2024屆安徽省黃山市屯溪區(qū)屯溪第一中學高二數學第二學期期末質量檢測模擬試題含解析

2024屆安徽省黃山市屯溪區(qū)屯溪第一中學高二數學第二學期期末質量檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列函數一定是指數函數的是（）A． B． C． D．2．已知離散型隨機變量的分布列如下，則（）024A．1 B．2 C．3 D．43．化簡的結果是（）A． B． C． D．4．已知函數f(x)=xex2+axeA．1 B．-1 C．a D．-a5．以下幾個命題中：①線性回歸直線方程恒過樣本中心；②用相關指數可以刻畫回歸的效果，值越小說明模型的擬合效果越好；③隨機誤差是引起預報值和真實值之間存在誤差的原因之一，其大小取決于隨機誤差的方差；④在含有一個解釋變量的線性模型中，相關指數等于相關系數的平方.其中真命題的個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．從裝有3個白球,4個紅球的箱子中,隨機取出了3個球,恰好是2個白球,1個紅球的概率是()A． B． C． D．7．曲線和直線所圍成圖形的面積是（）A．4 B．6 C．8 D．108．中國古代數學著作《算法統(tǒng)宗》巾有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還”其大意為：“有人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地．”問此人第4天和第5天共走了A．60里 B．48里 C．36里 D．24里9．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，點是兩曲線的一個公共點，且，若橢圓離心率，則雙曲線的離心率（）A． B． C．3 D．410．雙曲線x2A．23 B．2 C．3 D．11．若=（4，2，3）是直線l的方向向量，=（-1，3，0）是平面α的法向量，則直線l與平面α的位置關系是A．垂直 B．平行C．直線l在平面α內 D．相交但不垂直12．將紅、黑、藍、黃4個不同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子至少放一個球，且紅球和藍球不能放在同一個盒子，則不同的放法的種數為（）A．18B．24C．30D．36二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知復數的共軛復數是，且，則的虛部是__________．14．已知向量，則向量的單位向量______．15．若一個圓錐的側面展開圖是面積為的半圓面，則該圓錐的體積為.16．下表為生產產品過程中產量（噸）與相應的生產耗能（噸）的幾組相對應數據：根據上表提供的數據，得到關于的線性回歸方程為，則__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，，分別為內角，，的對邊，.（1）求；（2）若，的面積為，求的周長.18．（12分）已知橢圓：的離心率為，直線被圓截得的弦長為.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線交橢圓于，兩點，在軸上是否存在定點，使得為定值？若存在，求出點的坐標和的值；若不存在，請說明理由.19．（12分）已知橢圓E：的離心率為分別是它的左、右焦點，.（1）求橢圓E的方程；（2）過橢圓E的上頂點A作斜率為的兩條直線AB，AC，兩直線分別與橢圓交于B，C兩點，當時，直線BC是否過定點？若是求出該定點，若不是請說明理由.20．（12分）某市一次全市高中男生身高統(tǒng)計調查數據顯示：全市10萬名男生的身高服從正態(tài)分布.現從某學校高中男生中隨機抽取50名測量身高，測量發(fā)現被測學生身高全部介于160cm和190cm之間，將身高的測量結果按如下方式分成5組：第1組[160,166)，第2組[166，172)，...，第5組[184，190]下表是按上述分組方法得到的頻率分布表：分組[160，166)[166，172)[172，178)[178，184)[184，190]人數31024103這50個數據的平均數和方差分別比10萬個數據的平均數和方差多1和6.68，且這50個數據的方差為.(同組中的身高數據用該組區(qū)間的中點值作代表)：(1)求，；(2)給出正態(tài)分布的數據：，.(i)若從這10萬名學生中隨機抽取1名，求該學生身高在(169,179)的概率；(ii)若從這10萬名學生中隨機抽取1萬名，記為這1萬名學生中身高在(169，184)的人數，求的數學期望.21．（12分）臍橙營養(yǎng)豐富，含有人體所必需的各類營養(yǎng)成份，若規(guī)定單個臍橙重量（單位：千克）在[0.1，0.3）的臍橙是“普通果”，重量在[0.3，0.5）的磨橙是“精品果”，重量在[0.5，0.7]的臍橙是“特級果”，有一果農今年種植臍橙，大獲豐收為了了解臍橙的品質，隨機摘取100個臍橙進行檢測，其重量分別在[0.1，0.2），[0.2，0.3），[0.3，0.4），[0.4，0.5），[0.5，0.6），[0.6，0.7]中，經統(tǒng)計得到如圖所示頻率分布直方圖（1）將頻率視為概率，用樣本估計總體．現有一名消費者從臍橙果園中，隨機摘取5個臍橙，求恰有3個是“精品果”的概率．（2）現從摘取的100個臍橙中，采用分層抽樣的方式從重量為[0.4，0.5），[0.5，0.6）的臍橙中隨機抽取10個，再從這10個抽取3個，記隨機變量X表示重量在[0.5，0.6）內的臍橙個數，求X的分布列及數學期望．22．（10分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P為△ABC內一點，∠BPC＝90°.(1)若PB＝，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據指數函數定義，逐項分析即可.【題目詳解】A：中指數是，所以不是指數函數，故錯誤；B：是冪函數，故錯誤；C：中底數前系數是，所以不是指數函數，故錯誤；D：屬于指數函數，故正確.故選D.【題目點撥】指數函數和指數型函數：形如（且）的是指數函數，形如（且且且）的是指數型函數.2、B【解題分析】

