2024屆廣東省肇慶第四中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題含解析

2024屆廣東省肇慶第四中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖所示的電路有a，b，c，d四個開關(guān)，每個開關(guān)斷開與閉合的概率均為且是相互獨(dú)立的，則燈泡甲亮的概率為（）A． B． C． D．2．函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的圖象如圖所示，為了得到g（x）＝Acosωx的圖象，只需把y＝f（x）的圖象上所有的點(diǎn)（）A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度3．定積分的值為()A． B． C． D．4．若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．5．已知向量||=，且,則（）A． B． C． D．6．廣告投入對商品的銷售額有較大影響，某電商對連續(xù)5個年度的廣告費(fèi)和銷售額進(jìn)行統(tǒng)計，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表（單位：萬元）廣告費(fèi)23456銷售額2941505971由上表可得回歸方程為，據(jù)此模型，預(yù)測廣告費(fèi)為10萬元時銷售額約為（）A．118.2萬元 B．111.2萬元 C．108.8萬元 D．101.2萬元7．下列命題是真命題的為（）A．若,則 B．若,則C．若,則 D．若,則8．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則（）附：隨機(jī)變量，則有如下數(shù)據(jù)：，，.A． B． C． D．9．已知是離散型隨機(jī)變量，，，，則（）A． B． C． D．10．三張卡片的正反面分別寫有1和2,3和4,5和6，若將三張卡片并列，可得到不同的三位數(shù)(6不能作9用)的個數(shù)為()A．8B．6C．14D．4811．給出下列四個命題，其中真命題的個數(shù)是（）①回歸直線y=bx+a②“x=6”是“x2③“?x0∈R，使得x02④“命題p∨q”為真命題，則“命題?p∧?q”也是真命題.A．0B．1C．2D．312．扇形OAB的半徑為1，圓心角為120°，P是弧AB上的動點(diǎn)，則的最小值為（）A． B．0 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面上，，，．若，則的取值范圍是_______．14．若，則的值為__________．15．如圖，在平面四邊形中，，，，.若點(diǎn)為上的動點(diǎn)，則的最小值為______.16．已知函數(shù)f（x）＝e2x+2f（0）ex﹣f′（0）x，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若f（x）≥x﹣ex+a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某畢業(yè)生參加人才招聘會，分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷．假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率均為，且三個公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的．記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù)．若，求隨機(jī)變量X的分布列與均值.18．（12分）如圖所示：在底面為直角梯形的四棱錐中，，面，E、F分別為、的中點(diǎn).如果，，與底面成角.（1）求異面直線與所成角的大?。ㄓ梅慈切问奖硎荆?；（2）求點(diǎn)D到平面的距離.19．（12分）設(shè)（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間.（Ⅱ）當(dāng)時，記，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于的不等式有解？若存在求出的最小值，若不存在，說明理由.20．（12分）已知函數(shù)，；.（1）求的最大值；（2）若對，總存在使得成立，求的取值范圍；（3）證明不等式.21．（12分）為了適應(yīng)高考改革，某中學(xué)推行“創(chuàng)新課堂”教學(xué)。高一平行甲班采用“傳統(tǒng)教學(xué)”的教學(xué)方式授課，高一平行乙班采用“創(chuàng)新課堂”的教學(xué)方式授課，為了比較教學(xué)效果，期中考試后，分別從兩個班中各隨機(jī)抽取名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計分析，結(jié)果如下表：（記成績不低于分者為“成績優(yōu)秀”）（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的列聯(lián)表，并判斷是否有以上的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”？（2）現(xiàn)從上述樣本“成績不優(yōu)秀”的學(xué)生中，抽取3人進(jìn)行考核，記“成績不優(yōu)秀”的乙班人數(shù)為，求的分布列和期望.參考公式臨界值表22．（10分）已知定義在上的函數(shù)．求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；Ⅱ若關(guān)于的方程有兩個不同的解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

由獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率公式計算．把組成一個事整體，先計算它通路的概率．【題目詳解】記通路為事件，則，所以燈泡亮的概率為．故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率，由獨(dú)立事件的概率公式計算即可．2、B【解題分析】

