廣東省茂名市第十中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

廣東省茂名市第十中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知隨機(jī)變量X的分布列表如下表，且隨機(jī)變量，則Y的期望是（）X-101mA． B． C． D．2．假設(shè)如圖所示的三角形數(shù)表的第行的第二個(gè)數(shù)為，則（）A．2046 B．2416 C．2347 D．24863．若函數(shù)在上有小于的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．通過隨機(jī)詢問111名性別不同的中學(xué)生是否愛好運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表：男女總計(jì)愛好412131不愛好212151總計(jì)3151111由得，1．1511．1111．1112．8413．32511．828參照附表，得到的正確結(jié)論是（）A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過1.111的前提下，認(rèn)為“愛好運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過1.11的前提下，認(rèn)為“愛好運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過1.111的前提下，認(rèn)為“愛好運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”D．有以上的把握認(rèn)為“愛好運(yùn)動(dòng)與性別無關(guān)”5．已知頂點(diǎn)在軸上的雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為4，其兩條漸近線方程為，該雙曲線的焦點(diǎn)為（）A． B． C． D．6．隨機(jī)變量的分布列如下：-101若，則的值是（）A． B． C． D．7．已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則的通項(xiàng)公式可能是（）A． B． C． D．8．對(duì)33000分解質(zhì)因數(shù)得，則的正偶數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A．48 B．72 C．64 D．969．若“”是“不等式成立”的一個(gè)充分不必要條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知兩變量x和y的一組觀測(cè)值如下表所示：x234y546如果兩變量線性相關(guān)，且線性回歸方程為，則＝()A．－ B．－C． D．11．設(shè)、是兩個(gè)不同的平面，、是兩條不同的直線，有下列命題：①如果，，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，那么；其中正確的命題是（）A．①② B．②③ C．②④ D．②③④12．某校開設(shè)10門課程供學(xué)生選修，其中、、三門由于上課時(shí)間相同，至多選一門，學(xué)校規(guī)定每位學(xué)生選修三門，則每位學(xué)生不同的選修方案種數(shù)是()A．70 B．98 C．108 D．120二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直三棱柱中，若，則__________．14．已知的頂點(diǎn)，分別為雙曲線左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)在雙曲線上，則的值等于__________．15．甲、乙兩地都位于北緯45°，它們的經(jīng)度相差90°，設(shè)地球半徑為，則甲、乙兩地的球面距離為________.16．已知直線與曲線相切，則的值為___________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐P?ABC中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM=2MD，N為PC的中點(diǎn).（Ⅰ）證明MN∥平面PAB;（Ⅱ）求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.18．（12分）甲乙兩人報(bào)名參加由某網(wǎng)絡(luò)科技公司舉辦的“技能闖關(guān)”雙人電子競(jìng)技比賽，比賽規(guī)則如下：每一輪“闖關(guān)”結(jié)果都采取計(jì)分制，若在一輪闖關(guān)中，一人過關(guān)另一人未過關(guān)，過關(guān)者得1分，未過關(guān)得分；若兩人都過關(guān)或都未過關(guān)則兩人均得0分.甲、乙過關(guān)的概率分別為和，在一輪闖關(guān)中，甲的得分記為.（1）求的分布列；（2）為了增加趣味性，系統(tǒng)給每位報(bào)名者基礎(chǔ)分3分，并且規(guī)定出現(xiàn)一方比另一方多過關(guān)三輪者獲勝，此二人比賽結(jié)束.表示“甲的累積得分為時(shí)，最終認(rèn)為甲獲勝”的概率，則，其中，，，令.證明：點(diǎn)的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為；（3）在第（2）問的條件下求，并嘗試解釋游戲規(guī)則的公平性.19．（12分）據(jù)悉,2017年教育機(jī)器人全球市場(chǎng)規(guī)模已達(dá)到8.19億美元,中國(guó)占據(jù)全球市場(chǎng)份額10.8%.通過簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到40家中國(guó)機(jī)器人制造企業(yè),下圖是40家企業(yè)機(jī)器人的產(chǎn)值頻率分布直方圖.（1）求的值；（2）在上述抽取的40個(gè)企業(yè)中任取3個(gè)，抽到產(chǎn)值小于500萬元的企業(yè)不超過兩個(gè)的概率是多少？（3）在上述抽取的40個(gè)企業(yè)中任取2個(gè),設(shè)為產(chǎn)值不超過500萬元的企業(yè)個(gè)數(shù)減去超過500萬元的企業(yè)個(gè)數(shù)的差值,求的分布列及期望.20．（12分）已知函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，若，求的值域．21．（12分）已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.（1）若，角，求角的值；（2）若的面積，，求的值.22．（10分）將正整數(shù)排成如圖的三角形數(shù)陣，記第行的個(gè)數(shù)之和為.（1）設(shè)，計(jì)算，，的值，并猜想的表達(dá)式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）的猜想.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

