福建華安一中、長泰一中等四校2024屆高二數(shù)學第二學期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

福建華安一中、長泰一中等四校2024屆高二數(shù)學第二學期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知高一（1）班有48名學生，班主任將學生隨機編號為01，02，……，48，用系統(tǒng)抽樣方法，從中抽8人，若05號被抽到了，則下列編號的學生被抽到的是（）A．16B．22C．29D．332．若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．河南洛陽的龍門石窟是中國石刻藝術(shù)寶庫之一，現(xiàn)為世界文化遺產(chǎn)，龍門石窟與莫高窟、云岡石窟、麥積山石窟并稱中國四大石窟．現(xiàn)有一石窟的某處“浮雕像”共7層，每上層的數(shù)量是下層的2倍，總共有1016個“浮雕像”，這些“浮雕像”構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案，若從最下層往上“浮雕像”的數(shù)量構(gòu)成一個數(shù)列，則的值為（）A．8 B．10 C．12 D．164．若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，，，則（）A． B． C．12 D．245．設(shè)集合，則下列結(jié)論正確的是()A． B． C． D．6．已知，則展開式中，項的系數(shù)為（）A． B． C． D．7．若，則（）A． B． C． D．8．已知A，B是半徑為的⊙O上的兩個點，·＝1，⊙O所在平面上有一點C滿足｜＋｜＝1，則｜｜的最大值為（）A．＋1 B．＋1 C．2＋1 D．+19．下列說法錯誤的是（）A．在統(tǒng)計學中，獨立性檢驗是檢驗兩個分類變量是否有關(guān)系的一種統(tǒng)計方法B．在殘差圖中，殘差分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模擬的效果越好C．線性回歸方程對應(yīng)的直線至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點中的一個點D．在回歸分析中，相關(guān)指數(shù)越大，模擬的效果越好10．在的展開式中，的冪指數(shù)是整數(shù)的共有A．3項 B．4項 C．5項 D．6項11．設(shè)是等差數(shù)列的前項和，已知，，則等于（）．A． B． C． D．12．復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點不可能在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列{2n－1·an}的前n項和Sn＝9－6n，則數(shù)列{an}的通項公式是________．14．若對甲、乙、丙3組不同的數(shù)據(jù)作線性相關(guān)性檢驗，得到這3組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)依次為0.83,0.72，-0.90，則線性相關(guān)程度最強的一組是_______.（填甲、乙、丙中的一個）15．如圖，在邊長為e（e為自然對數(shù)的底數(shù)）的正方形中隨機撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為_____．16．已知函數(shù)在處切線方程為,若對恒成立，則_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）甲、乙兩位同學進入新華書店購買數(shù)學課外閱讀書籍，經(jīng)過篩選后，他們都對三種書籍有購買意向，已知甲同學購買書籍的概率分別為,乙同學購買書籍的概率分別為,假設(shè)甲、乙是否購買三種書籍相互獨立.（1）求甲同學購買3種書籍的概率；（2）設(shè)甲、乙同學購買2種書籍的人數(shù)為,求的概率分布列和數(shù)學期望.18．（12分）設(shè)，，其中a，．Ⅰ求的極大值；Ⅱ設(shè)，，若對任意的，恒成立，求a的最大值；Ⅲ設(shè)，若對任意給定的，在區(qū)間上總存在s，，使成立，求b的取值范圍．19．（12分）已知橢圓的離心率為，其中左焦點.（1）求出橢圓的方程；（2）若直線與曲線交于不同的兩點，且線段的中點在曲線上，求的值.20．（12分）已知函數(shù)，其中均為實數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)．（I）求函數(shù)的極值；（II）設(shè)，若對任意的，恒成立，求實數(shù)的最小值．21．（12分）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.22．（10分）已知函數(shù)，．(Ⅰ)當時，證明：；(Ⅱ)的圖象與的圖象是否存在公切線（公切線：同時與兩條曲線相切的直線）？如果存在，有幾條公切線，請證明你的結(jié)論．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義求出樣本間隔即可.【題目詳解】樣本間隔為48÷18=6，則抽到的號碼為5+6（k﹣1）=6k﹣1，當k=2時，號碼為11，當k=3時，號碼為17，當k=4時，號碼為23，當k=5時，號碼為29，故選：C．【題目點撥】本題主要考查系統(tǒng)抽樣的定義和方法，屬于簡單題．2、A【解題分析】，所以，選A.3、C【解題分析】

