2023-2024學年安徽省農興中學高三下第一次測試數(shù)學試題含解析

2023-2024學年安徽省農興中學高三下第一次測試數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列結論中正確的個數(shù)是（）①已知函數(shù)是一次函數(shù)，若數(shù)列通項公式為，則該數(shù)列是等差數(shù)列；②若直線上有兩個不同的點到平面的距離相等，則；③在中，“”是“”的必要不充分條件；④若，則的最大值為2.A．1 B．2 C．3 D．02．已知命題，那么為（）A． B．C． D．3．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中的最長棱長為（）A． B． C． D．4．若平面向量，滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．5．將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，再將圖像上各點的橫坐標伸長到原來的6倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖像，若為奇函數(shù)，則的最小值為（）A． B． C． D．6．已知，，則（）A． B． C．3 D．47．已知的共軛復數(shù)是，且（為虛數(shù)單位），則復數(shù)在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．已知是虛數(shù)單位，若，則（）A． B．2 C． D．39．在的展開式中，的系數(shù)為()A．-120 B．120 C．-15 D．1510．在中，分別為所對的邊，若函數(shù)有極值點，則的范圍是（）A． B．C． D．11．已知雙曲線的左、右焦點分別為，圓與雙曲線在第一象限內的交點為M，若．則該雙曲線的離心率為A．2 B．3 C． D．12．第24屆冬奧會將于2022年2月4日至2月20日在北京市和張家口市舉行，為了解奧運會會旗中五環(huán)所占面積與單獨五個環(huán)面積之和的比值P，某學生做如圖所示的模擬實驗：通過計算機模擬在長為10，寬為6的長方形奧運會旗內隨機取N個點，經(jīng)統(tǒng)計落入五環(huán)內部及其邊界上的點數(shù)為n個，已知圓環(huán)半徑為1，則比值P的近似值為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)在上的最小值和最大值分別是_____________．14．甲、乙、丙、丁四名同學報名參加淮南文明城市創(chuàng)建志愿服務活動，服務活動共有“走進社區(qū)”、“環(huán)境監(jiān)測”、“愛心義演”、“交通宣傳”等四個項目，每人限報其中一項，記事件為“4名同學所報項目各不相同”，事件為“只有甲同學一人報走進社區(qū)項目”，則的值為______.15．如圖，養(yǎng)殖公司欲在某湖邊依托互相垂直的湖岸線、圍成一個三角形養(yǎng)殖區(qū).為了便于管理，在線段之間有一觀察站點，到直線，的距離分別為8百米、1百米，則觀察點到點、距離之和的最小值為______________百米.16．設，則除以的余數(shù)是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線是曲線的切線.（1）求函數(shù)的解析式，（2）若，證明:對于任意，有且僅有一個零點.18．（12分）已知橢圓，點為半圓上一動點，若過作橢圓的兩切線分別交軸于、兩點.（1）求證：；（2）當時，求的取值范圍.19．（12分）某中學為研究學生的身體素質與體育鍛煉時間的關系，對該校名高三學生平均每天體育鍛煉時間進行調查，如表：（平均每天鍛煉的時間單位：分鐘）將學生日均體育鍛煉時間在的學生評價為“鍛煉達標”．（1）請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表：并通過計算判斷，是否能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“鍛煉達標”與性別有關？（2）在“鍛煉達標”的學生中，按男女用分層抽樣方法抽出人，進行體育鍛煉體會交流．（i）求這人中，男生、女生各有多少人？（ii）從參加體會交流的人中，隨機選出人發(fā)言，記這人中女生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．參考公式：，其中．臨界值表：0.100.050.0250.01002.7063.8415.0246.63520．（12分）在△ABC中，分別為三個內角A、B、C的對邊，且(1)求角A；(2)若且求△ABC的面積．21．（12分）已知橢圓：的離心率為，右焦點為拋物線的焦點.（1）求橢圓的標準方程；（2）為坐標原點，過作兩條射線，分別交橢圓于、兩點，若、斜率之積為，求證：的面積為定值.22．（10分）已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）寫出曲線的極坐標方程；（2）點是曲線上的一點，試判斷點與曲線的位置關系．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的定義，線面關系，余弦函數(shù)以及基本不等式一一判斷即可；【詳解】解：①已知函數(shù)是一次函數(shù)，若數(shù)列的通項公式為，可得為一次項系數(shù)），則該數(shù)列是等差數(shù)列，故①正確；②若直線上有兩個不同的點到平面的距離相等，則與可以相交或平行，故②錯誤；③在中，，而余弦函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，故“”可得“”，由“”可得“”，故“”是“”的充要條件，故③錯誤；④若，則，所以，當且僅當時取等號，故④正確；綜上可得正確的有①④共2個；故選：B【點睛】本題考查命題的真假判斷，主要是正弦定理的運用和等比數(shù)列的求和公式、等差數(shù)列的定義和不等式的性質，考查運算能力和推理能力，屬于中檔題．2、B【解析】