由函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．【題目詳解】根據(jù)函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的圖象，可得A＝1，，∴ω＝1．再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得1×+φ＝π，求得φ＝，∴函數(shù)f（x）＝sin（1x+）．故把y＝f（x）的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個單位長度，可得y＝sin（1x++）＝cos1x＝g（x）的圖象.故選B．【題目點(diǎn)撥】確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步驟和方法：(1)求A，b，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝，b＝；(1)求ω，確定函數(shù)的最小正周期T，則可得ω＝；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把圖象上的一個已知點(diǎn)代入(此時A，ω，b已知)或代入圖象與直線y＝b的交點(diǎn)求解(此時要注意交點(diǎn)在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)．②特殊點(diǎn)法：確定φ值時，往往以尋找“最值點(diǎn)”為突破口．具體如下：“最大值點(diǎn)”(即圖象的“峰點(diǎn)”)時ωx＋φ＝；“最小值點(diǎn)”(即圖象的“谷點(diǎn)”)時ωx＋φ＝.3、C【解題分析】試題分析：=.故選C.考點(diǎn)：1.微積分基本定理；2.定積分的計算.4、D【解題分析】

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案．【題目詳解】由，

得．

故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)的計算題．5、C【解題分析】

由平面向量模的運(yùn)算可得：0，得，求解即可．【題目詳解】因?yàn)橄蛄縷|，所以0，又，所以2，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量模的運(yùn)算，熟記運(yùn)算性質(zhì)是關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．6、B【解題分析】分析：平均數(shù)公式可求出與的值,從而可得樣本中心點(diǎn)的坐標(biāo)，代入回歸方程求出，再將代入回歸方程得出結(jié)論.詳解：由表格中數(shù)據(jù)可得，，，解得，回歸方程為，當(dāng)時，，即預(yù)測廣告費(fèi)為10萬元時銷售額約為，故選B.點(diǎn)睛：本題考查了線性回歸方程的性質(zhì)與數(shù)值估計，屬于基礎(chǔ)題.回歸直線過樣本點(diǎn)中心是一條重要性質(zhì)，利用線性回歸方程可以估計總體，幫助我們分析兩個變量的變化趨勢.7、A【解題分析】試題分析：B若，則，所以錯誤；C．若，式子不成立．所以錯誤；D．若，此時式子不成立．所以錯誤，故選擇A考點(diǎn)：命題真假8、B【解題分析】

先將、用、表示，然后利用題中的概率求出的值.【題目詳解】由題意可知，，則，，，因此，，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用正態(tài)分布原則求概率，解題時要將相應(yīng)的數(shù)用和加以表示，并利用正態(tài)曲線的對稱性列式求解，考查計算能力，屬于中等題.9、A【解題分析】分析：由已知條件利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望計算公式求出a，進(jìn)而求出，由此即可求出答案.詳解：是離散型隨機(jī)變量，，，，由已知得，解得，，.故選：A.點(diǎn)睛：本題考查離散型隨機(jī)變量的方差的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差計算公式的合理運(yùn)用.10、D【解題分析】方法一:第一步,選數(shù)字.每張卡片有兩個數(shù)字供選擇,故選出3個數(shù)字,共有23=8(種)選法.第二步,排數(shù)字.要排好一個三位數(shù),又要分三步,首先排百位,有3種選擇,由于排出的三位數(shù)各位上的數(shù)字不可能相同,因而排十位時有2種選擇,排個位只有一種選擇.故能排出3×2×1=6(個)不同的三位數(shù).由分步乘法計數(shù)原理知共可得到8×6=48(個)不同的三位數(shù).方法二:第一步,排百位有6種選擇,第二步,排十位有4種選擇,第三步,排個位有2種選擇.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共可得到6×4×2=48(個)不同的三位數(shù).11、B【解題分析】歸直線y=bx+a②“x=6”是“x2③?x0∈R，使得x02④“命題p∨q”為真命題，則“命題?p∧?q”當(dāng)p,q都真時是假命題.不正確12、C【解題分析】

首先以與作為一組向量基底來表示和，然后可得，討論與共線同向時，有最大值為1，進(jìn)一步可得有最小值.【題目詳解】由題意得,，所以因?yàn)閳A心角為120°，所以由平行四邊形法則易得，所以當(dāng)與共線同向時，有最大值為1，此時有最小值.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量的數(shù)量積，選擇合適的基底表示相關(guān)的向量是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

本題可以通過建立平面直角坐標(biāo)系，將給的向量條件坐標(biāo)化，然后把所求的也用坐標(biāo)表示出來，最后根據(jù)式子采用適當(dāng)?shù)姆椒ǖ贸鼋Y(jié)果．【題目詳解】設(shè)，則有因?yàn)樗寓佗冖垡驗(yàn)樗寓?②得即由①②可知帶入③中可知綜上可得所以，的取值范圍是．【題目點(diǎn)撥】在做向量類的題目的時候，可以通過構(gòu)造直角坐標(biāo)系，用點(diǎn)的坐標(biāo)來表示向量以及向量之間的關(guān)系，借此來得出答案．14、84.【解題分析】分析：根據(jù)原式右邊的展開情況可將原式左邊寫成：然后根據(jù)二項(xiàng)式定理展開求（x-1）3的系數(shù)即可.詳解：由題可得：，故根據(jù)二項(xiàng)式定理可知：故答案為84.點(diǎn)睛：本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，注意運(yùn)用變形和展開式的通項(xiàng)公式，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15、【解題分析】

