浙江省杭州市蕭山三中2024屆數(shù)學高二下期末教學質(zhì)量檢測模擬試題含解析

浙江省杭州市蕭山三中2024屆數(shù)學高二下期末教學質(zhì)量檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若3x+xn展開式二項式系數(shù)之和為32，則展開式中含xA．40 B．30 C．20 D．152．已知函數(shù)，若函數(shù)有個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．3．觀察下列各式：，則的末四位數(shù)字為（）A．3125 B．5625 C．0625 D．81254．已知函數(shù).若不等式的解集中整數(shù)的個數(shù)為3，則的取值范圍是(

)A． B． C． D．5．定義在上的函數(shù)，當時，，則函數(shù)（）的所有零點之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．86．函數(shù)的零點個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．37．設(shè)有一個回歸方程為y=2-2.5x,則變量x增加一個單位時（）A．y平均增加2.5個單位 B．y平均增加2個單位C．y平均減少2.5個單位 D．y平均減少2個單位8．在5道題中有3道理科題和2道文科題，如果不放回地依次抽取2道題，則在第一次抽到理科題的條件下，第二次抽到理科題的概率為()A．14 B．13 C．19．已知雙曲線，兩條漸近線與圓相切，若雙曲線的離心率為，則的值為（）A． B． C． D．10．已知為虛數(shù)單位，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．已知對稱軸為坐標軸的雙曲線的兩漸近線方程為，若雙曲線上有一點，使，則雙曲線的焦點（）A．在軸上 B．在軸上C．當時在軸上 D．當時在軸上12．從班委會5名成員中選出3名，分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文娛委員，則不同的選法共有()種.A．36 B．30 C．12 D．6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．集合中所有3個元素的子集的元素和為__________．14．函數(shù)與函數(shù)在第一象限的圖象所圍成封閉圖形的面積是_____．15．設(shè)，則二項式的展開式的常數(shù)項是.16．已知復數(shù)z＝(m＋1)＋(m﹣2)i是純虛數(shù)（i為虛數(shù)單位），則實數(shù)m的值為_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，內(nèi)角的對邊分別為.已知（1）求的值（2）若，求的面積.18．（12分）某種產(chǎn)品的以往各年的宣傳費用支出（萬元）與銷售量（萬件）之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)2456843678(1)試求回歸直線方程；(2)設(shè)該產(chǎn)品的單件售價與單件生產(chǎn)成本的差為（元），若與銷售量（萬件）的函數(shù)關(guān)系是，試估計宣傳費用支出為多少萬元時，銷售該產(chǎn)品的利潤最大？（注：銷售利潤=銷售額-生產(chǎn)成本-宣傳費用）（參考數(shù)據(jù)與公式：，，）19．（12分）在直角坐標系中，直線：，圓：（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求，的極坐標方程；（2）若直線的極坐標方程為，設(shè)，的交點為，，求的面積.20．（12分）已知函數(shù)有兩個不同的零點，.（1）求的取值范圍；（2）求證：.21．（12分）如圖，在三棱錐中，平面平面，，，，，分別為線段，上的點，且，，.(1)求證：平面；(2)若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角．22．（10分）如圖，已知，分別為橢圓：的上、下焦點，是拋物線：的焦點，點是與在第二象限的交點，且.（1）求橢圓的方程；（2）與圓相切的直線：（其中）交橢圓于點，，若橢圓上一點滿足，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

先根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)求得n＝5，可得二項式展開式的通項公式，再令x的冪指數(shù)等于3，求得r的值，即可求得結(jié)果．【題目詳解】由3x+xn展開式的二項式系數(shù)之和為2n＝32，求得可得3x+x5展開式的通項公式為Tr+1=C5r?3x5-r?xr令5-r2＝3，求得r＝4，則展開式中含x3故選：D．【題目點撥】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．2、D【解題分析】

畫出函數(shù)的圖像，將的零點問題轉(zhuǎn)化為與有個交點問題來解決，畫出圖像，根據(jù)圖像確定的取值范圍.【題目詳解】當時，，所以，當時，，所以，當時，，所以.令，易知，所以，將函數(shù)有個零點問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像，與直線有個交點來求解.畫出的圖像如下圖所示，由圖可知，而，故.故選D.【題目點撥】本小題主要考查分段函數(shù)圖像與性質(zhì)，考查函數(shù)零點問題的求解策略，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.3、C【解題分析】

