小學奧數(shù)教程-幾何計數(shù)教師手冊

7-8-3.幾何計數(shù)（三）

歌拳目強

1.掌握計數(shù)常用方法；

2.熟記一些計數(shù)公式及其推導方法；

3.根據(jù)不同題目靈活運用計數(shù)方法進行計數(shù).

本講主要介紹了計數(shù)的常用方法枚舉法、標數(shù)法、樹形圖法、插板法、對應法等，并滲透分類計數(shù)和用容

斥原理的計數(shù)思想.

一、幾何計數(shù)

在幾何圖形中，有許多有趣的計數(shù)問題，如計算線段的條數(shù)，滿足某種條件的三角形的個數(shù)，若干個圖

分平面所成的區(qū)域數(shù)等等.這類問題看起來似乎沒有什么規(guī)律可循，但是通過認真分析，還是可以找到一些

處理方法的.常用的方法有枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等.〃條直線最多將平面分成

2+2+3+……+〃=g（〃2+〃+2）個部分；〃個圓最多分平面的部分數(shù)為。?1）+2;"個三角形將平面最多分

成3“）1）+2部分；〃個四邊形將平面最多分成4。?1）+2部分……

在其它計數(shù)問題中，也經常用到枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等.解題時需要仔細審題、

綜合所學知識點逐步求解.

排列問題不僅與參加排列的事物有關，而且與各事物所在的先后順序有關；組合問題與各事物所在的先

后順序無關，只與這兩個組合中的元素有關.

二、幾何計數(shù)分類

數(shù)線段：如果一條線段上有小1個點（包括兩個端點）（或含有〃個“基本線段”）,那么這91個點把這條

線段一共分成的線段總數(shù)為9（/>1）+…+2+1條

數(shù)角：數(shù)角與數(shù)線段相似，線段圖形中的點類似于角圖形中的邊.

數(shù)三角形：可用數(shù)線段的方法數(shù)如右圖所示的三角形（對應法），因為把上有15條線段，每條線段的

兩端點與點/相連，可構成一個三角形，共有15個三角形，同樣一邊在8c上的三角形也有15個，所以圖

中共有30個三角形.

數(shù)長方形、平行四邊形和正方形：一般的，對于任意長方形（平行四邊形），若其橫邊上共有"條線段，

縱邊上共有6條線段，則圖中共有長方形（平行四邊形）777〃個.

模塊一、立體幾何計數(shù)

【例1】用同樣大小的正方體小木塊堆成如下圖的立體圖形，那么一共用了塊小正方體。

【考點】立體圖形幾何計數(shù)【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】迎春杯，中年級，初試，6題，走美杯，4年級，決賽，第8題

【解析】一共有:43-（1+4+9）=50（塊］

【答案】50塊

【例2】將32個相同的小正方體拼成一個體積為32立方厘米的長方體，將表面涂上紅漆，然后分開，其中有

2個面涂紅的小正方體有24個，則有1個面涂紅的小正方體有個。

【考點】立體圖形幾何計數(shù)【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】學而思杯，4年級，第7題

【解析】32=2$,所以這個長方體的尺寸只有1x1x32,1x2x16,1x4x8,2x2x8,2x4x4五種情況，其

中只有尺寸為2x2x8的長方體的表面染色后，有24個正方體有2個面涂紅，所以有1個面涂紅的小

正方體有（）個。

【答案】（）

［例3］如圖是一個由27個棱長為1的白色小正方體木塊粘成的棱長為3的正方體木塊，現(xiàn)任意挖去其中

的3個棱長為1的小正方體，然后將所有暴露在外的表面全部刷上藍漆，那么余下的24個棱長為1

的小正方體中恰好有3面涂藍漆的最多能有一個.

【考點】立體圖形幾何計數(shù)【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】學而思杯，5年級，第12題

【解析】1）角塊本身為3面暴露在外的小方塊；

2）挖去外側面中部的小方塊，能夠增加4塊三面暴露在外的小方塊，加上角塊，共形成8塊3面涂

漆的小方塊，為最優(yōu)方案

3）因此挖去對稱的2塊外側中部的小方塊后，將產生16塊3面暴露在外的小方塊

4）然后再挖去任意一個外側面中部的小方塊，將增加3塊3面暴露在外的小方塊，但同時破壞原

來的2塊3面在外的小方塊.

