廣東省中山紀(jì)念中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

廣東省中山紀(jì)念中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>1，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．若數(shù)列滿足＝f(0)，且f()＝()，則的值為()A．2209 B．3029 C．4033 D．22492．且，可進(jìn)行如下“分解”：若的“分解”中有一個(gè)數(shù)是2019，則（）A．44 B．45 C．46 D．473．已知函數(shù)，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．34．用反證法證明命題“已知，且，則中至少有一個(gè)大于”時(shí)，假設(shè)應(yīng)為（）A．且 B．或C．中至多有一個(gè)大于 D．中有一個(gè)小于或等于5．設(shè)，且，則下列不等式恒成立的是()A． B．C． D．6．設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)a+i1+i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為A．-1B．1C．-2D．27．已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不少于2個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．8．設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是（）A．若m//α,m//β,則α//β B．若α⊥β，m⊥α，n//β，則m⊥nC．若m⊥α,m//n,則n⊥α D．若α⊥β,m⊥α,則m//β9．下列說(shuō)法正確的是()A．“f(0)”是“函數(shù)

f（x）是奇函數(shù)”的充要條件B．若

p：，，則：，C．“若，則”的否命題是“若，則”D．若為假命題，則p，q均為假命題10．從一口袋中有放回地每次摸出1個(gè)球，摸出一個(gè)白球的概率為0.4，摸出一個(gè)黑球的概率為0.5，若摸球3次，則恰好有2次摸出白球的概率為A．0.24 B．0.26 C．0.288 D．0.29211．若，則（）A．2 B．4 C． D．812．已知曲線和曲線圍成一個(gè)葉形圖；則其面積為（）A．1 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中，的系數(shù)為_____14．函數(shù)，的最大值是___．15．已知向量，，若，則__________．16．若f(x)=13x3-f'三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）己知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為．（Ⅰ）求拋物線的方程；（Ⅱ）是拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交于另一點(diǎn)，滿足與在點(diǎn)處的切線垂直，求面積的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)。18．（12分）以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立的極坐標(biāo)系中，直線C1:ρsinθ+π4=22（1）求直線C1的直角坐標(biāo)方程和曲線C（2）曲線C3的極坐標(biāo)方程為θ=π4(ρ>0)，且曲線C3分別交C1，C2于A19．（12分）（1）求方程的非負(fù)整數(shù)解的個(gè)數(shù)；（2）某火車站共設(shè)有4個(gè)“安檢”入口，每個(gè)入口每次只能進(jìn)1個(gè)旅客求—個(gè)小組4人進(jìn)站的不同方案種數(shù)，要求寫出計(jì)算過(guò)程.20．（12分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.21．（12分）設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．（10分）設(shè)函數(shù)f（x）＝x2+bln（x+1），其中b≠1．（1）若b＝﹣12，求f（x）在[1，3]的最小值；（2）如果f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

因?yàn)樵擃}為選擇題，可采用特殊函數(shù)來(lái)研究，根據(jù)條件，底數(shù)小于1的指數(shù)函數(shù)滿足條件，可設(shè)函數(shù)為，從而求出，再利用題目中所給等式可證明數(shù)列為等差數(shù)列，最后利用等差數(shù)列定義求出結(jié)果?！绢}目詳解】根據(jù)題意，可設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以，所以?shù)列數(shù)以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以，所以，故選C。【題目點(diǎn)撥】本題考查選擇題中的特殊法解決問(wèn)題，對(duì)于選擇題則可以找到滿足題意的特殊值或者特殊函數(shù)直接代入進(jìn)行求解。2、B【解題分析】

探尋規(guī)律，利用等差數(shù)列求和進(jìn)行判斷【題目詳解】由題意得底數(shù)是的數(shù)分裂成個(gè)奇數(shù)，底數(shù)是的數(shù)分裂成個(gè)奇數(shù)，底數(shù)是的數(shù)分裂成個(gè)奇數(shù)，則底數(shù)是數(shù)分裂成個(gè)奇數(shù)，則共有個(gè)奇數(shù)，是從開始的第個(gè)奇數(shù)，，第個(gè)奇數(shù)是底數(shù)為的數(shù)的立方分裂的奇數(shù)的其中一個(gè)，即，故選【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)字的變化，找出其中的規(guī)律，運(yùn)用等差數(shù)列求出奇數(shù)的個(gè)數(shù)，然后進(jìn)行匹配，最終還是考查了數(shù)列的相關(guān)知識(shí)。3、C【解題分析】

分段令，解方程即可得解.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，令，得；當(dāng)時(shí)，令，得.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了分段函數(shù)零點(diǎn)的求解，涉及指數(shù)和對(duì)數(shù)方程，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】

根據(jù)已知命題的結(jié)論的否定可確定結(jié)果.【題目詳解】假設(shè)應(yīng)為“中至少有一個(gè)大于”的否定，即“都不大于”，即“且”.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查反證法的相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】

