2024屆上海市嘉定區(qū)嘉一中數(shù)學高二第二學期期末考試試題含解析

2024屆上海市嘉定區(qū)嘉一中數(shù)學高二第二學期期末考試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則=（）A．-1 B．1 C．2 D．02．近年來隨著我國在教育科研上的投入不斷加大，科學技術得到迅猛發(fā)展，國內(nèi)企業(yè)的國際競爭力得到大幅提升．某品牌公司一直默默拓展海外市場，在海外設了多個分支機構，現(xiàn)需要國內(nèi)公司外派大量中青年員工．該企業(yè)為了解這兩個年齡層員工是否愿意被外派工作的態(tài)度，按分層抽樣的方式從中青年員工中隨機調(diào)查了位，得到數(shù)據(jù)如下表：愿意被外派不愿意被外派合計中年員工青年員工合計由并參照附表，得到的正確結(jié)論是附表：0.100.010.0012.7066.63510.828A．在犯錯誤的概率不超過10%的前提下，認為“是否愿意外派與年齡有關”；B．在犯錯誤的概率不超過10%的前提下，認為“是否愿意外派與年齡無關”；C．有99%以上的把握認為“是否愿意外派與年齡有關”；D．有99%以上的把握認為“是否愿意外派與年齡無關”．3．若，則()A． B． C．或 D．或4．下列關于積分的結(jié)論中不正確的是（）A． B．C．若在區(qū)間上恒正，則 D．若，則在區(qū)間上恒正5．一個袋子中有4個紅球，2個白球，若從中任取2個球，則這2個球中有白球的概率是A． B． C． D．6．設M為曲線C:y=2x2+3x+3上的點，且曲線C在點M處切線傾斜角的取值范圍為3πA．[-1,+∞) B．-∞,-34 C．-1,-7．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知點P是雙曲線上一點，若，則△的面積為（）A． B． C．5 D．109．“四邊形是矩形，四邊形的對角線相等”補充以上推理的大前提是（）A．正方形都是對角線相等的四邊形 B．矩形都是對角線相等的四邊形C．等腰梯形都是對角線相等的四邊形 D．矩形都是對邊平行且相等的四邊形10．已知函數(shù)，若方程有三個實數(shù)根，且，則的取值范圍為（）A． B．C． D．11．從混有4張假鈔的10張一百元紙幣中任意抽取3張，若其中一張是假幣的條件下，另外兩張都是真幣的概率為（）A． B． C． D．12．為自然對數(shù)的底數(shù)，已知函數(shù)，則函數(shù)有唯一零點的充要條件是（）A．或或 B．或C．或 D．或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在拋物線上，則面積的最小值為________．14．位同學在一次聚會活動中進行紀念品的交換，任意兩位同學之間最多交換一次，進行交換的兩位同學互贈一份紀念品。已知位同學之間進行了次交換，且收到份紀念品的同學有人，問收到份紀念品的人數(shù)為_______15．設集合,,則____________.16．已知實數(shù)且，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍構成的集合為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)．(1)全體站成一排，甲不站排頭也不站排尾；(2)全體站成一排，女生必須站在一起；(3)全體站成一排，男生互不相鄰．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足(2b﹣c)cosA＝acosC．（1）求角A；（2）若，b+c＝5，求△ABC的面積．19．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若，且對任意的，都有，求的取值范圍.20．（12分）設向量，，，記函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）在銳角中，角，，的對邊分別為，，，若，，求面積的最大值.21．（12分）在直角坐標平面內(nèi)，直線l過點P(1，1)，且傾斜角α＝.以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知圓C的極坐標方程為ρ＝4sinθ.(1)求圓C的直角坐標方程；(2)設直線l與圓C交于A，B兩點，求|PA|·|PB|的值．22．（10分）某農(nóng)場灌溉水渠長為1000m,橫截面是等腰梯形ABCD（如圖），,其中渠底BC寬為1m，渠口AD寬為3m,渠深.根據(jù)國家對農(nóng)田建設補貼的政策，該農(nóng)場計劃在原水渠的基礎上分別沿AD方向加寬、AB方向加深，若擴建后的水渠橫截面仍是等腰梯形，且面積是原面積的2倍.設擴建后渠深為hm，若挖掘費為ah2元/m3，擴建后的水渠的內(nèi)壁AB1，C1D1和渠底B1C1鋪設混凝土費為3a元/m2.（1）試用h表示渠底B1C1的寬，并確定h的取值范圍；（2）問：渠深h為多少時，可使總建設費最少？（注：總建設費為挖掘費與鋪設混凝土費之和）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