先計算，再根據公式計算得到【題目詳解】故答案選B【題目點撥】本題考查了方差的計算，意在考查學生的計算能力.3、A【解題分析】

根據平面向量加法及數乘的幾何意義，即可求解，得到答案．【題目詳解】根據平面向量加法及數乘的幾何意義，可得，故選A．【題目點撥】本題主要考查了平面向量的加法法則的應用，其中解答中熟記平面向量的加法法則是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．4、A【解題分析】

令xex=t，構造g(x)=xex，要使函數f(x)=xex2+axex-a有三個不同的零點x1,x2,x【題目詳解】令xex=t，構造g(x)=xex，求導得g'(x)=故g(x)在-∞,1上單調遞增，在1,+∞上單調遞減，且x<0時，g(x)<0，x>0時，g(x)>0，g(x)max=g(1)=1e，可畫出函數g(x)的圖象（見下圖），要使函數f(x)=xex2+axex-a有三個不同的零點x1,x若a>0，即t1+t2=-a<0t1故1-x若a<-4，即t1+t2=-a>4t1?故選A.【題目點撥】解決函數零點問題，常常利用數形結合、等價轉化等數學思想.5、C【解題分析】

由線性回歸直線恒過樣本中心可判斷①，由相關指數的值的大小與擬合效果的關系可判斷②，由隨機誤差和方差的關系可判斷③，由相關指數和相關系數的關系可判斷④.【題目詳解】①線性回歸直線方程恒過樣本中心,所以正確.②用相關指數可以刻畫回歸的效果，值越大說明模型的擬合效果越好，所以錯誤.③隨機誤差是引起預報值和真實值之間存在誤差的原因之一，其大小取決于隨機誤差的方差；所以正確.④在含有一個解釋變量的線性模型中，相關指數等于相關系數的平方,所以正確.所以①③④正確.故選：C【題目點撥】本題考查線性回歸直線方程和相關指數刻畫回歸效果、以及與相關系數的變形，屬于基礎題.6、C【解題分析】分析：根據古典概型計算恰好是2個白球1個紅球的概率.詳解：由題得恰好是2個白球1個紅球的概率為.故答案為:C.點睛：（1）本題主要考查古典概型，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)古典概型的解題步驟:①求出試驗的總的基本事件數；②求出事件A所包含的基本事件數；③代公式=.7、C【解題分析】分析：先根據題意畫出區(qū)域，然后依據圖形得到積分下限為0，積分上限為2，從而利用定積分表示出曲邊梯形的面積，最后用定積分的定義求出所求即可.詳解：曲線和直線的交點坐標為（0,0）,(2,2),(-2,-2),根據題意畫出圖形，曲線和直線所圍成圖形的面積是.故選C.點睛：該題所考查的是求曲線圍成圖形的面積問題，在解題的過程中，首先正確的將對應的圖形表示出來，之后應用定積分求得結果，正確求解積分區(qū)間是解題的關鍵.8、C【解題分析】

每天行走的里程數是公比為的等比數列，且前和為，故可求出數列的通項后可得.【題目詳解】設每天行走的里程數為，則是公比為的等比數列，所以，故（里），所以（里），選C.【題目點撥】本題為數學文化題，注意根據題設把實際問題合理地轉化為數學模型，這類問題往往是基礎題.9、B【解題分析】

設，，由橢圓和雙曲線的定義，解方程可得，，再由余弦定理，可得，與的關系，結合離心率公式，可得，的關系，計算可得所求值．【題目詳解】設，，為第一象限的交點，由橢圓和雙曲線的定義可得，，解得，，在三角形中，，可得，即有，可得，即為，由，可得，故選．【題目點撥】本題考查橢圓和雙曲線的定義和性質，主要是離心率，考查解三角形的余弦定理，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．10、A【解題分析】試題分析：雙曲線焦點到漸近線的距離為b，所以距離為b=23考點：雙曲線與漸近線．11、D【解題分析】