建立直角坐標(biāo)系，得出，，利用向量的數(shù)量積公式即可得出，結(jié)合，得出的最小值.【題目詳解】因?yàn)?，所以以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以直線的斜率為，易得，因?yàn)椋灾本€的斜率為，所以直線的方程為，令，解得，所以，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，則，，所以又因?yàn)?，所以?dāng)時，取得最小值為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量基本定理及坐標(biāo)表示、平面向量的數(shù)量積以及直線與方程．16、（﹣∞，0]．【解題分析】

令，得到，再對求導(dǎo)，然后得到，令，得到，再得到，然后對，利用參變分離，得到，再利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，從而得到的取值范圍.【題目詳解】因?yàn)樗粤畹?，即，而令得，即所以則整理得設(shè)，則令，則所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以所以的范圍為，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)思想，屬中檔題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見解析【解題分析】

根據(jù)該畢業(yè)生得到面試的機(jī)會為0時的概率，求出乙、丙公司面試的概率，根據(jù)題意得到X的可能取值，結(jié)合變量對應(yīng)的事件寫出概率得出分布列及期望．【題目詳解】∵P（X＝0），∴，∴p，由題意知X為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù)，則X的可能取值是0，1，2，3，P（X＝1）P（X＝2），P（X＝3）＝1，X0123P∴E（X），【題目點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，準(zhǔn)確計算是關(guān)鍵，是一個基礎(chǔ)題．18、（1）；（2）【解題分析】

（1）先確定與底面所成角，計算SA，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積求異面直線與所成角；（2）先求平面的一個法向量，再利用向量投影求點(diǎn)D到平面的距離.【題目詳解】（1）因?yàn)槊?，所以是與底面所成角，即，因?yàn)?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,從而,,因此所以異面直線與所成角為，（2）設(shè)平面的一個法向量為,因?yàn)椋粤?，從而點(diǎn)D到平面的距離為【題目點(diǎn)撥】本題考查線面角以及利用向量求線線角與點(diǎn)面距，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.19、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）0.【解題分析】

（Ⅰ）對分三種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）先求出函數(shù)h(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，再求出，即得解.【題目詳解】解：（I）時，令令故在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；0≤≤1時，恒成立，故在單調(diào)遞增.時，令令故在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上：在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；時在單調(diào)遞增.時，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（II）當(dāng)時，由于在上單調(diào)遞增且故唯一存在使得即故h(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故又且在上單調(diào)遞增，故即依題意：有解，故又故【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式存在性問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.20、【解題分析】試題分析：（1）對函數(shù)求導(dǎo)，，時，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，也是最大值，所以的最大值為；（2）若對，總存在使得成立，則轉(zhuǎn)化為，由（1）知，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上的最大值，對求導(dǎo)，，分類討論，當(dāng)時，函數(shù)在上恒成立，在上單調(diào)遞增，只需滿足，，解得，所以；當(dāng)時，時，（舍），當(dāng)時，在上恒成立，只需滿足，，解得，當(dāng)，即時，在遞減，遞增，而，在為正，在為負(fù)，∴，當(dāng)，而時，，不合題意，可以求出的取值范圍。（3）由（1）知：即，取，∴，∴，即∴，等號右端為等比數(shù)列求和。試題解析：（1）∵，∴，∴當(dāng)時，，時，，∴，∴的最大值為.（2），使得成立，等價于由（1）知，，當(dāng)時，在時恒為正，滿足題意.當(dāng)時，，令，解得，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若，即時，，∴，∴.若，即時，在遞減，遞增，而，在為正，在為負(fù)，∴，當(dāng)，而時，，不合題意，綜上的取值范圍為.（3）由（1）知：即，取，∴，∴，即∴.考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性和極值；2.導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用。21、（1）列聯(lián)表見解析；有以上的把握認(rèn)為“成績優(yōu)秀與教學(xué)方式有關(guān)”；（2）【解題分析】

（1）根據(jù)頻數(shù)表可補(bǔ)充列聯(lián)表，從而計算求得，得到有以上的把握；（2）首先確定所有可能的取值，分別計算每個取值對應(yīng)的概率，進(jìn)而得到分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望計算公式求得期望.【題目詳解】（1）補(bǔ)充的列聯(lián)表如下表：傳統(tǒng)教學(xué)創(chuàng)新教學(xué)總計成績優(yōu)秀成績不優(yōu)秀