三角形及全等三角形（共40題）-2021年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編（解析版）【全國(guó)通用】（第01期）

2021年中考數(shù)學(xué)真題分項(xiàng)匯編【全國(guó)通用】（第01期）

專題16三角形及全等三角形（共40題）

姓名：班級(jí)：得分：

一、單選題

1.（2021?湖南岳陽(yáng)市?中考真題）下列命題是真命題的是（）

A.五邊形的內(nèi)角和是720。B.三角形的任意兩邊之和大于第三邊

C.內(nèi)錯(cuò)角相等D.三角形的重心是這個(gè)三角形的三條角平分線的交點(diǎn)

【答案】B

【分析】

根據(jù)相關(guān)概念逐項(xiàng)分析即可.

【詳解】

A、五邊形的內(nèi)角和是540°，故原命題為假命題，不符合題意；

B、三角形的任意兩邊之和大于第三邊，原命題是真命題，符合題意：

C,兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，故原命題為假命題，不符合題意；

D、三角形的重心是這個(gè)三角形的三條中線的交點(diǎn)，故原命題為假命題，不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查命題判斷，涉及多邊形的內(nèi)角和，三角形的三邊關(guān)系，平行線的性質(zhì)，以及三角形的重心等，熟

記基本性質(zhì)和定理是解題關(guān)鍵.

2.（2021?山東臨沂市?中考真題）如圖，在AB//CD中，Z4EC=40°,CB平分NDCE,則NABC的度

數(shù)為（）

C.30°D.40°

【答案】B

【分析】

根據(jù)平行線的性質(zhì)得到再根據(jù)角平分線的定義得到再利用三角形外角的性

質(zhì)計(jì)算即可.

【詳解】

解：'JAB//CD,

；.NABC=NBCD,

平分/DCE,

二NBCE=NBCD,

：.NBCE=NABC,

,/ZAEC=ZBCE+ZABC=40°,

，NA8C=20°,

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義和外角的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等

是解題的關(guān)鍵.

3.（2021?陜西中考真題）如圖，點(diǎn)O、E分別在線段BC、AC上，連接A。、3E.若NA=35°,4=25。，

NC=50。，則N1的大小為（）

【答案】B

【分析】

由題意易得NBEC=105°,然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可進(jìn)行求解.

【詳解】

解：；NB=25°,NC=50°，

...在BEC中，由三角形內(nèi)角和可得NBEC=105°,

：ZA=35°,

/.Nl=ZBEC—ZA=70。；

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角形內(nèi)角和及外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形內(nèi)角和及外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（2021?四川樂(lè)山市?中考真題）如圖，已知直線4、4、4兩兩相交，且《，人若a=50。，則力的度

數(shù)為（）

A.120°B.130°C.140°D.150°

【答案】C

【分析】

111垂直的定義可得/2=90。；根據(jù)對(duì)頂角相等可得4=Na=50°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求得

//?=140。.

【詳解】

；6-L4,

Z2=90°；

：Zl=Za=50°.

N,=N1+N2=50°+90°=140°.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了垂直的定義、對(duì)頂角的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)，熟練運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)

鍵.

5.（2021?安徽中考真題）兩個(gè)直角三角板如圖擺放，其中N8AC=NE￡）F=90°,NE=45°,ZC=30°,

AB與DF交于點(diǎn)M.若BC//EF，則的大小為（）

A.60°B.67.5°C.75°D.82.5°

【答案】C

【分析】

根據(jù)BC//EF,可得NFDB=NF=45°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和即可得出答案.

【詳解】

由圖可得NB=60°,ZF=45°,

BC//EF，

NFDB=NF=45。,

:.ZBMD=1800-ZFDB-ZB=180°-45°-60°=75°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和，掌握平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵.

6.（2021?江蘇揚(yáng)州市?中考真題）如圖，點(diǎn)A、8、C、E在同一平面內(nèi)，連接AB、BC、CD、DE、

EA,若NBGD=100。，則Z4+ZB+ZD+ZE=（）

A.220°B.240°C.260°D.280°

【答案】D

【分析】

連接8。，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出NC3Q+NCQ8,再利用四邊形內(nèi)角和減去/C8Q和/CQ8的和，即可得

到結(jié)果.

【詳解】

解：連接8D,VZfiCD=100°,

ZCBD+ZCDB=180°-100°=80°,

ZA+ZABC+ZE+ZCOE=360°-ZCBD-ZCDB=360°-80°=280°,

故選D.

A

E

BD

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形內(nèi)角和，四邊形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造三角形和四邊形.

7.（2021?河北中考真題）定理：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

己知：如圖，NACD是△人與。的外角.

求證：ZACD=ZA+ZB.

證法1：如圖，

?：ZA+ZB+ZACB=180°（三角形內(nèi)角和定理），

又+4408=180。（平角定義），

ZACD+ZACB=ZA+NB+ZACB（等量代換）.