5）所以最多有17塊3面涂漆的小方塊

【答案】17

模塊二、幾何計數(shù)的應用

［例4］如圖，每個小正方形的面積都是I平方厘米。則在此圖中最多可以畫出__________個面積是2平方

厘米的格點正方形（頂點都在圖中交叉點上的正方形）。

【考點】幾何計數(shù)的應用【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，4年級，1試

【解析】每兩行正方形可確定3個面積是2平方厘米的格點正方形,總共有:3、3=9（個）

【答案】9

【鞏固】圖中的每個小方格都是面積為1的正方形，面積為2的矩形有個。

【考點】幾何計數(shù)的應用【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，五年級，二試，第8題

【解析】4x4+3x5=31

【答案】31個

【鞏固】下圖是由25個面積等于1的小正方形組成的大正方形，圖中面積是6的長方形有個。

【考點】幾何計數(shù)的應用【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，四年級，二試，第4題

【解析】每兩行正方形可確定3個面積是2平方厘米的格點正方形,總共有:3x4x2=24（個）

【答案】24個

［例5］如圖所示，在邊長為1的小正方形組成的4x4方格圖中，共有25個格點。在以格點為頂點的直角

三角形中，兩條直角邊長分別是1和3的直角三角形共有個。

【考點】幾何計數(shù)的應用【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】華杯賽，決賽，第2題

【解析】我們把一排連續(xù)三個正方形叫做三連正方形，三連正方形的個數(shù)乘上每個三連正方形中直角三角形

的個數(shù)就得到所求的總數(shù)：4x2x2x4=64（個）

【答案】64

【例6】用9個釘子釘成相互間隔為1厘米的正方陣（如右圖）.如果用一根皮筋將適當?shù)娜齻€釘子連結起來

就得到一個三角形，這樣得到的三角形中，面積等于1平方厘米的三角形的個數(shù)有多少？面積等于

2平方厘米的三角形有多少個？

【解析】面積等于1平方厘米的三角形有32個.面積等于2平方厘米的三角形有8個.

（1）面積等于1平方厘米的分類統(tǒng)計如下：

②

底為2,高為1底為2,高為1底為1,高為2

3x2=6（個）3x2=6（個）3'2=6（個）

底為1,高為2底為2,高為1底為1,高為2

3X2=6（個）2x2=4（個）2x2=4（個）

所以，面積等于1平方厘米的三角形的個數(shù)有：6+6+6+6+4+4=32（個）.

（2）面積等于2平方厘米的分類統(tǒng)計如下：

3'2=6（個）1x2=2（個）

所以，面積等于2平方厘米的三角形的個數(shù)有：6+2=8（個）.

【例7】下圖中的正方形被分成9個相同的小正方形，它們一共有16個頂點（共同的頂點算一個），以其中

不在一條直線上的3個點為頂點，可以構成三角形.在這些三角形中，與陰影三角形有同樣大小面

積的有多少個？

【考點】幾何計數(shù)的應用【難度】3星【題型】解答

【解析】1.顯然應先求出陰影三角形的面積

設原正方形的邊長是3,則小正方形的邊長是1,陰影三角形的面積是

%x2><3=3

2.思考圖中怎樣的三角形的面積等于3

（1）一邊長2,這邊上的高是3的三角形的面積等于3（即形如圖中陰影三角形）.

這時，長為2的邊只能在原正方形的邊上，這樣的三角形有2x4x4=32（個）；

（2）一邊長3,這邊上的高是2的三角形的面積等于3.這時，長為3的邊是原正方形的一邊或

平

行于一邊的分割線.這樣的三角形有8x2=16（個）注意：不能與（1）中的三角形重復，所以這樣

的三角形共有32+16=48（個）.

【答案】48個

【鞏固】圖中每個小正方形的邊長都是I厘米，則在圖中最多可以畫出面積是3平方厘米的格點三角形（頂點

在圖中交叉點上的三角形）一個。

【考點】幾何計數(shù)的應用【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，五年級，一試，第11題

【解析】由三角形面積為3平方厘米，可知三角形的底,高為6,6=1x6=2x3,因為圖形中長方形的長為3厘

米，寬為2厘米。當三角形的底=3厘米時，有4x2=8種情況，；當?shù)?2厘米時，有1x2=2種情況。

所以，一共有8+2=10個。

【答案】10個

【例8】在一個圓周上有8個點，正好把圓周八等分，以這些點為頂點作三角形，可以作出個等腰

三角形.