由隨機(jī)變量X的分布列求出m，求出，由，得，由此能求出結(jié)果．【題目詳解】由隨機(jī)變量X的分布列得：，解得，，，．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．2、B【解題分析】

由三角形數(shù)表特點(diǎn)可得，利用累加法可求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【題目詳解】由三角形數(shù)表可知：，，，…，，，整理得：，則.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列中的項(xiàng)的求解問題，關(guān)鍵是能夠采用累加法準(zhǔn)確求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.3、B【解題分析】

先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，在上有小于的極值點(diǎn)等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)有小于0的根．【題目詳解】由因?yàn)樵谏嫌行∮诘臉O值點(diǎn)，所以有小于0的根，由的圖像如圖：可知有小于0的根需要，所以選擇B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)極值的問題．屬于基礎(chǔ)題．4、B【解題分析】

試題分析：根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)得到7.8，發(fā)現(xiàn)它大于3.325，得到有99%以上的把握認(rèn)為“愛好這項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”，從而可得結(jié)論．解：∵7.8＞3.325，∴有1.11=1%的機(jī)會(huì)錯(cuò)誤，即有99%以上的把握認(rèn)為“愛好這項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”故選B．點(diǎn)評(píng)：本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查利用臨界值，進(jìn)行判斷，是一個(gè)基礎(chǔ)題5、C【解題分析】

由雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為4可知由漸近線方程，可得到然后利用即可得到焦點(diǎn)坐標(biāo)．【題目詳解】由雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)為4可知由漸近線方程，可得到即所以又雙曲線頂點(diǎn)在軸上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)，漸近線方程，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解題分析】由題設(shè)可得，，所以由隨機(jī)變量的方差公式可得，應(yīng)選答案D。7、D【解題分析】

由等差數(shù)列的求和公式，轉(zhuǎn)化為，故，分析即得解【題目詳解】由題意，等差數(shù)列，且可得故所以當(dāng)時(shí)，則的通項(xiàng)公式可能是故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.8、A【解題分析】分析：分的因數(shù)由若干個(gè)、若干個(gè)、若干個(gè)、若干個(gè)相乘得到，利用分步計(jì)數(shù)乘法原理可得所有因數(shù)個(gè)數(shù)，減去不含的因數(shù)個(gè)數(shù)即可得結(jié)果.詳解：的因數(shù)由若干個(gè)（共有四種情況），若干個(gè)（共有兩種情況），若干個(gè)（共有四種情況），若干個(gè)（共有兩種情況），由分步計(jì)數(shù)乘法原理可得的因數(shù)共有，不含的共有，正偶數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)有個(gè)，即的正偶數(shù)因數(shù)的個(gè)數(shù)是，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查分步計(jì)數(shù)原理合的應(yīng)用，屬于中檔題.有關(guān)排列組合的綜合問題，往往是兩個(gè)原理及排列組合問題交叉應(yīng)用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關(guān)鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應(yīng)用分類計(jì)數(shù)加法原理討論時(shí)，既不能重復(fù)交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準(zhǔn)確率.9、D【解題分析】由題設(shè)，解之得：或，又集合中元素是互異性可得，應(yīng)選答案D。10、D【解題分析】

先計(jì)算＝＝3，＝＝5，代入方程即可．【題目詳解】＝＝3，＝＝5，代入線性回歸方程可得5＝3＋，解之得＝.故選D【題目點(diǎn)撥】線性回歸直線必過樣本中心．11、B【解題分析】

根據(jù)線面垂直與線面平行的性質(zhì)可判斷①;由直線與平面垂直的性質(zhì)可判斷②;由直線與平面平行的性質(zhì)可判斷③;根據(jù)平面與平面平行或相交的性質(zhì),可判斷④.【題目詳解】對(duì)于①如果,,,根據(jù)線面垂直與線面平行性質(zhì)可知或或,所以①錯(cuò)誤對(duì)于②如果,,根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)可知,所以②正確;對(duì)于③如果,,根據(jù)直線與平面平行的判定可知,所以③正確;對(duì)于④如果平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等,當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí),若三個(gè)點(diǎn)分布在平面的兩側(cè),也可以滿足條件,所以錯(cuò)誤,所以④錯(cuò)誤;綜上可知,正確的為②③故選:B【題目點(diǎn)撥】本題考查了直線與平面平行、直線與平面垂直的性質(zhì),平面與平面平行的性質(zhì),屬于中檔題.12、B【解題分析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①、從A,B,C三門中選出1門,其余7門中選出2門,有種選法，②、從除A,B,C三門之外的7門中選出3門,有種選法；故不同的選法有63+35=98種；故選：B.點(diǎn)睛：（1）解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則：①按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；②按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．（2）不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時(shí)，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組．注意各種分組類型中，不同分組方法的求解．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