：.ZACD=ZA+ZB（等式性質(zhì)）.

y

A

證法2：如圖，

,?,44=76。，4=59。，

且乙4。。二135。（量角器測(cè)量所得）,

XV135°=76°+59°（計(jì)算所得），

；?ZACD=/A+/B（等量代換）.

_____________________7

下列說(shuō)法正確的是（）

A.證法1還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明才完整

B.證法1用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明了該定理

C.證法2用特殊到一般法證明了該定理

D.證法2只要測(cè)量夠一百個(gè)三角形進(jìn)行驗(yàn)證，就能證明該定理

【答案】B

【分析】

根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理與平角的定義可判斷A與B,利用理論與實(shí)踐相結(jié)合可判斷C與。.

【詳解】

解：A.證法1給出的證明過(guò)程是完整正確的，不需要分情況討論，故4不符合題意；

8.證法1給出的證明過(guò)程是完整正確的，不需要分情況討論，故選項(xiàng)8符合題意；

C.證法2用量角器度量?jī)蓚€(gè)內(nèi)角和外角，只能驗(yàn)證該定理的正確性，用特殊到一般法證明了該定理缺少理

論證明過(guò)程，故選項(xiàng)C不符合題意：

D.證法2只要測(cè)量夠一百個(gè)三角形進(jìn)行驗(yàn)證，驗(yàn)證的正確性更高，就能證明該定理還需用理論證明，故選

項(xiàng)3不符合題意.

故選擇：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形外角的證明問(wèn)題，命題的正確性需要嚴(yán)密推理證明，三角形外角分三種情形，銳角、直角、

和鈍角，證明中應(yīng)分類才嚴(yán)謹(jǐn).

8.（2021?四川瀘州市?中考真題）在銳角“ABC中，NA,NB,NC所對(duì)的邊分別為a,b,c,有以下結(jié)論：

-------=--------=-------=2R（其中K為AABC的外接圓半徑）成立.在AA8C中，若NA=75。，NB=45。,

sinAsinBsinC

c=4,則△A8c的外接圓面積為（）

16乃64%.,

A.------B.------C-16乃D.64%

33

【答案】A

【分析】

c167c

方法一：先求出/C,根據(jù)題目所給的定理，——=27?.利川圓的面積公式S,.=——.

sinC3

方法二：設(shè)△4BC的外心為0,連結(jié)04,0B,過(guò)。作OO_L4B于。，由三角形內(nèi)角和可求NC=60。，由

圓周角定理可求NAO8=2NC=120。，由等腰三角形性質(zhì)，NQ48=NO8A=30。，由垂徑定理可求AO=BZ）=2，

利用三角函數(shù)可求。4=述，利用圓的面積公式St,F-.

33

【詳解】

解:方法一：：NA=75°,ZB=45°,

：.ZC=180°-ZA-ZB=180o-75°-45o=60°,

2R_c=4=4=8—

有題意可知一sinC-sin60°一百一亍，

V

4百

二R亍

方法二：設(shè)△ABC的外心為0,連結(jié)04,0B,過(guò)。作于。,

VZ/4=75°,ZB=45°,

；?ZC=180°-ZA-ZB=\80o-75°-45o=60°,

???ZAOB=2ZC=2x60°=120°,

04=08,

Z048=N08A=；(180°-120°)=30°,

?：0D±AB,A8為弦,

/?AD=BD=—AB=2,

2

AAD=Oi4cos30°,

，0A=AO+COS300=2+3=^^

23

46Y16%

SM=7rR2-7lOA2-71

故答案為A.

Dy7B

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形的外接圓，三角形內(nèi)角和，圓周角定理，等腰三角形性質(zhì)，垂徑定理，銳角三角函數(shù)，圓

的面積公式，掌握三角形的外接圓，三角形內(nèi)角和，圓周角定理，等腰三角形性質(zhì)，垂徑定理，銳角二角

函數(shù)，圓的面積公式是解題關(guān)鍵.

9.（2021?重慶中考真題）如圖，在△ABC和ADCB中，ZACB^ZDBC，添加一個(gè)條件，不熊證明AMC

和AOCB全等的是（）

A.ZABC=ZDCBB.AB=DC

C.AC=DBD.zS4=ZT>

【答案】B

【分析】

根據(jù)已知條件和添加條件，結(jié)合全等三角形的判斷方法即可解答.

【詳解】

選項(xiàng)A,添加NABC=NZ)C3,

在△A5C和AOCB中，

ZABC=NDCB

<BC=CB

NACB=NDBC

，△ABC-ADCB(ASA),

選項(xiàng)B,添加AB=DC，

在△ABC和GCB中，AB=DC,BC=CB,ZACB=ZDBC,無(wú)法證明△ABC^^DCB：

選項(xiàng)C,添加AC=DB,

在△ABC和ADCB11'>

BC=CB

<NACB=NDBC,

AC=DB

：.^ABC^^DCB(SAS)；

選項(xiàng)D,添加NA=N￡),

在AABC1和ADCB中，

NA=ND

<ZACB=ZDBC,

BC=CB

△ABCgADCB(AAS)；

綜上，只有選項(xiàng)B符合題意.