【考點】幾何計數(shù)的應用【難度】4星【題型】解答

【解析】由于8個點正好把圓周八等分，所以以其中的任何3個點作為頂點都不能組成等邊三角形.那么任

意選取其中的一個點作為頂點，一個頂點上有三個不同的等腰三角形，圓周上有8個頂點，所以一

共有3x8=24個等腰三角形，而且這些等腰三角形互不相同（否則，假設其中有兩個等腰三角形相

同，這兩個等腰三角形不可能是同一個頂點，只能是不同的頂點，這樣這個等腰三角形必定是正三

角形，與前面的分析不合），所以可以作出24個等腰三角形.

【答案】24個等腰三角形

［例9］圓周上十個點，任意兩點之間連接一條弦，這些弦在圓內有多少個交點？

【考點】幾何計數(shù)的應用【難度】4星【題型】解答

【解析】圓周上4點構成一個四邊形，四邊形兩條對角線相交可以產生一個交點.問題轉化為“圓周上10個

點可以組成多少個以他們?yōu)槎c的四邊形？”利用上一講的知識，去掉重復的部分，可知有：

10x9x8x7+（4x3x2x1）=210個.所以交點有210個.

【答案】210個

【例10］圓周上有8個點，兩點所連的線段叫“弦”，每兩點連一條弦，各弦無公共端點，共可連四條弦，各弦

互不相交的連法共有種.

【考點】幾何計數(shù)與找規(guī)律【難度】4星【題型】解答

【解析】本題可以利用歸納的方法解決.若圓周上只有2個點，只有1種連法；

若圓周上只有4個點，先選中1個點，它可以與相鄰的兩個點相連，它連好后其它兩點只有1種連

法，所以此時有1x2=2種連法；

若圓周上只有6個點，先選中1個點，此時它可以與相鄰的2個點相連，也可以相對的1個點相連，

若與相鄰的點相連，剩下的4個點有2種連法；若與相對的點相連，剩下的4個點只有1種連法，

所以此時有2x2+l=5種連法；

若圓周上只有8個點，先選中一個點，此時它可以與相鄰的2個點相連，也可以與與它相隔2個點

的另外兩個點相連.若與相鄰的點相連，剩下的6個點有5種連法；若與相隔兩個點的點相連，剩

下的6個點被分成兩邊，一邊2個點，只有一種連法，一邊4個點，有2種連法.所以此時共有

5x2+2x2=14種連法.

【答案】14種連接法

【例11】九個大小相等的小正方形拼成了右圖.現(xiàn)從點4走到點8,每次只能沿著小正方形的對角線從一個

頂點到另一個頂點，不允許走重復路線（如圖的虛線就是一種走法）.那么從點4走到點B共有

種不同的走法.

【考點】幾何計數(shù)的應用【難度】4星【題型】填空

【關鍵詞】迎春杯，五年級，初試，10題

【解析】路線相當于右圖中從2到8的不同路線（不走重復路線），從力到C。到8方法都唯一，從。出

發(fā)有3種方向，從D出發(fā)也有3種方向（不一定是最短路線），根據(jù)乘法原理，共有3x3=9種不同

走法。

【答案】9種

【例12］國際象棋中“馬”的走法如圖所示，位于。位置的“馬”只能走到標有x的格中.在5x5個方格的國際象

棋棋盤上（如右圖）放入四枚白馬（用。表示）和四枚黑馬（用?表示）.要求將四枚白馬移至四枚黑

馬的位置，將四枚黑馬移至四枚白馬的位置，而且必須按照國際象棋的規(guī)則，棋子只能移動到空格

中，每個格最多放一枚棋子.那么最少需要步.

【關鍵詞】迎春杯，四年級，初賽，4題

【解析】需要移動8枚棋子，任意棋子只移動一步是無法到達目的空格當中的，所以，最少需要8x2=16步，

具體方案：如下圖，用四步交換兩枚棋子到目的空格當中.用同樣的方法處理其他6枚棋子.一共需

要16步.

【答案】16步

【例131請將三個“數(shù)”、三個“學”、三個“美”填入右圖中，使得每一橫排、每一豎排都有這三個字，如果在左

上角擺上“數(shù)”，那么可能有幾種不同的擺法。

【考點】復雜乘法原理【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】走美杯，五年級，初賽，第9題

【解析】由于有一個“數(shù)”已經填在左上角的方格內，所以剩下的2個“數(shù)”只有兩種填法，如下圖所

示：對于上面的兩個3x3方格，只要任何一個空白方格中填入一個字，則這個3x3方格都只

有唯一填法，比如對于上左圖，在第二行第一列填入“學”，則第三行第一列和第二行第三列

都只能填“美”；則第三行第二列和第一行第三列都只能填“學”，第一行第二列只能填“美”。所

以只要確定某一個空白方格中填的字，也就確定了整個3x3方格的填法。而現(xiàn)在每個空白方

格中可以填“學”或“美”，有兩種填法，所以共有2x2=4種滿足題意的填法。

數(shù)數(shù)

