山西省同煤二中聯(lián)盟體2024屆數(shù)學高二第二學期期末質(zhì)量檢測試題含解析

山西省同煤二中聯(lián)盟體2024屆數(shù)學高二第二學期期末質(zhì)量檢測試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一根細金屬絲下端掛著一個半徑為1cm的金屬球，將它浸沒底面半徑為2cm的圓柱形容器內(nèi)的水中，現(xiàn)將金屬絲向上提升，當金屬球被拉出水面時，容器內(nèi)的水面下降了（）A．cm B．cm C．cm D．cm2．定義在上的偶函數(shù)滿足，且當時，，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則函數(shù)的零點的的個數(shù)是（）A．9 B．10 C．11 D．123．某品牌小汽車在勻速行駛中每小時的耗油量（升）關于行駛速度（千米/時）的函數(shù)解析式為.若要使該汽車行駛200千米時的油耗最低，則汽車勻速行駛的速度應為（）A．60千米/時 B．80千米/時 C．90千米/時 D．100千米/時4．在平行四邊形中，，點在邊上，，將沿直線折起成，為的中點，則下列結(jié)論正確的是（）A．直線與直線共面 B．C．可以是直角三角形 D．5．由0,1,2,3組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，其中0與2不相鄰的四位數(shù)有A．6個 B．8個 C．10個 D．12個6．某產(chǎn)品生產(chǎn)廠家的市場部在對4家商場進行調(diào)研時，獲得該產(chǎn)品售價單位：元和銷售量單位：件之間的四組數(shù)據(jù)如表：售價x46銷售量y1211109為決策產(chǎn)品的市場指導價，用最小二乘法求得銷售量y與售價x之間的線性回歸方程，那么方程中的a值為A．17 B． C．18 D．7．若函數(shù)在上有2個零點，則的取值范圍為（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的圖像關于點對稱，曲線在點處的切線過點，設曲線在處的切線的傾斜角為，則的值為（）A． B． C． D．9．函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為()A．25,-2 B．50,-2 C．50,14 D．50,-1410．的展開式中各項系數(shù)之和為，設，則（）A． B． C． D．11．設集合,,,則集合中元素的個數(shù)為()A． B． C． D．12．名同學參加班長和文娛委員的競選，每個職務只需人，其中甲不能當文娛委員，則共有（）種不同結(jié)果（用數(shù)字作答）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知曲線的極坐標方程為,曲線的極坐標方程為,曲線、曲線的交點為則弦的長為______.14．觀察下列等式：，，，……可以推測____（，用含有的代數(shù)式表示）．15．某細胞集團，每小時有2個死亡，余下的各個分裂成2個，經(jīng)過8小時后該細胞集團共有772個細胞，則最初有細胞__________個.16．從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A＝“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B＝“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)＝________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）四個不同的小球放入編號為1,2,3,4的四個盒子中.(1)若每個盒子放一個球,則共有多少種不同的放法?(2)恰有一個空盒的放法共有多少種?18．（12分）若正數(shù)滿足，求的最小值.19．（12分）已知函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若時，函數(shù)恰有一個零點，求實數(shù)的值.（3）已知數(shù)列滿足，其前項和為，求證：（其中）.20．（12分）如圖,某軍艦艇位于島的的正西方處,且與島的相距12海里.經(jīng)過偵察發(fā)現(xiàn),國際海盜船以10海里/小時的速度從島嶼出發(fā)沿北偏東30°方向逃竄,同時,該軍艦艇從處出發(fā)沿北偏東的方向勻速追趕國際海盜船,恰好用2小時追上.（1）求該軍艦艇的速度.（2）求的值.21．（12分）已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ＝4cosθ，直線l與圓C交于A，B兩點．(1)求圓C的直角坐標方程及弦AB的長；(2)動點P在圓C上(不與A，B重合)，試求△ABP的面積的最大值．22．（10分）選修4-4：坐標系與參數(shù)方程．已知直線（為參數(shù)），曲線（為參數(shù)）．(1)設與相交于兩點，求；(2)曲線為（為參數(shù)），點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最小值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