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

10.（2021?重慶中考真題）如圖，點(diǎn)B,F,C,E共線，NB=NE,BF=EC,添加一個(gè)條件，不等判斷

△ABCHOEF的是()

C.AC=DFD.AC//FD

【答案】C

【分析】

根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)逐一分析即可解題.

【詳解】

解：；BF=EC,

:.BC=EF

A.添加一個(gè)條件

又BC=EF,ZB=ZE

：.AABC公ADEF(SAS)

故A不符合題意；

B.添加一個(gè)條件乙4=/￡)

又BC=EF,NB=NE

:.^ABC^^DEF(AAS)

故B不符合題意；

C.添加一個(gè)條件4C=Q/，不能判斷，故C符合題意；

D.添加一個(gè)條件AC〃尸。

:.ZACB=NEFD

又BC=EF,4B=4E

:.AABCaDEF(ASA)

故D不符合題意，

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查添加條件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)

鍵.

11.(2021?浙江嘉興市?中考真題)將一張三角形紙片按如圖步驟①至④折疊兩次得圖⑤，然后剪出圖⑤中

的陰影部分，則陰影部分展開(kāi)鋪平后的圖形是()

①②

A,等腰三角形B.直角三角形C.矩形D.菱形

【答案】D

【分析】

此題是有關(guān)剪紙的問(wèn)題，此類問(wèn)題應(yīng)親自動(dòng)手折一折，剪一剪.

【詳解】

解：由題可知，AO平分N84C,折疊后△AEO與WLFO重合，故全等，所以EO=OP;

又作了的垂直平分線，即E0垂直平分A￡>,所以40=00,且ECU4。；

由平行四邊形的判定：對(duì)角線互相平分的四邊形為平行四邊形，所以4EOF為平行四邊形:

又所以平行四邊形AEQF為菱形.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考察學(xué)生對(duì)于立體圖形與平面展開(kāi)圖形之間的轉(zhuǎn)換能力，與課程標(biāo)準(zhǔn)中”能以實(shí)物的形狀想象出兒

何圖形，有幾何圖形想象出實(shí)物的圖形''的要求相一致，充分體現(xiàn)了實(shí)踐操作性原則.

12.（2021?四川遂寧市?中考真題）下列說(shuō)法正確的是（）

A.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等

B.平行四邊形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形

C.在代數(shù)式,，2x,—,9859—+2Z?,：+y中，—,一,是分式

a冗a3aa

D.若一組數(shù)據(jù)2、3、x、1、5的平均數(shù)是3,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是4

【答案】A

【分析】

根據(jù)角平分線的性質(zhì)，平行四邊形的對(duì)稱性，分式的定義，平均數(shù)，中位數(shù)的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

解：A.角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，故選項(xiàng)正確；

B.平行四邊形不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C.在代數(shù)式2x,985,-+2b,中，3+26是分式，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

a兀a3aa

D.若組數(shù)據(jù)2、3、x、1、5的平均數(shù)是3,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是3,故選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查了角平分線的性質(zhì)，平行四邊形的對(duì)稱性，分式的定義，平均數(shù)，中位數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，熟悉相

關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.（2021?湖南婁底市?中考真題）2,5,加是某三角形三邊的長(zhǎng)，則J（加-3）2+J（加一7）2等于（）

A.2772-10B.10-2mC.10D.4

【答案】D

【分析】

先根據(jù)三角形三邊的關(guān)系求出，〃的取值范圍，再把二次根式進(jìn)行化解，得出結(jié)論.

【詳解】

解：???2,3,加是三角形的三邊，

5-2</〃<5+2,

解得：3cx<7,

"（4-3）~+J（加-7）~=nt—3+7-—4,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次根式的性質(zhì)及化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是：先根據(jù)題意求出”的范圍，再對(duì)二次根式化簡(jiǎn).

14.（2021?山東泰安市?中考真題）如圖，直線加〃〃，三角尺的直角頂點(diǎn)在直線機(jī)上，且三角尺的直角被

直線m平分，若N1=60°,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

1

m

A.Z2=75°B.N3=45。C.Z4=105°D.N5=130。

【答案】D

【分析】

根據(jù)角平分線的定義求出N6和/7的度數(shù)，再利用平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和求出/3,Z8,N2的

度數(shù)，最后利用鄰補(bǔ)角互補(bǔ)求出N4和N5的度數(shù).