數(shù)數(shù)

數(shù)數(shù)

【答案】4種

【例14］圖中共有16個方格，要把A,8,C,。四個不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出現(xiàn)一個

棋子.問：共有多少種不同的放法？

【考點】復雜乘法原理【難度】3星【題型】解答

【解析】由于四個棋子要一個一個地放入方格內，故可看成是分四步完成這件事.第一步放棋子4,A可以

放在16個方格中的任意一個中，故有16種不同的放法；第二步放棋子B,由于A已放定，那么

放A的那一行和一列中的其他方格內也不能放8，故還剩下9個方格可以放8,3有9種放法；

第三步放C,再去掉B所在的行和列的方格，還剩下四個方格可以放C,C有4種放法；最后一步

放。，再去掉C所在的行和列的方格，只剩下一個方格可以放。，。有1種放法.由乘法原理，

共有16x9x4x1=576種不同的放法.

【答案】576

【鞏固】在下圖的方格內放入五枚棋子，要求每行、每列都只能有一枚棋子，共有多少種放法？

【考點】復雜乘法原理【難度】3星【題型】解答

【解析】要放五枚棋子，肯定需要分五步完成.觀察到圖中的表格正好是五列的，剛好在每列放一個棋子.于

是，我們不妨按第I列、第2列、第3列、第4列、第5列的順序依次擺放棋子.

第一步：在第1列填入一個棋子.因為第1列只有兩個格，所以有2種放法.

第二步：在第2列填入一個棋子.因為第2列共有三個格，可是剛剛放在第一列的那個棋子占了其

中的一行，所以有3-1=2種放法.

第三步：在第3列填入一個棋子.因為第3列共有四個格，可是被放在第一列、第二列的那兩個棋子

各占了一行，所以有4-2=2種放法.

第四步：在第4列填入一個棋子.同理推得有5-3=2種放法.

第五步：在第5列填入一個棋子.同理推得有5-4=1種放法.

根據(jù)乘法原理，往方格內放入5枚棋子，每行每列只有一枚棋子，共有2x2x2x2x1=16種放法.

【答案】16

【例15］下圖是一個中國象棋盤，如果雙方準備各放一個棋子，要求它們不在同一行，也不在同一列，那么

【解析】第一個棋子有90種放法，第二個棋子有72種放法，根據(jù)乘法原理，共有90x72=6480（種）不同

的放置方法.

【答案】6480

【鞏固】國際象棋棋盤是8x8的方格網(wǎng)，下棋的雙方各有16個棋子位于16個區(qū)格中，國際象棋中的“車”同

中國象棋中的“車”一樣都可以將位于同一條橫行或豎行的對方棋子吃掉，如果棋局進行到某一時刻，

下棋的雙方都只剩下一個“車"，那么這兩個“車”位置有多少種情況？

【考點】復雜乘法原理【難度】3星【題型】解答

【解析】對于如果只有一只“車”的情況，它可以有64種擺放位置，如果在棋盤中再加入一個“車”，那么它不

能在原來那個“車”的同行或同列出現(xiàn)，他只能出現(xiàn)在其他七行七列，所以它只有7k=49中擺放，所

以這兩個“車”的擺放位置有64x49=3136種方法.

【答案】3136

模塊三、幾何計數(shù)與找規(guī)律

【例16］下圖的兩個圖形(實線)是分別用10根和16根單位長的小棍圍成的.如果按此規(guī)律(每一層比上

面一層多擺出兩個小正方形)圍成的圖形共用了60多根小棍，那么圍成的圖形有幾層，共用了多少

根小棍？

【考點】幾何計數(shù)與找規(guī)律【難度】2星【題型】解答

【解析】通過觀察每增加一層，恰好增加6根小棍，這6根恰好是增加那一層比上一層多擺出的兩個正方形

多用的，即前1層用4根，前2層用4+6根，前3層用4+6*2根，前〃層用4+6x(?1)根，現(xiàn)在共

用了60多根，應減去4是6的倍數(shù)，所以共用小棍64根，圍成的圖形有11層.

