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文檔簡介
安徽省馬鞍山中加雙語學校2024屆高二數(shù)學第二學期期末達標檢測試題注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)的圖象關于點對稱,是偶函數(shù),則()A. B. C. D.2.將2名教師和6名學生平均分成2組,各組由1名教師和3名學生組成,分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動,則不同的安排方案有()A.40種 B.60種 C.80種 D.120種3.的展開式存在常數(shù)項,則正整數(shù)的最小值為()A.5 B.6 C.7 D.144.設,滿足約束條件則的最大值為()A. B. C. D.5.設復數(shù)滿足,則()A. B.C. D.26.利用數(shù)學歸納法證明“且”的過程中,由假設“”成立,推導“”也成立時,該不等式左邊的變化是()A.增加B.增加C.增加并減少D.增加并減少7.若為虛數(shù)單位,復數(shù)與的虛部相等,則實數(shù)的值是A. B.2 C.1 D.8.復數(shù)的實部與虛部分別為()A., B., C., D.,9.現(xiàn)有四個函數(shù):①;②;③;④的圖象(部分)如下,則按照從左到右圖象對應的函數(shù)序號安排正確的一組是()A.①④②③ B.①④③② C.④①②③ D.③④②①10.已知命題,命題,若為假命題,則實數(shù)的取值范圍是()A. B.或 C. D.11.已知為的一個對稱中心,則的對稱軸可能為()A. B. C. D.12.閱讀下面的程序框圖,運行相應的程序,若輸入的值為24,則輸出的值為()A.0 B.1 C.2 D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在1x-114.求值:__________.15.曲線在點處的切線方程為__________.16.已知向量,,則與的夾角為________三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,三個內(nèi)角的對邊分別為.(1)若是的等差中項,是的等比中項,求證:為等邊三角形;(2)若為銳角三角形,求證:.18.(12分)已知等軸雙曲線:的右焦點為,為坐標原點,過作一條漸近線的垂線且垂足為,.(1)假設過點且方向向量為的直線交雙曲線于、兩點,求的值;(2)假設過點的動直線與雙曲線交于、兩點,試問:在軸上是否存在定點,使得為常數(shù)?若存在,求出點的坐標;若不存在,試說明理由.19.(12分)已知直線l的極坐標方程是,以極點為原點,極軸為x軸的非負半軸建立平面直角坐標系,兩種坐標系中取相同的長度單位,曲線C的參數(shù)方程為(是參數(shù)).(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程;(2)求曲線C上的點到直線l的距離的最小值.20.(12分)已知函數(shù),,.(1)若,求不等式的解集;(2)若對任意,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知為等差數(shù)列,且,.(1)求的通項公式;(2)設,求數(shù)列的前項和.22.(10分)已知橢圓的離心率為,,分別是其左,右焦點,為橢圓上任意一點,且.(1)求橢圓的標準方程;(2)過作直線與橢圓交于兩點,點在軸上,連結(jié)分別與直線交于點,若,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】
根據(jù)圖像關于對稱列方程,解方程求得的值.利用列方程,解方程求得的值,由此求得的值.【題目詳解】由于圖像關于對稱,也即關于的對稱點為,故,即,而,故,化簡得,故.由于是偶函數(shù),故,即,故.所以,故選D.【題目點撥】本小題主要考查已知函數(shù)的對稱性、函數(shù)的奇偶性求解析式,屬于中檔題.2、A【解題分析】
根據(jù)甲、乙兩地先安排老師,可知,然后安排學生,可得結(jié)果.【題目詳解】第一步,為甲、乙兩地排教師,有種排法;第二步,為甲、乙兩地排學生,有種排法,故不同的安排方案共有種,故選:A【題目點撥】本題考查排列分組的問題,一般來講先分組后排列,審清題意細心計算,屬基礎題.3、C【解題分析】
化簡二項式展開式的通項公式,令的指數(shù)為零,根據(jù)為正整數(shù),求得的最小值.【題目詳解】,令,則,當時,有最小值為7.故選C.【題目點撥】本小題主要考查二項式展開式的通項公式,考查與正整數(shù)有關問題,屬于基礎題.4、C【解題分析】