【詳解】

首先根據(jù)三角尺的直角被直線m平分，

N6=N7=45。；

A、VZ1=6O°,N6=45°,AZ8=180°-Z1-Z6=180-60°-45°=75°,m/7n,N2=N8=75°結(jié)論正確，選項(xiàng)不

合題意;

>.*Z7=45°,m//n,Z3=Z7=45°,結(jié)論正確，選項(xiàng)不合題意；

C、；N8=75°,.../4=180-/8=180-75°=105°,結(jié)論正確，選項(xiàng)不合題意；

D.VZ7=45°,AZ5=180-Z7=180-45°=135°,結(jié)論錯(cuò)誤，選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了角平分線的定義，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，解答本題的關(guān)鍵是掌握平行線

的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

15.（2021?四川資陽(yáng)市?中考真題）如圖，已知直線機(jī)〃〃,/1=40。,/2=30。，則N3的度數(shù)為（）

A.80°B.70°C.60°D.50°

【答案】B

【分析】

如圖，由題意易得/4=/1=40。，然后根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可進(jìn)行求解.

【詳解】

解：如圖，

?/w//n,Zl=40°.

N4=/l=40°,

???/2=30°，

,N3=N4+N2=70°；

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

16.（2021?海南中考真題）如圖，已知a//。，直線/與直線a、8分別交于點(diǎn)48,分別以點(diǎn)48為圓心,

大于-AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,兩弧相交于點(diǎn)M.N，作直線MN，交直線b于點(diǎn)C,連接AC,若N1=40°,

2

則Z4CB的度數(shù)是（）

A.90°B.95°C.100°D.105°

【答案】C

【分析】

根據(jù)題意可得直線是線段4B的垂直平分線，進(jìn)而可得CB=AC，利用平行線的性質(zhì)及等腰三角形中

等邊對(duì)等角，可得NC43=NCa4=40°,所以可求得NAC3=100°.

【詳解】

?.?己知分別以點(diǎn)48為圓心，大于』AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N,作直線MN,交直線，

2

于點(diǎn)C,連接AC,

二直線MN垂直平分線段A8,

C3=AC，

?：allh,Zl=40°.

；?NCSA=N1=40。，

NC4B=NCa4=4O°，

，ZACB=1800-ZCBA-ZCAB=100°.

故選：c.

【點(diǎn)睛】

題目主要考查線段垂直平分線的作法及性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等，根據(jù)題意得出直線MN垂直平分線段A8

是解題關(guān)鍵.

17.（2021?四川廣元市?中考真題）觀察下列作圖痕跡，所作線段8為AABC的角平分線的是（）

B.

D.

【分析】

根據(jù)角平分線畫(huà)法逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

A：所作線段為A8邊上的高，選項(xiàng)錯(cuò)誤;

B：做圖痕跡為邊上的中垂線，為A8邊上的中線，選項(xiàng)錯(cuò)誤;

C：8為NACB的角平分線，滿足題意。

D：所作線段為AB邊上一的高，選項(xiàng)錯(cuò)誤

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查點(diǎn)到直線距離的畫(huà)法，角平分線的畫(huà)法，中垂線的畫(huà)法，能夠區(qū)別彼此之間的不同是解題切入點(diǎn).

二、填空題

18.（2021?河北中考真題）下圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BZ）的交點(diǎn)為C,且NA,DB,ZE

保持不變.為了舒適，需調(diào)整NQ的大小，使NEED=110。，則圖中ND應(yīng)___________（填“增加”或“減

少”）___________度.

【分析】

先通過(guò)作輔助線利用三角形外角的性質(zhì)得到/與ND、NE、NOCE之間的關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算即可判斷.

【詳解】

解：VZA+ZB=50°+60°=110°,

ZACB=180°-110°=70°,

/.ZDCE=70°,

如圖，連接CF并延長(zhǎng)，

ZDFM=ZD+ZDCF=20°+ZDCF,

NEFM=ZE+ZECF=3Q0+ZECF,

：.ZEFD=ZDFM+ZEFM=20°+ZDCF+30°+ZECF=50°+ZDCE=500+70°=120°,

要使/EED=110。，則NEFC減少j'10。，

若只調(diào)整/￡）的大小，

由ZEFAZDFM+ZEFM=ZD+ZDCF+Z￡+ZECF=ZD+ZE+ZECD=ND+30°+70°=Z。+100°,

因此應(yīng)將NO減少10度；

故答案為：①減少；②10.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形外角的性質(zhì)，同時(shí)涉及到了三角形的內(nèi)角和與對(duì)頂角相等的知識(shí)；解決本題的關(guān)鍵是理

解題意，讀懂圖形，找出圖形中各角之間的關(guān)系以及牢記公式建立等式求出所需的角，本題蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)

合的思想方法.

19.（2021?江蘇蘇州市?中考真題）如圖.在中，NC=90°,AF=EF.若NbE=72°,則

ZB=.

【答案】54。

【分析】

首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出N4=NAEF,再根據(jù)三角形的外角和定理得出求出NA

的度數(shù)，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出NB的度數(shù)即可.