【答案】11層，64根

【例17］如圖所示用長短相同的火柴棍擺成3x1996的方格網(wǎng)其中每個小方格的邊都由一根火柴棍組成，

那么一共需用多少根火柴棍？

【考點】幾何計數(shù)與找規(guī)律【難度】2星【題型】解答

【解析】橫放需1996x4根，豎放需1997x3根洪需1996x4+1997x3=13975根.

【答案】13975根

【例18】用3根等長的火柴可以擺成一個等邊三角形.如圖用這樣的等邊三角形拼合成一個更大的等邊三

角形.如果這個大等邊三角形的每邊由20根火柴組成，那么一共要用多少根火柴？

/A,、

【考點】幾何計數(shù)與找規(guī)律【難度】2星【題型】解答

【解析】把大的等邊三角形分為“20”層分別計算火柴的根數(shù)：

最上一層只用了3根火柴；

從上向下數(shù)第二層用了3x2=6根；

從上向下數(shù)第二層用了3x3=9根；

……從上向下數(shù)第二層用了3x20=60根；所以總共要用火柴3x(1+2+3+……+20)=630.

【答案】630

【鞏固】用三根火柴可拼成一個小“△”，若用108根火柴拼成如圖所示形狀的大三角形，請你數(shù)一數(shù)共有多少

個三角形？

【考點】幾何計數(shù)與找規(guī)律【難度】2星【題型】解答

【解析】首先，需弄清形狀如圖的大三角形共有多少層從上往下，第一層用3=3x1根火柴；第二層用6=3x2

根火柴；第三層用9=3x3根火柴；第四層用12=3x4根火柴；第五層用15=3x5根火柴；…；第〃

層用3”=3x〃根火柴.根據(jù)題意，有：3+6+9+12+15+…+3〃=1()8,故

1+2+3+4+.加，所以，”=8,即形狀如圖的大三角形共有8層，是邊長為8根火柴的

大正三角形.然后，數(shù)出共有多少個三角形.

尖朝上的三角形共：(1+2+3+4+5+6+7+8)+(1+2+3+4+5+6+7)+(1+2+3+4+5+6)+

(1+2+3+4+5)+(1+2+3+4)+(1+2+3)+(1+2)+1=120(個)；

尖朝下的三角形共：(1+2+3+4+5+6+7)+(1+2+3+4+5)+(1+2+3)+1+0=50(個)；

所以，共有三角形：120+50=170(個).

本題小結：尖朝上的三角形：每一種尖朝上的三角形個數(shù)都是由1開始的連續(xù)自然數(shù)的和，其中連

續(xù)自然數(shù)最多的和中最大的加數(shù)就是三角形每邊被分成的基本線段的條數(shù)，依次各個連續(xù)自然數(shù)的

和都比上一次少一個最大的加數(shù)，直到1為止.尖朝下的三角形的個數(shù)也是從1開始的連續(xù)自然數(shù)

的和，它的第一個和恰是尖朝上的第二個和，依次各個和都比上一個和少最大的兩個加數(shù)，以此類推

直到零為止.

【答案】170個

【例19】3根火柴可以擺成一個小三角形。圖中用很多根火柴擺成了一個中空的大三角形。已知大三角形外

沿上每條邊都是2()根火柴。擺成這個圖共需要根火柴。

【考點】幾何計數(shù)與找規(guī)律【難度】4星【題型】填空

【關鍵詞】走美杯，3年級，決賽，第9題

【解析】水平方向的火柴有1+2x17+19+20=74(根)而其它兩個方向的火柴與水平放下的火柴個數(shù)相同，

所以擺成這個圖共需要74x3=222(根)火柴。

【答案】222根

【例20】一張長方形紙片，長是寬的2倍，先對折成正方形，再對折成長方形，再對折成正方形......共

對折7次，將紙打開展平，數(shù)一數(shù)用折痕分割成的正方形共有多少個？

【考點】幾何計數(shù)與找規(guī)律【難度】4星【題型】解答

【解析】從簡單情況入手，從第一次對折開始分析，

第一次對折，展平，折痕分割成的正方形共2=T個；

第二次對折，展平，折痕分割成的長方形共4=22個；

第三次對折，展平，折痕分割成的正方形共8=23個；

第四次對折，展平，折痕分割成的長方形共16=24個；

第五次對折，展平，折痕分割成的正方形共32=2$個；

第六次對折，展平，折痕分割成的長方形共64=26個；

第七次對折，展平，折痕分割成的正方形共128=27個.

觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律，奇數(shù)次對折時，展平后的折痕分割成的圖形是正方形，所以，對折七次，將紙展平

后，用折痕分割成的正方形是27=128個.