數(shù)列，是等比數(shù)列，公比為2，前7項和為1016，由此可求得首項，得通項公式，從而得結(jié)論．【題目詳解】最下層的“浮雕像”的數(shù)量為，依題有：公比，解得，則，，從而，故選C．【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的應(yīng)用．數(shù)列應(yīng)用題求解時，關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)抽象出數(shù)列的條件，然后利用數(shù)列的知識求解．4、D【解題分析】

由，利用等比中項的性質(zhì)，求出，利用等比數(shù)列的通項公式即可求出．【題目詳解】解：數(shù)列是等比數(shù)列，各項均為正數(shù)，，所以，所以．所以，故選D．【題目點撥】本題考查了等比數(shù)列的通項公式，等比中項的性質(zhì)，正確運算是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解題分析】分析：先根據(jù)解分式不等式得集合N，再根據(jù)數(shù)軸判斷集合M,N之間包含關(guān)系，以及根據(jù)交集定義求交集.詳解：因為，所以,因此，，選B.點睛：集合的基本運算的關(guān)注點(1)看元素組成．集合是由元素組成的，從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運算問題的前提．(2)有些集合是可以化簡的，先化簡再研究其關(guān)系并進行運算，可使問題簡單明了，易于解決．(3)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標系和Venn圖．6、B【解題分析】

==﹣1，則二項式的展開式的通項公式為Tr+1=﹣?，令9﹣2r=3，求得r=3，∴展開式中x3項的系數(shù)為﹣?=﹣，故選B【題目點撥】本題考查集合的混合運算.7、A【解題分析】

根據(jù)誘導(dǎo)公式和余弦的倍角公式，化簡得，即可求解．【題目詳解】由題意，可得，故選A．【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值問題，其中解答中合理配湊，以及準確利用誘導(dǎo)公式和余弦的倍角公式化簡、運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解題分析】

先由題意得到，根據(jù)向量的數(shù)量積求出，以O(shè)為原點建立平面直角坐標系，設(shè)A（，）得到點B坐標，再設(shè)C（x，y），根據(jù)點B的坐標，根據(jù)題中條件，即可求出結(jié)果.【題目詳解】依題意，得：，因為，所以，＝1，得：，以O(shè)為原點建立如下圖所示的平面直角坐標系，設(shè)A（，），則B（，）或B（，）設(shè)C（x，y），當B（，）時，則＝（＋－x，＋－y）由｜＋｜＝1，得：＝1，即點C在1為半徑的圓上，A（，）到圓心的距離為：＝｜｜的最大值為＋1當B（，）時，結(jié)論一樣．故選A【題目點撥】本題主要考查向量模的計算，熟記向量的幾何意義，以及向量模的計算公式，即可求解，屬于?？碱}型.9、C【解題分析】對于A，統(tǒng)計學中，獨立性檢驗是檢驗兩個分類變量是否有關(guān)系的一種統(tǒng)計方法，正確；對于B，殘差圖中，殘差分布的帶狀區(qū)域的寬度越狹窄，其模擬的效果越好，正確；對于C，線性回歸方程對應(yīng)的直線過樣本中心點，不一定過樣本數(shù)據(jù)中的點，故C錯誤；對于D，回歸分析中，相關(guān)指數(shù)R2越大，其模擬的效果就越好，正確．故選C.10、D【解題分析】

