2024屆湖北省利川市第五中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

2024屆湖北省利川市第五中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．、兩支籃球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束.除第五局隊(duì)獲勝的概率是外，其余每局比賽隊(duì)獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.則隊(duì)以獲得比賽勝利的概率為（）A． B． C． D．2．一臺(tái)機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為，若這臺(tái)機(jī)器一周個(gè)工作日不發(fā)生故障，可獲利萬(wàn)元；發(fā)生次故障獲利為萬(wàn)元；發(fā)生次或次以上故障要虧損萬(wàn)元，這臺(tái)機(jī)器一周個(gè)工作日內(nèi)可能獲利的數(shù)學(xué)期望是（）萬(wàn)元．（已知，）A． B． C． D．3．有8件產(chǎn)品，其中4件是次品，從中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次數(shù)，則（）A． B． C． D．4．針對(duì)時(shí)下的“抖音熱”，某校團(tuán)委對(duì)“學(xué)生性別和喜歡抖音是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的女生人數(shù)是男生人數(shù)的12，男生喜歡抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的16，女生喜歡抖音的人數(shù)占女生人數(shù)23，若有99%參考公式：KP0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828A．12人 B．18人 C．24人 D．30人5．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)）上的點(diǎn)到直線的距離的最大值為（）A． B． C． D．6．某公司為確定明年投入某產(chǎn)品的廣告支出，對(duì)近年的廣告支出與銷售額（單位：百萬(wàn)元）進(jìn)行了初步統(tǒng)計(jì)，得到下列表格中的數(shù)據(jù)：經(jīng)測(cè)算，年廣告支出與年銷售額滿足線性回歸方程，則的值為（）A． B． C． D．7．在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，則BC的長(zhǎng)為（）A． B． C．3 D．8．拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過(guò)焦點(diǎn)，則過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上.設(shè)拋物線，弦過(guò)焦點(diǎn)，為阿基米德三角形，則的面積的最小值為（）A． B． C． D．9．已知實(shí)數(shù)，滿足，則與的關(guān)系是（）A． B． C． D．10．已知有下列各式：，，成立，觀察上面各式，按此規(guī)律若，則正數(shù)（）A． B． C． D．11．設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足（是的導(dǎo)函數(shù)），則不等式的解集為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個(gè)袋子中裝有8個(gè)球，其中2個(gè)紅球，6個(gè)黑球，若從袋中拿出兩個(gè)球，記下顏色，則兩個(gè)球中至少有一個(gè)是紅球的概率是________（用數(shù)字表示）14．點(diǎn)2，，3，，4，，若的夾角為銳角，則的取值范圍為_(kāi)_____．15．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程的根為_(kāi)_______.16．已知函數(shù)，則的最大值是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極小值；（2）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）設(shè)不等式|2x-1|<1的解集為M，且a∈M,b∈M.（1）試比較ab+1與a+b的大小；（2）設(shè)maxA表示數(shù)集A中的最大數(shù)，且h=max{219．（12分）某理科考生參加自主招生面試，從7道題中（4道理科題3道文科題）不放回地依次任取3道作答.（1）求該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到文科題的概率；（2）規(guī)定理科考生需作答兩道理科題和一道文科題，該考生答對(duì)理科題的概率均為，答對(duì)文科題的概率均為，若每題答對(duì)得10分，否則得零分.現(xiàn)該生已抽到三道題（兩理一文），求其所得總分的分布列與數(shù)學(xué)期望.20．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，（）．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)（），數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：（）．21．（12分）已知函數(shù)fx（1）當(dāng)a=2，求函數(shù)fx（2）若函數(shù)fx22．（10分）如圖為某一幾何體的展開(kāi)圖，其中是邊長(zhǎng)為的正方形，，點(diǎn)及共線.(1)沿圖中虛線將它們折疊起來(lái)，使四點(diǎn)重合，請(qǐng)畫(huà)出其直觀圖，試問(wèn)需要幾個(gè)這樣的幾何體才能拼成一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體?(2)設(shè)正方體的棱的中點(diǎn)為，求平面與平面所成二面角(銳角)的余弦值.(3)在正方體的邊上是否存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)到平面的距離為，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】分析：若“隊(duì)以勝利”，則前四局、各勝兩局，第五局勝利，利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式可得結(jié)果.詳解：若“隊(duì)以勝利”，則前四局、各勝兩局，第五局勝利，因?yàn)楦骶直荣惤Y(jié)果相互獨(dú)立，所以隊(duì)以獲得比賽勝利的概率為，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查閱讀能力，獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式，意在考查利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，屬于中檔題.2、C【解題分析】