將向量用基向量表示出來得到答案.【題目詳解】直三棱柱中，若故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間基向量的知識(shí)，意在考查學(xué)生的空間想象能力.14、【解題分析】

由題意得,，再利用正弦定理進(jìn)行求解即可.【題目詳解】解：由題意得,，.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，結(jié)合了正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.15、【解題分析】

根據(jù)兩地的經(jīng)度差得兩地緯度小圓上的弦長(zhǎng)，再在這兩地與球心構(gòu)成的三角形中運(yùn)用余弦定理求出球心角，利用弧長(zhǎng)公式求解.【題目詳解】由已知得，所以，所以，所以在中，，所以，所以甲、乙兩地的球面距離為.故得解.【題目點(diǎn)撥】本題考查兩點(diǎn)的球面距離，關(guān)鍵在于運(yùn)用余弦定理求出球心角，屬于中檔題.16、【解題分析】

試題分析：設(shè)切點(diǎn)，則,，．考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）．【解題分析】試題分析：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，然后結(jié)合條件中的數(shù)據(jù)證明四邊形為平行四邊形，從而得到，由此結(jié)合線面平行的判定定理可證；（Ⅱ）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向,建立空間直角坐標(biāo)系，然后通過求直線的方向向量與平面的法向量的夾角的余弦值來求解與平面所成角的正弦值．試題解析：（Ⅰ）由已知得.取的中點(diǎn)，連接，由為中點(diǎn)知，.又，故，四邊形為平行四邊形，于是.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（Ⅱ）取的中點(diǎn)，連結(jié).由得，從而，且.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由題意知，，，，，，，.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則即可取.于是.【考點(diǎn)】空間線面間的平行關(guān)系，空間向量法求線面角．【技巧點(diǎn)撥】（1）證明立體幾何中的平行關(guān)系，常常是通過線線平行來實(shí)現(xiàn)，而線線平行常常利用三角形的中位線、平行四邊形與梯形的平行關(guān)系來推證；（2）求解空間中的角和距離常常可通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量中的夾角與距離來處理．18、（1）分布列見解析；（2）見解析；（3），試解釋游戲規(guī)則的公平性見解析【解題分析】

（1）由題意得：，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列.（2）由題意得，，，推導(dǎo)出，根據(jù)中點(diǎn)公式能證明點(diǎn)的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為；（3）由，求出，從而，，由此推導(dǎo)出甲獲勝的概率非常小，說明這種游戲規(guī)則是公平的.【題目詳解】（1），，，的分布列為：01（2）由題意得：，，.于是，有，整理可得：，根據(jù)中點(diǎn)公式有：，命題得證.（3）由（2）可知，于是又，所以，，.表示最終認(rèn)為甲獲勝概率，由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲過關(guān)的概率為0.5，乙過關(guān)的概率為0.6時(shí)，認(rèn)為甲獲勝的概率為，此時(shí)得出甲獲勝的概率非常小，說明這種游戲規(guī)則是公平的.【題目點(diǎn)撥】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列，用概率說明游戲的公平性，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題.19、（1）；（2）；（3）.【解題分析】分析：（1）根據(jù)頻率分布直方圖各矩形的面積和為可計(jì)算出.（2）根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算出產(chǎn)值小于500萬元的企業(yè)共個(gè)，因此所求的概率為；（3）可取，運(yùn)用超幾何分布可以計(jì)算取各值的概率，從而得到其分布列和期望.詳解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖可知，．產(chǎn)值小于500萬元的企業(yè)個(gè)數(shù)為：，所以抽到產(chǎn)值小于500萬元的企業(yè)不超過兩個(gè)的概率為．（3）的所有可能取值為，，．，，．∴的分布列為：期望為：．點(diǎn)睛：（1）頻率分布直方圖中，各矩形的面積之和為1，注意直方圖中，各矩形的高是；（2）在計(jì)算離散型隨機(jī)變量的概率時(shí)，注意利用常見的概率分布列來簡(jiǎn)化計(jì)算（如二項(xiàng)分布、超幾何分布等）．20、(1)a=1;(2).【解題分析】

分析：（1）令即可求得結(jié)果；（2）將原解析式代入，結(jié)合二倍角公式、輔助角公式等求得，將x的范圍帶入解析式，結(jié)合三角函數(shù)圖像的性質(zhì)即可求出值域.【題目詳解】：（Ⅰ）依題意，得，即，解得．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得．．由得當(dāng)即時(shí)，取得最大值2，當(dāng)即時(shí)，取得最小值-1.所以的值域是【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，此類題目是三角函數(shù)問題中的典型