人教版八年級初二數學第二學期平行四邊形單元測試綜合卷檢測試卷

人教版八年級初二數學第二學期平行四邊形單元測試綜合卷檢測試卷

一、選擇題

1.如圖，中，AB=8C=4,NA=60。，連接60,將BCD繞點、B旋轉,當

BD（即6。'）與AD交于一點E，BC（即8C）與CO交于一點尸時，給出以下結

論：①AE=D/；②NB￡E=60°；③ZDEB=ZDFB：④。石尸的周長的最小值是

4+2省.其中正確的是（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④

2.如圖，在平面直角坐標系中，正方形ABCO的頂點A落在y軸上，點C落在x軸上，

隨著頂點C由原點。向x軸正半軸方向運動，頂點A沿y軸負半軸方向運動到終點。，在

運動過程中8的長度變化情況是（）

o|c-----------

A.一直增大B.一直減小C.先減小后增大D.先增大后減少

3.如圖，正方形ABC。的邊長為定值，E是邊CO上的動點（不與點C,D重合）,AE

交對角線80于點F,FG_LA￡交BC于點G,6”_1_8。于點嘰連結AG交6。于點

N.現(xiàn)給出下列命題：①AF=EG；②DF=DE：③FH的長度為定值；

④GE=BG+DE；⑤BN?+DF2=NF?.真命題有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

4.如圖，菱形ABCD的周長為24,對角線AC、8。交于點O,ZDAB=60°,作于

點H,連接0H,則0H的長為（）

D.

A.2B.3C.26D.473

5.如圖所示，E為正方形ABCD的邊BC延長線上一點，且CE=AC,AE交CD于點F,那

6.如圖，在平行四邊形4BCD中，NC=120°,AD=4,AB=2,點E是折線

5C—CD—ZM上的一個動點（不與A、3重合）.則八鉆石的面積的最大值是（）

A.B.1C.3五D.26

7.如圖，在矩形A8CD中，AB=6,8c=8,E是8c邊上一點，將矩形沿AE折疊，點B落

在點9處，當是直角三角形時，BE的長為（）

A.2B.6C.3或6D.2或3或6

8.如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=8,點E，F(xiàn)分別在AO，BC

上，將紙片ABCO沿直線EE折疊，點C落在AO上的一點”處，點。落在點G處，有

以下四個結論：

①四邊形CEWE是菱形；②EC平分NDCH；③線段的取值范圍為3WB戶W4；④

當點〃與點A重合時，EF=2A/5.

以上結論中，你認為正確的有（）個.

9.如圖，在正方形ABCD中，AB=4,E是CD的中點，將BCE沿BE翻折至BFE,連接

DF,則DF的長度是()

5555

10.如圖，將邊長為8cm的正方形A8CD折疊，使點。落在BC邊的中點E處，點A落在

點F處，折痕為MN,則折痕MN的長是()

A.S&cmB.S亞cmC.cmD.4舊cm

二.填空題

11.在平行四邊形ABCD中，NA=30°,AO=2g,8O=2,則平行四邊形ABCD的面積

等于.

12.如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O,對角線長為1cm,過點。任作一條直線分

別交AD,BC于E,F,則陰影部分的面積是.

13.如圖，菱形ABC。的BC邊在X軸上，頂點。坐標為(—3,0),頂點。坐標為

(0,4),點E在y軸上，線段Eb//x軸，且點尸坐標為(8,6),若菱形ABCO沿x軸左

右運動，連接4E、DF,則運動過程中，四邊形ADKE周長的最小值是.

14.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,E為BC邊上一動點，作EF_LAE,且EF=

AE.連接DF,AF.當DF_LEF時，Z\ADF的面積為.

15.如圖，正方形ABCD的邊長為6,點E、F分別在邊AD、BC上.將該紙片沿EF折疊，

使點A的對應點G落在邊0C上，折痕EF與AG交于點Q,點K為GH的中點，則隨著折

痕EF位置的變化，AGQK周長的最小值為.

16.如圖,在平面直角坐標系中，直線y=gx+l與x軸、y軸分別交于A,B兩點，以AB為

邊在第二象限內作正方形ABCD,則D點坐標是；在y軸上有一個動點M,當

△MDC的周長值最小時，則這個最小值是.

17.如圖，QABCD中，ZDAB=30°,AB=6,BC=2,P為邊CD上的一動點，則2PB+PD

的最小值等于.

18.如圖，在正方形ABCD中，點F為CD上一點，BF與AC交于點E,若NCBF=20。，則

NAED等于_度.

19.己知：一組鄰邊分別為6。篦和10cm的平行四邊形ABC。，NZXB和NABC的平分

線分別交。。所在直線于點E，F(xiàn),則線段EF的長為cm.

