2023-2024學年安徽省定遠縣爐橋中學高三第二次模擬考試數學試卷含解析

2023-2024學年安徽省定遠縣爐橋中學高三第二次模擬考試數學試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖所示，矩形的對角線相交于點，為的中點，若，則等于（）．A． B． C． D．2．已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的-一個公共點，且，設橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的關系為（）A． B．C． D．3．若的二項展開式中的系數是40，則正整數的值為（）A．4 B．5 C．6 D．74．已知雙曲線：的左右焦點分別為，，為雙曲線上一點，為雙曲線C漸近線上一點，，均位于第一象限，且，，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．5．已知，，那么是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知雙曲線的漸近線方程為，且其右焦點為，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．7．臺球是一項國際上廣泛流行的高雅室內體育運動，也叫桌球（中國粵港澳地區(qū)的叫法）、撞球（中國地區(qū)的叫法）控制撞球點、球的旋轉等控制母球走位是擊球的一項重要技術，一次臺球技術表演節(jié)目中，在臺球桌上，畫出如圖正方形ABCD，在點E，F處各放一個目標球，表演者先將母球放在點A處，通過擊打母球，使其依次撞擊點E，F處的目標球，最后停在點C處，若AE=50cm．EF=40cm．FC=30cm，∠AEF=∠CFE=60°，則該正方形的邊長為（）A．50cm B．40cm C．50cm D．20cm8．已知復數z1=3+4i,z2=a+i,且z1是實數,則實數a等于()A． B． C．- D．-9．已知集合，，則等于（）A． B． C． D．10．已知函數為奇函數，且，則（）A．2 B．5 C．1 D．311．已知數列滿足，則（）A． B． C． D．12．已知，，分別為內角，，的對邊，，，的面積為，則（）A． B．4 C．5 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數的圖象在處的切線與直線互相垂直,則_____．14．設的內角的對邊分別為，，．若，，，則_____________15．（5分）已知，且，則的值是____________．16．已知雙曲線的右準線與漸近線的交點在拋物線上，則實數的值為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，直線的的參數方程為（其中為參數），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，點的極坐標為，直線經過點．曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；（2）過點作直線的垂線交曲線于兩點(在軸上方)，求的值.18．（12分）若關于的方程的兩根都大于2，求實數的取值范圍．19．（12分）某企業(yè)為了了解該企業(yè)工人組裝某產品所用時間，對每個工人組裝一個該產品的用時作了記錄，得到大量統(tǒng)計數據．從這些統(tǒng)計數據中隨機抽取了個數據作為樣本，得到如圖所示的莖葉圖（單位：分鐘）．若用時不超過（分鐘），則稱這個工人為優(yōu)秀員工．（1）求這個樣本數據的中位數和眾數；（2）以這個樣本數據中優(yōu)秀員工的頻率作為概率，任意調查名工人，求被調查的名工人中優(yōu)秀員工的數量分布列和數學期望．20．（12分）某學生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設計了一個實驗，并獲得了煤氣開關旋鈕旋轉的弧度數與燒開一壺水所用時間的一組數據，且作了一定的數據處理（如下表），得到了散點圖（如下圖）.表中，.（1）根據散點圖判斷，與哪一個更適宜作燒水時間關于開關旋鈕旋轉的弧度數的回歸方程類型？（不必說明理由）（2）根據判斷結果和表中數據，建立關于的回歸方程；（3）若單位時間內煤氣輸出量與旋轉的弧度數成正比，那么，利用第（2）問求得的回歸方程知為多少時，燒開一壺水最省煤氣？附：對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計值分別為，21．（12分）在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為．（1）求曲線的直角坐標方程和曲線的參數方程；（2）設曲線與曲線在第二象限的交點為，曲線與軸的交點為，點，求的周長的最大值．22．（10分）在中，角，，所對的邊分別為，，，且．求的值；設的平分線與邊交于點，已知，，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由平面向量基本定理，化簡得，所以，即可求解，得到答案．【詳解】由平面向量基本定理，化簡，所以，即，故選A．【點睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應用，其中解答熟記平面向量的基本定理，化簡得到是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，數基礎題．2、A【解析】

設橢圓的半長軸長為，雙曲線的半長軸長為，根據橢圓和雙曲線的定義得：，解得，然后在中，由余弦定理得：，化簡求解.【詳解】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的長半軸長為，由橢圓和雙曲線的定義得：，解得，設，在中，由余弦定理得：，化簡得，即.故選：A【點睛】本題主要考查橢圓，雙曲線的定義和性質以及余弦定理的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.3、B【解析】

先化簡的二項展開式中第項，然后直接求解即可【詳解】的二項展開式中第項.令，則，∴，∴（舍）或.【點睛】本題考查二項展開式問題，屬于基礎題4、D【解析】由雙曲線的方程的左右焦點分別為，為雙曲線上的一點，為雙曲線的漸近線上的一點，且都位于第一象限，且，可知為的三等分點，且,點在直線上，并且，則，，設，則，解得，即，代入雙曲線的方程可得，解得，故選D．點睛：本題考查了雙曲線的幾何性質，離心率的求法，考查了轉化思想以及運算能力，雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于的齊次式，轉化為的齊次式，然后轉化為關于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)．5、B【解析】

