浙江省溫州市蒼南縣金鄉(xiāng)衛(wèi)城中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末聯(lián)考模擬試題含解析

浙江省溫州市蒼南縣金鄉(xiāng)衛(wèi)城中學2024屆數(shù)學高二第二學期期末聯(lián)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設函數(shù)，若是函數(shù)的極大值點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．設,則（）A． B． C． D．3．點A、B在以PC為直徑的球O的表面上，且AB⊥BC，AB=2，BC=4，若球O的表面積是24π，則異面直線PB和AC所成角余弦值為（）A．33 B．32 C．104．對于不重合的兩個平面α與β，給定下列條件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α、β都平行于γ；③α內有不共線的三點到β的距離相等；④存在異面直線l，m，使得l//α，l//β，m//α，m//β其中，可以判定α與β平行的條件有（）A．1個B．2個C．3個D．4個5．如果函數(shù)的圖象如下圖，那么導函數(shù)的圖象可能是（）A． B． C． D．6．某縣城中學安排4位教師去3所不同的村小支教，每位教師只能支教一所村小，且每所村小有老師支教．甲老師主動要求去最偏遠的村小A，則不同的安排有（）A．6 B．12 C．18 D．247．關于“斜二測”畫圖法，下列說法不正確的是（）A．平行直線的斜二測圖仍是平行直線B．斜二測圖中，互相平行的任意兩條線段的長度之比保持原比例不變C．正三角形的直觀圖一定為等腰三角形D．在畫直觀圖時，由于坐標軸的選取不同，所得的直觀圖可能不同8．參數(shù)方程（θ∈R）表示的曲線是（）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線9．小明同學喜歡籃球，假設他每一次投籃投中的概率為，則小明投籃四次，恰好兩次投中的概率是（）A． B． C． D．10．若函數(shù)，則()A．0 B．-1 C． D．111．函數(shù)的極大值為（）A．3 B． C． D．212．三世紀中期，魏晉時期的數(shù)學家劉徽首創(chuàng)割圓術，為計算圓周率建立了嚴密的理論和完善的算法.所謂割圓術，就是不斷倍增圓內接正多邊形的邊數(shù)求出圓周率的方法.如圖是劉徽利用正六邊形計算圓周率時所畫的示意圖，現(xiàn)向圓中隨機投擲一個點，則該點落在正六邊形內的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)為偶函數(shù)，對任意滿足，當時，.若函數(shù)至少有個零點，則實數(shù)的取值范圍是____________．14．過坐標原點作曲線的切線，則曲線、直線與軸所圍成的封閉圖形的面積為______15．執(zhí)行如圖所示的程序框圖則輸出的實數(shù)m的值為______．16．曲線繞坐標原點順時針旋轉后得到的曲線的方程為____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在三棱錐中，，，為的中點．（1）證明：平面；（2）若點在棱上，且，求點到平面的距離．18．（12分）已知數(shù)列的前項和為，且滿足（1）求，，的值，并猜想數(shù)列的通項公式并用數(shù)學歸納法證明；（2）令，求數(shù)列的前項和．19．（12分）對于給定的常數(shù),設隨機變量.（1）求概率.①說明它是二項式展開式中的第幾項；②若,化簡：；（2）設，求，其中為隨機變量的數(shù)學期望.20．（12分）如圖，在矩形中，，，是的中點，以為折痕將向上折起，變?yōu)?，且平面平面．?）求證：；（2）求二面角的大小．21．（12分）已知直線的極坐標方程為，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）（Ⅰ）求直線的直角坐標方程和曲線的普通方程;（Ⅱ）若過且與直線垂直的直線與曲線相交于兩點，，求.22．（10分））已知.（I）試猜想與的大小關系；（II）證明（I）中你的結論.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】分析：的定義域為，由得所以能求出的取值范圍．詳解：的定義域為，由得

所以．

①若，當時，，此時單調遞增；

當時，，此時單調遞減．所以是函數(shù)的極大值點．

滿足題意，所以成立．

②若，由，得，當時，即，此時

當時，，此時單調遞增；

當時，，此時單調遞減．所以是函數(shù)的極大值點．

滿足題意，所以成立．．

如果函數(shù)取得極小值，不成立；

②若，由，得．

因為是f（x）的極大值點，成立；

綜合①②：的取值范圍是．

故選：A．點睛：本題考查函數(shù)的單調性、極值等知識點的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．2、A【解題分析】

利用中間值、比較大小，即先利用確定三個數(shù)的正負，再將正數(shù)與比較大小，可得出三個數(shù)的大小關系．【題目詳解】由于函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，則，且，，由于函數(shù)在定義域上是減函數(shù)，則，函數(shù)在定義域上是增函數(shù)，則，因此，，故選A.【題目點撥】本題考查指對數(shù)混合比大小，常用方法就是利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調性，結合中間值法來建立橋梁來比較各數(shù)的大小關系，屬于?？碱}，考查分析問題的能力，屬于中等題．3、C【解題分析】

