

AD

I'

i?

1!

'、一，

BC

【答案】§

4

【解析】解：EF的中點(diǎn)M,作MNLAD于點(diǎn)M,取MN上的球心0,連接OF,

?.?四邊形是矩形,

/.ZC=ZD=90o,

四邊形CDWN是矩形,

：.MN=CD=2

設(shè)OF=x,則ON=OF,

：.OM=MN-ON=2-x,MF=1,

在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2,

即：(2-x)2+l2=x2,

解得：x=2

4

故答案為：

4

2.(2020?常州模擬)石拱橋是中國(guó)傳統(tǒng)橋梁四大基本形式之一，如圖，已知一石拱橋的

橋頂?shù)剿娴木嚯xC￡＞為8m,橋拱半徑OC為5m,求水面寬48=m.

【答案】8

【解析】解：連接04如圖所示.

:CDUB,

："D=BD=LB.

2

在RtZXZCO中，O/=OC=5m,0D=CD-OC=3m,//。0=90°,

）=22=22=4

-'-JZVOA-ODV5-3（加）’

：.AB=2AD=8m.

故答案為；8.

3.（2020?石景山區(qū)一模）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作之一，奠定了中國(guó)傳

統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架.其中卷九中記載了一個(gè)問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，

以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問徑幾何？”其意思是：如圖，為。。的直徑，弦

CDUB于點(diǎn)E,8E=1寸，8=1尺，那么直徑的長(zhǎng)為多少寸？（注：1尺=10寸）

根據(jù)題意，該圓的直徑為寸.

可

令

<“

通

網(wǎng)

我

忖

一

埋

S作

S壁

中

W不

知

大

小

以

疆

^

之

弧

一

【答案】26

一

牛

<寸

m-ff

網(wǎng)

共

村

一

K埋

A住

壁

S中

H不

知

大

H小

w

tt.

之

渾

一

【解析】解：連接0C,

?.?弦COL/8,48為圓。的直徑,

.?.E為CD的中點(diǎn)，

又；8=10寸，

:.CE=DE=LCD=S寸，

2

設(shè)OC=OH=x寸，則/B=2x寸，OE=(x-

由勾股定理得：O?+C由=€)&

即(x-1)2+52=X2,

解得:x=13,

：.AB=26寸，

即直徑48的長(zhǎng)為26寸,

故答案為：26.

易錯(cuò)題04切線的判定及性質(zhì)應(yīng)用

(2020?渾江區(qū)校級(jí)三模)如圖，在RtZUBC中，ZACB=90°,E是8c的中點(diǎn)，以

AC為直徑的與AB邊交于點(diǎn)D,連結(jié)DE.

(1)求證：QE是OO的切線.

(2)若8=6,CE=5,則的直徑的長(zhǎng)為.

【答案】(1)證明：連結(jié)OO,如圖,

?.1C為。。的直徑，

AZADC=90Q,

；.NBDC=90°,

為8c的中點(diǎn)，

:.DE=CE=BE,

，2EDC=NECD,

又?.?”>=OC,

：.2ODC=NOCD,

而NOCZHNQCE=NT!C8=90°,

：.ZEDC+ZODC=90Q,

即NEOO=90°,

:?DELOD,

???OE是。。的切線；

(2),??￡1是8C的中點(diǎn),CE=5,

???8C=10,

VZBDC=90°,

fiP=VBC2-CD2=V102-62=8,

,:NBCA=NBDC=90",NB=ZB,

/XBCASABDC,

.AC=BC

*,CDBD"

?.?-A-C_10',

68

.?./c=至，

2

.?.00直徑的長(zhǎng)為生，

2

故答案為：」立.

