陜西寶雞金臺區(qū)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

陜西寶雞金臺區(qū)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某城市收集并整理了該市2017年1月份至10月份每月份最低氣溫與最高氣溫（單位：）的數(shù)據(jù)，繪制了折線圖（如圖）.已知該市每月的最低氣溫與當(dāng)月的最高氣溫兩變量具有較好的線性關(guān)系，則根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是（）A．最低氣溫低于的月份有個(gè)B．月份的最高氣溫不低于月份的最高氣溫C．月溫差（最高氣溫減最低氣溫）的最大值出現(xiàn)在月份D．每月份最低氣溫與當(dāng)月的最高氣溫兩變量為正相關(guān)2．若向區(qū)域內(nèi)投點(diǎn)，則該點(diǎn)落在由直線與曲線圍成區(qū)域內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．3．下面是利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（，且的部分過程：“……，假設(shè)當(dāng)時(shí)，＋＋…＋，故當(dāng)時(shí)，有，因?yàn)椋剩?，……”，則橫線處應(yīng)該填（）A．＋＋…＋+＜，B．＋＋…＋，C．2＋＋…＋+，D．2＋＋…＋，4．若,則A．－70 B．28 C．－26 D．405．如圖，在三棱錐中，面，是上兩個(gè)三等分點(diǎn)，記二面角的平面角為，則（）A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值6．下列三個(gè)數(shù)：，，，大小順序正確的是（）A． B． C． D．7．若函數(shù)滿足：對任意的，都有，則函數(shù)可能是A． B． C． D．8．設(shè)，則的值為()A．2 B．2046 C．2043 D．－29．下列關(guān)于積分的結(jié)論中不正確的是（）A． B．C．若在區(qū)間上恒正，則 D．若，則在區(qū)間上恒正10．已知向量，則與的夾角為（）A．0 B． C． D．11．已知在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且為偶函數(shù)，，則不等式的解集為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)，從小到大依次為，，，，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．首屆中國國際進(jìn)口博覽會在上海舉行，某高校擬派4人參加連續(xù)5天的志愿者活動，其中甲連續(xù)參加2天，其他人各參加1天，則不同的安排方法有_____種（結(jié)果用數(shù)值表示）14．如圖，正四棱柱的底面邊長為4，記，，若，則此棱柱的體積為______．15．點(diǎn)2，，3，，4，，若的夾角為銳角，則的取值范圍為______．16．已知正整數(shù)n，二項(xiàng)式的展開式中含有的項(xiàng)，則n的最小值是________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值和最小值；（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性.18．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明．19．（12分）從裝有大小相同的2個(gè)紅球和6個(gè)白球的袋子中，每摸出2個(gè)球?yàn)橐淮卧囼?yàn)，直到摸出的球中有紅球(不放回)，則實(shí)驗(yàn)結(jié)束(1)求第一次實(shí)驗(yàn)恰好摸到1個(gè)紅球和1個(gè)白球的概率；(2)記實(shí)驗(yàn)次數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．20．（12分）世界那么大，我想去看看，每年高考結(jié)束后，處于休養(yǎng)狀態(tài)的高中畢業(yè)生旅游動機(jī)強(qiáng)烈，旅游可支配收入日益增多，可見高中畢業(yè)生旅游是一個(gè)巨大的市場.為了解高中畢業(yè)生每年旅游消費(fèi)支出（單位:百元）的情況，相關(guān)部門隨機(jī)抽取了某市的1000名畢業(yè)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并把所得數(shù)據(jù)列成如下所示的頻數(shù)分布表：組別[0,20）[20,40）[40,60）[60,80）[80,100）頻數(shù)22504502908（1）求所得樣本的中位數(shù)（精確到百元）；（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可近似地認(rèn)為學(xué)生的旅游費(fèi)用支出服從正態(tài)分布，若該市共有高中畢業(yè)生35000人，試估計(jì)有多少位同學(xué)旅游費(fèi)用支出在8100元以上；（3）已知樣本數(shù)據(jù)中旅游費(fèi)用支出在[80,100）范圍內(nèi)的8名學(xué)生中有5名女生，3名男生，現(xiàn)想選其中3名學(xué)生回訪，記選出的男生人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附:若，則，21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以直角坐標(biāo)系原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.點(diǎn)為曲線上的動點(diǎn)，求點(diǎn)到直線距離的最大22．（10分）復(fù)數(shù)，若是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