判斷直線的方向向量與平面的法向量的關系，從而得直線與平面的位置關系．【題目詳解】顯然與不平行，因此直線與平面不垂直，又，即與不垂直，從而直線與平面不平行，故直線與平面相交但不垂直．故選D．【題目點撥】本題考查用向量法判斷直線與平面的位置關系，方法是由直線的方向向量與平面的法向量的關系判斷，利用向量的共線定理和數量積運算判斷直線的方向向量與平面的法向量是否平行和垂直，然后可得出直線與平面的位置關系．12、C【解題分析】解：由題意知4個小球有2個放在一個盒子里的種數是C4把這兩個作為一個元素同另外兩個元素在三個位置排列，有A3而紅球和藍球恰好放在同一個盒子里有A3∴編號為紅球和藍球不放到同一個盒子里的種數是C42二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

設復數，代入等式得到答案.【題目詳解】設復數故答案為【題目點撥】本題考查了復數的化簡，共軛復數，復數的模，意在考查學生的計算能力和對復數知識的靈活運用.14、【解題分析】

計算出，從而可得出，即可求出向量的坐標.【題目詳解】，，因此，向量的單位向量.故答案為：.【題目點撥】本題考查與非零向量同向的單位向量坐標的計算，熟悉結論“與非零向量同向的單位向量為”的應用是解題的關鍵，考查計算能力，屬于基礎題.15、【解題分析】

由面積為的半圓面，可得圓的半徑為2，即圓錐的母線長為2.圓錐的底面周長為.所以底面半徑為1.即可得到圓錐的高為.所以該圓錐的體積為.16、【解題分析】分析：首先求得樣本中心點，然后利用回歸方程的性質求得實數a的值即可.詳解：由題意可得：，，線性回歸方程過樣本中心點，則：，解得：.點睛：本題主要考查線性回歸方程的性質及其應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解題分析】

(1)利用正弦定理把邊轉化為角，再由兩角和的正弦可求出角；(2)利用三角形面積公式可得到，再由余弦定理可求出的周長；【題目詳解】(1)由正弦定理知，∴，∴，.（或用余弦定理將換掉求解）(2)由(1)及已知可得，解得，由余弦定理知，∴，∴的周長為.【題目點撥】本題考查了正弦定理、余弦定理以及面積公式，考查了學生的計算能力，屬于較易題.18、（1）；（2），.【解題分析】

（1）由橢圓的離心率為，求得,再由圓的性質和圓的弦長公式，求得，進而可求解橢圓的標準方程；（2）設的方程：，聯立方程組，利用根與系數的關系，求得，再利用向量的數量積的運算和代數式的性質，即可得到結論．【題目詳解】（1）∵橢圓的離心率為，∴,∵圓的圓心到直線的距離為,∴直線被圓截得的弦長為.解得，故，∴橢圓的方程為.（2）設，，，當直線與軸不重合時，設的方程：.由得，，∴，，，當，即時，的值與無關，此時.當直線與軸重合且時，.∴存在點，使得為定值.【題目點撥】本題主要考查橢圓的標準方程的求解、及直線與圓錐曲線的位置關系的應用問題,解答此類題目，通常聯立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應用一元二次方程根與系數的關系進行求解，此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等．19、（1）；（2）【解題分析】

（1）由題意，，結合的關系即可求解．（2）設直線,，，聯立方程可得，又，結合韋達定理可得，化簡計算即可求解．【題目詳解】（1）因為，所以，又，所以，橢圓的方程為；（2）因為，所以直線斜率存在設直線,，消理得，（*）又理得即所以（*）代入得整理的得，所以直線定點【題目點撥】本題考查橢圓標準方程的求法，直線恒過定點問題，意在考查學生對這些基礎知識的理解程度和掌握水平，屬中檔題．20、(1)=174；；(2)(i)0.6826；(ii)8185【解題分析】

（1）由每組的中間值乘以該組的人數，再求和，最后除以總人數，即可求出平均值，根據題意即可得到，再由，以及題中條件，即可得出；（2）(i)先由題意得(169，179)=(，)，根據題中所給數據，即可求出對應概率；(ii)由題意可知(169，184)=(，)，，先求出一名學生身高在(169，184)的概率，由題意可知服從二項分布，再由二項分布的期望，即可求出結果.【題目詳解】解：(1)根據頻率分布表中的數據可以得出這50個數據的平均數為所以，又=31.68，所以.(2)(i)由題意可知(169，179)=(，)，所以該學生身高在(169，179)的概率為p=0.6826(ii)由題意可知(169，184)=(，)，所以一名學生身高在(169，184)的概率為根據題意，所以的數學期望.【題目點撥】本題主要考查平均值與標準差的計算，正態(tài)分布特殊區(qū)間的概率，以及二項分布的期望問題，熟記公式即可，屬于?？碱}型.21、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）根據題意，先得到隨機摘取一個臍橙，是“精品果”的概率為0.5，并且隨機摘取5個臍