朝陽市重點(diǎn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

朝陽市重點(diǎn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．的展開式中不含項(xiàng)的各項(xiàng)系數(shù)之和為（）A． B． C． D．2．有10名學(xué)生和2名老師共12人,從這12人選出3人參加一項(xiàng)實(shí)踐活動(dòng)則恰有1名老師被選中的概率為（）A．922 B．716 C．93．下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．4．將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度，再把圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），則所得到的圖象的解析式為（）A． B．C． D．5．若圓和圓相切，則等于()A．6 B．7 C．8 D．96．的展開式中，的系數(shù)為（）A．2 B．4 C．6 D．87．將紅、黑、藍(lán)、黃4個(gè)不同的小球放入3個(gè)不同的盒子，每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，且紅球和藍(lán)球不能放在同一個(gè)盒子，則不同的放法的種數(shù)為（）A．18B．24C．30D．368．設(shè)，，則與大小關(guān)系為()A． B．C． D．9．已知向量、、滿足，且，則、夾角為（）A． B． C． D．10．如圖，某城市中，、兩地有整齊的道路網(wǎng)，若規(guī)定只能向東或向北兩個(gè)方向沿途中路線前進(jìn)，則從到不同的走法共有（）A．10 B．13 C．15 D．2511．已知向量是空間的一組基底，則下列可以構(gòu)成基底的一組向量是（）A．，， B．，，C．，， D．，，12．一個(gè)圓柱形的罐子半徑是4米，高是9米，將其平放，并在其中注入深2米的水，截面如圖所示，水的體積是（）平方米A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)在時(shí)有極值，則_______.14．某公司共有名員工，他們的月薪分別為萬，萬，萬，萬，萬，萬，萬，則這名員工月薪的中位數(shù)是__________．15．在側(cè)棱長為的正三棱錐中，，若過點(diǎn)的截面，交于，交于，則截面周長的最小值是______16．若為上的奇函數(shù)，且滿足，對(duì)于下列命題：①；②是以4為周期的周期函數(shù)；③的圖像關(guān)于對(duì)稱；④.其中正確命題的序號(hào)為_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，直三棱柱中，，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn).（1）若，求證：；（2）若，異面直線與所成的角為，求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）已知A，B為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足．（1）求證：原點(diǎn)O到直線AB的距離為定值；（2）求的最大值；（3）求過點(diǎn)O，且分別以O(shè)A，OB為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)P的軌跡方程．19．（12分）如圖（1）是某水上樂園擬開發(fā)水滑梯項(xiàng)目的效果圖，考慮到空間和安全方面的原因，初步設(shè)計(jì)方案如下：如圖（2），自直立于水面的空中平臺(tái)的上端點(diǎn)P處分別向水池內(nèi)的三個(gè)不同方向建水滑道，，，水滑道的下端點(diǎn)在同一條直線上，，平分，假設(shè)水滑梯的滑道可以看成線段，均在過C且與垂直的平面內(nèi)，為了滑梯的安全性，設(shè)計(jì)要求.（1）求滑梯的高的最大值；（2）現(xiàn)在開發(fā)商考慮把該水滑梯項(xiàng)目設(shè)計(jì)成室內(nèi)游玩項(xiàng)目，且為保證該項(xiàng)目的趣味性，設(shè)計(jì)，求該滑梯裝置（即圖（2）中的幾何體）的體積最小值.20．（12分）已知函數(shù)．（1）若，證明：；（2）若只有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍．21．（12分）某名校從2008年到2017年考入清華、北大的人數(shù)可以通過以下表格反映出來.（為了方便計(jì)算，將2008年編號(hào)為1，2009年編號(hào)為2，以此類推……）年份人數(shù)（1）根據(jù)最近5年的數(shù)據(jù)，利用最小二乘法求出與之間的線性回歸方程，并用以預(yù)測2018年該?？既肭迦A、北大的人數(shù)；（結(jié)果要求四舍五入至個(gè)位）（2）從這10年的數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取2年，記其中考入清華、北大的人數(shù)不少于的有年，求的分布數(shù)列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：.22．（10分）已知函數(shù)，（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)在上的最小值；（2）若函數(shù)在與處的切線互相垂直，求的取值范圍；（3）設(shè)，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，且，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