2

【解析】（1）連結(jié)。。，如圖，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，由N8OC=90°,

E為8c的中點(diǎn)得到D￡=CE=5E,則利用等腰三角形的性質(zhì)得NEOC=/EC。，ZODC

=NOCO,由于NOCO+NOCE=/4C8=90°,所以/￡￡>C+NODC=90°,即/EOO

=90°,于是根據(jù)切線的判定定理即可得到DE與OO相切；

（2）根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

變式旅習(xí)

1.（2020?渾江區(qū)校級(jí)一模）如圖，力8為。。的直徑，。為。。上一點(diǎn)，N/BC的平分線

交0。于點(diǎn)。，DELBC于點(diǎn)E.

（1）求證：OE為。。的切線；

（2）若48=4,ZCBD=3G°,則弧4）的長(zhǎng)為

【答案】解：（1）連接?！辏?

?：OB=OD,

：.NOBD=NODB,

VAABC的平分線交O。于點(diǎn)D,

：.NABD=NCBD,

：.ZCBD=ZODB,

：.OD//BE,

：.DE±OD,

...OE與0。相切；

(2),:NCBD=NADB=30°,

：.ZDOA^60°,0/=0。=工48=2,

2

二弧4)的長(zhǎng)為：6°義兀X2=&L

1803

故答案為：”.

3

【解析】(1)連接OD,根據(jù)角平分線定義和半徑相等證明NC8O=NOO8,得OD//

BE,進(jìn)而可以證明。E為。。的切線；

(2)根據(jù)已知條件可得圓心角/0。是60度，利用弧長(zhǎng)公式即可求出弧力。的長(zhǎng).

2.(2020?鐵東區(qū)三模)如圖，在△4BC中，AB=BC,以為直徑作0。分別交8C、

4c于點(diǎn)力、尸兩點(diǎn)，連接ZD,點(diǎn)E為/C延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接8E,若NE=NDAC.

(1)求證：8E為。。的切線；

(2)若CE=CF,BD=1,求。。半徑.

【答案】證明：（1）:/^二灰?，

ZBAC^ZACB,

'：ZBAC=ZBAD+ZCAD,NACB=NCBE+NE,ZE=ADAC,

：.ZCBE=ZBAD,

是0。的直徑，

:.NADB=90°,

NABE=NABD+NCBE=N4BD+NDAB=9Q°,

：.ABLBE,

BE為。。的切線；

(2)連接B尸,

??ZB是OO的直徑，

：.ZAFB=90°,

又,：AB=BC,

:.AF=CF,

'：CE=CF,

?.?一AC一二2,

AE3

'：ZE=ZCAD,NABE=NADC=9Q°,

AADC?AEBA,

?.?-D-C='AC——2,

ABAE3

；8D=1,AB=BC,

.AB-12

??-------='-，

AB3

：.AB=3,

，。。的半徑為星.

2

【解析】(1)證得由圓周角定理得出N/￡>8=90°,證得/8JL8E,

則可得出答案；

(2)連接8兄證明△40C?△E8Z,得出匹?達(dá)_=2,求出48=3,則可得出答案.

ABAE3

3.(2021?長(zhǎng)葛市一模)如圖，AB是0。的直徑，8C為。。的切線，。為上的一點(diǎn),

CD=CB,延長(zhǎng)CD交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：CD為。。的切線；

(2)若OFLBD于點(diǎn)F,且。尸=2,BD=4g求圖中陰影部分的面積.

【答案】(1)證明：連接如圖所示:

是。。的切線，

ZABC^90°,

'：CD=CB,

:"CBD=4CDB,

'：OB=OD,

：.NOBD=NODB,

：.ZODC=ZABC^90Q,

即OOJLCO,

?.?點(diǎn)。在。O上，

??.CO為。。的切線；

(2)解：；OFLBD,

2222=4T

：.BF=^BD=2y/3,OB=^/OP+BF=72+(2A/3)

：.OF=^OB,

2

：.ZOBF=30°,

：.ZBOF=60°,

ZBOD=2ZBOF=120°,

o

陰影=S明彩08。-5.0°=.120；6：4--義義4遙X2=-lqj-4遙.

