（教學思想典型題專講）高三數學一輪復習 導數的綜合應用

導數的綜合應用一、選擇題1.已知函數f(x)=x2+mx+lnx是單調遞增函數,則m的取值范圍是(B)(A)m>-2QUOTE (B)m≥-2QUOTE(C)m<2QUOTE (D)m≤2QUOTE解析:函數定義域為(0,+∞),又f'(x)=2x+m+QUOTE.依題意有f'(x)=2x+m+QUOTE≥0在(0,+∞)上恒成立,∴m≥-QUOTE恒成立,設g(x)=-QUOTE,則g(x)=-QUOTE≤-2QUOTE,當且僅當x=QUOTE時等號成立.故m≥-2QUOTE,故選B.2.(2013洛陽統(tǒng)考)函數f(x)的定義域是R,f(0)=2,對任意x∈R,f(x)+f'(x)>1,則不等式ex·f(x)>ex+1的解集為(A)(A){x|x>0} (B){x|x<0}(C){x|x<-1或x>1} (D){x|x<-1或0<x<1}解析:構造函數g(x)=ex·f(x)-ex,因為g'(x)=ex·f(x)+ex·f'(x)-ex=ex[f(x)+f'(x)]-ex>ex-ex=0,所以g(x)=ex·f(x)-ex為R上的增函數.又因為g(0)=e0·f(0)-e0=1,所以原不等式轉化為g(x)>g(0),解得x>0.故選A.3.如圖所示,一個正五角星薄片(其對稱軸與水面垂直)勻速地升出水面,記t時刻五角星露出水面部分的圖形面積為S(t)(S(0)=0),則導函數y=S'(t)的圖象大致為(A)解析:由導數的定義知,S'(t0)表示面積函數S(t0)在t0時刻的瞬時變化率.如圖所示,正五角星薄片中首先露出水面的是區(qū)域Ⅰ,此時其面積S(t)在逐漸增大,且增長速度越來越快,故其瞬時變化率S'(t)也應逐漸增大;當露出的是區(qū)域Ⅱ時,此時的S(t)應突然增大,然后增長速度減慢,但仍為增函數,故其瞬時變化率S'(t)也隨之突然變大,再逐漸變小,但S'(t)>0(故可排除選項B);當五角星薄片全部露出水面后,S(t)的值不再變化,故其導數值S'(t)最終應等于0,符合上述特征的只有選項A.4.已知f(x)是定義域為R的奇函數,f(-4)=-1,f(x)的導函數f'(x)的圖象如圖所示.若兩正數a,b滿足f(a+2b)<1,則QUOTE的取值范圍是(B)(A)QUOTE (B)QUOTE(C)(-1,0) (D)(-∞,-1)解析:因為f(x)是定義域為R的奇函數,f(-4)=-1,所以f(-4)=-f(4),所以f(4)=1,所以f(a+2b)<f(4),又由f'(x)≥0,得f(x)為增函數,所以a+2b<4,而a,b為正數,所以a+2b<4所表示的區(qū)域為如圖所示的直角三角形AOB(不包括邊界),其中A(0,4),B(2,0),QUOTE可看成是直線PM的斜率,其中P(-2,-2),M(b,a)在直角三角形AOB的內部(不包括邊界),所以kPB<kPM<kPA,而kPA=QUOTE=3,kPB=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE<kPM<3,故選B.5.(2013淄博一檢)已知a≤QUOTE+lnx對任意x∈QUOTE恒成立,則a的最大值為(A)(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:設f(x)=QUOTE+lnx=QUOTE+lnx-1,則f'(x)=-QUOTE+QUOTE=QUOTE.當x∈QUOTE時,f'(x)<0,故函數f(x)在QUOTE上單調遞減;當x∈(1,2]時,f'(x)>0,故函數f(x)在(1,2]上單調遞增,∴f(x)min=f(1)=0,∴a≤0,即a的最大值為0.故選A.二、填空題6.電動自行車的耗電量y與速度x之間有關系y=QUOTEx3-QUOTEx2-40x(x>0),為使耗電量最小,則速度應定為.

解析:由y'=x2-39x-40=0,得x=-1或x=40,由于0<x<40時,y'<0;當x>40時,y'>0.所以當x=40時,y有最小值.答案:407.關于x的方程x3-3x2-a=0有三個不同的實數解,則實數a的取值范圍是.

解析:方程可化為a=x3-3x2,設f(x)=x3-3x2,則f'(x)=3x2-6x,由f'(x)>0,得x>2或x<0;由f'(x)<0,得0<x<2,所以f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上單調遞增,在(0,2)上單調遞減,故f(x)在x=0處有極大值,f(0)=0.在x=2處有極小值f(2)=-4.要使方程有三個不同的實根,則有-4<a<0.答案:(-4,0)8.(2013天津模擬)函數f(x)=x3+3ax2+3[(a+2)x+1]既有極大值又有極小值,則a的取值范圍是.

解析:f'(x)=3x2+6ax+3(a+2),令3x2+6ax+3(a+2)=0,即x2+2ax+a+2=0.因為函數f(x)既有極大值又有極小值,所以方程x2+2ax+a+2=0有兩個不相等的實根,即Δ=4a2-4a-8>0,解得a>2或a<-1.答案:a>2或a<-1三、解答題9.(2013銀川模擬)設函數f(x)=alnx-bx2(x>0),(1)若函數f(x)在x=1處與直線y=-QUOTE相切,①求實數a,b的值;②求函數f(x)在QUOTE上的最大值.(2)當b=0時,若不等式f(x)≥m+x對所有的a∈QUOTE,x∈(1,e2]都成立,求實數m的取值范圍.解:(1)①f'(x)=QUOTE-2bx,∵函數f(x)在x=1處與直線y=-QUOTE相切,∴QUOTE解得QUOTE②f(x)=lnx-QUOTEx2,f'(x)=QUOTE-x=QUOTE,當QUOTE≤x≤e時,令f'(x)>0得QUOTE≤x<1;令f'(x)<0,得1<x≤e,∴f(x)在QUOTE上單調遞增,在[1,e]上單調遞減,∴f(x)max=f(1)=-QUOTE.(2)當b=0時,f(x)=alnx,不等式f(x)≥m+x對所有的a∈QUOTE,x∈(1,e2]都成立,即alnx≥m+x對所有的a∈QUOTE,x∈(1,e2]都成立,即m≤alnx-x對所有的a∈QUOTE,x∈(1,e2]都成立,令h(a)=alnx-x,則h(a)為一次函數,m≤h(a)min.∵x∈(1,e2],∴l(xiāng)nx>0,∴h(a)在a∈QUOTE上單調遞增,∴h(a)min=h(0)=-x,∴m≤-x對所有的x∈(1,e2]都成立.∵1<x≤e2,∴-e2≤-x<-1,∴m≤(-x)min=-e2.10.設a為實數,函數f(x)=ex-2x+2a,x∈R.(1)求f(x)的單調區(qū)間與極值;(2)求證:當a>ln2-1且x>0時,ex>x2-2ax+1.(1)解:∵f'(x)=ex-2,由f'(x)<0可得,x<ln2;由f'(x)>0可得x>ln2,所以函數f(x)的單調遞減區(qū)間為(-∞,ln2),單調遞增區(qū)間為(ln2,+∞).當x=ln2時,有極小值f(ln2)=2(1-ln2+a).(2)證明:設g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,于是g'(x)=ex-2x+2a,x∈R.由(1)知當a>ln2-1時,g'(x)的最小值為g'(ln2)=