根據(jù)題目，寫出二次項展開式的通項公式，即可求出的冪指數(shù)是整數(shù)的項的個數(shù)?！绢}目詳解】由題意知，要使的冪指數(shù)是整數(shù)，則必須是的倍數(shù)，故當滿足條件。即的冪指數(shù)是整數(shù)的項共有項，故答案選D。【題目點撥】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是熟記二項展開式的公式。11、C【解題分析】試題分析：依題意有，解得，所以.考點：等差數(shù)列的基本概念.【易錯點晴】本題主要考查等差數(shù)列的基本概念.在解有關(guān)等差數(shù)列的問題時可以考慮化歸為和等基本量，通過建立方程(組)獲得解．即等差數(shù)列的通項公式及前項和公式，共涉及五個量，知其中三個就能求另外兩個,即知三求二，多利用方程組的思想，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題,注意要弄準它們的值.運用方程的思想解等差數(shù)列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量、，掌握好設(shè)未知數(shù)、列出方程、解方程三個環(huán)節(jié)，常通過“設(shè)而不求，整體代入”來簡化運算．12、C【解題分析】

把復(fù)數(shù)化為形式，然后確定實部與虛部的取值范圍．【題目詳解】，時，，對應(yīng)點在第二象限；時，，對應(yīng)點在第四象限；時，，對應(yīng)點在第一象限．或時，對應(yīng)點在坐標軸上；∴不可能在第三象限．故選：C．【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算，考查復(fù)數(shù)的幾何意義．解題時把復(fù)數(shù)化為形式，就可以確定其對應(yīng)點的坐標．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、an＝【解題分析】當n＝1時，20·a1＝S1＝3，∴a1＝3.當n≥2時，2n－1·an＝Sn－Sn－1＝－6.∴an＝－.∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝.14、丙【解題分析】

根據(jù)兩個變量y與x的回歸模型中，相關(guān)系數(shù)|r|的絕對值越接近于1，其相關(guān)程度越強即可求解．【題目詳解】兩個變量y與x的回歸模型中，它們的相關(guān)系數(shù)|r|越接近于1，這個模型的兩個變量線性相關(guān)程度就越強，在甲、乙、丙中，所給的數(shù)值中﹣0.90的絕對值最接近1，所以丙的線性相關(guān)程度最強．故答案為丙．【題目點撥】本題考查了利用相關(guān)系數(shù)判斷兩個變量相關(guān)性強弱的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．15、【解題分析】

互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以兩個陰影部分也關(guān)于直線對稱.利用面積分割和定積分求出上部分陰影面積，再乘以2得到整個陰影面積.【題目詳解】如圖所示，連接，易得，，.【題目點撥】考查靈活運用函數(shù)圖象的對稱性和定積分求解幾何概型，對邏輯思維能力要求較高.本題在求陰影部分面積時，只能先求上方部分，下方部分中學階段無法直接求.16、【解題分析】

先求出切線方程，則可得到，令，從而轉(zhuǎn)化為在R上恒為增函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究單調(diào)性即可得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意得，故切線方程為，即，令，此時，由于對恒成立，轉(zhuǎn)化為，則在R上恒為增函數(shù)，，此時，而，當時，，當時，，于是在處取得極小值，此時，而在R上恒為增函數(shù)等價于在R上恒成立，即即可，由于為極小值，則此時只能，故答案為2.【題目點撥】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)極值，意在考查學生的分析能力，轉(zhuǎn)化能力，計算能力，難度思維較大.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）分布列見解析，.【解題分析】

（1）這是相互獨立事件，所以甲購買書籍的概率直接相乘即可.（2）基本事件為甲購買兩本書和乙購買兩本書的概率，所以先求出基本事件的概率，然后再求分布列.【題目詳解】（1）記“甲同學購買3種書籍”為事件A，則.答：甲同學購買3種書籍的概率為.（2）設(shè)甲、乙同學購買2種書籍的概率分別為，.則，，所以，所以.，，.所以X的概率分布為X012P.答：所求數(shù)學期望為.【題目點撥】本題考查相互獨立事件的概率，考查二項分布獨立重復(fù)事件的概率的求法，解題的關(guān)鍵是找出基本事件的概率，屬于中檔題.18、（Ⅰ）1；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解題分析】