【詳解】

,/AF=EF,

：.—AE尸，

NA+NAEF=NCFE=72：

：.ZA=36°,

'：ZC=90°,N4+/B+/C=180°,

，ZB=180°-ZA-ZC=54°.

故答案為：54°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的外角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，掌握相關(guān)定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20.（2021?浙江中考真題）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨建黨1（）（）周年，某校用紅色燈帶制作了一個(gè)如圖所示的正五角

星（是正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)），則圖中NA的度數(shù)是_______度.

【答案】36

【分析】

根據(jù)題意，得五邊形（F,G,H,J,K是正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)）為正五邊形，且AF=AK；根據(jù)多邊形內(nèi)角

和性質(zhì)，得正五邊形FGH/K內(nèi)角和，從而得N4；再根據(jù)補(bǔ)角、等腰三角形、三角形內(nèi)角和性質(zhì)計(jì)算，即

可得到答案.

【詳解】

???正五角星（A,B,C,￡）,E是正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)）

???五邊形是正五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)）為正五邊形，且Ab=AK

正五邊形FGHJK內(nèi)角和為：（5-2）x180°=540°

/.Z3=180°-Z4=72°

?/AF=AK

，N2=N3=72°

二Zl=180°-Z2-Z3=36°

故答案為：36.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正多邊形、多邊形內(nèi)角和、補(bǔ)角、等腰三角形、三角形內(nèi)角和的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握

正多邊形、多邊形內(nèi)角和、等腰三角形、三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，從而完成求解.

21.（2021?江蘇連云港市?中考真題）如圖，8E是AABC的中線，點(diǎn)F在BE上,延長(zhǎng)A77交BC于點(diǎn)O.若

RD

BF=3FE,則——=.

DC

【分析】

連接EO,由班是AABC的中線，得到S&\BE=S/CE，S/ED=S,EDC，由BF=3FE,得到

Ss5

產(chǎn)1=3,資2.=3,設(shè)5,3.=x,s田"=y,由面積的等量關(guān)系解得x=最后根據(jù)等高三角形的性質(zhì)

、JFE、.FED3

SBD

解得甘皿ABD=據(jù)此解題即可.

'.ADC口。

【詳解】

解：連接

?.?BE是△ABC1的中線,

-S扒BE=SjCE，S“EO=S.EPC

???BF=3FE

qq

?U^ABF_3°ABFD_3

。一'。一

44AFEFED

設(shè)SAAEF=X，SAEFD~y?

*'-s：,=3%，sWD=3y

?e?S4ABE=4x,S.BEC~4x,SRED=4y

-S/DC~S&BEC-S"ED=4x—4y

?

??°AqADE_-"aEqDC

:.x+y=4x-4y

5

:.x=-y

3

?「△Ab。與△AOC是等高三角形，

.S.ABD=BD=3x+3y_3x+3y_3x§y+刀8y=3

'S.ADCDCx+y+4x-4y5x-3y5x^162

33

3

故答案為：

2

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形的中線、三角形的面積等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

22.（2021?四川遂寧市?中考真題）如圖，在△ABC中，AB=5,AC=7,直線OE垂直平分BC,垂足為E,

交AC于點(diǎn)O,則AABO的周長(zhǎng)是.

【分析】

根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DB=DC，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可.

【詳解】

解：???直線QE垂直平分BC,

DB=DC,

：./XABD的周長(zhǎng)=4?+A￡>+M=AB+4）+￡>C=AB+AC=5+7=12,

故答案為：12.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的母直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解

題的關(guān)鍵.

23.（2021?云南中考真題）已知AABC的三個(gè)頂點(diǎn)都是同一個(gè)正方形的頂點(diǎn)，NABC的平分線與線段AC

交于點(diǎn)O.若AABC的一條邊長(zhǎng)為6,則點(diǎn)O到直線AB的距離為.

【答案】3或哼或60-6或6-

【分析】

將△A8c放入正方形中，分NABC=90。，ZBAC=90°,再分另I」分AB=BC=6,AC=6,進(jìn)行解答.

【詳解】

解：???△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都是同一個(gè)正方形的頂點(diǎn),

如圖，若/ABC=90。,

則/A8C的平分線為正方形ABCD的對(duì)角線，D為對(duì)角線交點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)。作OFL48,垂足為尸,

當(dāng)AB=BC=6,

貝J|DF」BC=3；

2

當(dāng)AC=6,

則AB=8C=*=3亞，

3

如圖，若/54C=90。，過(guò)點(diǎn)。作。尸，8c于凡

平分/ABC,

；.NABD=NCBD,AD=DF,

乂NBAD^/BF/)=90。,BD=BD,

:.ABADqABFD(AAS),

：.AB=BF,

當(dāng)AB=AC=6,

則BC=462+62=60，

BF=6,CF=6及一6，

在正方形A8EC中，ZACB=45°,

...△CDF是等腰直角三角形，則CF=DF=AD=6g-6；

當(dāng)BC=6,

6

=3亞,

貝ijA8=AC=正

同理可得：6-30，

綜匕點(diǎn)。到直線AB的距離為：3或半或60—6或6—3加，

故答案為：3或或6加一6或6-3夜.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判

定和性質(zhì)，知識(shí)點(diǎn)較多，解題時(shí)要結(jié)合題意畫(huà)出符合題意的圖形，分情況解答.