利用等體積法求水面下降高度。【題目詳解】球的體積等于水下降的體積即，．答案：D．【題目點撥】利用等體積法求水面下降高度。2、C【解題分析】

由，得出，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點個數(shù)，然后作出兩個函數(shù)的圖象，觀察圖像即可．【題目詳解】由于，所以，函數(shù)的周期為，且函數(shù)為偶函數(shù)，由，得出，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點個數(shù)，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示，由圖象可知，，當時，，則函數(shù)與函數(shù)在上沒有交點，結(jié)合圖像可知，函數(shù)與函數(shù)圖象共有11個交點，故選C.【題目點撥】本題考查函數(shù)的零點個數(shù)，有兩種做法：一是代數(shù)法，解代數(shù)方程；二是圖象法，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的公共點個數(shù)，在畫函數(shù)的圖象是，要注意函數(shù)的各種性質(zhì)，如周期性、奇偶性、對稱性等性質(zhì)的體現(xiàn)，屬于中等題．3、C【解題分析】分析：先設速度為x千米/小時，再求出函數(shù)f(x)的表達式，再利用導數(shù)求其最小值.詳解：當速度為x千米/小時時，時間為小時，所以f(x)=所以令當x∈（0,90）時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當x∈（90,120）時，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.所以x=90時，函數(shù)f(x)取得最小值.故答案為C.點睛：（1）本題主要考查導數(shù)的應用，意在考查學生對這些知識的掌握水平和解決實際問題的能力.(2)如果求函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的最值，則必須通過求導，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最后確定函數(shù)的最值．4、C【解題分析】

（1）通過證明是否共面，來判斷直線與直線是否共面；（2）取特殊位置，證明是否成立；（3）尋找可以是直角三角形的條件是否能夠滿足；（4）用反證法思想，說明能否成立．【題目詳解】，如圖，因為四點不共面，所以面，故直線與直線不共面；沿直線折起成，位置不定，當面面，此時；取中點，連接，則，若有，則面即有，在中，明顯不可能，故不符合；在中，,，而，所以當時，可以是直角三角形；【題目點撥】本題通過平面圖形折疊，考查學生平面幾何知識與立體幾何知識銜接過渡能力，涉及反證法、演繹法思想的應用，意在考查學生的直觀想象和邏輯推理能力．5、B【解題分析】分析：首先求由0,1,2,3組成無重復數(shù)字的四位數(shù)：先排千位數(shù)，有種排法，再排另外3個數(shù)，有種排法，利用乘法原理能求出組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)；然后求數(shù)字0，2相鄰的情況：，先把0，2捆綁成一個數(shù)字參與排列，再減去0在千位的情況，由此能求出其中數(shù)字0，2相鄰的四位數(shù)的個數(shù)．最后，求得0與2不相鄰的四位數(shù)詳解：由數(shù)字0，1，2，3組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)有：．

其中數(shù)字0，2相鄰的四位數(shù)有：則0與2不相鄰的四位數(shù)有。故選B點睛：本題考查排列數(shù)的求法，考查乘法原理、排列、捆綁法，間接法等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是基礎題．6、B【解題分析】

求出樣本中心點，代入線性回歸方程，即可求出a的值．【題目詳解】由題意，，，線性回歸方程，，．故選：B．【題目點撥】本題考查回歸分析，考查線性回歸直線過樣本中心點，在一組具有相關關系的變量的數(shù)據(jù)間，這樣的直線可以畫出許多條，而其中的一條能最好地反映x與Y之間的關系，這條直線過樣本中心點．7、D【解題分析】