將代入，可以求得各項系數(shù)之和；將代入，可求得，兩次結(jié)果相減即可求出答案.【題目詳解】將代入，得，即，將代入，得，即，所以故選A.【題目點撥】本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，若二項式展開式為，則常數(shù)項，各項系數(shù)之和為，奇數(shù)項系數(shù)之和為，偶數(shù)項系數(shù)之和為.2、A【解題分析】

由公式計算出的值，與臨界值進行比較，即可得到答案。【題目詳解】由題可得：故在犯錯誤的概率不超過10%的前提下，認為“是否愿意外派與年齡有關”，有90%以上的把握認為“是否愿意外派與年齡有關，所以答案選A;故答案選A【題目點撥】本題主要考查獨立性檢驗，解題的關鍵是正確計算出的值，屬于基礎題。3、B【解題分析】

根據(jù)組合數(shù)的公式，列出方程，求出的值即可．【題目詳解】∵，∴，或，解得（不合題意，舍去），或；∴的值是1．故選：B．【題目點撥】本題考查了組合數(shù)公式的應用問題，是基礎題目．4、D【解題分析】

結(jié)合定積分知識，對選項逐個分析可選出答案.【題目詳解】對于選項A，因為函數(shù)是R上的奇函數(shù)，所以正確；對于選項B，因為函數(shù)是R上的偶函數(shù)，所以正確；對于選項C，因為在區(qū)間上恒正，所以圖象都在軸上方，故正確；對于選項D，若，可知的圖象在區(qū)間上，在軸上方的面積大于下方的面積，故選項D不正確.故選D.【題目點撥】本題考查了定積分，考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題.5、B【解題分析】

先計算從中任取2個球的基本事件總數(shù)，然后計算這2個球中有白球包含的基本事件個數(shù)，由此能求出這2個球中有白球的概率．【題目詳解】解：一個袋子中有4個紅球，2個白球，將4紅球編號為1，2，3，4；2個白球編號為5，1．從中任取2個球，基本事件為：{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，1}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，1}，{3，4}，{3，5}，{3，1}，{4，5}，{4，1}，{5，1}，共15個，而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．用A表示“兩個球中有白球”這一事件，則A包含的基本事件有：{1，5}，{1，1}，{2，5}，{2，1}，{3，5}，{3，1}，{4，5}，{4，1}，{5，1}共9個，這2個球中有白球的概率是．故選B．【題目點撥】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．6、D【解題分析】

求出導函數(shù)y'，傾斜角的范圍可轉(zhuǎn)化為斜率的范圍，斜率就是導數(shù)值，由可得y'的不等式，解之可得．【題目詳解】由題意y'=4x+3，切線傾斜角的范圍是[3π4,π)，則切線的斜率k∴-1≤4x+3<0，解得-1≤x<-3故選D．【題目點撥】本題考查導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某一點處的導數(shù)就是其圖象在該點處的切線的斜率．解題時要注意直線傾斜角與直線斜率之間的關系，特別是正切函數(shù)的性質(zhì)．7、D【解題分析】

試題分析：，∵函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，∴在區(qū)間上恒成立．∴，而在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴．∴的取值范圍是．故選D．考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.8、C【解題分析】設，則：，則：，由勾股定理可得：，綜上可得：則△的面積為：.本題選擇C選項.點睛：(1)雙曲線定義的集合語言：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|}是解決與焦點三角形有關的計算問題的關鍵，切記對所求結(jié)果進行必要的檢驗．(2)利用定義解決雙曲線上的點與焦點的距離有關問題時，弄清點在雙曲線的哪支上．9、B【解題分析】