作出不等式對應的平面區(qū)域,利用目標函數(shù)的幾何意義,求目標函數(shù)的最大值即可.【題目詳解】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域,如圖所示,由得到,平移直線,當過A時直線截距最小,最大,由得到,所以的最大值為,故選:C.【題目點撥】本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標函數(shù)的最值問題.其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域,利用“一畫、二移、三求”,確定目標函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關鍵,著重考查了數(shù)形結(jié)合思想,及推理與計算能力,屬于基礎題.5、A【解題分析】由,得,故選A.6、D【解題分析】
由題寫出時的表達式和的遞推式,通過對比,選出答案【題目詳解】時,不等式為時,不等式為,增加并減少.故選D.【題目點撥】用數(shù)學歸納法寫遞推式時,要注意從到時系數(shù)k對表達式的影響,防止出錯的方法是依次寫出和的表達式,對比增項是什么,減項是什么即可7、D【解題分析】
先化簡與,再根據(jù)它們虛部相等求出m的值.【題目詳解】由題得,因為復數(shù)與的虛部相等,所以.故選D【題目點撥】本題主要考查復數(shù)的運算和復數(shù)相等的概念,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平,屬于基礎題.8、A【解題分析】分析:化簡即可得復數(shù)的實部和虛部.詳解:復數(shù)的實數(shù)與虛部分別為5,5.故選A.點睛:復數(shù)相關概念與運算的技巧(1)解決與復數(shù)的基本概念和性質(zhì)有關的問題時,應注意復數(shù)和實數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系,把復數(shù)問題實數(shù)化是解決復數(shù)問題的關鍵.(2)復數(shù)相等問題一般通過實部與虛部對應相等列出方程或方程組求解.(3)復數(shù)的代數(shù)運算的基本方法是運用運算法則,但可以通過對代數(shù)式結(jié)構(gòu)特征的分析,靈活運用i的冪的性質(zhì)、運算法則來優(yōu)化運算過程.9、A【解題分析】
根據(jù)各個函數(shù)的奇偶性、函數(shù)值的符號,判斷函數(shù)的圖象特征,即可得到.【題目詳解】解:①為偶函數(shù),它的圖象關于軸對稱,故第一個圖象即是;
②為奇函數(shù),它的圖象關于原點對稱,它在上的值為正數(shù),
在上的值為負數(shù),故第三個圖象滿足;
③為奇函數(shù),當時,,故第四個圖象滿足;
④,為非奇非偶函數(shù),故它的圖象沒有對稱性,故第二個圖象滿足,
故選A.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的圖象,函數(shù)的奇偶性、函數(shù)的值的符號,屬于中檔題.10、D【解題分析】試題分析:由,可得,由,可得,解得.因為為假命題,所以與都是假命題,若是假命題,則有,若是假命題,則由或,所以符合條件的實數(shù)的取值范圍為,故選D.考點:命題真假的判定及應用.11、B【解題分析】
由題意首先確定的值,然后求解函數(shù)的對稱軸即可.【題目詳解】由題意可知,當時,,據(jù)此可得:,令可得,則函數(shù)的解析式為,函數(shù)的對稱軸滿足:,解得:,令可知函數(shù)的一條對稱軸為,且很明顯選項ACD不是函數(shù)的對稱軸.本題選擇B選項.【題目點撥】本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解,三角函數(shù)對稱軸方程的求解等知識,意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.12、C【解題分析】
根據(jù)給定的程序框圖,逐次循環(huán)計算,即可求解,得到答案.【題目詳解】由題意,第一循環(huán):,能被3整除,不成立,第二循環(huán):,不能被3整除,不成立,第三循環(huán):,不能被3整除,成立,終止循環(huán),輸出,故選C.【題目點撥】本題主要考查了程序框圖的識別與應用,其中解答中根據(jù)條件進行模擬循環(huán)計算是解答的關鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解題分析】