【解析】（1）首先連接。。，由8c是。0的切線，可得N/8C=90°,又由CD=CB,

OB=OD,易證得NOZX?=N/8C=90°,即可證得CQ為。。的切線；

（2）在RtZXOB/中，求出NN8O=30°,得出N80。的度數(shù)，又由S陰影=S用柩OBD-S

&BOD，即可求得答案.

易錯(cuò)題05點(diǎn)和圓，圓和圓位置關(guān)系

（2020?邢江區(qū)校級(jí)二模）已知點(diǎn)2、8是半徑為2的。。上兩點(diǎn)，且N8OZ=120°,

點(diǎn)/是OO上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸是⑷V/的中點(diǎn)，連接8P,則8P的最小值是.

【答案】V7-1-

【解析】解：連接0P，

?.,點(diǎn)P是的中點(diǎn)，

.,.OPA.AM,

.?.點(diǎn)尸在以O(shè)N為直徑的圓上，設(shè)為O。，

.?.O0=/0=QP=1,

連接80,與。。的交點(diǎn)即為P點(diǎn)，此時(shí)8尸有最小值，最小值為80-。尸,

作ON1AB于N,QHLAB與H,

'：OA=OB,

；.N是48的中點(diǎn)，

'：ZBOA=\20°,

...NON8=/O84=30°,

:.AN=?OA=M，/〃=返/0=返，QH=^AO^—,

22222

:.AB=2?

?RH-道

2

?*-5g=^QH2+BH2=V7>

尸的最小值為由-1,

故答案為J，-1.

變式旅習(xí)

(2020?天心區(qū)模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，C(0,4),A(3,0),QA半徑

為2,P為。/上任意一點(diǎn)，E是PC的中點(diǎn)，則OE的最小值是.

【答案】1.5.

【解析】解：如圖，連接/C,取NC的中點(diǎn)，，連接OH.

,:CE=EP,CH=AH,

：.EH=—PA=\,

2

???點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是以〃為圓心半徑為1的圓,

VC(0,4),A(3,0),

:?H(1.5,2),

工(^=如2+1.52=25

的最小值=O1-EH=2.5-1=1.5,

故答案為：1.5.

2.(2020?黃浦區(qū)二模)已知的直徑N8=4,。。與半徑為1的OC外切，且0c與

均與直徑月8相切、與0。內(nèi)切，那么。。的半徑是.

【答案】1或L

2

【解析】解：當(dāng)。。與。C在直徑48的同側(cè)時(shí)，作DHLOC于H,DNLOB于N,連

接C。，連接0。并延長(zhǎng)交。。于G,

設(shè)。。的半徑為r,則OD=2-r,C￡)=1+廠，

:。。的直徑NB=4,。。的半徑為1,。。與00內(nèi)切，

，OC與。。內(nèi)切于點(diǎn)O，

：.COLAB,

■：COLAB,DH±OC,DNLOB,

...四邊形，ON。為矩形，

：.OH=DN=r,DH=ON=V(2—r)2_工2,

；.CH=l-r,

在RtZXSH中，CH2+DH2=CD2,即(1-7?)2+(2-r)2-(1+r)2

解得，，=工,

2

當(dāng)。。與。C在直徑AB的兩側(cè)時(shí)，0C與。。的半徑相等，都是1,

故答案為：工或1.

2

3.（2020?松江區(qū)二模）已知和。。2相交，圓心距d=5,0。的半徑為3,那么。。2

的半徑廠的取值范圍是.

【答案】2<r<8.

【解析】解：由題意可知：|3-r|<5<3+r,

解得：2<r<8,

故答案為：2V『<8.

易錯(cuò)題06圓錐的側(cè)面積以及全面積以及弧長(zhǎng)與底面周長(zhǎng)，母

線長(zhǎng)與扇形的半徑之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。

1.（2020?越秀區(qū)校級(jí)二模）如圖，圓錐底面半徑為W加，母線長(zhǎng)為5c陽(yáng)，側(cè)面展開圖是圓

心角為216°的扇形，則尸為cm.

