2024屆廣東省七校聯(lián)合體數學高二第二學期期末教學質量檢測模擬試題含解析

2024屆廣東省七校聯(lián)合體數學高二第二學期期末教學質量檢測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數在區(qū)間上有最大值無最小值，則實數的取值范圍（）A． B． C． D．2．下列命題正確的是（）A．若，則B．“”是“”的必要不充分條件C．命題“”、“”、“”中至少有一個為假命題D．“若，則，全為0”的逆否命題是“若，全不為0，則”3．若，則“復數的共軛復數在復平面內對應的點在第二象限”是“”（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．命題，，則為（）A．， B．，C．， D．，5．的展開式中的系數是（）A．16 B．70 C．560 D．11206．某班4名同學參加數學測試，每人通過測試的概率均為，且彼此相互獨立，若X為4名同學通過測試的人數，則D（X）的值為（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知i是虛數單位，則復數的共軛復數在復平面內對應的點所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．的展開式中只有第5項二項式系數最大，則展開式中含項的系數是（）A． B． C． D．9．已知，設函數若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為（）A． B． C． D．10．已知函數，若方程有兩個相異實根，且，則實數的值等于（）A．-2或2 B．-2 C．2 D．011．已知為雙曲線的右焦點，過原點的直線與雙曲線交于，兩點，若且的周長為，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．12．若偶函數在上單調遞減，，，，則、、滿足（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設，.已知矩陣，其中，，那么B=________.14．有甲、乙、丙三項不同任務，甲需由人承擔，乙、丙各需由人承擔，從人中選派人承擔這三項任務，不同的選法共有__________種．（用數字作答）15．在極坐標系中，若過點（3，0）且與極軸垂直的直線交曲線于A、B兩點，則="______________________."16．已知復數z＝(m＋1)＋(m﹣2)i是純虛數（i為虛數單位），則實數m的值為_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在矩形中，，，是的中點，以為折痕將向上折起，變?yōu)?，且平面平面．?）求證：；（2）求二面角的大?。?8．（12分）已知．（Ⅰ）討論的單調性；（Ⅱ）當時，證明對于任意的成立．19．（12分）已知二階矩陣A=abcd，矩陣A屬于特征值λ1=-1的一個特征向量為α120．（12分）已知直線的極坐標方程為，曲線的參數方程為（為參數）（Ⅰ）求直線的直角坐標方程和曲線的普通方程;（Ⅱ）若過且與直線垂直的直線與曲線相交于兩點，，求.21．（12分）已知函數.（1）若函數與相切于點，求的值；（2）若是函數圖象的切線，求的最小值.22．（10分）（．在一次購物抽獎活動中，假設某10張券中有一等獎獎券1張，可獲價值50元的獎品；有二等獎獎券3張，每張可獲價值10元的獎品；其余6張沒獎．某顧客從此10張獎券中任抽2張，求：（1）該顧客中獎的概率；（2）該顧客獲得的獎品總價值X（元）的概率分布列．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

先求導，得到函數的單調區(qū)間，函數在區(qū)間上有最大值無最小值，即導數的零點在上，計算得到答案.【題目詳解】設函數在區(qū)間上有最大值無最小值即在有零點，且滿足：即故答案選C【題目點撥】本題考查了函數的最大值和最小值問題，將最值問題轉為二次函數的零點問題是解題的關鍵.2、C【解題分析】分析：根據命題條件逐一排除求解即可.詳解：A.若，則,當a為0時此時結論不成立，故錯誤；B.“”是“”的必要不充分條件，當x=4時成立，故正確結論應是充分不必要；D.“若，則，全為0”的逆否命題是“若，全不為0，則”應該是若，不全為0，故錯誤，所以綜合可得選C點睛：考查對命題的真假判定，此類題型逐一對答案進行排除即可，但注意思考的全面性不可以掉以輕心，屬于易錯題.3、C【解題分析】

先將復數化簡成形式，得其共軛復數，通過對應的點在第二象限求出的取值范圍，即可判斷與的關系．【題目詳解】，所以共軛復數，因為共軛復數在復平面內對應的點在第二象限所以，解得所以“復數的共軛復數在復平面內對應的點在第二象限”是“”充要條件，故選C【題目點撥】本題考查復數的基本運算與充要關系，解題的關鍵是先通過條件求出的取值范圍，屬于一般題．4、C【解題分析】