【答案】128個

【鞏固】將正方形紙片由下往上對折，再由左向右對折，稱為完成一次操作.按上述規(guī)則完成五次操作后，

剪去所得的小正方形的左下角.問：當展開這張正方形紙后，一共有多少個小洞孔？

【考點】幾何計數(shù)與找規(guī)律【難度】4星【題型】解答

【解析】將最后得到的小正方形紙展開兩次，中間形成一個菱形的小洞孔，之后每展開一次，孔的數(shù)量為原

來的2倍，題中一次操作需要對折2次，五次操作對折了10次，所以孔的數(shù)量為1X20°-2)=256個.

【答案】256個

【例21】一個圓上有12個點4,A2,A3....Ai,42.以它們?yōu)轫旤c連三角形，使每個點恰好是一個三

角形的頂點，且各個三角形的邊都不相交.問共有多少種不同的連法？

【考點】幾何計數(shù)與找規(guī)律【難度】5星【題型】解答

【解析】我們采用遞推的方法./如果圓上只有3個點，那么只有一種連法.

II如果圓上有6個點，除4點所在三角形的三頂點外，剩下的三個

點一定只能在4所在三角形的一條邊所對應的圓弧上，下表給出這

4所在三角形—余下點數(shù)。種數(shù)2

3，h

444。3川IP

444。3K

時有可能的連法.川如果圓上有9個點，考慮4所在的三角形.此時，其余的6個點可能分布在：

①4所在三角形的一個邊所對的弧上；

②也可能三個點在一個邊所對應的弧上，另三個點在另一邊所對的弧上.

在表2中用“+”號表示它們分布在不同的邊所對的弧.如果是情形①，則由II,這六個點有三種連法；

如果是情形②，則由①，每三個點都只能有一種連法.

表2

4所在三角形余下點數(shù)種數(shù)

A1A2A363

A?心心63

63

3+31

從小念3+31

A]3+31

共有12種連法.

IV最后考慮圓周上有12個點.同樣考慮4所在三角形，剩下9個點的分布有三種可能：

①9個點都在同一段弧上：

②有6個點是在一段弧上，另三點在另一段弧上；

③每三個點在4所在三角形的一條邊對應的弧上.得到表3.

S3

小所在三角形余下點數(shù)種數(shù)

912

^1^2^12912

44||4|2912

4出43+63

A?^3X96+33

3+63

4-23+63

A\AiA^3+63

44426+33

AiA^A<f3+3+31

共有12x3+3x6+1=55種.所以當圓周上有12個點時，滿足題意的連法有55種.

【答案】55種

7-8-2.幾何計數(shù)（二）

尊弟目強

1.掌握計數(shù)常用方法；

2.熟記一些計數(shù)公式及其推導方法；

3.根據(jù)不同題目靈活運用計數(shù)方法進行計數(shù).

本講主要介紹了計數(shù)的常用方法枚舉法、標數(shù)法、樹形圖法、插板法、對應法等，并滲透分類計數(shù)和用容

斥原理的計數(shù)思想.

頷視四彘

一、幾何計數(shù)

在幾何圖形中，有許多有趣的計數(shù)問題，如計算線段的條數(shù)，滿足某種條件的三角形的個數(shù)，若干個圖

分平面所成的區(qū)域數(shù)等等.這類問題看起來似乎沒有什么規(guī)律可循，但是通過認真分析，還是可以找到一些

處理方法的.常用的方法有枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等.〃條直線最多將平面分成

2+2+3+……+”=g（〃2+"+2）個部分；〃個圓最多分平面的部分數(shù)為。/>1）+2;"個三角形將平面最多分

成3。尸1）+2部分；〃個四邊形將平面最多分成44?1）+2部分……

在其它計數(shù)問題中，也經常用到枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等.解題時需要仔細審題、

綜合所學知識點逐步求解.

排列問題不僅與參加排列的事物有關，而且與各事物所在的先后順序有關；組合問題與各事物所在的先

后順序無關，只與這兩個組合中的元素有關.

二、幾何計數(shù)分類

數(shù)線段：如果一條線段上有91個點（包括兩個端點）（或含有"個“基本線段”），那么這91個點把這條

線段一共分成的線段總數(shù)為9（71）+…+2+1條

數(shù)角：數(shù)角與數(shù)線段相似，線段圖形中的點類似于角圖形中的邊.