由該市2017年1月份至10月份各月最低氣溫與最高氣溫（單位：℃）的數(shù)據(jù)的折線圖，得最低氣溫低于0℃的月份有3個(gè)．【題目詳解】由該市2017年1月份至10月份各月最低氣溫與最高氣溫（單位：℃）的數(shù)據(jù)的折線圖，得：在A中，最低氣溫低于0℃的月份有3個(gè)，故A錯誤．在B中，10月的最高氣溫不低于5月的最高氣溫，故B正確；在C中，月溫差（最高氣溫減最低氣溫）的最大值出現(xiàn)在1月，故C正確；在D中，最低氣溫與最高氣溫為正相關(guān)，故D正確；故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查命題真假的判斷，考查折線圖等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．2、B【解題分析】區(qū)域是正方形，面積為，根據(jù)定積分定理可得直線與曲線圍成區(qū)域的面積為，根據(jù)幾何概型概率公式可得該點(diǎn)落在由直線與曲線圍成區(qū)域內(nèi)的概率為，故選B．3、A【解題分析】

由歸納假設(shè)，推得的結(jié)論，結(jié)合放縮法，便可以得出結(jié)論．【題目詳解】假設(shè)當(dāng)時(shí)，＋＋…＋，故當(dāng)時(shí)，＋＋…＋+＜，因?yàn)椋?，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的步驟，以及放縮法的運(yùn)用，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力．4、C【解題分析】

令t＝x﹣3，把等式化為關(guān)于t的展開式，再求展開式中t3的系數(shù)．【題目詳解】令t＝x﹣3，則（x﹣2）5﹣3x4＝a0+a1（x﹣3）+a2（x﹣3）2+a3（x﹣3）3+a4（x﹣3）4+a5（x﹣3）5，可化為（t+1）5﹣3（t+3）4＝a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5，則a3＝＝10﹣36＝﹣1．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，指定項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解題分析】

將三棱錐放入長方體中，設(shè)，，，計(jì)算，，則，得到答案.【題目詳解】將三棱錐放入長方體中，設(shè)，，，如圖所示：過作平面與，與，連接，則為二面角的平面角，設(shè)為，則，，故.同理可得：設(shè)二面角的平面角為，.，當(dāng)，即時(shí)等號成立.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二面角，和差公式，均值不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，空間想象能力和綜合應(yīng)用能力.6、A【解題分析】

將與化成相同的真數(shù)，然后利用換底公式與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較的大小，然后再利用中間量比較的大小，從而得出三者的大小．【題目詳解】解：因?yàn)?，且，所以，因?yàn)?，所以．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查三個(gè)數(shù)的大小的判斷，考查指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．7、A【解題分析】

由判斷；由判斷；由判斷判斷；由判斷.【題目詳解】對于，，對．對于，，不對．對于，，不對．對于，，不對，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的解析式的性質(zhì)以及指數(shù)的運(yùn)算、對數(shù)的運(yùn)算、兩角和的正弦公式，意在考查對基本運(yùn)算與基本公式的掌握與應(yīng)用，以及綜合應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能，屬于基礎(chǔ)題．8、D【解題分析】分析：先令得，再令得，解得結(jié)果.詳解：令得令得=0因此，選D.點(diǎn)睛：“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對形如的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令即可；對形如的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令即可.9、D【解題分析】

結(jié)合定積分知識，對選項(xiàng)逐個(gè)分析可選出答案.【題目詳解】對于選項(xiàng)A，因?yàn)楹瘮?shù)是R上的奇函數(shù)，所以正確；對于選項(xiàng)B，因?yàn)楹瘮?shù)是R上的偶函數(shù)，所以正確；對于選項(xiàng)C，因?yàn)樵趨^(qū)間上恒正，所以圖象都在軸上方，故正確；對于選項(xiàng)D，若，可知的圖象在區(qū)間上，在軸上方的面積大于下方的面積，故選項(xiàng)D不正確.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了定積分，考查了函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】由題設(shè)，故，應(yīng)選答案C．11、A【解題分析】