設(shè)獲利為隨機(jī)變量，可得出的可能取值有、、，列出隨機(jī)變量的分布列，利用數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】設(shè)獲利為隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量的可能取值有、、，由題意可得，，則.所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：因此，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是根據(jù)已知條件列出隨機(jī)變量的分布列，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.3、D【解題分析】

首先把取一次取得次品的概率算出來(lái)，再根據(jù)離散型隨機(jī)變量的概率即可算出．【題目詳解】因?yàn)槭怯蟹呕氐厝‘a(chǎn)品，所以每次取產(chǎn)品取到次品的概率為．從中取3次，為取得次品的次數(shù)，則,,選擇D答案．【題目點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量的概率,解題時(shí)要注意二項(xiàng)分布公式的靈活運(yùn)用.屬于基礎(chǔ)題．4、B【解題分析】

設(shè)男生人數(shù)為x，女生人數(shù)為x2，完善列聯(lián)表，計(jì)算K2【題目詳解】設(shè)男生人數(shù)為x，女生人數(shù)為x喜歡抖音不喜歡抖音總計(jì)男生1656x女生1316x總計(jì)xx32K男女人數(shù)為整數(shù)故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.5、B【解題分析】

將直線，化為直角方程，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式列等量關(guān)系，再根據(jù)三角函數(shù)有界性求最值.【題目詳解】可得：根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，可得上的點(diǎn)到直線的距離為【題目點(diǎn)撥】本題考查點(diǎn)到直線距離公式以及三角函數(shù)有界性，考查基本分析求解能力，屬中檔題.6、D【解題分析】分析：求出,代入回歸方程計(jì)算，利用平均數(shù)公式可得出的值.詳解：,,,解得，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查平均數(shù)公式的應(yīng)用，線性回歸方程經(jīng)過(guò)樣本中心的性質(zhì)，意在考查綜合利用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】

在中，由，以及的值，利用余弦定理，即可求解，得到答案.【題目詳解】由題意，在中，由，由余弦定理可得，則，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，以及余弦定理是解答特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，其中熟練掌握余弦定理是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，可得，即三角形為直角三角形，利用基本不等式，可得當(dāng)直線垂直軸時(shí)，面積取得最小值.【題目詳解】設(shè)，過(guò)A，B的切線交于Q，直線的方程為：，把直線的方程代入得：，所以，則，由導(dǎo)數(shù)的知識(shí)得：，所以，所以，所以，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，可得的最大值為，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題是一道與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的試題，如果能靈活運(yùn)用阿基米德三角形的結(jié)論，即當(dāng)直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則切線與切線互相垂直，能使運(yùn)算量變得更小.9、C【解題分析】

設(shè)，，則，對(duì)進(jìn)行平方展開(kāi)化簡(jiǎn)得，代入得，兩式相加即可.【題目詳解】設(shè)，，則且，等式兩邊同時(shí)平方展開(kāi)得：，即令等式中，化簡(jiǎn)后可得：兩式相加可得故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查了代數(shù)式的計(jì)算化簡(jiǎn)求值，考查了換元法，屬于中檔題10、C【解題分析】