24.（2021?廣西柳州市?中考真題）若長(zhǎng)度分別為3,4,a的三條線段能組成一個(gè)三角形，則整數(shù)a的值可

以是.（寫出一個(gè)即可）

【答案】5（答案不唯一）

【分析】

根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊進(jìn)行求解即可.

【詳解】

解：由題意知：4-3<a<4+3,8|Jl<a<7,

整數(shù)a可取2、3'4、5、6中的一個(gè)，

故答案為：5（答案不唯一）.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形的三邊關(guān)系，能根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出第三邊。的取值范圍是解答的關(guān)鍵.

25.（2021?四川成都市?中考真題）如圖，在R/AABC中，NC=90°,AC=BC,按以下步驟作圖：①以

點(diǎn)A為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AC,AB于點(diǎn)M,N；②分別以M,N為圓心，以大于的

2

長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在NBAC內(nèi)交于點(diǎn)O；③作射線AO,交8c于點(diǎn)立若點(diǎn)。到A3的距離為1,則8C

的長(zhǎng)為.

【答案】1+72

【分析】

過(guò)點(diǎn)。作DEJLAB于點(diǎn)E,由尺規(guī)作圖AD平分44C,可求8=止=1,然后證明/EC5=NB,可得

DE=BE=l,在RROEB中，由勾股定理得出血，即可得出答案.

【詳解】

解:過(guò)點(diǎn)。作DELAB干點(diǎn)、E,

由作圖步驟知，AO平分N8AC,

-.?ZC=ZA￡￡>=90°，點(diǎn)D到AB的距離為1,

:.CD=DE=\

?：ZC=90°,AC=BC

：.ZB=ZCAB^45°,

：.ZEDB=180°-ZDEB-Z8=45°=ZB,

；.DE=BE=l,

在RIADEB中,由勾股定理8￡>=JQE?+8^2=五十仔=血

：.BC=DC+BD=\+yf2-

故答案為I+V2.

c

【點(diǎn)睛】

本題考查角平分線尺規(guī)作圖，角平分線性質(zhì)，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握角平分線尺規(guī)

作圖，角平分線性質(zhì)，等腰直角三角形判定與性質(zhì)，勾股定理是解題關(guān)鍵.

三、解答題

26.（2021?陜西中考真題）如圖，BD//AC,3。=8。，點(diǎn)七在3。上，且8￡=47.求證：ZD=ZABC.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】

由題意易得NEBO=NC，進(jìn)而可證也△ABC，然后問(wèn)題可求證.

【詳解】

證明：???3O〃AC,

/.ZEBD=ZC.

■:BD=BC，BE=AC，

：.^EDB^ABC（SAS）.

:.ND=ZABC.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

27.（2021?湖南衡陽(yáng)市?中考真題）如圖，點(diǎn)A、B、。、E在同一條直線上，AB=DE,AC//DF,BC//EF.求

證：△ABC絲△￡>￡：/.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】

根據(jù)AC//。居BC//EF,可以得到NA=NFDE,NABC=N￡>M,然后根據(jù)題目中的條件，利用ASA證

明△ABCg/KOE/即可.

【詳解】

證明：點(diǎn)A,B,C,D,E在一條直線上

?；ACHDF,BCHEF

：.ZA=ZFDE,ZABC=ZDEF

在△ABC與△￡)/中

ZCAB=ZFDE

<AB=DE

NABC=NDEF

：.AABC^ADEF(ASA)

【點(diǎn)睛】

本題重點(diǎn)考查了三角形全等的判定定理，普通兩個(gè)三角形全等共有四個(gè)定理，即AAS、ASA、SAS.SSS,直

角三角形可用HL定理，但414、SSA,無(wú)法證明三角形全等，本題是一道較為簡(jiǎn)單的題目.

28.(2021?四川樂(lè)山市?中考真題)如圖，已知AB=OC,NA=ND,AC與相交于點(diǎn)。，求證：

ZOBC=ZOCB.

【答案】證明見(jiàn)解析

【分析】

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，通過(guò)證明得OB=OC,結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，即可得到答

案.

【詳解】

NA=N。

V<ZAOB=ZDOC,

AB=DC

???△ABgADCO（AAS）,

二OB=OC,

二ZOBC=ZOCB.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形、等腰三角形的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形、等腰三角形的性質(zhì)，從

而完成求解.

