湖北省百所重點校2024屆數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

湖北省百所重點校2024屆數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)水平測試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當時，，則（）A．2 B．4 C．-2 D．-42．若拋物線y2=2px（p>0）的焦點是橢圓的一個焦點，則p=A．2 B．3C．4 D．83．已知集合，，則為（）A． B． C． D．4．如果函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，那么導函數(shù)的圖象可能是A． B． C． D．5．設函數(shù)，若a=),，則（）A． B． C． D．6．記為虛數(shù)集，設，．則下列類比所得的結論正確的是（）A．由，類比得B．由，類比得C．由，類比得D．由，類比得7．已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則（）①若，，且∥，則∥；②若，∥，且∥，則；③若∥，，且，則∥；④若，，且，則.其中真命題的個數(shù)是（）A． B． C． D．8．定義在上的函數(shù)滿足為自然對數(shù)的底數(shù)），其中為的導函數(shù)，若，則的解集為（）A． B． C． D．9．若復數(shù)滿足，則在復平面內，復數(shù)對應的點的坐標是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù),f(x)+2>f'(x),f(0)=1,則不等式ln[f(x)+2]>ln3+x的解集為（）A．(一∞,0) B．(0,+∞) C．(一∞,1) D．(1,+∞)11．將甲桶中的升水緩慢注入空桶乙中，后甲桶剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線，假設過后甲桶和乙桶的水量相等，若再過甲桶中的水只有升，則的值為（）A．10 B．9 C．8 D．512．已知函數(shù)對于任意的滿足（其中是函數(shù)的導函數(shù)），則下列不等式成立的是A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．湖結冰時，一個球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一個直徑為24cm,深為8cm的空穴，則該球的半徑為.14．如圖，已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為棱的中點，則四棱錐的體積為__________.15．設實數(shù)滿足約束條件,則目標函數(shù)的最大值為________.16．的展開式中的系數(shù)為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖,四棱柱中,底面是等腰梯形,,,是線段的中點,平面.(1)求證:平面；(2)若,求平面和平面所成的銳二面角的余弦值.18．（12分）某校從參加高二年級期末考試的學生中抽出60名學生，并統(tǒng)計了他們的物理成績（成績均為整數(shù)且滿分為100分），把其中不低于50分的分成五段，，……，后畫出如下部分頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題：（1）求出物理成績低于50分的學生人數(shù)；（2）估計這次考試物理學科及格率（60分以上為及格）；（3）從物理成績不及格的學生中選x人，其中恰有一位成績不低于50分的概率為，求此時x的值；19．（12分）在平面直角坐標系中,設向量,.(1)當時,求的值；(2)若，且.求的值.20．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）求函數(shù)的單調區(qū)間.21．（12分）小威初三參加某高中學校的數(shù)學自主招生考試，這次考試由十道選擇題組成，得分要求是：做對一道題得1分，做錯一道題扣去1分，不做得0分，總得分7分就算及格，小威的目標是至少得7分獲得及格，在這次考試中，小威確定他做的前六題全對，記6分，而他做余下的四道題中，每道題做對的概率均為p，考試中，小威思量：從余下的四道題中再做一題并且及格的概率；從余下的四道題中恰做兩道并且及格的概率，他發(fā)現(xiàn)，只做一道更容易及格.（1）設小威從余下的四道題中恰做三道并且及格的概率為，從余下的四道題中全做并且及格的概率為，求及；（2）由于p的大小影響，請你幫小威討論：小威從余下的四道題中恰做幾道并且及格的概率最大？22．（10分）新能源汽車的春天來了！2018年3月5日上午，李克強總理做政府工作報告時表示，將新能源汽車車輛購置稅優(yōu)惠政策再延長三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，對購置的新能源汽車免征車輛購置稅.某人計劃于2018年5月購買一輛某品牌新能源汽車，他從當?shù)卦撈放其N售網(wǎng)站了解到近五個月實際銷量如下表：月份2017.122018.012018.022018.032018.04月份編號t12345銷量（萬輛）0.50.611.41.7（1）經(jīng)分析，可用線性回歸模型擬合當?shù)卦撈放菩履茉雌噷嶋H銷量（萬輛）與月份編號之間的相關關系.請用最小二乘法求關于的線性回歸方程，并預測2018年5月份當?shù)卦撈放菩履茉雌嚨匿N量；（2）2018年6月12日，中央財政和地方財政將根據(jù)新能源汽車的最大續(xù)航里程（新能源汽車的最大續(xù)航里程是指理論上新能源汽車所裝的燃料或電池所能夠提供給車跑的最遠里程）對購車補貼進行新一輪調整.已知某地擬購買新能源汽車的消費群體十分龐大，某調研機構對其中的200名消費者的購車補貼金額的心理預期值進行了一個抽樣調查，得到如下一份頻數(shù)表：補貼金額預期值區(qū)間（萬元）206060302010將頻率視為概率，現(xiàn)用隨機抽樣方法從該地區(qū)擬購買新能源汽車的所有消費者中隨機抽取3人，記被抽取3人中對補貼金額的心理預期值不低于3萬元的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.參考公式及數(shù)據(jù)：①回歸方程，其中，，②.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