含有一個量詞命題的否定方法：改變量詞，否定結論.【題目詳解】量詞改為：，結論改為：，則，.故選：C.【題目點撥】本題考查含一個量詞命題的否定，難度較易.含一個量詞命題的否定方法：改量詞，否結論.5、D【解題分析】

設含的為第，所以，故系數為：，選D．6、A【解題分析】

由題意知X～B（4，），根據二項分布的方差公式進行求解即可．【題目詳解】∵每位同學能通過該測試的概率都是，且各人能否通過測試是相互獨立的，∴X～B（4，），則X的方差D（X）＝4（1）＝1，故選A．【題目點撥】本題主要考查離散型隨機變量的方差的計算，根據題意得到X～B（4，）是解決本題的關鍵．7、A【解題分析】

先將復數化為代數形式，再根據共軛復數的概念確定對應點，最后根據對應點坐標確定象限.【題目詳解】解：∵，∴，∴復數z的共軛復數在復平面內對應的點的坐標為（），所在的象限為第一象限．故選：A．點睛：首先對于復數的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如.其次要熟悉復數相關基本概念，如復數的實部為、虛部為、模為、對應點為、共軛為8、C【解題分析】

根據只有第5項系數最大計算出，再計算展開式中含項的系數【題目詳解】只有第5項系數最大,展開式中含項的系數,系數為故答案選C【題目點撥】本題考查了二項式定理，意在考查學生的計算能力.9、C【解題分析】

先判斷時，在上恒成立；若在上恒成立，轉化為在上恒成立．【題目詳解】∵，即，（1）當時，，當時，，故當時，在上恒成立；若在上恒成立，即在上恒成立，令，則，當函數單增，當函數單減，故，所以．當時，在上恒成立；綜上可知，的取值范圍是，故選C．【題目點撥】本題考查分段函數的最值問題，關鍵利用求導的方法研究函數的單調性，進行綜合分析．10、C【解題分析】分析：利用導數法，可得當x=﹣1時，函數取極大值m+2，當x=1時，函數取極小值m﹣2，結合方程f（x）=0有兩個相異實根x1，x2，且x1+x2＜0，可得答案．詳解：∵函數f（x）=x3﹣3x+m，∴f′（x）=3x2﹣3，令f′（x）=0，則x=±1，當x＜﹣1，或x＞1時，f′（x）＞0，f（x）為增函數；當﹣1＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）為減函數；故當x=﹣1時，函數取極大值m+2，當x=1時，函數取極小值m﹣2，又∵方程f（x）=0有兩個相異實根x1，x2，且x1+x2＜0，∴m﹣2=0，解得m=2，故選：C．點睛：本題考查的知識點是利用導數法研究函數的極值，方程根的個數判斷，難度中檔．對于函數的零點問題，它和方程的根的問題，和兩個函數的交點問題是同一個問題，可以互相轉化；在轉化為兩個函數交點時，如果是一個常函數一個含參的函數，注意讓含參的函數式子盡量簡單一些。11、D【解題分析】

設雙曲線的另一個焦點為，則根據雙曲線的對稱性得為矩形，，由條件可得，由雙曲線的定義，再由勾股定理可解得離心率.【題目詳解】設雙曲線的另一個焦點為，由.根據雙曲線的對稱性得為矩形，如圖，.又的周長為，則…………①.由雙曲線的定義………………②由①，②得.在直角三角形中,.則，即，所以.故選：D【題目點撥】本題考查雙曲線的對稱性和定義，求雙曲線的離心率，屬于難題.12、B【解題分析】

由偶函數的性質得出函數在上單調遞增，并比較出三個正數、、的大小關系，利用函數在區(qū)間上的單調性可得出、、的大小關系.【題目詳解】偶函數在上單調遞減，函數在上單調遞增，，，，，，故選：B.【題目點撥】本題考查利用函數的單調性比較函數值的大小關系，解題時要利用自變量的大小關系并結合函數的單調性來比較函數值的大小，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據條件列方程組，解得結果.【題目詳解】由定義得，所以故答案為：【題目點撥】本題考查矩陣運算，考查基本分析求解能力，屬基礎題.14、60【解題分析】分析：先從5人中選4人（組合），再給4個人分派3項任務，甲需2人，乙、丙各需由人。詳解：先從5人中選4人（組合），再給4個人分派3項任務，甲需2人，乙、丙各需由人（乙、丙派的人不一樣故要排列）。共有60種。點睛：分配問題，先分組（組合）后分派（排列）。15、【解題分析】