數(shù)三角形：可用數(shù)線段的方法數(shù)如右圖所示的三角形（對應法），因為正上有15條線段，每條線段的

兩端點與點4相連，可構成一個三角形，共有15個三角形，同樣一邊在8c上的三角形也有15個，所以圖

中共有30個三角形.

數(shù)長方形、平行四邊形和正方形：一般的，對于任意長方形（平行四邊形），若其橫邊上共有〃條線段,

縱邊上共有6條線段，則圖中共有長方形（平行四邊形）6/7個.

模塊二、復雜的幾何計數(shù)

【例22]如下圖在釘子板上有16個點，每相鄰的兩個點之間距離都相等，用繩子在上面圍正方形，你可

以得到個正方形.

????

【考點】復雜的幾何計數(shù)【難度】4星【題型】填空

【關鍵詞】學而思杯，2年級，第4題

【解析】先看橫著的正方形如下圖⑴，可以得到9+4+1=14個正方形，再看斜著的正方形如下圖⑵可以得到

4個正方形，如下圖⑶可以得到2個正方形.這樣一共可以得到14+4+2=20個正方形.

〈考點〉圖形計數(shù)

【答案】20個

【鞏固】如圖，4x4的方格紙上放了16枚棋子，以棋子為頂點的正方形有_________個.

【解析】根據(jù)正方形的大小，分類數(shù)正方形.共能組成五種大小不同的正方形（如右圖）.

1x1的正方形：9個；2*2的正方形：4個；3x3的正方形：1個；

以1x1正方形對角線為邊長的正方形：4個；以1x2長方形對角線為邊長的正方形：2個.

故可以組成9+4+1+4+2=20（個）正方形.

【鞏固】下圖是3x3點陣，同一行（列）相鄰兩個點的距離均為1O以點陣中的三個點為頂點構成三角形，其中

面積為1的形狀不同的三角形有種。

*

【考點】復雜的幾何計數(shù)【難度】4星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，四年級，二試，第11題

【解析】在本題中，三角形的面積是1,底和高只能一個是1,一個是2,可以有以下三種情況:

K4

[例23]一塊木板上有13枚釘子（如左下圖用橡皮筋套住其中的幾枚釘子，可以構成三角形，正方

形，梯形，等等（如右下圖卜請回答：可以構成多少個正方形？

【考點】復雜的幾何計數(shù)

【關鍵詞】華杯賽，初賽，試題，第2題

【解析】如下圖所示，可以將正方形分為四類，分別有5個、1個、4個、1個，共11

個。

【答案】11個

【例24]在3x3的方格紙上（如圖1）,用鉛筆涂其中的5個方格，要求每橫行和每豎行列被涂方格的個

數(shù)都是奇數(shù)，如果兩種涂法經過旋轉后相同，則認為它們是相同類型的涂法，否則是不同類型的涂

法。例如圖2和圖3是相同類型的涂法?；卮鹱疃嘤卸嗌俜N不同類型的涂法？說明理由。

【考點】復雜的幾何計數(shù)【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】華杯賽，決賽，第10題，10分

【解析】不同類型的涂法有3種，如下圖4

AA

A

說明：①所涂5個陰影方格分布在3行中，只有一行涂有3個陰影方格.同樣，僅有一列涂有3個陰

影方格.②所以，僅有一個方格，它所在的行和列均有3個陰影方格，有這種性質的方格稱為“特征陰

影方格”.“特征陰影方格'在3x3正方格紙中的位置，就唯一地決定了3x3的方格紙的涂法.“特征陰

影方格”在方格紙的角上（圖力左邊）、外邊中間的方格（圖為中間）和中心的方格（圖力右邊）三

個位置確定了只有3種類型的涂法.

【答案】3種

【例25]在下面的圖中，包含蘋果的正方形一共有個.

【考點】復雜的幾何計數(shù)【難度】3星

【關鍵詞】學而思杯，1年級，第4題

【解析】包含1個基本正方形的帶蘋果正方形有1個，包含4個基本正方形的帶蘋果正方形有4個，包含9

個基本正方形的帶蘋果正方形有6個，包含16個基本正方形的帶蘋果正方形有2個，所以共有

1+4+6+2=13（個）.

＜考點＞圖形的計數(shù)方法之——分類計數(shù)

【答案】13個

【鞏固】圖中，不含“A”的正方形有個。

【考點】復雜的幾何計數(shù)【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，4年級，1試

【解析】面積為1的有15個，面積為4的有7個，面積為3的有2個，共24個.