根據(jù)題意，用三段論的形式分析即可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，用演繹推理即三段論形式推導一個結(jié)論成立，大前提應該是結(jié)論成立的依據(jù)，∵由四邊形是矩形，得到四邊形的對角線相等的結(jié)論，∴大前提一定是矩形都是對角線相等的四邊形，故選B．【題目點撥】本題考查演繹推理的定義，關鍵是掌握演繹推理的形式，屬于基礎題.10、B【解題分析】

先將方程有三個實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為與的圖象交點問題，得到的范圍，再用表示，令，利用導數(shù)法求的取值范圍即可.【題目詳解】已知函數(shù)，其圖象如圖所示：因為方程有三個實數(shù)根，所以，令，得，令，所以，所以，令，所以，令，得，當時，，當時，，所以當時，取得極小值.又，所以的取值范圍是：.即的取值范圍為.故選：B【題目點撥】本題主要考查函數(shù)與方程，導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值最值，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于難題.11、A【解題分析】分析:直接利用條件概率公式求解.詳解：由條件概率公式得.故答案為A點睛：（1）本題主要考查條件概率，意在考查學生對條件概率的掌握水平.(2)條件概率一般有“在已發(fā)生的條件下”這樣的關鍵詞，表明這個條件已經(jīng)發(fā)生，發(fā)生了才能稱為條件概率.但是有時也沒有，要靠自己利用條件概率的定義識別.12、A【解題分析】

作出函數(shù)的圖像如圖所示，其中，則，設直線與曲線相切，則，即，設，則，當時，，分析可知，當時，函數(shù)有極大值也是最大值，，所以當時，有唯一解，此時直線與曲線相切．分析圖形可知，當或或時，函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像只有一個交點，即函數(shù)有唯一零點．故選.【題目點撥】本小題主要考查分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查函數(shù)零點問題的處理方法，考查利用導數(shù)求相切時斜率的方法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法.首先畫出函數(shù)的圖象，分段函數(shù)的圖象注意分界點的位置是實心的函數(shù)空心的.然后將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點來解決.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解題分析】

通過三角形的面積公式可知當點P到直線AB的距離最小時面積最小，求出與直線2x﹣y﹣2＝0平行且為拋物線的切線的直線方程，進而利用兩直線間的距離公式及面積公式計算即得結(jié)論．【題目詳解】依題意，A（﹣2，0），B（0，﹣2），設與直線x+y+2＝0平行且與拋物線相切的直線l方程為：x+y+t＝0，聯(lián)立直線l與拋物線方程，消去y得：y2+4y+4t＝0，則△＝16﹣16t＝0，即t＝1，∵直線x+y+2＝0與直線l之間的距離d，∴Smin|AB|d1．故答案為1．【題目點撥】本題考查直線與圓錐曲線的關系，考查運算求解能力，數(shù)形結(jié)合是解決本題的關鍵，屬于中檔題．14、【解題分析】