20.如圖所示，己知AB=6,點C,。在線段AB上，AC=DB=1,P是線段CD上的動

點，分別以AP,PB為邊在線段AB的同側作等邊△AEP和等邊連接EF,設EF的中

點為G,當點P從點C運動到點D時，則點G移動路徑的長是.

21.如圖，AA8C是等腰直角三角形，AB=AC,。是斜邊8c的中點，民產分別是

AB,AC邊上的點，且DE1DF，若BE=12,CF=5,求線段EF的長.

22.如圖，平行四邊形ABCO的對角線AC、BD交于點、0,分別過點C、。作

CF//BD,DF//AC,連接Bb交AC于點￡.

⑴求證：FCE^BOE；

⑵當NAOC等于多少度時，四邊形。CFD為菱形?請說明理由.

23.如圖，平行四邊形ABC。中，AB=3cm,BC=5cm,N8=6O，G是CE）的中

點，E是邊上的動點，EG的延長線與8C的延長線交于點尸，連接CE,DF.

（1）求證：四邊形CEDR是平行四邊形；

（2）①當AE的長為多少時，四邊形CEDR是矩形；

②當AE=。機時，四邊形CEL正是菱形，（直接寫出答案，不需要說明理由）.

24.已知正方形ABCD.

（1）點P為正方形ABCD外一點，且點P在AB的左側，ZAPB=45°.

①如圖（1）,若點P在DA的延長線上時，求證：四邊形APBC為平行四邊形.

②如圖（2）,若點P在直線AD和BC之間，以AP,AD為鄰邊作OAPQD,連結AQ.求

ZPAQ的度數.

（2）如圖（3）,點F在正方形ABCD內且滿足BC=CF,連接BF并延長交AD邊于點E,過

AJ71

點E作EH_LAD交CF于點H,若EH=3,FH=1,當==；時.請直接寫出HC的長

CF3

25.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB±AC,對角線AC,BD相交于點0,將直線AC繞點

。順時針旋轉一個角度a（0。＜g90。），分別交線段BC,AD于點E,F,連接BF.

（1）如圖1,在旋轉的過程中，求證：0E=0F；

（2）如圖2,當旋轉至90。時，判斷四邊形ABEF的形狀，并證明你的結論;

（3）若AB=1,BC=&\且BF=DF,求旋轉角度a的大小.

26.在正方形ABCD中，點E是CD邊上任意一點，連接AE,過點3作3AE于

F,交AD于

（1）如圖1,過點。作他于G.求證￡）G=FG；

（2）如圖2,點E為。。的中點，連接試判斷存在什么數量關系并說

明理由；

（3）如圖3,AB=1，連接EH,點P為即的中點，在點E從點。運動到點C的過程

中，點P隨之運動，請直接寫出點P運動的路徑長.

27.已知，如圖，在三角形ZVLBC中，AB^AC=20cm,于。，且

3￡>=16c7n.點M從點A出發(fā)，沿AC方向勻速運動，速度為4c，“/s；同時點P由3

點出發(fā)，沿84方向勻速運動，速度為lcvn/s,過點P的動直線PQ//AC,交8c于點

Q,連結PM，設運動時間為f(s)(0<t<5),解答下列問題：

備用圖

(1)線段AD=cm；

(2)求證：PB=PQ-

(3)當f為何值時，以P、Q、D、M為頂點的四邊形為平行四邊形？

28.(1)問題探究：如圖①，在四邊形ABCD中，AB//CD,E是BC的中點，AE是NBAD

的平分線，則線段AB,AD,DC之間的等量關系為；

(2)方法遷移：如圖②，在四邊形ABCD中，AB//CD,AF與DC的延長線交于點F,E是

BC的中點，AE是/BAF的平分線，試探究線段A8,AF,CF之間的等量關系，并證明你的

結論;

(3)聯(lián)想拓展：如圖③，AB//CF,E是BC的中點，點。在線段AE上，NEDF=NBAE,

試探究線段A8,DF,CF之間的數量關系，并證明你的結論.

圖①圖②圖③

29.如圖，四邊形A8C￡>為正方形.在邊上取一點E，連接8E,使NA￡B=60°.

（1）利用尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡）：分別以點3、。為圓心，BC長為半徑作弧交正

方形內部于點T,連接BT并延長交邊AD于點E，則NA￡3=60°；

（2）在前面的條件下，取8E中點M，過點M的直線分別交邊A3、CD于點P、Q.

①當PQL3E時，求證：BP=2AP；

②當PQ=8E時，延長BE,CD交于N點、,猜想NQ與"Q的數量關系，并說明理由.

30.（問題情境）

在△ABC中，AB=AC,點P為BC所在直線上的任一點，過點P作PD_LAB,PEJ.AC,垂足

分別為D、E,過點C作CFJ_AB,垂足為F.當P在BC邊上時（如圖1）,求證：

PD+PE=CF.