先求出的值，再由函數(shù)的奇偶性得出可得出結果．【題目詳解】由題意可得，由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，，故選C.【題目點撥】本題考查利用函數(shù)的奇偶性求值，求函數(shù)值時要結合自變量的取值選擇合適的解析式來計算，考查計算能力，屬于基礎題．2、D【解題分析】

利用拋物線與橢圓有共同的焦點即可列出關于的方程，即可解出，或者利用檢驗排除的方法，如時，拋物線焦點為（1，0），橢圓焦點為（±2，0），排除A，同樣可排除B，C，故選D．【題目詳解】因為拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，所以，解得，故選D．【題目點撥】本題主要考查拋物線與橢圓的幾何性質，滲透邏輯推理、運算能力素養(yǎng)．3、A【解題分析】

利用集合的交集運算進行求解即可【題目詳解】由題可知集合中，集合中求的是值域的取值范圍，所以的取值范圍為答案選A【題目點撥】求解集合基本運算時，需注意每個集合中求解的是x還是y,求的是定義域還是值域，是點集還是數(shù)集等4、A【解題分析】試題分析：由原函數(shù)圖像可知函數(shù)單調性先增后減再增再減，所以導數(shù)值先正后負再正再負，只有A正確考點：函數(shù)導數(shù)與單調性及函數(shù)圖像5、D【解題分析】

把化成,利用對數(shù)函數(shù)的性質可得再利用指數(shù)函數(shù)的性質得到最后根據(jù)的單調性可得的大小關系.【題目詳解】因為且,故,又在上為增函數(shù),所以即.故選:.【題目點撥】本題考查對數(shù)的大小比較,可通過尋找合適的單調函數(shù)來構建大小關系,如果底數(shù)不統(tǒng)一,可以利用對數(shù)的運算性質統(tǒng)一底數(shù),不同類型的數(shù)比較大小,應找一個中間數(shù),通過它實現(xiàn)大小關系的傳遞,難度較易.6、C【解題分析】選項A沒有進行類比，故選項A錯誤；選項B中取不大于，故選項B錯誤；選項D中取，但是均為虛數(shù)沒辦法比較大小，故選項D錯誤，綜上正確答案為C.【題目點撥】本題考查復數(shù)及其性質、合情推理，涉及類比思想、從特殊到一般思想和轉化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉化能力、運算求解能力，屬于中等難題.本題可以利用排除法，先排除B,再利用特例法取不大于，排除B,再取，但是均為虛數(shù)沒辦法比較大小，排除D，可得正確選項為C.7、B【解題分析】

根據(jù)空間直線與平面平行、垂直，平面與平面平行、垂直的判定定理和性質定理，逐項判斷，即可得出結論.【題目詳解】由且，可得，而垂直同一個平面的兩條直線相互平行，故①正確；由于，，所以，則，故②正確；若與平面的交線平行，則，故不一定有，故③錯誤；設，在平面內作直線，，則，又，所以，，所以，從而有，故④正確.因此，真命題的個數(shù)是.故選：B【題目點撥】本題考查了空間線面位置關系的判定和證明，其中熟記空間線面位置中的平行與垂直的判定定理與性質定理是解題的關鍵，考查直觀想象能力，屬于基礎題.8、C【解題分析】

由，以及，聯(lián)想到構造函數(shù)，所以等價為，通過導數(shù)求的單調性，由單調性定義即可得出結果?！绢}目詳解】設，等價為，，故在上單調遞減，所以，解得，故選C?！绢}目點撥】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的問題，利用單調性定義解不等式，如何構造函數(shù)是解題關鍵，意在考查學生數(shù)學建模能力。9、D【解題分析】

利用復數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出．【題目詳解】由題意iz＝1+2i，∴iz（﹣i）＝（1+2i）?（﹣i），∴z＝2﹣i．則在復平面內，z所對應的點的坐標是（2，﹣1）．故選D．【題目點撥】本題考查了復數(shù)的運算法則、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．10、A【解題分析】分析：先令，則且原不等式轉化為，再根據(jù)單調性得結果.詳解：令，則因為原不等式轉化為，所以因此選A.點睛：解函數(shù)不等式,首先根據(jù)函數(shù)的性質把不等式轉化為的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調性去掉“”，轉化為具體的不等式(組)，此時要注意與的取值應在外層函數(shù)的定義域內.11、D【解題分析】由題設可得方程組，由，代入，聯(lián)立兩個等式可得，由此解得，應選答案D。12、D【解題分析】