首先作出圖形，計算出球的半徑，通過幾何圖形，找出異面直線PB和AC所成角，通過余弦定理即可得到答案.【題目詳解】設球O的半徑為R,則4πR2=24π，故R=6，如圖所示：分別取PA,PB,BC的中點M,N,E，連接MN,NE,ME,AE，易知，PA⊥平面ABC，由于AB⊥BC，所以AC=AB2+BC2=25，所以PA=PC2-AC2=2，因為E為BC的中點，則AE=AB2+BE2=2cos∠MNE=MN2+NE2-M【題目點撥】本題主要考查外接球的相關計算，異面直線所成角的計算.意在考查學生的空間想象能力，計算能力和轉化能力，難度較大.4、B【解題分析】試題分析：直線與平面的位置關系，平面與平面的位置關系，對選項進行逐一判斷，確定正確選項即可．：①α與β平行．此時能夠判斷①存在平面γ，使得α，②存在平面γ，使得α，β都垂直于γ；可以判定α與β平行，如正方體的底面與相對的側面．也可能α與β不平行．②不正確．③不能判定α與β平行．如α面內不共線的三點不在β面的同一側時，此時α與β相交；④可以判定α與β平行．∵可在α面內作l'∥l，m'∥m，則l'與考點：平面與平面平行的性質；平面與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．5、A【解題分析】試題分析：的單調變化情況為先增后減、再增再減因此的符號變化情況為大于零、小于零、大于零、小于零，四個選項只有A符合，故選A.考點：1、函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系；2、函數(shù)圖象的應用.【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調性，導數(shù)的應用以及數(shù)學化歸思想，屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意選項一一排除.6、B【解題分析】

按照村小A安排一個人和安排兩個人兩種情況分類討論，按先分組后排序的方法，計算出不同的安排總數(shù).【題目詳解】村小A安排一人，則有；村小A若安排2人，則有.故共有.選B.【題目點撥】本小題主要考查分類加法計算原理，考查簡單的排列組合計算問題，屬于基礎題.7、C【解題分析】

根據(jù)斜二測畫法的特征，對選項中的命題進行分析、判斷正誤即可．【題目詳解】解：對于A，平行直線的斜二測圖仍是平行直線，A正確；對于B，斜二測圖中，互相平行的任意兩條線段的長度之比保持原比例不變，B正確；對于C，正三角形的直觀圖不一定為等腰三角形，如圖所示；∴C錯誤；對于D，畫直觀圖時，由于坐標軸的選取不同，所得的直觀圖可能不同，D正確．故選：C．【題目點撥】本題考查了斜二測畫法的特征與應用問題，是基礎題．8、A【解題分析】

利用平方關系式消去參數(shù)可得即可得到答案.【題目詳解】由可得，所以，化簡得.故選：A【題目點撥】本題考查了參數(shù)方程化普通方程，考查了平方關系式，考查了圓的標準方程，屬于基礎題.9、D【解題分析】分析：利用二項分布的概率計算公式：概率即可得出．詳解：：∵每次投籃命中的概率是，

∴在連續(xù)四次投籃中，恰有兩次投中的概率．

故在連續(xù)四次投籃中，恰有兩次投中的概率是．故選D.點睛：本題考查了二項分布的概率計算公式，屬于基礎題．10、B【解題分析】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式代入自變量即可求出函數(shù)值.【題目詳解】因為,所以，，因為，所以，故，故選B.【題目點撥】本題主要考查了分段函數(shù)，屬于中檔題.11、B【解題分析】

求得函數(shù)的導數(shù)，得出函數(shù)的單調性，再根據(jù)集合的定義，即可求解.【題目詳解】由題意，函數(shù)，則，令，即，解得或，令，即，解得，即函數(shù)在上函數(shù)單調遞增，在上函數(shù)單調遞減，所以當時，函數(shù)取得極大值，極大值，故選B.【題目點撥】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，以及求解函數(shù)的極值問題，其中解答中熟記導數(shù)與原函數(shù)的單調性之間的關系，以及極值的概念是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.12、A【解題分析】設圓的半徑為，則圓的面積，正六邊形的面積，所以向圓中隨機投擲一個點，該點落在正六邊形內的概率，故選A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)偶函數(shù)性質及解析式滿足的條件，可知的對稱軸和周期，并由時的解析式，畫出函數(shù)圖像；根據(jù)導數(shù)的幾何意義，求得時的解析式，即可求得的臨界值，進而確定的取值范圍.【題目詳解】函數(shù)至少有個零點，由可得函數(shù)為偶函數(shù)，對任意滿足，則函數(shù)圖像關于對稱，函數(shù)為周期的周期函數(shù)，當時，，則的函數(shù)圖像如下圖所示：由圖像可知，根據(jù)函數(shù)關于軸對稱可知，若在時至少有兩個零點，則滿足至少有個零點，即在時至少有兩個交點；當與相切時，滿足有兩個交點；則，設切點為，則，解方程可得，由導數(shù)的幾何意義可知，所以滿足條件的的取值范圍為.故答案為：.【題目點撥】本題考查了函數(shù)零點的應用，方程與函數(shù)的綜合應用，根據(jù)導數(shù)求函數(shù)的交點情況，數(shù)形結合法求參數(shù)的取值范圍，屬于難題.14、.【解題分析】