利用特稱命題的否定分析解答得解.【詳解】已知命題，，那么是.故選：．【點睛】本題主要考查特稱命題的否定，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.3、C【解析】

根據(jù)三視圖，可得該幾何體是一個三棱錐，并且平面SAC平面ABC，，過S作，連接BD，，再求得其它的棱長比較下結論.【詳解】如圖所示：由三視圖得：該幾何體是一個三棱錐，且平面SAC平面ABC，，過S作，連接BD，則，所以，，，，該幾何體中的最長棱長為.故選：C【點睛】本題主要考查三視圖還原幾何體，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.4、C【解析】

可根據(jù)題意把要求的向量重新組合成已知向量的表達，利用向量數(shù)量積的性質，化簡為三角函數(shù)最值.【詳解】由題意可得：，，，故選：C【點睛】本題主要考查根據(jù)已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新組合成已知向量的表達是本題的關鍵點.本題屬中檔題.5、C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則表示出，根據(jù)是奇函數(shù)，可得的取值，再求其最小值.【詳解】解：由題意知，將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，得，再將圖像上各點的橫坐標伸長到原來的6倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖像，，因為是奇函數(shù)，所以，解得，因為，所以的最小值為.故選：【點睛】本題考查三角函數(shù)的變換以及三角函數(shù)的性質，屬于基礎題.6、A【解析】

根據(jù)復數(shù)相等的特征，求出和，再利用復數(shù)的模公式，即可得出結果.【詳解】因為，所以，解得則.故選：A.【點睛】本題考查相等復數(shù)的特征和復數(shù)的模，屬于基礎題.7、D【解析】

設，整理得到方程組，解方程組即可解決問題．【詳解】設，因為，所以，所以，解得：，所以復數(shù)在復平面內對應的點為，此點位于第四象限.故選D【點睛】本題主要考查了復數(shù)相等、復數(shù)表示的點知識，考查了方程思想，屬于基礎題．8、A【解析】

直接將兩邊同時乘以求出復數(shù)，再求其模即可.【詳解】解：將兩邊同時乘以，得故選：A【點睛】考查復數(shù)的運算及其模的求法，是基礎題.9、C【解析】

寫出展開式的通項公式，令，即，則可求系數(shù)．【詳解】的展開式的通項公式為，令，即時，系數(shù)為．故選C【點睛】本題考查二項式展開的通項公式，屬基礎題．10、D【解析】試題分析：由已知可得有兩個不等實根.考點：1、余弦定理；2、函數(shù)的極值.【方法點晴】本題考查余弦定理，函數(shù)的極值，涉及函數(shù)與方程思想思想、數(shù)形結合思想和轉化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉化能力、運算求解能力，綜合性較強，屬于較難題型.首先利用轉化化歸思想將原命題轉化為有兩個不等實根，從而可得.11、D【解析】

本題首先可以通過題意畫出圖像并過點作垂線交于點，然后通過圓與雙曲線的相關性質判斷出三角形的形狀并求出高的長度，的長度即點縱坐標，然后將點縱坐標帶入圓的方程即可得出點坐標，最后將點坐標帶入雙曲線方程即可得出結果?！驹斀狻扛鶕?jù)題意可畫出以上圖像，過點作垂線并交于點，因為，在雙曲線上，所以根據(jù)雙曲線性質可知，，即，，因為圓的半徑為，是圓的半徑，所以，因為，，，，所以，三角形是直角三角形，因為，所以，，即點縱坐標為，將點縱坐標帶入圓的方程中可得，解得，，將點坐標帶入雙曲線中可得，化簡得，，，，故選D?！军c睛】本題考查了圓錐曲線的相關性質，主要考察了圓與雙曲線的相關性質，考查了圓與雙曲線的綜合應用，考查了數(shù)形結合思想，體現(xiàn)了綜合性，提高了學生的邏輯思維能力，是難題。12、B【解析】

根據(jù)比例關系求得會旗中五環(huán)所占面積，再計算比值.【詳解】設會旗中五環(huán)所占面積為，由于，所以，故可得.故選：B.【點睛】本題考查面積型幾何概型的問題求解，屬基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