先確定如果都兩兩互相交換紀念品，共有次交換，可知有次交換沒有發(fā)生；再根據(jù)收到份紀念品的同學有人，可知甲與乙、甲與丙之間沒有交換，從而計算得到結(jié)果.【題目詳解】名同學兩兩互相交換紀念品，應共有：次交換現(xiàn)共進行了次交換，則有次交換沒有發(fā)生收到份紀念品的同學有人一人與另外兩人未發(fā)生交換若甲與乙、甲與丙之間沒有交換，則甲、乙、丙未收到份紀念品收到份紀念品的人數(shù)為：人本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查排列組合應用問題，關鍵是能夠確定未發(fā)生交換的次數(shù)，并且能夠根據(jù)收到份紀念品的人數(shù)確定未發(fā)生交換的情況.15、{2,4,6,8}【解題分析】分析：詳解：因為,,表示A集合和B集合“加”起來的元素，重復的元素只寫一個，所以點睛：在求集合并集時要注意集合的互異性.16、.【解題分析】分析：先確定各段單調(diào)遞增，再考慮結(jié)合點處也單調(diào)遞增，解得實數(shù)的取值范圍.詳解：因為在上單調(diào)遞增，所以因此實數(shù)的取值范圍構成的集合為.點睛：已知函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)的值或范圍要注意以下兩點：(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子區(qū)間上也是單調(diào)的；(2)分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點的取值；（3）復合函數(shù)的單調(diào)性，不僅要注意內(nèi)外函數(shù)單調(diào)性對應關系，而且要注意內(nèi)外函數(shù)對應自變量取值范圍.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）3600（2）576（3）1440【解題分析】分析：（1）根據(jù)特殊元素“優(yōu)先法”，由分步計數(shù)原理計算可得答案；(2)根據(jù)“捆綁法”將女生看成一個整體，考慮女生之間的順序，再將女生的整體與3名男生在一起進行全排列即可；(3）利用“插空法”，先將4名女生全排列5個空位中任選3個空位排男生，分別求出每一步的情況數(shù)目，由分步計數(shù)原理計算可得答案.詳解：(1)甲為特殊元素．先排甲，有5種方法，其余6人有A種方法，故共有5×A＝3600種方法．(2)(捆綁法)將女生看成一個整體，與3名男生在一起進行全排列，有A種方法，再將4名女生進行全排列，有A種方法，故共有A×A＝576種方法．(3)(插空法)男生不相鄰，而女生不作要求，所以應先排女生，有A種方法，再在女生之間及首尾空出的5個空位中任選3個空位排男生，有A種方法，故共有A×A＝1440種方法．點睛：本題主要考查排列的應用，屬于中檔題.常見排列數(shù)的求法為：（1）相鄰問題采取“捆綁法”；（2）不相鄰問題采取“插空法”；（3）有限制元素采取“優(yōu)先法”；（4）特殊順序問題，先讓所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列數(shù).18、(1)A．(2)．【解題分析】

（1）利用正弦定理完成邊化角，再根據(jù)在三角形中有，完成化簡并計算出的值；（2）利用的值以及余弦定理求解出的值，再由面積公式即可求解出△ABC的面積.【題目詳解】（1）在三角形ABC中，∵(2b﹣c)cosA＝acosC，由正弦定理得：(2sinB﹣sinC)cosA＝sinAcosC，化為：2sinBcosA＝sinCcosA+sinAcosC＝sin(A+C)＝sinB，sinB≠0，解得cosA，，∴A．（2）由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，∵a，b+c＝5，∴13＝(b+c)2﹣3cb＝52﹣3bc，化為bc＝4，所以三角形ABC的面積SbcsinA4．【題目點撥】本題考查解三角形的綜合運用，難度一般.（1）解三角形的問題中，求解角的大小時，要注意正、余弦定理的選擇，同時注意使用正弦定理時要注意是否滿足齊次的情況；（2）注意解三角形時的隱含條件的使用.19、（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）對a分和兩種情況討論，利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）當時，由（Ⅰ）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.再對a分三種情況討論，利用導數(shù)研究不等式的恒成立問題得解.【題目詳解】（Ⅰ）函數(shù)的定義域為，.（i）當時，恒成立，∴在上單調(diào)遞增.（ii）當時，在上，在上，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（Ⅱ）當時，由（Ⅰ）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.①當，即時，在上單調(diào)遞減，，，解得.∴.②當，即時，在上單調(diào)遞增，，，解得.∴.③當，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減..則，即.令，，易得，所以在上單調(diào)遞增.又∵，∴對任意的，都有.∴.綜上所述，的取值范圍為.【題目點撥】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.20、(1).（2）.【解題分析】分析：（1）函數(shù)，根據(jù)向量坐標的運算，求出的解析式，