根據(jù)題目條件，構造函數(shù)，求出的導數(shù)，利用“任意的滿足”得出的單調性，即可得出答案。【題目詳解】由題意知，構造函數(shù)，則。當時，當時，恒成立在單調遞增，則，化簡得，無法判斷A選項是否成立；，化簡得，故B選項不成立；，化簡得，故C選項不成立；，化簡得，故D選項成立；綜上所述，故選D。【題目點撥】本題主要考查了構造函數(shù)法證明不等式，常利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，再由單調性證明不等式，是函數(shù)、導數(shù)、不等式綜合中的一個難點。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、13cm【解題分析】

設球半徑為R，則，解得，故答案為13.14、【解題分析】

由題意可得，再利用三棱錐的體積公式進行計算即可．【題目詳解】由已知得，，，四邊形是菱形，所以.【題目點撥】本題考查幾何體的體積，解題的關鍵是把四棱錐的體積轉化為兩個三棱錐的體積，屬于基礎題．15、2【解題分析】分析：由題意，作出約束條件所表示的平面區(qū)域，結合圖象得到目標函數(shù)過點時，取得最大值，即可求解.詳解：由題意，作出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，目標函數(shù)，即，當直線在上的截距最大值，此時取得最大值，結合圖象可得，當直線過點時，目標函數(shù)取得最大值，由，解得，所以目標函數(shù)的最大值為.點睛：本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標函數(shù)的最值問題．解決此類問題的關鍵是正確畫出不等式組表示的可行域，將目標函數(shù)賦予幾何意義；求目標函數(shù)的最值的一般步驟為：一畫二移三求，其關鍵是準確作出可行域，理解目標函數(shù)的意義是解答的關鍵，著重考查了數(shù)形結合法思想的應用．16、-10【解題分析】分析：利用二項式展開式通項即可得出答案.詳解：，當時，.故答案為：-10.點睛：求二項展開式中的特定項，一般是利用通項公式進行，化簡通項公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項時，指數(shù)為零；求有理項時，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項數(shù)k＋1，代回通項公式即可．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】分析：（1）以為坐標原點建立空間直角坐標系，寫出相應點的坐標，即可通過線面垂直的判定方法證得平面；（2）寫出相應點的坐標，求出平面的一個法向量和平面的一個法向量，即可求得答案.詳解：(1)證明方法一:連接，因為底面是等腰梯形且所以，，又因為是的中點，因此，且，所以，且，又因為且，所以，因為，平面，所以平面，所以，平面平面，在平行四邊形中，因為,所以平行四邊形是菱形，因此，所以平面.解法二：底面是等腰梯形，,,所以，，因此，以為坐標原點建立空間直角坐標系，則,，由得，所以,,,，因此，且，所以且，所以，平面.(2)底面是等腰梯形，,,所以，，因此，以為坐標原點建立空間直角坐標系，則,,,，所以，,，設平面的一個法向量，由得，由是平面的法向量，因此，平面和平面所成的銳二面角的余弦值是.點睛：本題考查用空間向量求平面間的夾角，主要考查空間點、線、面位置關系，二面角等相關知識，同時考查空間想象能力，空間向量的坐標運算，推理論證能力和運算求解能力.18、（1）6；（2）75%；（3）4；【解題分析】

（1）利用頻率分布直方圖可求得物理成績低于分的頻率，利用頻率乘以總數(shù)可得所求頻數(shù)；（2）根據(jù)頻率分布直方圖可計算得到物理成績不低于分的頻率，從而得到及格率；（3）計算出成績不低于分的人數(shù)，根據(jù)古典概型概率計算公式可列出關于的方程，解方程求得結果.【題目詳解】（1）物理成績低于分的頻率為：物理成績低于分的學生人數(shù)為：人（2）物理成績不低于分的頻率為：這次考試物理學科及格率為：（3）物理成績不及格的學生共有：人其中成績不低于分的有：人由題意可知：，解得：【題目點撥】本題考查利用頻率分布直方圖計算頻數(shù)、根據(jù)樣本數(shù)據(jù)特征估計總體數(shù)據(jù)特征、古典概型概率的應用問題；關鍵是熟練掌握頻率分布直方圖的相關知識點，考查概率和統(tǒng)計知識的綜合應用.19、（1）；（2）．【解題分析】分析：(1)直接帶入即可(2)利用向量數(shù)量積打開后再利用二倍角公式變形化同名詳解：(1)當時，，，所以.(2)，若.則，即.因為，所以，所以，所以.點睛：三角函數(shù)跟向量的綜合是高考當中的熱點問題，常常需要利用二倍角公式的逆用對得到的函數(shù)關系式進行化簡，最終化簡為的形式.20、(Ⅰ)；(Ⅱ)單調遞增區(qū)間是，單調遞減區(qū)間是.【解題分析】分析：（1）換元法，，進而得到表達式；（2），結合圖像得到單調區(qū)間.詳解：（Ⅰ）令，，，即函數(shù)解析式為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，結合函數(shù)的圖像得到，函數(shù)的單調遞增區(qū)間是，函數(shù)的單調遞減區(qū)間是.點睛：這個題目考查了函數(shù)的解析式的求法，求函數(shù)解析式一定注意函數(shù)的定義域；常見方法有：換元法