根據(jù)，分析次數(shù)與末四位數(shù)字的關(guān)系，歸納其變化規(guī)律求解.【題目詳解】因為，觀察可知的末四位數(shù)字3125，的末四位數(shù)字5625，的末四位數(shù)字8125，的末四位數(shù)字0625，又，則的末四位數(shù)字為0625.故選：C【題目點撥】本題主要考查數(shù)列中的歸納推理，還考查了理解辨析推理的能力，屬于中檔題.4、D【解題分析】

將問題變?yōu)椋从袀€整數(shù)解的問題；利用導數(shù)研究的單調(diào)性，從而可得圖象；利用恒過點畫出圖象，找到有個整數(shù)解的情況，得到不等式組，解不等式組求得結(jié)果.【題目詳解】由得：，即：令，當時，；當時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，且，由此可得圖象如下圖所示：由可知恒過定點不等式的解集中整數(shù)個數(shù)為個，則由圖象可知：，即，解得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查根據(jù)整數(shù)解的個數(shù)求解參數(shù)取值范圍的問題，關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為曲線和直線的位置關(guān)系問題，通過數(shù)形結(jié)合的方式確定不等關(guān)系.5、D【解題分析】分析：首先根據(jù)得到函數(shù)關(guān)于對稱，再根據(jù)對稱性畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖像，再根據(jù)函數(shù)與函數(shù)圖像的交點來求得函數(shù)的零點的和.詳解：因為故函數(shù)關(guān)于對稱，令，即，畫出函數(shù)與函數(shù)圖像如下圖所示，由于可知，兩個函數(shù)圖像都關(guān)于對稱，兩個函數(shù)圖像一共有個交點，對稱的兩個交點的橫坐標的和為，故函數(shù)的個零點的和為.故選D.點睛：本小題主要考查函數(shù)的對稱性，考查函數(shù)的零點的轉(zhuǎn)化方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法.解決函數(shù)的零點問題有兩個方法，一個是利用零點的存在性定理，即二分法來解決，這種方法用在判斷零點所在的區(qū)間很方便.二個是令函數(shù)等于零，變?yōu)閮蓚€函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖像的交點來得到函數(shù)的零點.6、C【解題分析】，如圖，由圖可知，兩個圖象有2個交點，所以原函數(shù)的零點個數(shù)為2個，故選C．7、C【解題分析】試題分析：根據(jù)題意，對于回歸方程為，當增加一個單位時，則的平均變化為，故可知平均減少個單位，故選C.考點：線性回歸方程的應(yīng)用.8、C【解題分析】

在第一次抽到理科題的條件下，剩余4道題中，有2道理科題，代入古典概型概率公式，得到概率．【題目詳解】因為5道題中有3道理科題和2道文科題，所以第一次抽到理科題的前提下，剩余4道題中，有2道理科題，第2次抽到理科題的概率為P=24=【題目點撥】本題考查的知識點是古典概型概率公式，分析出基本事件總數(shù)和滿足條件的事件個數(shù)是解答的關(guān)鍵，但本題易受到第一次抽到理科題的影響而出錯，容易按獨立事件同時發(fā)生的概率求解．9、A【解題分析】

先由離心率確定雙曲線的漸近線方程，再由漸近線與圓相切，列出方程，求解，即可得出結(jié)果.【題目詳解】漸近線方程為：，又因為雙曲線的離心率為，，所以，故漸近線方程為，因為兩條漸近線與圓相切，得：，解得；故選A?！绢}目點撥】本題主要考查由直線與圓的位置關(guān)系求出參數(shù)，以及由雙曲線的離心率求漸近線方程，熟記雙曲線的簡單性質(zhì)，以及直線與圓的位置關(guān)系即可，屬于?？碱}型.10、A【解題分析】分析：利用復數(shù)的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復數(shù)，化簡復數(shù)，從而可得結(jié)果.詳解：：由于復數(shù)，，在復平面的對應(yīng)點坐標為，在第一象限，故選A.點睛：復數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復數(shù)的概念及復數(shù)的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復數(shù)這些重要概念，復數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉(zhuǎn)化為復數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.11、B【解題分析】

設(shè)出雙曲線的一般方程，利用題設(shè)不等式，令二者平方，整理求得的，進而可判斷出焦點的位置．【題目詳解】漸近線方程為，，平方，兩邊除，，，雙曲線的焦點在軸上.故選：B.【題目點撥】本題考查已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的方程，考查對雙曲線標準方程的理解與運用，求解時要注意焦點落在軸或軸的特點，考查學生分析問題和解決問題的能力．12、A【解題分析】從班委會5名成員中選出3名，分別擔任班級學習委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔任文娛委員，因為先從其余3人中選出1人擔任文藝委員，再從4人中選2人擔任學習委員和體育委員，所以不同的選法共有種.本題選擇A選項.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