29.（2021?四川瀘州市?中考真題）如圖，點(diǎn)。在A8上，點(diǎn)E在AC上，AB=AC,NB=NC,求證：BD=CE

【答案】證明見(jiàn)詳解.

【分析】

根據(jù)“ASA”證明△ABE^AACD,然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得到結(jié)論.

【詳解】

證明：在△ABE和△AC。中，

ZA=ZA

■：<AB^AC,

NB=NC

△ABE四△ACD（ASA）,

：.AE=AD,

：.BD=AB-AD=AC-AE=CE.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS.ASA、A4S和HL）和

全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等）是解題的關(guān)鍵.

30.(2021?云南中考真題)如圖，在四邊形ABCD中，A￡>=BC,AC=BD,AC與BO相交于點(diǎn)E.求證:

ZDAC=ZCBD.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】

直接利用SSS證明△ACgABDC,即可證明.

【詳解】

解：在△ACD和△BDC中,

AD=BC

<AC=BD,

CD=DC

：.^ACD^^BDC(SSS),

/DAC=/CBD.

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意靈活運(yùn)用SSS的方法.

31.(2021?四川遂寧市?中考真題)如圖，在平行四邊形ABC。中，對(duì)角線AC與30相交于點(diǎn)。過(guò)點(diǎn)O

的直線EF與84、DC的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E、F.

(1)求證：AE=CF；

(2)請(qǐng)?jiān)偬砑右粋€(gè)條件，使四邊形3尸ZJE是菱形，并說(shuō)明理由.

E

【答案】(1)見(jiàn)解析：(2)EELB力或E8=EO,見(jiàn)解析

【分析】

(1)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的證明方法證明NAOE苗COF,則可得到AE=CF；

(2)連接8尸，DE,由得到OE=OF,又AO=CO,所以四邊形AECF是平行四邊形,

則根據(jù)EFVBD可得四邊形BFDE是菱形.

【詳解】

證明：(1).??四邊形A3CD是平行四邊形

：.OA=OC,BE//DF

：.ZE=ZF

在△4?！辏汉?CO尸中

NE=NF

<ZAOE=NCOF

OA=OC

：.NAOE爾COF(A4S)

：.AE=CF

(2)當(dāng)EFJ_BD時(shí)，四邊形BfDE是菱形，理由如下:

如圖：連結(jié)8F,DE

?四邊形ABCO足平行四邊形

:.OB=OD

'：NAOE^JCOF

，OE=OF

，四邊形班7汨是平行四邊形

:EFLBD,

.?.四邊形跳DE是菱形

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定等知識(shí)點(diǎn)，熟悉相關(guān)性質(zhì)，能

全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

32.(2021?江蘇連云港市?中考真題)在數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)中，小亮進(jìn)行數(shù)學(xué)探究活動(dòng).

(1)△ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，E是邊AC上的一點(diǎn)，且AE=1,小亮以BE為邊作等邊三角形

BEF,如圖1,求CF的長(zhǎng)；

(2)AABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，E是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以3E為邊作等邊三角形班廠,

如圖2,在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)4的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)尸所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)；

(3)AMC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，M是高CZ)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，小亮以BM為邊作等邊三角形BMN,

如圖3,在點(diǎn)M從點(diǎn)C到點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)N所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)；

圖4

(4)正方形ABC0的邊長(zhǎng)為3,E是邊C6上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在點(diǎn)E從點(diǎn)C到點(diǎn)8的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小亮以

3為頂點(diǎn)作正方形BEG”,其中點(diǎn)尸、G都在直線AE上，如圖4,當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)8時(shí)，點(diǎn)F、G、”與

點(diǎn)8重合.則點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為,點(diǎn)G所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為

【答案】(1)1；(2)3；(3)1V3;(4)-71；還萬(wàn)

244

【分析】

(1)由AA8C、△龐戶是等邊三角形，BA=BC，BE=BF，ZABE=NCBF,可證AABEgACB/7

即可;

(2)連接。尸，A4BC、ABEF是等邊三角形,可證AABEgACM,可得NBCF=NA3C，乂點(diǎn)E在

C處時(shí)，CE=AC,點(diǎn)E在A處時(shí)，點(diǎn)尸與C重:合.可得點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的路徑的長(zhǎng)=AC=3：

(3)取8C中點(diǎn)H,連接HN,由AABC、是等邊三角形，可證△￡>而會(huì)MBN,可得

NHLBC.又點(diǎn)M在C處時(shí)，HN=CD=￡3,點(diǎn)M在D處時(shí)，點(diǎn)N與H重合.可求點(diǎn)N所經(jīng)過(guò)

2

的路徑的長(zhǎng)=。。=之6：

2

(4)連接CG,AC,OB,由NCGA=90。，點(diǎn)G在以AC中點(diǎn)為圓心，AC為直徑的BC上運(yùn)動(dòng)，由四邊形

ABCO為正方形，8c為邊長(zhǎng)，設(shè)OC=x,由勾股定理CC>2+BO2=BC2即，可求*=逑，點(diǎn)G所經(jīng)過(guò)的

2

QB3

路徑長(zhǎng)為5C長(zhǎng)=三絲乃，點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為切的長(zhǎng)=一萬(wàn).