逐一分析選項(xiàng)，得到正確答案.【題目詳解】由已知可知，可以是正數(shù)，負(fù)數(shù)或0，A.不確定，所以不正確；B.當(dāng)時(shí)，兩邊同時(shí)乘以，應(yīng)該，所以不正確；C.因?yàn)橛锌赡艿扔?，所以，所以不正確；D.當(dāng)時(shí)，兩邊同時(shí)乘以，，所以正確.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題型.6、A【解題分析】a+i1+i=(a+i)(1-i)7、C【解題分析】分析：根據(jù)的圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不少于2個(gè)，可得函數(shù)的圖象與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不少于2個(gè)，在同一坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)圖象，結(jié)合圖象即可得到m的取值范圍.詳解：的圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不少于2個(gè)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不少于2個(gè)，函數(shù)，時(shí)，函數(shù)為指數(shù)函數(shù)，過(guò)點(diǎn)，時(shí)，函數(shù)，為對(duì)稱軸，開口向下的二次函數(shù).，為過(guò)定點(diǎn)的一條直線.在同一坐標(biāo)系中，畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示.（1）當(dāng)時(shí)，①當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，將點(diǎn)代入直線方程，解得.②當(dāng)與相切時(shí)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn).聯(lián)立，整理得則，解得，（舍）如圖當(dāng)，兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不少于2個(gè).（2）當(dāng)時(shí)，易得直線與函數(shù)必有一個(gè)交點(diǎn)如圖當(dāng)直線與相切時(shí)有另一個(gè)交點(diǎn)設(shè)切點(diǎn)為，，切線的斜率，切線方程為切線與直線重合，即點(diǎn)在切線上.，解得由圖可知，當(dāng),兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不少于2個(gè).綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是故選C.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想及分類討論的思想，具有一定的難度.利用函數(shù)零點(diǎn)的情況，求參數(shù)值或取值范圍的方法（1）利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域（最值）問(wèn)題求解（3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解.8、C【解題分析】

結(jié)合空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析即可選出答案.【題目詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)m//α,m//β，α,β有可能平行，也有可能相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)α⊥β，m⊥α，n//β，m,n有可能平行，也可能相交或者異面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)m⊥α,m//n,根據(jù)線面垂直的判定定理可以得到n⊥α，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)α⊥β,m⊥α,則m//β或者m?β，故D錯(cuò)誤；故答案為選項(xiàng)C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間中直線與平面的位置關(guān)系，考查了學(xué)生的空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】

根據(jù)四種命題之間的關(guān)系，對(duì)選項(xiàng)中的命題分析、判斷即可．【題目詳解】對(duì)于A，f（0）＝0時(shí)，函數(shù)f（x）不一定是奇函數(shù)，如f（x）＝x2，x∈R；函數(shù)f（x）是奇函數(shù)時(shí)，f（0）不一定等于零，如f（x），x≠0；是即不充分也不必要條件，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，命題p：，則￢p：?x∈，x2﹣x﹣1≤0，∴B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若α，則sinα的否命題是“若α，則sinα”，∴Ｃ正確．對(duì)于D，若p∧q為假命題，則p，q至少有一假命題，∴Ｄ錯(cuò)誤；故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了命題真假的判斷問(wèn)題，涉及到奇函數(shù)的性質(zhì)，特稱命題的否定，原命題的否命題，復(fù)合命題與簡(jiǎn)單命題的關(guān)系等知識(shí)，是基礎(chǔ)題．10、C【解題分析】

首先分析可能的情況：（白，非白，白）、（白，白，非白）、（非白，白，白），然后計(jì)算相應(yīng)概率.【題目詳解】因?yàn)槊淮吻?，是白球的概率是，不是白球的概率是，所以，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查有放回問(wèn)題的概率計(jì)算，難度一般.11、D【解題分析】

通過(guò)導(dǎo)數(shù)的定義，即得答案.【題目詳解】根據(jù)題意得，，故答案為D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的定義，難度不大.12、D【解題分析】

先作出兩個(gè)函數(shù)的圖像，再利用定積分求面積得解.【題目詳解】由題得函數(shù)的圖像如圖所示，聯(lián)立得交點(diǎn)（1,1）所以葉形圖面積為.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查定積分的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)題意，由二項(xiàng)式定理可得的展開式的通項(xiàng)，令的系數(shù)為1，解可得的值，將的值導(dǎo)代入通項(xiàng)，計(jì)算可得答案．【題目詳解】由二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令，解可得，則有，即的系數(shù)為1，故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握二項(xiàng)式定理的形式，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．．14、【解題分析】

求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求得最大值.【題目詳解】函數(shù)時(shí)：函數(shù)單調(diào)遞減故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)性，再求最大值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.15、【解題分析】