集合A中所有元素被選取了次，可得集合中所有3個元素的子集的元素和為即可得結(jié)果.【題目詳解】集合中所有元素被選取了次，∴集合中所有3個元素的子集的元素和為，故答案為．【題目點撥】本題考查了集合的子集、正整數(shù)平方和計算公式，屬于中檔題．14、【解題分析】

先求出直線與曲線的交點坐標，封閉圖形的面積是函數(shù)y＝x與y＝在x∈[0，1]上的積分．【題目詳解】解：聯(lián)立方程組可知，直線y＝x與曲線y＝的交點為（0，0）（1，1）；∴所圍成的面積為S＝.故答案為．【題目點撥】本題考查了定積分，找到積分區(qū)間和被積函數(shù)是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．15、6【解題分析】試題分析：設(shè)第項為常數(shù)項，則，令可得故答案為6考點：二項式定理16、-1.【解題分析】分析：由復數(shù)的實部等于0且虛部不等于0列式求解m的值.詳解：由復數(shù)是純虛數(shù)，得，解得.故答案為-1.點睛：本題考查了復數(shù)的基本概念，考查了復數(shù)是純虛數(shù)的條件.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）正弦定理得邊化角整理可得，化簡即得答案．（2）由（1）知，結(jié)合題意由余弦定理可解得，，從而計算出面積．【題目詳解】（1）由正弦定理得，所以即即有，即所以（2）由（1）知，即，又因為，所以由余弦定理得：，即，解得,所以，又因為，所以，故的面積為=.【題目點撥】正弦定理與余弦定理是高考的重要考點，本題主要考查由正余弦定理解三角形，屬于一般題．18、（1）（2）估計宣傳費用為萬元時，銷售該產(chǎn)品的利潤最大【解題分析】【試題分析】（1）先求出，再設(shè)回歸直線方程為：，算出，代入回歸方程求出，進而求出回歸直線方程為；（2）先建立利潤函數(shù)（萬元），即，再求導可得，由，且時，，時，，即當時，最大，這時的估計值為，所以估計宣傳費用為萬元時，銷售該產(chǎn)品的利潤最大。解：（1），設(shè)回歸直線方程為：，，，所以回歸直線方程為；（2）銷售利潤（萬元），，，由，且時，，時，，所以當時，最大，這時的估計值為，所以估計宣傳費用為萬元時，銷售該產(chǎn)品的利潤最大。點睛：解答本題的第一問時，先求出，再設(shè)回歸直線方程為：，算出，然后將其代入回歸方程求出，從而求出回歸直線方程為；解答本題的第二問時，先建立利潤函數(shù)（萬元），即，再求導可得，由，且時，，時，，最后確定當時，最大，這時的估計值為，所以估計宣傳費用為萬元時，銷售該產(chǎn)品的利潤最大。19、(1)的極坐標方程為，的極坐標方程為.(2).【解題分析】分析：（1）直接利用可得的極坐標方程，：利用平方法消去參數(shù)，可得其普通方程，利用互化公式可得的極坐標方程；（2）將代入，得，利用極徑的幾何意義可得，由三角形面積公式可得結(jié)果.詳解：（1）因為，，∴的極坐標方程為，的極坐標方程為.（2）將代入，得，解得，，.因為的半徑為，則的面積.點睛：參數(shù)方程主要通過代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去參數(shù)化為普通方程，通過選取相應(yīng)的參數(shù)可以把普通方程化為參數(shù)方程；利用關(guān)系式，等可以把極坐標方程與直角坐標方程互化，這類問題一般我們可以先把曲線方程化為直角坐標方程，用直角坐標方程解決相應(yīng)問題．20、（1）；（2）見解析【解題分析】分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出的范圍即可；（2）構(gòu)造函數(shù)，則可證當時，在上，有，即.將代入上面不等式中即可證明.詳解：（1），若，則，在上單調(diào)遞增，至多有一個零點，舍去；則必有，得在上遞減，在上遞增，要使有兩個不同的零點，則須有．（嚴格來講，還需補充兩處變化趨勢的說明：當時，；當時，）.（2）構(gòu)造函數(shù)，則.當時，，但因式的符號不容易看出，引出輔助函數(shù)，則，得在上，當時，，即，則，即，，得在上，有，即.將代入上面不等式中得，又，，在上，故，.點睛：本題考查了導數(shù)的綜合應(yīng)用及恒成立問題，同時考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于難題．21、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，直接證明，即