采用賦值法，令得：求出各項(xiàng)系數(shù)之和，減去項(xiàng)系數(shù)即為所求【題目詳解】展開式中，令得展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為而展開式的的通項(xiàng)為則展開式中含項(xiàng)系數(shù)為故的展開式中不含項(xiàng)的各項(xiàng)系數(shù)之和為故選D.【題目點(diǎn)撥】考查對(duì)二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的性質(zhì)，重點(diǎn)考查實(shí)踐意識(shí)和創(chuàng)新能力，體現(xiàn)正難則反．2、A【解題分析】

先求出從12人中選3人的方法數(shù)，再計(jì)算3人中有1人是老師的方法數(shù)，最后根據(jù)概率公式計(jì)算．【題目詳解】從12人中選3人的方法數(shù)為n=C123=220，3人中愉有∴所求概率為P=m故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型，解題關(guān)鍵是求出完成事件的方法數(shù)．3、B【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此得出正確選項(xiàng).【題目詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由于定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故為非奇非偶函數(shù).對(duì)于B選項(xiàng)，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故B選項(xiàng)正確.對(duì)于C選項(xiàng)，函數(shù)圖像沒有對(duì)稱性，故為非奇非偶函數(shù).對(duì)于D選項(xiàng)，在上有增有減.綜上所述，本小題選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】試題分析：函數(shù)，的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長度得，再把圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，得，選B.考點(diǎn)：三角函數(shù)圖像變換5、C【解題分析】

根據(jù)的圓標(biāo)準(zhǔn)方程求得兩圓的圓心與半徑，再根據(jù)兩圓內(nèi)切、外切的條件,分別求得的值并驗(yàn)證即可得結(jié)果.【題目詳解】圓的圓心，半徑為5；圓的圓心，半徑為r.若它們相內(nèi)切，則圓心距等于半徑之差，即＝|r－5|，求得r＝18或－8，不滿足5<r<10.若它們相外切，則圓心距等于半徑之和，即＝|r＋5|，求得r＝8或－18(舍去)，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查圓的方程以及圓與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.兩圓半徑為，兩圓心間的距離為，比較與及與的大小，即可得到兩圓的位置關(guān)系.6、D【解題分析】

由題意得到二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，進(jìn)而可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)榈恼归_式的第項(xiàng)為，令，則，所以的系數(shù)為8.故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查求指定項(xiàng)的系數(shù)問題，熟記二項(xiàng)式定理即可，屬于?？碱}型.7、C【解題分析】解：由題意知4個(gè)小球有2個(gè)放在一個(gè)盒子里的種數(shù)是C4把這兩個(gè)作為一個(gè)元素同另外兩個(gè)元素在三個(gè)位置排列，有A3而紅球和藍(lán)球恰好放在同一個(gè)盒子里有A3∴編號(hào)為紅球和藍(lán)球不放到同一個(gè)盒子里的種數(shù)是C428、A【解題分析】,選A.9、C【解題分析】

對(duì)等式兩邊平方，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律和定義得出，由此可求出、的夾角.【題目詳解】等式兩邊平方得，即，又，所以，，因此，、夾角為，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量夾角的計(jì)算，同時(shí)也考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律以及平面向量數(shù)量積的定義，考查計(jì)算能力，屬于中等題.10、C【解題分析】

向北走的路有5條，向東走的路有3條，走路時(shí)向北走的路有5種結(jié)果，向東走的路有3種結(jié)果，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算得出答案【題目詳解】因?yàn)橹荒芟驏|或向北兩個(gè)方向向北走的路有5條，向東走的路有3條走路時(shí)向北走的路有5種結(jié)果，向東走的路有3種結(jié)果根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有種結(jié)果，選C【題目點(diǎn)撥】本題考查分步計(jì)數(shù)原理，本題的關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，看出完成一件事共有兩個(gè)環(huán)節(jié)，每一步各有幾種方法，屬于基礎(chǔ)題．11、C【解題分析】