解：過點（3，0）且與極軸垂直的直線方程為x=3，曲線ρ=1cosθ即ρ2=1ρcosθ，即x2+y2=1x，（x-2）2+y2=1．把x=3代入（x-2）2+y2=1可得y=±，故|AB|=216、-1.【解題分析】分析：由復數的實部等于0且虛部不等于0列式求解m的值.詳解：由復數是純虛數，得，解得.故答案為-1.點睛：本題考查了復數的基本概念，考查了復數是純虛數的條件.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見證明；（2）90°【解題分析】

（1）利用垂直于所在的平面，從而證得；（2）找到三條兩兩互相垂直的直線，建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，再分別求出兩個面的法向量，，最后求法向量的夾角的余弦值，進而得到二面角的大小.【題目詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，∵，，，∴，，∴.（2）如圖建立空間直角坐標系，則、、、、，從而，，.設為平面的法向量，則令，所以，設為平面的法向量，則，令，所以，因此，，有，即，故二面角的大小為.【題目點撥】證明線線垂直的一般思路：證明一條直線垂直于另一條直線所在的平面，所以根據題目所給的圖形，觀察并確定哪一條線垂直于哪一條線所在的平面，是證明的關鍵.18、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析【解題分析】試題分析：（Ⅰ）求的導函數，對a進行分類討論，求的單調性；（Ⅱ）要證對于任意的成立，即證，根據單調性求解.試題解析：（Ⅰ）的定義域為；.當，時，，單調遞增；，單調遞減.當時，.（1），，當或時，，單調遞增；當時，，單調遞減；（2）時，，在內，，單調遞增；（3）時，，當或時，，單調遞增；當時，，單調遞減.綜上所述，當時，函數在內單調遞增，在內單調遞減；當時，在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增；當時，在內單調遞增；當，在內單調遞增，在內單調遞減，在內單調遞增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，時，，，令，.則，由可得，當且僅當時取得等號.又，設，則在單調遞減，因為，所以在上存在使得時，時，，所以函數在上單調遞增；在上單調遞減，由于，因此，當且僅當取得等號，所以，即對于任意的恒成立?！究键c】利用導函數判斷函數的單調性，分類討論思想.【名師點睛】本題主要考查導數的計算、應用導數研究函數的單調性、分類討論思想.本題覆蓋面廣，對考生計算能力要求較高，是一道難題.解答本題，準確求導數是基礎，恰當分類討論是關鍵，易錯點是分類討論不全面、不徹底、不恰當，或因復雜式子變形能力差，而錯誤百出.本題能較好地考查考生的邏輯思維能力、基本計算能力、分類討論思想等.19、A=【解題分析】

運用矩陣定義列出方程組求解矩陣A【題目詳解】由特征值、特征向量定義可知，Aα即abc同理可得3a+2b=12,3c+2d=8.解得a=2，b=3，c=2，d=1.因此矩陣【題目點撥】本題考查了由矩陣特征值和特征向量求矩陣，只需運用定義得出方程組即可求出結果，較為簡單20、（Ⅰ），（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）根據極坐標與直角坐標的互化公式，即可求得直線的直角坐標方程，消去參數，即可求得曲線的普通方程；（Ⅱ）求得直線的參數方程，代入橢圓的方程，利用直線參數的幾何意義，即可求解．【題目詳解】（Ⅰ）由直線極坐標方程為，根據極坐標與直角坐標的互化公式，可得直線直角坐標方程：，由曲線的參數方程為（為參數），則，整理得，即橢圓的普通方程為．（Ⅱ）直線的參數方程為，即（為參數）把直線的參數方程代入得：，故可設，是上述方程的兩個實根，則有又直線過點，故由上式及的幾何意義得：.【題目點撥】本題主要考查了極坐標方程與直角坐標方程，以及參數方程與普通方程的互化，以及直線參數的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．21、（1）；（2）【解題分析】

（1）利用函數與相切于點，切線即可求的值.（2）若是函數圖象的切線，設切點，表達函數的切線方程，表達，構造新函數，求其最小值即可.【題目詳解】（1）由函數，則，，.所以，.（2）設切點，則切線方程為，即，亦即，由題意得.∴令.當時，在上單調遞減；當時，在上單調遞增；∴∴的最小值為.【題目點撥】本題考查了導數的幾何意義以及利用導數研究函數的最值，解題的關鍵是熟記基本初等函數的導數，屬于中檔題.22、（1）；（2）分布列見解析.【解題分析】

⑴運用古典概率方法，從有獎