圖①圖②圖③

證明思路是：如圖2,連接AP,由AABP與4ACP面積之和等于AABC的面積可以證得：

PD+PE=CF.（不要證明）

（變式探究）

當點P在CB延長線上時，其余條件不變（如圖3）.試探索PD、PE、CF之間的數量關系并

說明理由.

請運用上述解答中所積累的經驗和方法完成下列兩題：

（結論運用）

如圖4,將長方形ABCD沿EF折疊，使點D落在點B上，點C落在點U處，點P為折痕EF

上的任一點，過點P作PG_1.BE、PHXBC,垂足分別為G、H,若AD=8,CF=3,求PG+PH

的值；

（遷移拓展）

4

在直角坐標系中.直線/i：y=--x+4與直線"：y=2x+4相交于點A,直線公匕與x軸分別

3

交于點B、點c.點P是直線12上一個動點，若點P到直線h的距離為1.求點P的坐標.

【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除

一、選擇題

1.B

解析：B

【解析】

【分析】

根據題意可證△48￡空△8DF,可判斷①②③，由△DEF的周長=DE+DF+EF=AD+￡F=4+EF,

則當EF最小時△OEF的周長最小，根據垂線段最短，可得8￡11,4。時?，8￡最小，即EF最

小，即可求此時ABDE周長最小值.

【詳解】

解：'：AB=BC=CD=AD=4,ZA=ZC=60°

:.△ABD,△BCD為等邊三角形，

ZA=ZBDC=60°,

?.?將△BCD繞點8旋轉到△BCD'位置,

：.ZABD'=ZDBC',且AB=BD,ZA=ZDBC,

：.AABE公ABFD,

，AE=DF,BE=BF,NAEB=NBFD,

；.NBED+NBFD=180°,

故①正確，③錯誤；

VZABD=60°,NABE=NDBF,

：.ZEBF=60°,

故②正確

,/ADEF的周長=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF,

...當EF最小時，;△DEF的周長最小.

VZEBF=60°,BE=BF,

...△BEF是等邊三角形，

，EF=BE,

.,.當BE_LA。時，BE長度最小，即EF長度最小，

'：AB=4,ZA=60°,BEYAD,

，EB=25

ADEF的周長最小值為4+2后，

故④正確，

綜上所述：①②④說法正確，

故選:8.

【點睛】

本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，平行四邊形的性質，最短路徑問題，關鍵是

靈活運用這些性質解決問題.

2.D

解析：D

【分析】

根據運動開始，OD是正方形的邊長CO,運動過程中8與。點重合時，是對角線，

在運動A與。點重合，8是邊長A。，可得答案.

【詳解】

從。離開。點到5到。點，8由邊長到對角線在增大，由3離開。點到A到。點，

OD由正方形的對角線減少到正方形的邊長.

故選￡).

【點睛】

本題考查了正方形的性質，8由正方形的邊長到正方形的對角線，再由正方形的對角線

到正方形的邊長.

3.C

解析：c

【分析】

根據題意，連接CF,由正方形的性質，可以得到4ABF絲aCBF,則AF=CF,ZBAF=ZBCF,

由NBAF=/FGC=/BCF,得到AF=CF=FG,故①正確；連接AC,與BD相交于點0,由正方

形性質和等腰直角三角形性質，證明△AOFgZVHG,即可得到EH=A。，則③正確；把

△ADE順時針旋轉90。,得到ZkABM,則證明AMAG絲Z\EAG,得至!|MG=EG,即可得到

EG=DE+BG,故④正確；②無法證明成立，即可得到答案.

【詳解】

解：連接CF,

在正方形ABCD中，AB=BC,ZABF=ZCBF=45°,

在AABF和ACBF中，

AB=BC

<ZABF=ZCBF=45°,

BF=BF

.,.△ABF^ACBF(SAS),

；.AF=CF,NBAF=/BCF,

VFG±AE,

.?.在四邊形ABGF中，ZBAF+ZBGF=360o-90o-90o=180o,

XVZBGF+ZCGF=180",

/.ZBAF=ZCGF,

AZCGF=ZBCF

，CF=FG,

，AF=FG；①正確；

連接AC交BD于O.