空間的一組基底，必須是不共面的三個(gè)向量，利用向量共面的充要條件可證明、、三個(gè)選項(xiàng)中的向量均為共面向量，利用反證法可證明中的向量不共面【題目詳解】解：，，，共面，不能構(gòu)成基底，排除；，，，共面，不能構(gòu)成基底，排除；，，，共面，不能構(gòu)成基底，排除；若、，共面，則，則、、為共面向量，此與為空間的一組基底矛盾，故、，可構(gòu)成空間向量的一組基底．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了空間向量基本定理，向量共面的充要條件等基礎(chǔ)知識(shí)，判斷向量是否共面是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題.12、D【解題分析】分析：由已知可得水對(duì)應(yīng)的幾何體是一個(gè)以截面中陰影部分為底，以9為高的柱體，求出底面面積，代入柱體體積公式，可得答案．詳解：由已知中罐子半徑是4米，水深2米，故截面中陰影部分的面積S=平方米，又由圓柱形的罐子的高h(yuǎn)=9米，故水的體積V=Sh=48立方米，故選D．點(diǎn)睛：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是柱體的體積公式，扇形面積公式，弓形面積公式，難度中檔．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

函數(shù)在時(shí)有極值，由，代入解出再檢驗(yàn)即可。【題目詳解】由題意知又在時(shí)有極值，所以或當(dāng)時(shí),與題意在時(shí)有極值矛盾，舍去故，故填【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)求參數(shù)，屬于中檔題，需要注意的是求解的結(jié)果一定要檢驗(yàn)其是否滿足題意。14、萬【解題分析】

將這名員工的月薪按照從小到大的順序排列后,正中間的數(shù)據(jù)就是中位數(shù).【題目詳解】將這名員工的月薪按照從小到大的順序排列如下:萬，萬，萬,萬，萬,萬，萬，根據(jù)中位數(shù)的定義可得這名員工月薪的中位數(shù)是:萬.故答案為:萬.【題目點(diǎn)撥】本題考查了中位數(shù)的概念,屬于基礎(chǔ)題.15、1【解題分析】

沿著側(cè)棱把正三棱錐展開在一個(gè)平面內(nèi)，如圖，則即為截面周長的最小值，且．中，由余弦定理可得的值．【題目詳解】如圖所示：沿著側(cè)棱把正三棱錐展開在一個(gè)平面內(nèi)，如圖（2），則即為截面周長的最小值，且．中，由余弦定理可得：.故答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題考查余弦定理的應(yīng)用、棱錐的結(jié)構(gòu)特征、利用棱錐的側(cè)面展開圖研究幾條線段和的最小值問題，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力．16、①②④【解題分析】

由結(jié)合題中等式可判斷命題①的正誤；根據(jù)題中等式推出來判斷出命題②的正誤；由函數(shù)為奇函數(shù)來判斷命題③的正誤；在題中等式中用替換可判斷出命題④的正誤.【題目詳解】對(duì)于命題①，由于函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，在等式中，令可得，得，命題①正確；對(duì)于命題②，，所以，是以為周期的周期函數(shù)，命題④正確；對(duì)于命題③，由于函數(shù)是上的奇函數(shù)，不關(guān)于直線（即軸）對(duì)稱，命題③錯(cuò)誤；對(duì)于命題④，由，可得，即，由于函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，命題④正確.故答案為：①②④.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性以及周期性的推導(dǎo)，求解時(shí)充分利用題中的等式以及奇偶性、對(duì)稱性以及周期性的定義式，不斷進(jìn)行賦值進(jìn)行推導(dǎo)，考查推理能力，屬于中等題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）【解題分析】

(1)根據(jù)三棱柱是直三棱柱的特征，又，可作中點(diǎn)，連接DM,通過線面垂直證明平面，可推出，又，可證(2)通過作圖，分別以，，為軸、軸、軸，建立空間直角體系，先通過幾何法求出長度，分別表示出線面角各點(diǎn)對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)，再用向量公式算出直線與平面所成角的正弦值【題目詳解】證明：（1）取中點(diǎn)，連接，，有，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，所以平面平面，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以又因?yàn)?，，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)?，所?（2）設(shè)，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為軸、軸、軸，建立空間直角體系，由（1）可知，，所以，故，，，，，對(duì)平面，，，所以其法向量可表示為.又，所以直線與平面成角的正弦值.【題目點(diǎn)撥】證線線垂直一般是通過線面垂直進(jìn)行證明，本題其實(shí)還可以采用射影逆定理進(jìn)行證明，通過證明與斜線垂直即，推出與射影垂直，，不妨一試；對(duì)于像本題中第二問不太好確定線面關(guān)系而又發(fā)覺立體圖形比較規(guī)整的，比如說正方體、長方體、正三棱錐，直棱柱等，都可直接考慮建立空間直角坐標(biāo)系來進(jìn)行求解18、（1）證明見解析；（2）；（3）．【解題分析】

