二項式定理的發(fā)現(xiàn)與推廣

二項式定理的發(fā)現(xiàn)與推行倪致祥科學發(fā)現(xiàn)系列講座二項式定理的發(fā)現(xiàn)經(jīng)過探求,13世紀阿拉伯人曾經(jīng)知道兩項和的n次方的展開結(jié)果:二項式定理的發(fā)現(xiàn)為了便于看出規(guī)律，我們把它補充完好:二項式定理的發(fā)現(xiàn)為了便于研討其中的規(guī)律,1544年Stifel把公式中字母的系數(shù)提取出來,稱為二項式系數(shù).他發(fā)現(xiàn)其中每個數(shù)是其上方緊鄰兩數(shù)之和.用公式表示為:這個結(jié)果，中國數(shù)學家楊輝早在13世紀就發(fā)現(xiàn)了。二項式定理的發(fā)現(xiàn)經(jīng)過進一步研討，1654年P(guān)ascal發(fā)現(xiàn)二項式系數(shù)的規(guī)律,即通項公式:1713年,Bernoulli對上面的公式給出了證明。二項式定理的推行1上面得到的結(jié)果只適用于指數(shù)為自然數(shù)的情況，能否把二項式定理推行到非自然數(shù)的情況呢?1665年，牛頓對此進展了研討。他思索了知的無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式：為了便于比較，我們把二項式定理改寫為：二項式定理的推行1經(jīng)過仔細比較，不難發(fā)現(xiàn)上式中取n=-1時，自動成為無窮遞縮等比數(shù)列求和公式。這闡明二項式定理的新方式在n=-1時也成立。這個結(jié)果有沒有普通性？牛頓大膽的猜測：二項式定理的新方式對于恣意有理指數(shù)都是正確的，即：二項式定理的推行1這個猜測能否正確？牛頓對此進展了驗證。當指數(shù)為1/2時，有：驗證的結(jié)果與猜測一致。牛頓還對指數(shù)為1/3、2/3等情況進展了驗證，結(jié)果也與猜測一致。二項式定理的推行1然而，僅僅憑著有限的驗證可以保證結(jié)論的普遍正確性嗎？還要不要嚴厲的證明？牛頓以為這曾經(jīng)足夠了，不需求進一步證明，他也沒有給出證明。1811年，高斯對此進展了嚴厲的證明，結(jié)果闡明牛頓的猜測是正確的。二項式定理在組合實際、開高次方、高階等差數(shù)列求和，以及差分法中有廣泛的運用。如今，人們曾經(jīng)把二項式定理推行到了指數(shù)為恣意的實數(shù)，甚至復數(shù)時的情況。二項式定理的推行2二項式定理給出了兩項和的n次冪的展開公式，有時我們也需求計算三項或多項和的n次冪，這時該怎樣辦？最容易想到的方法是多次運用二項式定理，即先把后幾項合并成一項，運用二項式定理，再對式子中出現(xiàn)的后幾項的冪進展類似處置。例如，對于三項和的n次冪，可以如下計算二項式定理的推行2詳細寫出來是二項式定理的推行2為了堅持展開后的對稱性，我們把展開式寫成二項式定理的推行2把公式中字母的系數(shù)提取出來經(jīng)過仔細察看，我們發(fā)現(xiàn)上一三角形可以摞在下一三角形的上方，構(gòu)成一個正四面體。四面體中的每一個數(shù)等于其肩上三個數(shù)之和。二項式定理的推行2同樣的方法，我們可以得到四項和的n次冪的計算公式二項式定理的推行2為了看出多項和n次冪的計算公式的普通規(guī)律，我們把前面得到的結(jié)果列在一同：二項式定理的推行2經(jīng)過仔細察看，我們不難發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律：1〕展開式中各個字母的指數(shù)和為n；1〕系數(shù)的分子都是n！，分母為指數(shù)階乘之積；3〕求和條件為各指數(shù)均非負，且和為n于是，我們可以把這些展開式一致表達為二