由，可得，解出即可判斷出結論．【詳解】解：因為，且．，解得．是的必要不充分條件．故選：．【點睛】本題考查了向量數量積運算性質、三角函數求值、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．6、B【解析】試題分析：由題意得，，所以，，所求雙曲線方程為．考點：雙曲線方程.7、D【解析】

過點做正方形邊的垂線，如圖，設，利用直線三角形中的邊角關系，將用表示出來，根據，列方程求出，進而可得正方形的邊長.【詳解】過點做正方形邊的垂線，如圖，設，則，，則，因為，則，整理化簡得，又，得，.即該正方形的邊長為.故選：D.【點睛】本題考查直角三角形中的邊角關系，關鍵是要構造直角三角形，是中檔題.8、A【解析】分析：計算，由z1，是實數得，從而得解.詳解：復數z1=3+4i,z2=a+i,.所以z1，是實數，所以，即.故選A.點睛：本題主要考查了復數共軛的概念，屬于基礎題.9、A【解析】

進行交集的運算即可．【詳解】，1，2，，，，1，．故選：．【點睛】本題主要考查了列舉法、描述法的定義，考查了交集的定義及運算，考查了計算能力，屬于基礎題．10、B【解析】

由函數為奇函數,則有,代入已知即可求得.【詳解】.故選:.【點睛】本題考查奇偶性在抽象函數中的應用,考查學生分析問題的能力,難度較易.11、C【解析】

利用的前項和求出數列的通項公式，可計算出，然后利用裂項法可求出的值.【詳解】.當時，；當時，由，可得，兩式相減，可得，故，因為也適合上式，所以.依題意，，故.故選：C.【點睛】本題考查利用求，同時也考查了裂項求和法，考查計算能力，屬于中等題.12、D【解析】

由正弦定理可知,從而可求出.通過可求出，結合余弦定理即可求出的值.【詳解】解：，即，即.，則.，解得.，故選:D.【點睛】本題考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面積公式，考查同角三角函數的基本關系.本題的關鍵是通過正弦定理結合已知條件，得到角的正弦值余弦值.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1.【解析】

求函數的導數，根據導數的幾何意義結合直線垂直的直線斜率的關系建立方程關系進行求解即可．【詳解】函數的圖象在處的切線與直線垂直,函數的圖象在的切線斜率本題正確結果：【點睛】本題主要考查直線垂直的應用以及導數的幾何意義，根據條件建立方程關系是解決本題的關鍵．14、或【解析】試題分析：由，則可運用同角三角函數的平方關系：，已知兩邊及其對角，求角．用正弦定理；，則；可得．考點：運用正弦定理解三角形．（注意多解的情況判斷）15、【解析】

由于，且，則，得，則．16、【解析】

求出雙曲線的漸近線方程，右準線方程，得到交點坐標代入拋物線方程求解即可．【詳解】解：雙曲線的右準線，漸近線，雙曲線的右準線與漸近線的交點，交點在拋物線上，可得：，解得．故答案為．【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質以及拋物線的簡單性質的應用，是基本知識的考查，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）【解析】

(1)利用代入法消去參數可得到直線的普通方程，利用公式可得到曲線的直角坐標方程；(2)設直線的參數方程為（為參數），代入得，根據直線參數方程的幾何意義，利用韋達定理可得結果.【詳解】（1）由題意得點的直角坐標為，將點代入得則直線的普通方程為.由得，即.故曲線的直角坐標方程為.（2）設直線的參數方程為（為參數），代入得．設對應參數為，對應參數為．則，，且.．【點睛】參數方程主要通過代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去參數化為普通方程，通過選取相應的參數可以把普通方程化為參數方程，利用關系式，等可以把極坐標方程與直角坐標方程互化，這類問題一般我們可以先把曲線方程化為直角坐標方程，用直角坐標方程解決相應問題．18、【解析】

先令，根據題中條件得到，求解，即可得出結果.【詳解】因為關于的方程的兩根都大于2，令所以有，解得，所以.【點睛】本題主要考查一元二次方程根的分布問題，熟記二次函數的特征即可，屬于?？碱}型.19、（1）43，47；（2）分布列見解析，.【解析】

（1）根據莖葉圖即可得到中位數和眾數；（2）根據數據可得任取一名優(yōu)秀員工的概率為，故，寫出分布列即可得解.【詳解】（1）中位數為，眾數為．（2）被調查的名工人中優(yōu)秀員工的數量，任取一名優(yōu)秀員工的概率為，故，，，的分布列如下：故【點睛】此題考查根據莖葉圖求眾數和中位數，求離散型隨機變量分布列，根據分布列求解期望，關鍵在于準確求解概率，若能準確識別二項分布對于解題能夠起到事半功倍的作用.20、（1）選取更合適；（2）；（3）時，煤氣用量最小.【解析】

（1）根據散點圖的特點，可得更適合；（2）先建立關于的回歸方程，再得出關于的回歸方程；（3）寫出函數關系，利用基本不等式得出最小值及其成立的條件.【詳解】（1）選取更適宜作燒水時間關于開關旋鈕旋轉的弧度數的回歸方程類型；（2）由公式可得：，，所以所求回歸直線方程為：；（3）根據題意，設，則煤氣用量，當且僅當時，等號成立，即時，煤氣用量最小.【點睛】此題考查根據題意求回歸方程，利用線性回歸方程的求法得解，結合基本不等式求最值.21、（1）曲線的直角坐標方程為，曲線的參數方程為為參數（2）【解析】

（1）將代入，可得