（1）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，將代入橢圓方程可得，即可得原點(diǎn)O到直線AB的距離為；當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，，，與橢圓方程聯(lián)立，可得，又，則，利用韋達(dá)定理代入化簡可得，則原點(diǎn)O到直線AB的距離，故原點(diǎn)O到直線AB的距離為定值；（2）由（1）可得，又且，即可得的最大值；（3）如圖所示，過點(diǎn)O，且分別以O(shè)A，OB為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)P的軌跡滿足：，，可得P，A，B三點(diǎn)共線.由（1）可知：原點(diǎn)O到直線AB的距離為定值，即可得點(diǎn)的軌跡方程.【題目詳解】（1）證明：當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，由代入橢圓方程可得：，解得，此時(shí)原點(diǎn)O到直線AB的距離為．當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為，，．聯(lián)立，化為，，則，，．，化為，化為，化為，原點(diǎn)O到直線AB的距離．綜上可得：原點(diǎn)O到直線AB的距離為定值．（2）解：由（1）可得，，，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．的最大值為．（3）解：如圖所示，過點(diǎn)O，且分別以O(shè)A，OB為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)P的軌跡滿足：，．因此P，A，B三點(diǎn)共線．由（1）可知：原點(diǎn)O到直線AB的距離為定值．分別以O(shè)A，OB為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn)P的軌跡方程為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，基本不等式的運(yùn)用，考查了邏輯推理和運(yùn)算求解能力，屬于難題.19、（1）m（2）562.5.【解題分析】

（1）分別設(shè)出CB、CA、PC的長，分別表示出面積，再利用不等關(guān)系求解即可；（2）利用已知條件，求得體積是關(guān)于x的函數(shù)，再利用導(dǎo)函數(shù)判別單調(diào)性求得最小值即可.【題目詳解】（1）設(shè).由題意知，由及平分得，所以.因?yàn)?，所以，所?所以滑道的高的最大值為m.（2）因?yàn)榛赖钠露葹?，所?由（1）知，即.又，所以.所以三棱錐P-ABC的體積，所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以該滑梯裝置的體積最小為562.5m3.【題目點(diǎn)撥】本題考查了解三角形和立體幾何應(yīng)用實(shí)際問題，熟悉題意，仔細(xì)分析，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用求最值是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題目.20、（1）詳見解析；（2）.【解題分析】

（1）將代入，可得等價(jià)于，即，令，求出，可得的最小值，可得證；（2）分，三種情況討論，分別對(duì)求導(dǎo)，其中又分①若②③三種情況，利用函數(shù)的零點(diǎn)存在定理可得a的取值范圍.【題目詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，即；設(shè)函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故為的最小值，而，故，即．（2），設(shè)函數(shù)，則；（i）當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又，取b滿足且，則，故在上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，由于，所以是的唯一極值點(diǎn)；（ii）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；（iii）當(dāng)時(shí)，若時(shí)，；若時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．故為的最小值，①若時(shí)，由于，故只有一個(gè)零點(diǎn)，所以時(shí)，因此在上單調(diào)遞增，故不存在極值；②若時(shí)，由于，即，所以，因此在上單調(diào)遞增，故不存在極值；③若時(shí)，，即．又，且，而由（1）知，所以，取c滿足，則故在有唯一一個(gè)零點(diǎn)，在有唯一一個(gè)零點(diǎn)；且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由于，故在處取得極小值，在處取得極大值，即在上有兩個(gè)極值點(diǎn)．綜上，只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是【題目點(diǎn)撥