Ⅰ求出的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間，進而求得的極大值；Ⅱ當，時，求出的導(dǎo)數(shù)，以及的導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，去掉絕對值可得，構(gòu)造函數(shù)，求得的導(dǎo)數(shù)，通過分離參數(shù)，求出右邊的最小值，即可得到a的范圍；Ⅲ求出的導(dǎo)數(shù)，通過單調(diào)區(qū)間可得函數(shù)在上的值域為，由題意分析時，結(jié)合的導(dǎo)數(shù)得到在區(qū)間上不單調(diào)，所以，，再由導(dǎo)數(shù)求得的最小值，即可得到所求范圍．【題目詳解】Ⅰ，當時，，在遞增；當時，，在遞減．則有的極大值為；Ⅱ當，時，，，在恒成立，在遞增；由，在恒成立，在遞增．設(shè)，原不等式等價為，即，，在遞減，又，在恒成立，故在遞增，，令，，∴，在遞增，即有，即；Ⅲ，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減．又因為，，，所以，函數(shù)在上的值域為．由題意，當取的每一個值時，在區(qū)間上存在，與該值對應(yīng)．時，，，當時，，單調(diào)遞減，不合題意，當時，時，，由題意，在區(qū)間上不單調(diào)，所以，，當時，，當時，0'/>所以，當時，，由題意，只需滿足以下三個條件：，，使．，所以成立由，所以滿足，所以當b滿足即時，符合題意，故b的取值范圍為．【題目點撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值，主要考查不等式恒成立和存在性問題，注意運用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)通過導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出最值，屬于難題．19、（1）（2）或【解題分析】

（1）根據(jù)離心率和焦點坐標求出，從而得到橢圓方程；（2）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理表示出點橫坐標，代入直線得到坐標；再將代入曲線方程，從而求得.【題目詳解】（1）由題意得：，解得：，所以橢圓的方程為：（2）設(shè)點，，線段的中點為由，消去得由，解得：所以，因為點在曲線上所以解得：或【題目點撥】本題考查直線與橢圓的綜合應(yīng)用問題，關(guān)鍵是能夠通過聯(lián)立，將中點坐標利用韋達定理表示出來，從而利用點在曲線上構(gòu)造方程，求得結(jié)果.20、（1）當時，取得極大值，無極小值；（2）.【解題分析】試題分析：（1）由題對得，研究其單調(diào)性，可得當時，取得極大值，無極小值；（2）由題當時，，由單調(diào)性可得在區(qū)間上為增函數(shù)，根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，由單調(diào)性可得在區(qū)間上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則等價于，即，故又構(gòu)造函數(shù)，可知在區(qū)間上為減函數(shù)，∴在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，∴，設(shè)則，∵，∴，則在區(qū)間上為減函數(shù)，∴在區(qū)間上的最大值，∴，試題解析：（1）由題得，，令，得．，列表如下：1大于00小于0極大值∴當時，取得極大值，無極小值；（2）當時，，∵在區(qū)間上恒成立，∴在區(qū)間上為增函數(shù)，設(shè)，∵在區(qū)間上恒成立，∴在區(qū)間上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則等價于，即，設(shè)，則在區(qū)間上為減函數(shù)，∴在區(qū)間上恒成立，∴在區(qū)間上恒成立，∴，設(shè)，∵，∴，則在區(qū)間上為減函數(shù)，∴在區(qū)間上的最大值，∴，∴實數(shù)的最小值為．點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)時的綜合應(yīng)用，屬難題.解題時要認真研究題意，進而構(gòu)造新函數(shù)賓研究其性質(zhì)以達到解決問題的目的21、(1)；(2).【解題分析】試題分析：（1）由等差數(shù)列的定義和通項公式可得an；運用數(shù)列的遞推式：當n=1時，b1=S1，當n≥2時，bn=Sn-Sn-1，即可得到{bn}的通項公式；

（2）由（1）知cn=，運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和．試題解析：（1）因為，，所以為首項是1，公差為2的等差數(shù)列，所以又當時，，所以，當時，…①…②由①-②得，即，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列，故.（2）由（1）知，則①②①-②得所以點睛：用錯位相減法求和應(yīng)注意的問題(1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式；(3)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.22、（Ⅰ）見解析（Ⅱ）曲線y＝f（x），y＝g（x