求導，研究函數(shù)單調性，分析，即得解【詳解】由題意得，，令，解得，令，解得.在上遞減，在遞增．，而，故在區(qū)間上的最小值和最大值分別是．故答案為：【點睛】本題考查了導數(shù)在函數(shù)最值的求解中的應用，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題14、【解析】

根據(jù)條件概率的求法，分別求得，再代入條件概率公式求解.【詳解】根據(jù)題意得所以故答案為：【點睛】本題主要考查條件概率的求法，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.15、【解析】

建系，將直線用方程表示出來，再用參數(shù)表示出線段的長度，最后利用導數(shù)來求函數(shù)最小值.【詳解】以為原點，所在直線分別作為軸，建立平面直角坐標系，則.設直線，即，則，所以，所以，，則，則，當時，，則單調遞減，當時，，則單調遞增，所以當時，最短，此時.故答案為：【點睛】本題考查導數(shù)的實際應用，屬于中檔題.16、1【解析】

利用二項式定理得到，將89寫成1+88，然后再利用二項式定理展開即可.【詳解】，因展開式中后面10項均有88這個因式，所以除以的余數(shù)為1.故答案為：1【點睛】本題考查二項式定理的綜合應用，涉及余數(shù)的問題，解決此類問題的關鍵是靈活構造二項式，并將它展開分析，本題是一道基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）對函數(shù)求導，并設切點，利用點既在曲線上、又在切線上，列出方程組，解得，即可得答案；（2）當x充分小時，當x充分大時，可得至少有一個零點.再證明零點的唯一性，即對函數(shù)求導得，對分和兩種情況討論，即可得答案.【詳解】（1）根據(jù)題意，，設直線與曲線相切于點.根據(jù)題意，可得，解之得，所以.（2）由（1）可知，則當x充分小時，當x充分大時，∴至少有一個零點.∵，①若，則，在上單調遞增，∴有唯一零點.②若令，得有兩個極值點，∵，∴，∴.∴在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增.∴極大值為.，又，∴在(0，16)上單調遞增，∴，∴有唯一零點.綜上可知，對于任意，有且僅有一個零點.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義的運用、利用導數(shù)證明函數(shù)的零點個數(shù)，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意零點存在定理的運用.18、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）分兩種情況討論：①兩切線、中有一條切線斜率不存在時，求出兩切線的方程，驗證結論成立；②兩切線、的斜率都存在，可設切線的方程為，將該直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，由可得出關于的二次方程，利用韋達定理得出兩切線的斜率之積為，進而可得出結論；（2）求出點、的坐標，利用兩點間的距離公式結合韋達定理得出，換元，可得出，利用二次函數(shù)的基本性質可求得的取值范圍.【詳解】（1）由于點在半圓上，則.①當兩切線、中有一條切線斜率不存在時，可求得兩切線方程為，或，，此時；②當兩切線、的斜率都存在時，設切線的方程為（、的斜率分別為、），，，，.綜上所述，；（2）根據(jù)題意得、，，令，則，所以，當時，，當時，.因此，的取值范圍是.【點睛】本題考查橢圓兩切線垂直的證明，同時也考查了弦長的取值范圍的計算，考查計算能力，屬于中等題.19、（1）能；（2）（i）男生有人，女生有人；（ii），分布列見解析．【解析】

（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)可完成列聯(lián)表．由總人數(shù)及女生人數(shù)得男生人數(shù)，由表格得達標人數(shù)，從而得男生中達標人數(shù)，這樣不達標人數(shù)隨之而得，然后計算可得結論；（2）由達標人數(shù)中男女生人數(shù)比為可得抽取的人數(shù)，總共選2人，女生有4人，的可能值為0，1，2，分別計算概率得分布列，再由期望公式可計算出期望．【詳解】（1）列出列聯(lián)表，，所以在犯錯誤的概率不超過的前提下能判斷“課外體育達標”與性別有關．（2）（i）在“鍛煉達標”的學生中，男女生人數(shù)比為，用分層抽樣方法抽出人，男生有人，女生有人．（ii）從參加體會交流的人中，隨機選出人發(fā)言，人中女生的人數(shù)為，則的可能值為，，，則，，，可得的分布列為：可得數(shù)學期望．【點睛】本題考查列聯(lián)表與獨立性檢驗，考查分層抽樣，隨機變量的概率分布列和期望．主要考查學生的數(shù)據(jù)處理能力，運算求解能力，屬于中檔題．20、（1）；（2）.【解析】

（1）整理得：，再