?.,四邊形ABCD是正方形，HGXBD,

；./AOF=NFHG=90°,

VZOAF+ZAFO=90°,ZGFH+ZAFO=90",

.".ZOAF=ZGFH,

VFA=FG,

.?.△AOF之△FHG,

FH=OA=定值，③正確；

如圖，把4ADE順時針旋轉90。,得至ijMBM,

；.AM=AE,BM=DE,NBAM=NDAE,

：AF=FG,AF_LFG,

???△AFG是等腰直角三角形，

.".ZFAG=45",

ZMAG=ZBAG+ZDAE=45",

ZMAG=ZFAG,

在AAMG和AAEG中，

AM=AE

<ZEAG=ZMAG=45°,

AG=AG

.".△AMG^AAEG,

；.MG=EG,

VMG=MB+BG=DE+BG,

.\GE=DE+BG,故④正確；

如圖，AADE順時針旋轉90。,得到AABM,記F的對應點為P,連接BP、PN,

則有BP=DF,ZABP=NADB=45°,

,/ZABD=45°,

，NPBN=90°,

；.BP2+BN2=PN2,

由上可知AAFG是等腰直角三角形，NFAG=45°,

，ZMAG=ZBAG+ZDAE=45°,

AZMAG=ZFAG,

在AANP和AANF中，

AP=AF

-ZEAG=ZMAG=45°,

AN=AN

.?.△ANP彩△ANF,

；.PN=NF,

.?.BP2+BN2=NF2,

即DF2+BN2=NF2,

故⑤正確；

根據題意，無法證明②正確，

二真命題有四個，

故選C.

【點睛】

本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質等知識，解題的關鍵是作輔助線構造

出等腰三角形和全等三角形.

4.B

解析：B

【解析】

【分析】

由菱形四邊形相等、OD=OB,且每邊長為6,再有NDAB=60。，說明△DAB為等邊三角

形，由?？傻肁H=HB（等腰三角形三線合一），可得0H就是AD的一半，即可完

成解答。

【詳解】

解：?.?菱形A8C。的周長為24

.?.AD=BD=24+4=6,OB=OD

由YNDAB=60°

.?.△DAB為等邊三角形

又?:DH^AB

.：AH=HB

I

：.OH=-AD=3

2

故答案為B.

【點睛】

本題考查了菱形的性質、等邊三角形、三角形中位線的知識，考查知識點較多，提升了試

題難度，但抓住雙基，本題便不難。

5.A

解析：A

【解析】

【分析】

根據等邊對等角的性質可得/E=/CAE,然后根據正方形的對角線平分一組對角以及三角

形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式求出/E=22.5。，再根據三角形的一個

外角等于與它不相鄰的兩個內角的和列式計算即可得解.

【詳解】

解：VCE=AC,

，NE=NCAE,

VAC是正方形ABCD的對角線，

ZACB=45°,

二/E+/CAE=45°,

：.ZE=-X450=22.5°,

2

在4CEF中，NAFC=NE+NECF=22.5°+90°=112.5°.

故答案為：A.

【點睛】

本題考查了正方形的性質，等腰三角形的性質，主要利用了正方形的對角線平分一組對

角，等邊對等角，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，熟記性質是

解題的關鍵.

6.D

解析：D

【分析】

分三種情況討論：①當點E在BC上時，高一定，底邊BE最大時面積最大；②當E在CD

上時，4ABE的面積不變；③當E在AD上時，E與D重合時，^ABE的面積最大，根據三

角形的面積公式可得結論.

【詳解】

解：分三種情況：

①當點E在BC上時，E與C重合時，4ABE的面積最大，如圖1,

過A作AF_LBC于F,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形,

；.AB〃CD,

ZC+ZB=180°,

VZC=120°,

，/B=60°,

RtZ\ABF中，NBAF=30°,

.\BF=yAB=l,AF=6,

此時AABE的最大面積為：,X4XG=2G；

2

②當E在CD上時，如圖2,此時，4ABE的面積=LSSBCD=LX4XJ5=26；

22

③當E在AD上時，E與D重合時，4ABE的面積最大，此時，4ABE的面積=26,

綜上，AABE的面積的最大值是26；

故選：D.

【點睛】

本題考查平行四邊形的性質，三角形的面積，含30°的直角三角形的性質以及勾股定理等

知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，并運用分類討論的思想解決問題.

7.C

解析：C

【分析】

分以下兩種情況求解：①當點8,落在矩形內部時，連接AC,先利用勾股定理計算出AC

=10,根據折疊的性質得/A8'E=/8=90°,而當EC為直角三角形時，只能得到

ZEB'C=90°,所以點A、、C共線，即NB沿AE折疊，使點8落在對角線AC上的

點B'處，則EB=EB',AB=AB'=6,可計算出CB'=4,設BE=X,則EB'=X,CE=

8-x,然后在RtaCEB'中運用勾股定理可計算出x.

②當點夕落在AD邊上時.此時四邊形ABEB，為正方形，求出BE的長即可.

【詳解】

解：當aB'EC為直角三角形時，有兩種情況：

①當點夕落在矩形內部時，如圖1所示.連結AC,

在Rt"8C中，AB=6,BC=8,

???AC=78WT6r=10，

沿AE折疊，使點B落在點8,處，

AZAB'E=NB=90",

當AB'EC為直角三角形時，得到/EB'C=90°,

...點A、B'、C共線，即NB沿AE折疊，使點B落在對角線AC上的點夕處，如圖,

：.EB=EB',AB=AB'=6,

CB'=10-6=4,

設BE=x,則EB'=x,CE=8-x,

在RtZXB'EC中，

'：EB'2+CB'2=c。，

；.X2+42=(8-x)2,

解得x—3,

：.BE=3；

②當點B'落在A。邊上時，如圖2所示.