2160

【答案】3

【解析】解：根據(jù)題意得2m=2.垣X7TX5

180

解得r=3(cm).

故答案為3.

支式練習(xí)，》

（2020?天河區(qū)校級(jí)二模）用一個(gè)半徑為3cm,側(cè)面積為6nc混的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)

面，則圓錐的高為—.

【答案】V5-

【解析】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為八

根據(jù)題意得上X27irX3=6n,

2

解得r—2,

所以圓錐的IWJ=4§2_22~V5,

故答案為

2.（2020?東坡區(qū)校級(jí)模擬）如圖，小非同學(xué)要用紙板制作一個(gè)高為3c〃?，底面周長(zhǎng)為8ncm

的圓錐形漏斗模型，若不計(jì)接縫和損耗，則她所需紙板的面積是

【答案】20ncm2.

【解析】解：設(shè)圓錐的地面圓的半徑為

則2irr=8ir,解得r=4,

???圓錐的母線長(zhǎng)=^32+42=5,

圓錐的側(cè)面積=/X5X8冗=20兀（cm2）-

即他所需要的紙板面積為20nc〃?2.

故答案為：2O1TC7772.

3.（2020?科爾沁區(qū)模擬）如圖所示的一扇形紙片，圓心角N/08為120°,半徑04的

長(zhǎng)為3,用它圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），則該圓錐底面圓的半徑為.

【答案】1

【解析】解：設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，,

根據(jù)題意得2m=120兀乂3,

180

解得r=\,

即該圓錐底面圓的半徑為1.

故答案為：1.

易錯(cuò)題07圓的面積公式，圓周長(zhǎng)公式，弧長(zhǎng)，扇形面積。

（2020?岱岳區(qū)三模）已知如圖：△48C中，ZC=90°,BC=AC,以ZC為直徑的圓

交于。，若力。=8a〃，則陰影部分的面積為.

【答案】32cm2.

【解析】解：連接C。，

?.?△48C中，ZC=90°,BC=AC,

4c=45°,

,/以AC為直徑的圓交AB于點(diǎn)D,

：.ZADC=90°,

:.CDLAB,

：.CD=AD=BD,

'：AD^8cm,

圖中陰影部分的面積為：

S^BDC——BD*CD——X2XR—32(CM2).

22

故答案為：32cm2.

變式練習(xí)，》

1.（2020?南海區(qū)一模）從一塊直徑為4加的圓形鐵皮上剪出一個(gè)如圖所示圓周角為90°

的最大扇形，則陰影部分的面積為m2（結(jié)果保留it）.

【答案】2n.

【解析】解：8c=90',

二力C為。。的直徑，即/C=4m,

.?./8=堂4c=2五"；

"瞋=S=S"=”22=2m

360

故答案為2TT.

2.（2020?黃島區(qū)二模）如圖，以△Z8C的邊8c為直徑作。。，點(diǎn)/在。。上，點(diǎn)。在

線段8C的延長(zhǎng)線上，AD=AB,N0=3O°.若劣弧標(biāo)的長(zhǎng)為"，則圖中陰影部分的

3

面積為

【答案】273-

3

【解析】解：連接。4,如圖，

"：AD=AB,

：.ZB=ZD=30°,

?：OA=OB,

:.NOAB=NB=30",

...NNOC=2N8=60°,

:劣弧寶的長(zhǎng)為”，

3

.,.6。'冗'OC=&L,解得oc=2,

1803

：/。=30°,ZDOA=60°,

：.ZOAD=90a,

."。=亞＞/=2仃

???圖中陰影部分的面積-S崩形/oc

=273-/

故答案為2?-21T.

3

3.(2020?吳興區(qū)校級(jí)三模)一個(gè)扇形的半徑是12a”，面積是60伍;〃尸，則此扇形的圓心角

的度數(shù)是.

【答案】150°

【解析】解：設(shè)扇形的圓心角為“°?

n712

由題意，60-rr=''12>

360

解得"=150,

故答案為150°.