先求出二項式x+1【題目詳解】二項式x+15的展開式的通項為∴1x-1x故答案為1.【題目點撥】對于含有兩個括號的展開式的項的問題,求解時可分別求出每個二項式的展開式的通項,然后采用組合(即“湊”)的方法得到所求的項,解題時要做到細致、不要漏掉任何一種情況.14、1【解題分析】分析:觀察通項展開式中的中的次數(shù)與中的一致。詳解:通項展開式中的,故=點睛:合并二項式的展開式,不要糾結(jié)整體的性質(zhì),抓住具體的某一項中的中的次數(shù)與中的一致,有負號時注意在上還是在上。15、.【解題分析】分析:先求導求切線的斜率,再寫切線方程.詳解:由題得,所以切線方程為故答案為:.點睛:(1)本題主要考查求導和導數(shù)的幾何意義,考查求切線方程,意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)函數(shù)在點處的導數(shù)是曲線在處的切線的斜率,相應的切線方程是16、【解題分析】
利用空間向量的坐標運算求解即可.【題目詳解】解:由已知,,,,則與的夾角為.故答案為:.【題目點撥】本題考查空間向量夾角的求解,是基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析(2)見解析【解題分析】
(1)由是的等差中項可得,由是的等比中項,結(jié)合正弦定理與余弦定理即可得到,由此證明為等邊三角形;(2)解法1:利用分析法,結(jié)合銳角三角形的性質(zhì)即可證明;解法2:由為銳角三角形以及三角形的內(nèi)角和為,可得,利用公式展開,進行化簡即可得到.【題目詳解】(1)由成等差數(shù)列,有①因為為的內(nèi)角,所以②由①②得③由是的等比中項和正弦定理得,是的等比中項,所以④由余弦定理及③,可得再由④,得即,因此從而⑤由②③⑤,得所以為等邊三角形.(2)解法1:要證只需證因為、、都為銳角,所以,故只需證:只需證:即證:因為,所以要證:即證:即證:因為為銳角,顯然故原命題得證,即.解法2:因為為銳角,所以因為所以,即展開得:所以因為、、都為銳角,所以,所以即【題目點撥】本題考查正余弦定理、等差等比的性質(zhì),銳角三角形的性質(zhì),熟練掌握定理是解決本題的關鍵.18、(1);(2)存在,.【解題分析】
(1)根據(jù)雙曲線為等軸雙曲線,可求出漸近線方程,再根據(jù)點為過作一條漸近線的垂線的垂足,以及,可求出雙曲線中的值,借助雙曲線中,,的關系,得到雙曲線方程.根據(jù)直線的方向向量以及點的坐標,可得直線的方程,與雙曲線方程聯(lián)立,解出,的值,代入中,即可求出的值.(2)先假設存在定點,使得為常數(shù),設出直線的方程,與雙曲線方程聯(lián)立,解,,用含的式子表示,再代入中,若為常數(shù),則結(jié)果與無關,求此時的值即可.【題目詳解】(1)設右焦點坐標為,,雙曲線為等軸雙曲線,則漸近線為,由對稱性可知,右焦點到兩條漸近線距離相等,且.為等腰直角三角形,則由又等軸雙曲線中,等軸雙曲線的方程為:.設,,,為雙曲線與直線的兩個交點,,直線的方向向量為,直線的方程為,即代入雙曲線的方程,可得,,,而(2)假設存在定點,使得為常數(shù),其中,,,,為雙曲線與直線的兩個交點的坐標,①當直線與軸不垂直是,設直線的方程為,代入雙曲線的方程,可得,由題意可知,,則有,,要使是與無關的常數(shù),當且僅當,此時,.②當直線與軸垂直時,可得點,,若,亦為常數(shù).綜上可知,在軸上是否存在定點,使得為常數(shù).【題目點撥】本題考查等軸雙曲線的方程、直線與雙曲線位置關系中定點、定值問題,考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想的綜合應用,對運算求解能力的要求較高.19、(1),(2)0.【解題分析】
(1)展開兩角和的正弦,結(jié)合極坐標與直角坐標的互化公式可得直線的普通方程,把(是參數(shù))消去參數(shù),可得曲線的直角坐標方程;(2)設曲線上的點寫出點到直線的距離公式,利用三角函數(shù)求最值.【題目詳解】由得直線的普通方程為由(是參數(shù)),消去參數(shù),可得曲線的直角坐標方程為.(2)設曲線上的點,則到直線的距離,當時,即時..【題目點撥】本題考查極坐標方程,參數(shù)方程和普通方程的互化,考查參數(shù)方程在解決點與直線距離最值中的應用,難度一般.20、(1);(2).【解題分析】試題分析:(Ⅰ)當時,.對解析分類討論,可求不等式的解集;(2)當時,的最大值為,要使,故只需;當時,的最大值為,要使,故只需,由此可求實數(shù)的取值范圍.試題解析:(Ⅰ)當時,.①當時,恒成立,∴;②當時,,即,即或.綜合可知:;③當時,,則或,綜合可知:.由①②③可知:或.(
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