圖2

此時A8EB'為正方形，

：.BE=AB^6.

綜上所述，8E的長為3或6.

故選：C.

【點睛】

本題考查了折疊變換的性質、直角三角形的性質、矩形的性質，正方形的判定等知識；熟

練掌握折疊變換的性質，由勾股定理得出方程是解題的關鍵.

8.C

解析：C

【分析】

①先判斷出四邊形CFHE是平行四邊形，再根據翻折的性質可得CF=FH,然后根據鄰邊相等

的平行四邊形是菱形證明，判斷出①正確；

②根據菱形的對角線平分一組對角線可得NBCH=/ECH,然后求出只有NDCE=30°時EC平

分NDCH,判斷出②錯誤；

③點H與點A重合時，設BF=x,表示出AF=FC=8-x,利用勾股定理列出方程求解得到BF的

最小值，點G與點D重合時，CF=CD,求出最大值BF=4,然后寫出BF的取值范圍，判斷

出③正確；

④過點F作FM_LAD于M,求出ME,再利用勾股定理列式求解得到EF,判斷出④正確.

【詳解】

解：

①：FH與CG,EH與CF都是矩形ABCD的對邊AD、BC的一部分,

；.FH〃CG,EH〃CF,

.??四邊形CFHE是平行四邊形，

由翻折的性質得，CF=FH,

二四邊形CFHE是菱形，（故①正確）；

②，NBCH=NECH,

，只有NDCE=30°時EC平分NDCH,（故②錯誤）；

③點H與點A重合時，此時BF最小,設BF=x,則AF=FC=8-x,

在RtZ\ABF中，AB2+BF2=AF2,

gp42+X2=（8-X）2,

解得x=3,

點G與點D重合時，此時BF最大，CF=CD=4,

；.BF=4,

...線段BF的取值范圍為3WBFW4,（故③正確）；

過點F作FM1AD于M,

則ME=（8-3）-3=2,

由勾股定理得，

EF=4MF?+ME^=J42+2?=2#），（故④正確）：

綜上所述，結論正確的有①③④共3個，

故選C.

【點睛】

本題考查了翻折變換的性質，菱形的判定與性質，勾股定理的應用，難點在于靈活運用菱

形的判定與性質與勾股定理等其它知識有機結合.

9.D

解析：D

【分析】

由勾股定理可求BE的長，由折疊的性質可得CE=EF=2,BE1CF,FH=CH,由面積法可求

CH=3I,由勾股定理可求EH的長，由三角形中位線定理可求DF=2EH=±四.

55

【詳解】

解：如圖，連接CF,交BE于H,

;在正方形ABCD中,AB=4,E是CD的中點,

ABC=CD=4,CE=DE=2,ZBCD=90°,

BE=y/BC2+CE2=716+4=275，

:將"CE沿BE翻折至ABFE,

???CE=EF=2,BE1CF,FH=CH,

11

VSABCE=—xBExCH=—xBCxCE,

_46

----，

5

VCE=DE,FH=CH,

.?.DF=2EH=^^,

5

故選：D.

【點睛】

本題考查了翻折變換，正方形的性質，全等三角形的判定與性質，掌握折疊的性質是本題

的關鍵.

10.D

解析：D

【分析】

連接。E,因為點D是中點，所以CE等于4,根據勾股定理可以求出。E的長，過點M作

/MG_LCD于點G,則由題意可知MG=8C=CD,證明△/WNG絲可以得到。E=/MN,

即可解決本題.

【詳解】

由題意，在RtZ\OCE中，CE=4cm,CD—8cm,

由勾股定理得：DE=y]cE2+CD2=A/42+82=4A/5cm.

過點M作MGLCD于點G,則由題意可知MG=BC=CD.

連接DE,交MG于點/.

由折疊可知，OE_L/WN,：.ZNMG+MIE=90°,

VZD/G+ZEDC=90°,NMIE=/DIG(對頂角相等)，

：.NNMG=NEDC.

在/XMNG與△￡)氐：中，

NNMG=NEDC

<MG=CD

NMGN=NDCE=90°

:.AMNGm/XDEC(.ASA).

MN=DE=4后cm.

故選D.

【點睛】

本題主要考查了正方形的性質、折疊以及全等三角形，能夠合理的作出輔助線并找出全等

的條件是解決本題的關鍵.

二、填空題

11.4百或2百

【分析】

分情況討論作出圖形，通過解直角三角形得到平行四邊形的底和高的長度，根據平行四邊

形的面積公式即可得到結論.