44

【詳解】

解：(1)VAABC.ABEF是等邊三角形,

:.BA=BC，BE=BF，ZABC=NEB/=60°.

/.ZABE+/CBE=/CBF+ZCBE，

/.ZABE=ZCBF,

：.MBE^CBF.

二CF=A￡=1；

(2)連接CF,

??,AABC、ABEF是等邊三角形,

：.BA=BC.BE=BF，ZABC=NEBF=60。.

：.ZABE+ZCBE=ZCBF+ZCBE.

/.ZABE=ZCBF,

???AABE^ACBF.

：.CF=AE,NBCF=ZBAE=60°，

ZABC=60。，

/BCF=ZABC,

；?CF//AB,

又點(diǎn)E在。處時(shí)，CF=AC，點(diǎn)￡在A處時(shí)，點(diǎn)F與C重合.

二點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑的長(zhǎng)=AC=3；

(3)取BC中點(diǎn)”，連接HN,

：.BH=-BC,

2

2

VCD1A8,

BD=-AB,

2

c

:.BH=BD，

'：AABC,ABMN是等邊三角形，

:.BM=BN,ZABC=NMBN=60°，

二ADBM+AMBH=/HBN+/MBH,

，ZDBM=AHBN,

XyBM”MiBN，

：.HN=DM.ABHN=ABDM=9Q°,

；?NHA.BC，

又點(diǎn)M在。處時(shí)，HN=8=之叵，點(diǎn)M在。處時(shí)，點(diǎn)N與”重合,

2

???點(diǎn)N所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)=CD='B

2

(4)連接CG,AC,OB,

'：NCGA=90°,

點(diǎn)G在以4c中點(diǎn)為圓心，4c為直徑的BC上運(yùn)動(dòng)，

???四邊形ABC。為正方形，8c為邊長(zhǎng)，

/.ZCOB=90°,設(shè)OC=x,

由勾股定理CO2+8O2=3。2即￡+彳2=32,

.35/2

點(diǎn)G所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為BC長(zhǎng)=$2n

71

點(diǎn)〃在以8c中點(diǎn)為圓心，BC長(zhǎng)為直徑的弧加上運(yùn)動(dòng),

點(diǎn)H所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為BN的長(zhǎng)度，

?，點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)圓周的四分之一，

.?.點(diǎn)”也運(yùn)動(dòng)圓周的四分一，

133

點(diǎn)”所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為S7V的長(zhǎng)=-x2〃x-=—萬(wàn)，

424

故答案為一乃；.

44

【點(diǎn)睛

本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，90。圓周角所對(duì)弦是直徑，圓的弧長(zhǎng)公式，

掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，勾股定理，90。圓周角所對(duì)弦是直徑，圓的弧長(zhǎng)公式是解

題關(guān)鍵.

33.（2021?四川樂(lè)山市?中考真題）在等腰AABC中，AB^AC,點(diǎn)。是BC邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)8、C重

合），連結(jié)AD.

A

(D如圖1,若NC=60°,點(diǎn)。關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E,結(jié)AE,DE,則；

(2)若NC=6()°,將線段45繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AE,連結(jié)5E.

①在圖2中補(bǔ)全圖形；

②探究CO與蛇的數(shù)量關(guān)系，并證明；

ARAn

(3)如圖3,若一=—=k,且NAOE=NC,試探究8￡、BD、4c之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并證

BCDE

明.

【答案】(1)30°；(2)①見(jiàn)解析；②CD=BE；見(jiàn)解析；(3)AC=k(BD+BE),見(jiàn)解析

【分析】

(1)先根據(jù)題意得出△A8C是等邊三角形，再利用三角形的外角計(jì)算即可

(2)①按要求補(bǔ)全圖即可

②先根據(jù)已知條件證明△ABC是等邊三角形，再證明△A￡3gAAZ)C,即可得出CD=BE

(3)先證明生=生，再證明/\ACB^ADE，得出ABAC=NEAD，從而證明AA￡B^AAT>C,

ADDE

得出=從而證明=+

【詳解】

解：(1)VAB=AC,ZC=60°

.,.△A8c是等邊三角形

二ZB=60°

:點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E

：.AB1.DE,

：.ZBDE=30°

故答案為：30°；

(2)①補(bǔ)全圖如圖2所示;

E

BD

②CO與BE的數(shù)量關(guān)系為：CD=BE；

證明：VAB=ACZB4C=60°.

△A5C為正三角形,

又?:A