應用數理統(tǒng)計-楊虎-第三章習題及答案

習題三2.設總體的分布密度為：為其樣本，求參數的矩估計量和極大似然估計量.現測得樣本觀測值為：0.1，0.2，0.9，0.8，0.7，0.7，求參數的估計值.解計算其最大似然估計：其矩估計為：所以：，.3.設元件無故障工作時間X具有指數分布，取1000個元件工作時間的記錄數據，經分組后得到它的頻數分布為：組中值5152535455565頻數365245150100704525如果各組中數據都取為組中值，試用最大似然法求參數的點估計..解最大似然估計：.4.某種燈泡壽命服從正態(tài)分布，在某星期所生產的該種燈泡中隨機抽取10只，測得其壽命(單位：小時)為：1067，919，1196，785，1126，936，918，1156，920，948設總體參數都未知，試用極大似然法估計這個星期中生產的燈泡能使用1300小時以上的概率.解設燈泡的壽命為,,極大似然估計為：根據樣本數據得到：.經計算得，這個星期生產的燈泡能使用1300小時的概率為0.0075.5.為檢驗某種自來水消毒設備的效果，現從消毒后的水中隨機抽取50升，化驗每升水中大腸桿菌的個數(假定一升水中大腸桿菌個數服從Poisson分布)，其化驗結果如下：大腸桿菌數/升0123456升數1720102100試問平均每升水中大腸桿菌個數為多少時，才能使上述情況的概率為最大？解設為每升水中大腸桿菌個數，，，由3題〔2〕問知，的最大似然估計為，所以所以平均每升氺中大腸桿菌個數為1時，出現上述情況的概率最大.7.設是總體X的樣本，設有下述三個統(tǒng)計量：指出中哪幾個是總體均值a=EX的無偏估計量，并指出哪一個方差最??？解，所以無偏，方差最小.8.設是來自總體X的樣本，并且EX=，DX=，是樣本均值和樣本方差，試確定常數，使是的無偏估計量.解所以.9.設，是的兩個獨立的無偏估計量，并且的方差是的方差的兩倍.試確定常數c1,c2，使得為的線性最小方差無偏估計量.解：設當，上式到達最小，此時.10.設總體X具有如下密度函數，是來自于總體X的樣本，對可估計函數，求的有效估計量，并確定R-C下界.解因為似然函數所以取統(tǒng)計量得=，所以是無偏估計量令由定理知T是有效估計量，由所以C-R方差下界為.11.設是來自于總體X的樣本，總體X的概率分布為：求參數的極大似然估計量；試問極大似然估計是否是有效估計量？如果是，請求它的方差和信息量；試問是否是相合估計量？〔書上沒有這個問題〕解1〕得到最大似然估計量2〕所以所以是無偏估計量，，由定理得到是有效估計量信息量3〕所以，T也是相合估計量.12從一批螺釘中隨機地取16枚，測得其長度(單位：cm)為：2.14，2.10，2.13，2.15，2.13，2.12，2.13，2.10，2.15，2.12，2.14，2.10，2.13，2.11，2.14，2.11設釘長分布為正態(tài)，在如下兩種情況下，試求總體均值的90%置信區(qū)間，1〕假設=0.01cm；2〕假設未知；解因為計算所以置信區(qū)間為計算所以置信區(qū)間為.13隨機地取某種炮彈9發(fā)做試驗，測得炮口速度的樣本標準差s=11(m/s)，設炮口速度服從正態(tài)分布，求這種炮彈的炮口速度的標準差的置信度為95%的置信區(qū)間.解由題意標準差的置信度為0.95的置信區(qū)間為計算得所以置信區(qū)間為.14.隨機地從A批導線中抽取4根，并從B批導線中抽取5根，測得其電阻()為：A批導線：0.143，0.142，0.143，0.137B批導線：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140設測試數據分別服從和，并且它們相互獨立，又均未知，求參數的置信度為95%的置信區(qū)間.解由題意，這是兩正太總體，在方差未知且相等條件下，對總體均值差的估計：置信區(qū)間為計算得所以.15.有兩位化驗員A、B，他們獨立地對某種聚合物的含氯量用相同方法各作了10次測定，其測定值的方差依次為0.5