【詳解】

解：過。作于E,

在RtAADE中，ZA=30°.AD=26，

:.DE=-AD=yii,AE=￡AD=3,

22

在中，BD=2,

：.BE=y/BD2-DE2=422-電丫=1)

：.AB=4,

二平行四邊形ABC。的面積=4?￡>E=4xa=46，

如圖2,

D

AB=2,

，平行四邊形ABC。的面積=A8DE=2x6=2/，

在RtAABE中，設AE=尤，貝IJOE=26-X，

ZA=30°,B￡=—x.

3

在RtZ\5DE中，BD=2,

22=(y-x)2+(2^-x)2,

x=V3.x=26(不合題意舍去)，

；.BE=1,

■.平行四邊形ABC。的面積=AOBE=1x26=26，

如圖4,

當ADL8O時，平行四邊形ABC。的面積=A￡>80=46，

故答案為：4G或.

【點睛】

本題考查了平行四邊形的性質，平行四邊形的面積公式的運用、30度角的直角三角形的性

質，根據題意作出圖形是解題的關鍵.

12.-cm"

8

【分析】

根據正方形的性質可以證明△AEO&CFO,就可以得出SAAEO=SACFO，就可以求出AAOD面積

等于正方形面積的L,根據正方形的面積就可以求出結論.

【詳解】

解：如圖:

???正方形ABCD的對角線相交于點。，

/.△AEO與△CFO關于0點成中心對稱，

.'.△AEO^CFO,

SAAEO—SACFO,

SAAOD—SADEO+SACFO,

???對角線長為lcm,

?1-1,

-?S正方形ABCD=-x1x1=—cm2,

22

2

.*.SAAOD=-cm,

8

...陰影部分的面積為:cm?.

o

故答案為：1cm2.

o

【點睛】

本題考查了正方形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用正方形的面積及三角形

的面積公式的運用，在解答時證明△AEOgCF。是關鍵.

13.18

【分析】

由題意可知AD、EF是定值，要使四邊形ADFE周長的最小，AE+DF的和應是最小的，運

用"將軍飲馬"模型作點E關于AD的對稱點Ei,同時作DF〃AFi,此時AE+DF的和即為

EiFi,再求四邊形4DEE周長的最小值.

【詳解】

在Rt/XCOD中，0C=3,0D=4,

CD=7OC2+OD2=5'

ABC。是菱形，

.".AD=CD=5,

,/F坐標為(8,6),點E在軸上，

；.EF=8,

作點E關于AD的對稱點Ei,同時作DF〃AFi,

貝ljEi(0,2),Fi(3,6),

則EiFi即為所求線段和的最小值，

在RtAAEiFi中，E1F1=jEE：+EFj2=J(6-2)2+(8-5)2=5，

四邊形ADFE周長的最小值=AD+EF+AE+DF=AD+EF+EiFi=5+8+5=18.

本題考查菱形的性質、"將軍飲馬”作對稱點求線段和的最小值，比較綜合，難度較大.

14.3一逑

2

【分析】

作輔助線，構建全等三角形和矩形，利用面積法可得AE的長，根據勾股定理可得BE的

長，設AE=x,證明△ABEW^EQF(AAS),得FQ=BE=0,最后根據三角形面積公式

可得結論.

【詳解】

解：如圖，過D作DHJ_AE于H,過E作EM_LAD于M,連接DE,

VEF±AE,DF1EF,

NDHE=/HEF=NDFE=90°,

四邊形DHEF是矩形，

；.DH=EF=AE,

?..四邊形ABCD是矩形，

NB=NBAD=90°,

VZAME=90",

，四邊形ABEM是矩形，

，EM=AB=2,

設AE=x,

則SAADE=-ADEM=-AEDH,

22

.?.3X2=X2,

.*.X=±y/6，

Vx>0,

**-X—，

即AE=娓,

由勾股定理得：BE=J(遙)2—2?=丘,

過F作PQ〃CD,交AD的延長線于P,交BC的延長線于Q,

AZQ=ZECD=ZB=90°,ZP=ZADC=90°,

,/ZBAE+ZAEB=NAEF=NAEB+NFEQ=90°,

NFEQ=NBAE,

；AE=EF,/B=NQ=90°,

.二△ABE空ZXEQF(AAS),

-,.FQ=BE=V2>

；.PF=2-72，

.,.SAADF=-ADPF=-X3X(2->/2)=3-逑.

222

【點睛】

此題主要考查了矩形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，有難度，正確作輔助

線構建全等三角形是關鍵，并用方程的思想解決問題.

15.3+3石.

【分析】

取AB的中點M,連接DQ,QM,DM.證明QM=QK,QG=DQ,求出DQ+QM的最小值

即可解決問題.

【詳解】

取AB的中點M,連接DQ,QM,DM.

,四邊形ABC。是正方形，

：.AD=AB=6,NOAM=NADG=90",

；A/W=8M=3,

DM=>JAB2+AM2-46?+3?=3逐，

,:GK=HK,AB,GH關于EF對稱，

AQM=QK,

VZADG=90°,AQ=QG,

：.DQ=AQ=QG,

；△QGK的周長=GK+QG+QJ=3+DQ+QM.