設切點為，先求函數(shù)導數(shù)得切線斜率，進而得切線方程，代入點可得切線方程，進而由定積分求面積即可.【題目詳解】設切點為，因為，所以，因此在點處的切線斜率為，所以切線的方程為，即；又因為切線過點，所以，解得，所以，即切點為，切線方程為，作出所圍圖形的簡圖如下：因此曲線、直線與軸所圍成的封閉圖形的面積為.【題目點撥】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義的應用，考查了利用微積分基本定理求解圖形面積，屬于中檔題.15、1【解題分析】

先要通讀程序框圖，看到程序中有循環(huán)結構，然后代入初值，看是否進入循環(huán)體，是就執(zhí)行循環(huán)體，寫清每次循環(huán)的結果；不是就退出循環(huán)，看清要輸出的是何值．【題目詳解】模擬執(zhí)行程序，可得，滿足條件，，滿足條件，，滿足條件，，滿足條件，，滿足條件，，滿足條件，，滿足條件，，滿足條件，，滿足條件，，滿足條件，，不滿足條件，退出循環(huán)，輸出m的值為1．故答案為：1．【題目點撥】本題考查程序框圖要掌握常見的當型、直到型循環(huán)結構；以及會判斷條件結構，并得到條件結構的結果；在已知框圖的條件下，可以得到框圖的結果．16、；【解題分析】

曲線繞坐標原點順時針旋轉，這個變換可分成兩個步驟：先是關于直線對稱，再關于軸對稱得到.【題目詳解】繞坐標原點順時針旋轉90°等同于先關于直線翻折，再關于軸翻折，關于直線翻折得到，再關于軸翻折得到.【題目點撥】本題表面考查旋轉變換，而實質考查的是兩次的軸對稱變換，要注意指數(shù)函數(shù)與同底數(shù)的對數(shù)函數(shù)關于直線對稱.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）詳見解析（1）．【解題分析】分析：（1）連接，欲證平面，只需證明即可；（1）過點作，垂足為，只需論證的長即為所求，再利用平面幾何知識求解即可.詳解：（1）因為AP=CP=AC=4，O為AC的中點，所以OP⊥AC，且OP=．連結OB．因為AB=BC=，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==1．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（1）作CH⊥OM，垂足為H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的長為點C到平面POM的距離．由題設可知OC==1，CM==，∠ACB=45°．所以OM=，CH==．所以點C到平面POM的距離為．點睛：立體幾何解答題在高考中難度低于解析幾何，屬于易得分題，第一問多以線面的證明為主，解題的核心是能將問題轉化為線線關系的證明；本題第二問可以通過作出點到平面的距離線段求解，也可利用等體積法解決.18、（1），，，猜想，見解析；（2）【解題分析】

（1）分別計算，，，猜想得，然后依據(jù)數(shù)學歸納法的證明步驟，可得結果.（2）根據(jù)（1）得，然后利用裂項相消法，可得結果.【題目詳解】（1）當時，，解得當時，，即，得當時，，即，得猜想，下面用數(shù)學歸納法證明：當時，，猜想成立假設當時，猜想成立，即，，則當時，，∴，，所以猜想成立綜上所述，對于任意，均成立．（2）由（1）得所以則【題目點撥】本題考查數(shù)學歸納法證明方法以及裂項相消法求和，熟練掌握數(shù)學歸納法的步驟，同時對常用的求和方法要熟悉，屬基礎題.19、(1);①;②;（2）.【解題分析】

(1)由二項分布的通項公式可得答案；①對比二項展開式可得項數(shù)；②將展開對比可得答案；（2）通過二項分布期望公式即得答案.【題目詳解】(1)由于隨機變量，故；它是二項式展開式中的第項；若，則，所以；（2）由（1）知，而，故，，所以.【題目點撥】本題主要考查二項分布與二項式定理的聯(lián)系，意在考查學生的分析能力，轉化能力，計算能力，難度中等.20、（1）見證明；（2）90°【解題分析】

（1）利用垂直于所在的平面，從而證得；（2）找到三條兩兩互相垂直的直線，建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，再分別求出兩個面的法向量，，最后求法向量的夾角的余弦值，進而得到二面角的大小.【題目詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，∵，，，∴，，∴.（2）如圖建立空間直角坐標系，則、、、、，從而，，.設為平面的法向量，則令，所以，設為平面的法向量，則，令，所以，因此，，有，即，故二面角的大小為.【題目點撥】證明線線垂直的一般思路：證明一條直線垂直于另一條直線所在的平面，所以根據(jù)題目所給的圖形，觀察并確定哪一條線垂直于哪一條線所在的平面，是證明的關鍵.21