分析：構(gòu)造新函數(shù)，利用已知不等式確定的單調(diào)性，詳解：設(shè)，則，由已知得，∴是減函數(shù)．∵是偶函數(shù)，∴的圖象關(guān)于直線對稱，∴，，的解集為，即的解集為．故選A．點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題關(guān)鍵是是構(gòu)造新函數(shù)，對于含有的已知不等式，一般要構(gòu)造新函數(shù)如，，，等等，從而能利用已知條件確定的單調(diào)性，再解出題中不等式的解集．12、B【解題分析】分析：通過f（x）的單調(diào)性，畫出f（x）的圖象和直線y=a，考慮四個(gè)交點(diǎn)的情況，得到x1=-2-x2，-1＜x2≤0，x3x4=4，再由二次函數(shù)的單調(diào)性，可得所求范圍．詳解：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=，可得f（x）在x＞2遞增，在0＜x＜2處遞減，

由f（x）=e

(x+1)2，x≤0，

x＜-1時(shí)，f（x）遞減；-1＜x＜0時(shí)，f（x）遞增，

可得x=-1處取得極小值1，

作出f（x）的圖象，以及直線y=a，

可得e

(x1+1)2=e

(x2+1)2=，即有x1+1+x2+1=0，可得x1=-2-x2，-1＜x2≤0，可得x3x4=4，

x1x2+x3x4=4-2x2-x22=-（x2+1）2+5，在-1＜x2≤0遞減，

可得所求范圍為[4，5）．故選B.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，以及數(shù)形結(jié)合思想方法，考查二次函數(shù)的最值求法，化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、24【解題分析】

首先安排甲，可知連續(xù)天的情況共有種，其余的人全排列，相乘得到結(jié)果.【題目詳解】在天里，連續(xù)天的情況，一共有種剩下的人全排列：故一共有：種【題目點(diǎn)撥】本題考查基礎(chǔ)的排列組合問題，解題的關(guān)鍵在于對排列組合問題中的特殊元素，要優(yōu)先考慮，然后再考慮普通元素.14、【解題分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出直四棱柱的高h(yuǎn)，求出的坐標(biāo)，由數(shù)量積為0求得h，則棱柱的體積可求．【題目詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，又，則，，，，，，，，即．此棱柱的體積為．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查棱柱體積的求法，考查利用空間向量解決線線垂直問題，是中檔題．15、【解題分析】

根據(jù)的夾角為銳角，可得，且不能同向共線解出即可得出．【題目詳解】1，，2，，的夾角為銳角，，且不能同向共線．解得，．則的取值范圍為．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量夾角公式、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．16、4.【解題分析】分析：根據(jù)二項(xiàng)式呃展開式得到第r+1項(xiàng)為，，對r,n賦值即可.詳解：二項(xiàng)式的展開式中第r+1項(xiàng)為則，當(dāng)r=1時(shí)，n=4。故答案為：4.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是二項(xiàng)式中的特定項(xiàng)的系數(shù)問題，在做二項(xiàng)式的問題時(shí)，看清楚題目是求二項(xiàng)式系數(shù)還是系數(shù)，還要注意在求系數(shù)和時(shí)，是不是缺少首項(xiàng)；解決這類問題常用的方法有賦值法，求導(dǎo)后賦值，積分后賦值等.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）見解析【解題分析】分析：（1）當(dāng)時(shí)，，，令，可得或，列表可求函數(shù)在上的最大值和最小值；（2）由題意，分類討論可求函數(shù)的單調(diào)性.詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，，令，可得或，則有：減極小值增極大值減因?yàn)椋?，所以?（2），當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，屬中檔題.18、（1）在上單調(diào)遞增；（2）詳見解析.【解題分析】

（1）對求導(dǎo)，根據(jù)的符號得出的單調(diào)性；（2）由題意可知有兩解，求出的過原點(diǎn)的切線斜率即可得出的范圍，設(shè)，根據(jù)分析法構(gòu)造關(guān)于的不等式，利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式恒成立即可．【題目詳解】解：（1）時(shí)，，故，在上單調(diào)遞增．（2）由題意可知有兩解，設(shè)直線與相切，切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，，即．∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．不妨設(shè)，則，兩式相加得：，兩式相減得：，，故，要證，只需證，即證，令，故只需證在恒成立即可．令，則，∴在上單調(diào)遞增，，即在恒成立．．【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性與不等式的關(guān)系，構(gòu)造關(guān)于的不等式是證明的難點(diǎn)，屬于難題．19、（1）；（2）的分布列為

1

2

3

4

【解題分析】

（I）（II）；；；；X的分布列為X

1

2

3

4

P