又：DQ+QMNDM,

：.DQ+QM^3y/5，

△QGK的周長的最小值為3+3亞，

故答案為3+34.

【點睛】

本題考查了折疊的性質、正方形的性質、勾股定理、最值問題，解題的關鍵是取AB的中

點M,確定QG+QK=QD+QM,屬于中考常考題型.

16.(-3,2)75+V17

【分析】

如圖(見解析)，先根據一次函數的解析式可得點A、B的坐標，從而可得OA、OB、AB

的長，再根據正方形的性質可得44￡>=90。，DA=AB，然后根據三角形全等的判定定

理與性質可得AE=OB,DE=OA,由此即可得出點D的坐標；同樣的方法可求出點C的

坐標，再根據軸對稱的性質可得點C的坐標，然后根據軸對稱的性質和兩點之間線段最短

得出△MDC的周長值最小時，點M的位置，最后利用兩點之間的距離公式、三角形的周

長公式即可得.

【詳解】

如圖，過點D作OEJ_x軸于點E,作點C關于y軸的對稱點C,交y軸于點F,連接

C'D,交y軸于點M'，連接C'M，則軸

對于y=gx+1

當y=0時，gx+i=o,解得％=一2,則點A的坐標為A(—2,0)

當x=0時，y=l,則點B的坐標為8(0,1)

OA=2,OB=1,AB=yJO^+OB2=逐

四邊形ABCD是正方形

.-.ZS4D=90°,CD=DA=AB=y/5

：.ZDAE+ZOAB=ZABO+ZOAB=90°

ZDAE=ZABO

ZAED=NBOA=90°

在ADE和BAO中，,=

DA=AB

ADE=BAO(AAS)

，AE=Q8=1,OE=OA=2

：.OE=OA+AE=2+i=3

則點D的坐標為。(—3,2)

同理可證：CBF=BAO

.-.CF=OB=\,BF=OA=2

;.OF=OB+BF=l+2=3

則點C的坐標為C(—1,3)

由軸對稱的性質得：點C'的坐標為C'(l,3),且。0=C'N

：./\MDC的周長為CO+OM+CM=6+OM+C'M

由兩點之間線段最短得：當點M與點M'重合時，DM+CM取得最小值DC

0(-3,2),C(1,3)

DC=7(-3-1)2+(2-3)2=V17

則^MDC的周長的最小值為75+0^=75+717

本題是一道較難的綜合題，考查了正方形的性質、三角形全等的判定定理與性質、軸對稱

的性質等知識點，正確找出的周長最小時，點M的位置是解題關鍵.

17.6

【分析】

過點P作PELAD交AD的延長線于點E,根據四邊形ABCD是平行四邊形，得至ljAB〃CD,

推出PE=^PD,由此得到當PB+PE最小時2PB+PD有最小值，此時P、B、E三點在同一條

2

直線上，利用NDAB=30°,/AEP=90°,AB=6求出PB+PE的最小值=工AB=3,得到2PB+

2

PD的最小值等于6.

【詳解】

過點P作PE±AD交AD的延長線于點E,

?.?四邊形ABCD是平行四邊形，

，AB〃CD,

AZEDC=ZDAB=30°,

1

，PE=—PD,

2

V2PB+PD=2(PB+JPD)=2(PB+PE),

.?.當PB+PE最小時2PB+PD有最小值，此時P、B、E三點在同一條直線上,

VZDAB=30°,/AEP=90°,AB=6,

.".PB+PE的最小值=工人8=3,

2

.?.2PB+PD的最小值等于6,

故答案為：6.

【點睛】

此題考查平行四邊形的性質，直角三角形含30。角的問題，動點問題，將線段2PB+PD轉化

為三點共線的形式是解題的關鍵.

18.65

【分析】

先由正方形的性質得到NABF的角度，從而得到/AEB的大小，再證△AEBgZ\AED,得到

ZAED的大小

【詳解】

?四邊形ABCD是正方形

ZACB=ZACD=ZBAC=ZCAD=45°,ZABC=90°,AB=AD

VZFBC=200,.\ABF=70o

.,.在△ABE中，ZAEB=65°

在aABE與AADE中

AB=AD

<NBAE=NEAD=45°

AE^AE

.".△ABE^AADE

.,.ZAED=ZAEB=65°

故答案為:65°

【點睛】

本題考查正方形的性質和三角形全等的證明，解題關鍵是利用正方形的性質，推導出

ZAEB的大小.