易錯(cuò)題08圓的綜合題

1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)N(0,30)，點(diǎn)8(40.0),以04為直徑

作。加交48于點(diǎn)C,連接OC.

(1)求NC的長(zhǎng)；

(2)連接并延長(zhǎng)8M,射線8"分別交于點(diǎn)E,尸(點(diǎn)E在y軸左側(cè))，連接OE,

求tanZBEO；

(3)點(diǎn)尸是射線。。上一動(dòng)點(diǎn)，連接以，過點(diǎn)C作C"，處于點(diǎn)4,連接04,求。，

的取值范圍.

【答案】解：(1);點(diǎn)Z(0,30),點(diǎn)8(40,0),

.,.04=30,08=40,

-*-^=7OA2<IB2=501

是。M的直徑，：.ZACO^90a,

：.^AB'OC=^OA'OB,

22

.nr0A-0B30X40

AB50

根據(jù)勾股定理得4C=Q°A?_0C2=丫3。2.242=18：

(2)如圖1,

是。M的圓心，

.,.OM=^OA=15,EM=OA=\5,

2

在RtABOM'I1,8M=40B24OM=^402+152=5

過點(diǎn)。作OGL8M于G,

在HZ\8OM中，S=—OB'OM=—BM'OG,

22

.c「_OB?OM_40X15_120773

??C/V-T----------廣一,，■——，

BM577373

在Rt^OGM中，根據(jù)勾股定理得，

=22；

MGVOM-OG"J152-2=,

：.EG-=EM+MG^\5+^J^-,

73

12OV7§

：.tanZBEO=^-73_5845/73-1752

EG45773,73

5^-

(3)如圖2,

當(dāng)點(diǎn)尸在線段OC上時(shí)，點(diǎn)H在左上，

當(dāng)點(diǎn)P在線段OC的延長(zhǎng)線上，且離點(diǎn)C無窮遠(yuǎn)時(shí)，點(diǎn)H離點(diǎn)A越近，即OH接近于

。/=30,

即OH的范圍為0WO/TV30.

圖1

【解析】（1）先求出48,利用面積求出0C,最后用勾股定理，即可得出結(jié)論；

（2）先求出再利用面積求出0G,進(jìn)而用勾股定理求出MG,即可得出結(jié)論;

（3）找出分界點(diǎn)，求出個(gè)分界點(diǎn)時(shí)0"的長(zhǎng)，即可得出結(jié)論.

支式練習(xí)。》

1.（2020?柯橋區(qū)模擬）在RtaNBC中，NB=90°,CE平分NBCA交AB于點(diǎn)、E,在4C

上取一點(diǎn)O,以O(shè)C為半徑的圓恰好經(jīng)過點(diǎn)E,且分別交4C,BC于點(diǎn)、D,F,連結(jié)DE,

EF.

（1）求證：48是。。的切線;

（2）若AD=2,OC=3；

①求的面積；

②求￡尸的長(zhǎng).

【答案】解：（1）如圖，連結(jié)OE,

?；CE平分NACB,

：.ZECO=NFCO,

?：OC=OE,

：.ZECO=ZCEO,

：.ZFCO=ZCEO,

：.OE//BCf

又???N8=90°,

：.ZOEA=90°,

即43是OO的切線;

(2)9：OE〃BC,

：.△AEOS/\ABC,

???—OE—_A0?

BCAC

5

"：ZOEA=90°,

在RtZ\/EO中，AE=5,

*,15A^￡C-■AE*

25

@'：OE//BC,

?.?A'E——AO1"■,

EBOC

.?p_12

5

又NAED+NOED=NOED+NOEC=90°,

ZAED=NOEC=NECF,

'：ZADE+ZEDC=ZEDC+ZEFC=\?O°,

N4DE=NEFC,

：.AAEDsAECF,

?.?.A-E-=AD一,

ECEF

:,EF=N^.