先設，，則函數(shù)在上有2個零點等價于直線與函數(shù)的圖像有兩個交點，再求函數(shù)的單調(diào)性判斷即可得解.【題目詳解】解：由得，設，，則函數(shù)在上有2個零點等價于直線與函數(shù)的圖像有兩個交點，又，當時，；當時，.則函數(shù)在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，∴，又，，又函數(shù)在上有2個零點，則的取值范圍為.故選：D.【題目點撥】本題考查了導數(shù)的綜合應用，重點考查了函數(shù)的零點個數(shù)與函數(shù)圖像交點的個數(shù)問題，屬基礎題。8、C【解題分析】

由題意可得對任意恒成立，可得，，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得在點處切線的斜率，進而可求出在點處切線的方程，將點代入切線的方程即可求出，進而可求出，再利用誘導公式及同角三角函數(shù)關系，即可到答案．【題目詳解】因為函數(shù)的圖像關于點對稱，所以對任意恒成立，即對任意恒成立，即對任意恒成立，所以，，所以，所以，所以函數(shù)在處的切線的斜率，又，所以切線的方程為，又切線過點，所以，解得，所以函數(shù)在處的切線的斜率，所以，所以，所以．故選：C．【題目點撥】本題考查函數(shù)的對稱中心方程應用，導數(shù)的幾何意義及在一點處的切線的方程，同時考查誘導公式和同角基本關系，屬于中檔題．9、B【解題分析】

求導，分析出函數(shù)的單調(diào)性，進而求出函數(shù)的極值和兩端點的函數(shù)值，可得函數(shù)f（x）＝2x3+9x2﹣2在區(qū)間[﹣4，2]上的最大值和最小值．【題目詳解】∵函數(shù)f（x）＝2x3+9x2﹣2，∴f′（x）＝6x2+18x，當x∈[﹣4，﹣3），或x∈（0，2]時，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)；當x∈（﹣3，0）時，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)；由f（﹣4）＝14，f（﹣3）＝25，f（0）＝﹣2，f（2）＝50，故函數(shù)f（x）＝2x3+9x2﹣2在區(qū)間[﹣4，2]上的最大值和最小值分別為50，﹣2，故選：B．【題目點撥】本題考查的知識點是利用導數(shù)求閉區(qū)間上的函數(shù)的最值及函數(shù)的單調(diào)性問題，屬于中檔題．10、B【解題分析】

先求出的值，再根據(jù)，利用通項公式求出的值.【題目詳解】令，可得的展開式中各項系數(shù)之和為，，設，則.故選：B【題目點撥】本題考查了二項式定理求多項式的系數(shù)和，二項式定理展開式的通項公式，需熟記公式，屬于基礎題.11、A【解題分析】

由題意可得出：從,,任選一個；或者從,任選一個；結(jié)合題中條件,確定對應的選法，即可得出結(jié)果．【題目詳解】解：根據(jù)條件得：從,,任選一個,從而,,任選一個,有種選法；或時,,有兩種選法；共種選法；C中元素有個．故選A．【題目點撥】本題主要考查列舉法求集合中元素個數(shù)，熟記概念即可，屬于基礎題型.12、B【解題分析】

先安排甲以外的一人擔任文娛委員，再從剩下的3人選一人擔任班長即可．【題目詳解】先從甲以外的三人中選一人當文娛委員，有3種選法，再從剩下的3人選一人擔任班長，有3種選法，故共有種不同結(jié)果．故選：B.【題目點撥】本題主要考查分步乘法計數(shù)原理的應用,屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：根就極坐標與直角坐標的互化公式，求得曲線的直角坐標方程，聯(lián)立方程組，求得點的坐標，利用兩點間的距離公式，即可求解的長.詳解：由,,將曲線與的極坐標方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程為:,即,故為圓心為,半徑為的圓,:,即,表示過原點傾斜角為的直線，因為的解為，，所以.點睛：本題主要考查了極坐標與直角坐標的互化，以及直線與圓的弦長的求解，其中熟記極坐標與直角的坐標互化，以及直線與圓的位置關系的應用是解答的關鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想方法以及推理與計算能力.14、或或【解題分析】