19.2或14

【分析】

利用當AB=10cm,AD=6cm,由于平行四邊形的兩組對邊互相平行，又AE平分NBAD,由此

可以推出所以NBAE=/DAE,則DE=AD=6cm；同理可得：CF=CB=6cm,而EF=CF+DE-DC,

由此可以求出EF長：同理可得：當AD=10cm,AB=6cm時，可以求出EF長

【詳解】

解：如圖如當AB=10cm,AD=6cm

1.,AE平分NBAD

ZBAE=ZDAE,

又ADIICB

ZEAB=ZDEA,

ZDAE=ZAED,則AD=DE=6cm

同理可得：CF=CB=6cm

?/EF=DE+CF-DC=6+6-10=2(cm)

如圖2,當AD=10cm,AB=6cm,

AE平分nBAD,

ZBAE=ZDAE

XVADIICB

ZEAB=ZDEA,

ZDAE=ZAED貝AD=DE=10cm

同理可得，CF=CB=10cmEF=DE+CF-DC=10+10-6=14(cm)

故答案為：2或14.

圖1圖2

【點睛】

本題主要考查了角平分線的定義、平行四邊形的性質、平行線的性質等知識，關鍵是平行

四邊形的不同可能性進行分類討論.

20.2

【分析】

分別延長AE,BF交于點H,易證四邊形EPFH為平行四邊形，得出點G為PH的中點，則

G的運動軌跡為aHCD的中位線MN,再求出CD的長度，運用中位線的性質求出MN的長

度即可.

【詳解】

解：如圖，分別延長AE,BF交于點H,

：NA=NFPB=60°,

AAHIIPF,

VZB=ZEPA=600,

ABHIIPE

，四邊形EPFH為平行四邊形，

，EF與HP互相平分，

；點G為EF的中點，

...點G為PH的中點，即在P運動的過程中，G始終為PH的中點，

：.G的運動軌跡為△?口的中位線MN,

VCD=6-1-1=4,

.?.MN=-CD=2,

2

，點G移動路徑的長是2,

故答案為：2.

【點睛】

本題考查了等邊三角形及中位線的性質，以及動點的問題，是中考熱點，解題的關鍵是得

出G的運動軌跡為aHCD的中位線MN.

三、解答題

21.EF=13.

【分析】

首先連接AD,由aABC是等腰直角三角形，AB=AC,D是斜邊BC的中點，可得：AD=DC,

ZEAD=ZC=45°,AD±BC,g|JZCDF+ZADF=90°,又DE_LDF,可得：ZEDA+ZADF=90°,故

ZEDA=ZCDF,從而可證：AAED絲Z\CFD；根據全等三角形的性質得到AE=CF=5,進而得

出BE=AF=12.然后在RtZ\AEF中，運用勾股定理可將EF的值求出；

【詳解】

解：連接4。

B

?「△ABC是等腰直角三角形，AB=AC,。是斜邊8c的中點，

/.AD=DC=DB,AD±BCf

/.ZBAD=NC=45°,

ZEDA+NADF=90°,

又:ZCDF+NADF=90°,

ZEDA=Z.CDF.

在小AED與4CFD中，

NEDA=ZFDC

<AD=CD,

NEAD=ZC

△AED^△CFD(ASA).

AE=CF=5.

AB=AC,

：.BE=AF=12.

在RtAAEF中，

ZEAF=90°,

EF2=AE2+AF2=52+122=169-

EF=13.

【點睛】

本題考查等腰直角三角形，直角三角形斜邊上的中線，掌握等腰三角形“三線合一”的性

質、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質為解題關鍵.

22.(1)見解析；(2)當ADC滿足NADC=90°時，四邊形OCED為菱形，證明詳

見解析

【分析】

(1)證明四邊形OCFD是平行四邊形，得出OD=CF,證出OB=CF,再證明全等即可(2)

證出四邊形ABCD是矩形，由矩形的性質得出OC=OD,即可得出四邊形OCFD為菱形.

【詳解】

(1)證明:CFHBD,DFIIAC,

四邊形OCFD是平行四邊形，NOBE=ZCFE,

OD=CF,

?Z四邊形ABC。是平行四邊形，

/.OB=OD,

OB=CF,

ZOBE=ZCFE

在△/CE和ABQE中，＜NBEO=ZFEC,

OB=CF

：.FCE^BOE(AAS).

⑵當AOC滿足NA￡)C=90°時，四邊形OCRD為菱形.理由如下：

???NAOC=90°,四邊形ABC。是平行四邊形，

...四邊形ABCO是矩形

/.OA=OC,OB=OD,AC=BD,

...OC=OD,

四邊形OCED為菱形

【點睛】

本題考查全等三角形判定與性質，平行四邊形和菱形的判定與性質等知識，熟練掌握平行

四邊形的判定和性質和菱形的判定是解題的關鍵.

23.(1)證明見解析；(2)①當AE=3.5時，平行四邊形CEDF是矩形；②2

【分析】

(1)證明△FCGWz^EDG(ASA),得到FG=EG即可得到結論；

(2)①當AE=3.5時，平行四邊形CEDF是矩形.過A作AM_LBC于M,求出BM=1.5,根據

平行四邊形的性質得到N