【解析】(1)證明/￡CO=/CEO,NFCO=NCEO,進(jìn)而求解；

(2)①證明△/EOSA48C,則毀求出5C=—,利用5Aj￡C=-9,

BCAC525

即可求解；

②證明△ZEOs△fc凡則空望即￡?尸=旦在.

2.(2020?岳麓區(qū)校級(jí)模擬)在平面直角坐標(biāo)系x°y中，過點(diǎn)N(6,-1)的兩條直線人，

12,與x軸正半軸分別交于/、8兩點(diǎn)，與y軸分別交于點(diǎn)。、/兩點(diǎn)，已知。點(diǎn)坐標(biāo)為

(0,1),/在y軸負(fù)半軸，以/N為直徑畫。尸，與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為E

（1）求A/點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）如圖1,若。尸經(jīng)過點(diǎn)M.

①判斷OP與x軸的位置關(guān)系，并說明理由；②求弦Zf的長(zhǎng)；

（3）如圖2,若G）尸與直線/1的另一個(gè)交點(diǎn)E在線段DM上，求誕的值.

【答案】解：（1）設(shè)直線1\的表達(dá)式為將點(diǎn)D、N的坐標(biāo)代入上式得［7=6k+b

Ib=l

fk=JL

解得｛3,

b=l

故直線/i的表達(dá)式為y=-X+l,

令、=-工.什1=0,解得x=3,

3

故點(diǎn)M(3,0):

圖1

（2）①相切，理由：

連接PM、AM,過點(diǎn)P作PNLOA于點(diǎn)N,

由點(diǎn)。、M、N的坐標(biāo)知，點(diǎn)”是。N的中點(diǎn)，

而/N是圓的直徑，故XA/LA/N,則為等腰三角形，

故AM平分NDAB,即ZDAM=ZNAM,

'：PM=R4,故NMAB=N4MP=ADAM,

.?.PM〃尸軸，即PA/_Lx軸，

故0尸與x軸的位置關(guān)系是相切；

②由由直線人的表達(dá)式知，tanNZM/O=5，則tan/O4M=3,

故設(shè)直線力M的表達(dá)式為y=3x+6,將點(diǎn)朋的坐標(biāo)代入上式得：0=3X3+6,解得6=-

9,

故點(diǎn)Z（0,-9）,

由點(diǎn)Z、N的坐標(biāo)得，/N=62+（_9+］）2=10,則圓的半徑為5,

在RtZ^PN中，AP=5,PN=OM=3,則4N=4,

則ZF=2/N=8；

(3)連接/E,則過點(diǎn)尸作尸G_L4E于點(diǎn)G,作FHLMN于點(diǎn)、H,

連接FN,則FN_Ly軸，則點(diǎn)F(0,-1),

由直線/1的表達(dá)式知，該直線傾斜角的正切值為工，即tan/OMO=4,

33

,:NDHO=NDOM=90°,^\ADFH^ZDMO,設(shè)NDFH=NDEO=a,則tana=L,

3

則sina=J,

Via

,:AELDN,FHLDN,!)|ljFH//AE,故ND4E=a,

在Rt△/尸G中，F(xiàn)G=AFsma=-AF,

V10

則百談(NE+^L/IF)QNE+EH)

VIO

在RtZXFDH中，DH=DFsina=(1+1)?-=￡=.=-=￡=.

V10V10

由點(diǎn)DV的坐標(biāo)得，ND—Jg2+^+|)2=25/10,

則HN=DN-HD=2^fiQ2

故a諛E+AF=18.

【解析】(1)求出直線/i的表達(dá)式為y=-lx+1,即可求解；

(2)①證明△/可〃為等腰三角形，得到PM〃y軸，即PM_Lx軸，即可求解;

②求出直線的表達(dá)式為y=3x+6,得到點(diǎn)4(0,-9),求出/N=色62+(-9+1)2=

10,則圓的半徑為5,進(jìn)而求解；

(3)證明。1誕+4尸二百5(NE+-^AF)而小，在RtZ\P￡>/7中，DH^DFsma

V10

=(1+1)-