觀察找到規(guī)律由等差數(shù)列求和可得.【題目詳解】由觀察找到規(guī)律可得：故可得解.【題目點撥】本題考查觀察能力和等差數(shù)列求和，屬于中檔題.15、7.【解題分析】

設開始有細胞a個，利用細胞生長規(guī)律計算經(jīng)過1小時、2小時后的細胞數(shù)，找出規(guī)律，得到經(jīng)過8小時后的細胞數(shù)，根據(jù)條件列式求解.【題目詳解】設最初有細胞a個，因為每小時有2個死亡，余下的各個分裂成2個，所以經(jīng)過1個小時細胞有，經(jīng)過2個小時細胞有=，······經(jīng)過8個小時細胞有，又，所以，，.故答案為7.【題目點撥】本題考查等比數(shù)列求和公式的應用，找出規(guī)律、構(gòu)造數(shù)列是解題關鍵，考查閱讀理解能力及建模能力，屬于基礎題.16、1【解題分析】試題分析：利用互斥事件的概率及古典概型概率計算公式求出事件A的概率，同樣利用古典概型概率計算公式求出事件AB的概率，然后直接利用條件概率公式求解．解：P（A）=，P（AB）=．由條件概率公式得P（B|A）=．故答案為．點評：本題考查了條件概率與互斥事件的概率，考查了古典概型及其概率計算公式，解答的關鍵在于對條件概率的理解與公式的運用，屬中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)24;(2)144.【解題分析】分析：（1）直接把4個球全排列即得共有多少種不同的放法.(2)利用乘法分步原理解答.詳解：(1)每個盒子放一個球,共有=24種不同的放法.(2)先選后排,分三步完成:第一步:四個盒子中選一只為空盒,有4種選法;第二步:選兩球為一個元素,有種選法;第三步:三個元素放入三個盒中,有種放法.故共有4×6×6=144種放法.點睛：（1）本題主要考查計數(shù)原理和排列組合的綜合應用，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)排列組合常用解法有一般問題直接法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊對象優(yōu)先法、等概率問題縮倍法、至少問題間接法、復雜問題分類法、小數(shù)問題列舉法.18、【解題分析】試題分析：由柯西不等式得，所以試題解析：因為均為正數(shù)，且，所以．于是由均值不等式可知，當且僅當時，上式等號成立．從而．故的最小值為．此時．考點：柯西不等式19、（1）當時，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）；（3）證明見解析【解題分析】

（1）求出，然后分和兩種情況討論（2）由（1）中的結(jié)論，要使恰有1個零點，只需函數(shù)的最小值為0（3）由（1）知，當時，，即，然后可得，由此可證明，然后兩邊同時取對數(shù)即可【題目詳解】（1）當時，，從而在上單調(diào)遞增；當時，，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）由（1）知，當時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要使恰有1個零點，只需函數(shù)的最小值為0，即，解得（3）由（1）知，當時，，即令，得則，，，…，，即兩邊取以為底的對數(shù)得：【題目點撥】本題考查的是利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點個數(shù)及證明不等式，屬于較難題.20、（1）14海里/小時；（2）.【解題分析】分析：（1）由題設可以得到的長，在中利用余弦定理可以得到的長，從而得到艦艇的速度；（2）在中利用正弦定理可得的值.詳解：(1)依題意知，，，在中，由余弦定理得，解得，所以該軍艦艇的速度為海里/小時．(2)在中，由正弦定理，得，即．點睛：與解三角形相關的實際問題中，我們常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它們的差別.另外，把實際問題抽象為解三角形問題時，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，這樣才能確定用什么定理去解決.21、（1）(x－2)2＋y2＝4；；（2）2＋.【解題分析】

（1）圓C的極坐標方程化為直角坐標方程，直線l的參數(shù)方程代入圓C的的直角坐標方程，利用直線參數(shù)方程的幾何意義，即可求解；（2）要求△ABP的面積的最大值，只需求出點P到直線l距離的最大值，將點P