【答案】24

【鞏固】圖中，不含工”的正方形有____________個。

【考點】復雜的幾何計數(shù)【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，四年級，二試，第10題

【解析】面積為1的有15個，面積為4的有5個，面積為9的沒有，所以不含力的有20個.

【答案】20個

【關鍵詞】學而思杯，4年級，第4題

【解析】根據(jù)乘法原理，所有長方形總數(shù)為（1+2+3+4+5+6戶（1+2+3+4+5+6）=441（個），包含☆的長方形有

3x3x4x4=144（個）,所以不包含☆的長方形有-9x16=21x21-9x16=441-144=297（個）.

【答案】297個

【例27]如圖，其中同時包括兩個☆的長方形有個.

【考點】復雜的幾何計數(shù)【難度】3星【題型】解答

【解析】先找出同時包括兩個☆的最小長方形，然后其余所有滿足題目要求的長方形都必須包括該最小長方

形.根據(jù)乘法原理2x2*2x3=24（種）不同的長方形.

【答案】24個

【例28】圖中含有“※”的長方形總共有

【考點】復雜的幾何計數(shù)【難度】3星【題型】解答

【解析】根據(jù)本題特點，可采用分類的方法計數(shù).按長方形的寬分類，數(shù)出含※號的長方形的個數(shù).

含有左上※號的長方形有：6+6+6=18個，

其中，寬為1（即高度為一層）的含※號的長方形為：6個；

寬為2（即高度為兩層）的含※號的長方形為：6個；

寬為3（即高度為三層）的含※號的長方形為：6個；

含有右上※號的長方形有：6+6x2+6=24個，

其中，寬為1（即高度為一層）的含※號的長方形為：6個；

寬為2（即高度為兩層）的含※號的長方形為：6x2個；

寬為3（即高度為三層）的含※號的長方形為：6個；

同時含有兩個※號的重復計算了，應減去，同時含有兩個※號的長方形有：4+4=8個，

其中，寬為2（即高度為兩層）的含※號的長方形為：4個；

寬為3（即高度為三層）的含※號的長方形為：4個；

所以，含有※號的長方形總共有：18+24-8=34個.

【答案】34個

【例29]在圖中，包含A的三角形一共有個。

【考點】復雜的幾何計數(shù)【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】學而思杯，2年級，第5題

【解析】包含五角星的三角形中含一個基本三角形的有1個；含四個基本三角形的有4個；含9個基本三角形

的有3個；含16個基本三角形的有1個。這樣包含五角星的三角形一共有1+4+3+1=9(個卜

【答案】9

【例30】右圖中有個正方形，___________個三角形，包含★的三角形有個.

【考點】復雜的幾何計數(shù)【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】學而思杯，2年級，第7題

【解析】正方形：正著的方塊有4個小的，1個大的，斜的方塊有4個小的，1個大的；以正方形共有10個。

三角形：小號的三角形有16個，其中有1個包含★

中號的三角形有16個，其中有2個包含★

大號的三角形有8個，其中有3個包含★

特大號的三角形有4個，其中有2個包含★

所以三角形有44個，包含★的有8個

【答案】正方形1()個，三角形44個，包含★的有8個

【例31]下圖是5x5的方格紙，小方格為邊長1厘米的正方形，圖中共有個正方形，所有這些正

方形的面積之和為O

【考點】復雜的幾何計數(shù)【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】走美杯，四年級，初賽，第14題

【解析】圖中面積為1、4、9、16、25平方厘米的正方形分別有25、16、9、4、1個，共有55個小正方形，

所有小正方形的面積和為259.

【答案】55個，面積和為259

【例32】由20個邊長為1的小正方形拼成一個4x5長方形中有一格有“☆”圖中含有“☆”的所有長方般含

正方形)共有個，它們的面積總和是.

【考點】復雜的幾何計數(shù)【難度】3星【題型】解答

【關鍵詞】走美杯，6年級，決賽，10題

【解析】根據(jù)鼠標法，☆左上角共有6個點，右下角有8個點，所以共有長方形有6x8=48(個)

面積總和為:(l+2+2+3+3+4+4+5)x(l+2+2+3+3+4)=360.

【答案】長方形48個，面積和為360

【例33】圖中內部有陰影的正方形共有個。

【考點】復雜的幾何計數(shù)【難度】3星【題型】填空

【關鍵詞】希望杯，五年級，一試，第10題

【解析】面積為1的正方形有8個，面積為4的正方形有8個，面積為9的正方形有8個，面積為16的正

方形有2個，共計26個.

【答案】26個

【例34]在圖中(單位：厘米)：

①一