先根據(jù)向量的平行求出x的值，再根據(jù)向量的數(shù)量積計(jì)算即可．【題目詳解】解：∵，因?yàn)?，所以，解得：，所以．【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量的平行和向量的數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題．16、2x-3y+1=0【解題分析】

先計(jì)算f'(1)=23【題目詳解】f(x)=1f(x)=切線方程為：y=2故答案為：2x-3y+1=0【題目點(diǎn)撥】本題考查了曲線的切線問(wèn)題，確定切點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）面積的最小值為，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為．【解題分析】

（Ⅰ）設(shè)拋物線的方程是，根據(jù)焦點(diǎn)為的坐標(biāo)求得，進(jìn)而可得拋物線的方程．（Ⅱ）設(shè)，進(jìn)而可得拋物線在點(diǎn)處的切線方程和直線的方程，代入拋物線方程根據(jù)韋達(dá)定理可求得，從而，又點(diǎn)到直線的距離，可得．利用導(dǎo)數(shù)求解．【題目詳解】（Ⅰ）設(shè)拋物線的方程是，則，，故所求拋物線的方程為．（Ⅱ）設(shè)，由拋物線方程為，得，則，∴直線方程為：，聯(lián)立方程，得，由，得，從而，又點(diǎn)到直線的距離，∴．令，則，則，∴在上遞減，在上遞增，∴，面積的最小值為，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及拋物線與直線的關(guān)系，考查了函數(shù)思想，屬于中檔題．18、（1）x+y=1,ρ2-2ρsin【解題分析】

（1）利用極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化公式直接轉(zhuǎn)化即可；（2）在直角坐標(biāo)系下求得A點(diǎn)的坐標(biāo)，可得OB長(zhǎng)，即得B的極坐標(biāo)，代入C2的極坐標(biāo)方程即可【題目詳解】（1）C1:ρsin由C2:x=acosφy=1+asinφ，消去參數(shù)φ得又x=ρcosθ，y=ρsin即C2的極坐標(biāo)方程為ρ（2）曲線C3的直角坐標(biāo)方程為y=x(x>0)，由y=xx+y=1，得OA=22，OB=22.即點(diǎn)B的極坐標(biāo)為2【題目點(diǎn)撥】本題考查直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化等基礎(chǔ)知識(shí)，考查曲線的極坐標(biāo)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．19、（1）56；（2）840種，計(jì)算過(guò)程見解析【解題分析】

（1）利用隔板法求結(jié)果；（2）將問(wèn)題分4種情況分別得出其方案數(shù)，可求得結(jié)果，注意需考慮從同一個(gè)安檢口的旅客的通過(guò)順序.【題目詳解】（1）若定義，其中，則是從方程的非負(fù)整數(shù)解集到方程的正整數(shù)解集的映射，利用隔板法得，方程正整數(shù)解得個(gè)數(shù)是從而方程的非負(fù)整數(shù)解得個(gè)數(shù)也是56；（2）這4名旅客通過(guò)安檢口有4種情況：從1個(gè)安檢口通過(guò)，從2個(gè)安檢口通過(guò)，從3個(gè)安檢口通過(guò)，從4個(gè)安檢口通過(guò)。從1個(gè)安檢口通過(guò)共有：種方案；從2個(gè)安檢口通過(guò)，可能有1個(gè)安檢口通過(guò)1人，另一個(gè)安檢口通過(guò)3人有：種方案；從2個(gè)安檢口通過(guò)，可能每一個(gè)安檢口都通過(guò)2人有：種方案；從3個(gè)安檢口通過(guò)，可能有2個(gè)安檢口各通過(guò)1人，有1個(gè)安檢口通過(guò)2人有：種方案；從4個(gè)安檢口通過(guò)共有：種方案，所以這4個(gè)旅客進(jìn)站的不同方案有：種.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用隔板法解決不定方程非負(fù)整數(shù)解問(wèn)題，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.20、(1);(2).【解題分析】分析：（Ⅰ）對(duì)分兩種情況討論，分別去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后求解不等式組，再求并集即可得結(jié)果；（Ⅱ）問(wèn)題等價(jià)于恒成立，因?yàn)?，只需即可得結(jié)果.詳解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，,即,解得或.所以或；當(dāng)時(shí)，，此不等式恒成立，所以.綜上所述，原不等式的解集為.（Ⅱ）恒成立，即恒成立，即恒成立，∵當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等式成立，∴，解得或.故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.點(diǎn)睛：絕對(duì)值不等式的常見解法：①利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；②利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；③通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想．21、（1）；（2）或【解題分析】

（1）根據(jù)題意得到，分，，三種情況討論，即可得出結(jié)果；（2）先由關(guān)于的不等式恒成立，得到恒成立，結(jié)合絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，即為，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，原不等式的解集為；（2）關(guān)于的不等式恒成立，即為恒成立，由，可得，解得：或.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查含絕