觀察上面各式,,,,類比推理即可得到結(jié)果.【題目詳解】由題,觀察上面各式可得,,,則,所以,故選:C【題目點(diǎn)撥】本題考查類比推理,考查理解分析能力.11、D【解題分析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得直線的斜率，列出a的方程即可求解【題目詳解】因?yàn)椋以邳c(diǎn)處的切線的斜率為3，所以，即.故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題12、D【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，在不等式兩邊同時(shí)乘以化為，即，然后利用函數(shù)在上的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，在不等式兩邊同時(shí)乘以得，即，所以，解得，因此，不等式的解集為，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用構(gòu)造新函數(shù)求解函數(shù)不等式問(wèn)題，其解法步驟如下：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，必要時(shí)分析該函數(shù)的奇偶性；（3）將不等式變形為，利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)題意，袋中有２個(gè)紅球和６個(gè)黑球，由組合數(shù)公式可得從中取出2個(gè)的情況數(shù)目，若兩個(gè)球中至少有一個(gè)是紅球，即一紅一黑，或者兩紅，由分步計(jì)數(shù)原理可得其情況數(shù)目，由等可能事件的概率，計(jì)算可得答案.【題目詳解】解：根據(jù)題意，袋中有２個(gè)紅球和６個(gè)黑球，共８?jìng)€(gè)球，

從中取出2個(gè)，有種情況，

兩個(gè)球中至少有一個(gè)是紅球，即一紅一黑，或者兩紅的情況有種，

則兩個(gè)球中至少有一個(gè)是紅球的概率為，

故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查等可能事件的概率的計(jì)算，是簡(jiǎn)單題，關(guān)鍵在于正確應(yīng)用排列、組合公式.14、【解題分析】

根據(jù)的夾角為銳角，可得，且不能同向共線解出即可得出．【題目詳解】1，，2，，的夾角為銳角，，且不能同向共線．解得，．則的取值范圍為．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了向量夾角公式、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．15、【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)范圍求根公式求解【題目詳解】因?yàn)?，所以方程的根為故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)范圍解實(shí)系數(shù)一元二次方程，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.16、【解題分析】分析：對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到函數(shù)的最值.詳解：函數(shù)，設(shè)，函數(shù)在故當(dāng)t=時(shí)函數(shù)取得最大值，此時(shí)故答案為：.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了函數(shù)最值的求法，較為簡(jiǎn)單，求函數(shù)的值域或者最值常用的方法有：求導(dǎo)研究單調(diào)性，或者直接研究函數(shù)的單調(diào)性，或者應(yīng)用均值不等式求最值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析【解題分析】

(1)由題意，當(dāng)時(shí)，然后求導(dǎo)函數(shù)，分析單調(diào)性求得極值；(2)先將原方程化簡(jiǎn)，然后換元轉(zhuǎn)化成只有一個(gè)零點(diǎn)，再對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，討論單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理求得a的取值.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，令解得遞減極小值遞增（2）設(shè)，令，，，設(shè)，，由得，，在單調(diào)遞增，即在單調(diào)遞增，，①當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，，在單調(diào)遞增,又，此時(shí)在當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.②當(dāng)，即時(shí)，，又故，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，故當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)，關(guān)于的方程有一個(gè)實(shí)數(shù)解.又時(shí)，，單調(diào)遞增，且，令，,,故在單調(diào)遞增，又故在單調(diào)遞增，故，故，又，由零點(diǎn)存在定理可知，.故當(dāng)時(shí)，的方程有兩個(gè)解為和綜上所述：當(dāng)時(shí)的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，討論單調(diào)性和零點(diǎn)的存在性定理是解題的關(guān)鍵點(diǎn)，屬于難題.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a).f(b)<0,那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根.18、（1）見(jiàn)解析；（2）(2,+∞)．【解題分析】試題分析：（1）解不等式|2x-1|<1可得M=(0,1)，即a,b范圍已知，然后比較ab+1和a+b的大小可用作差法；（2）很顯然由a∈(0,1)，知2a∈(2,+∞)，同樣2b∈(2,+∞)，對(duì)a+bab，a+bab≥2ab試題解析：（1），（2）∴考點(diǎn)：解絕對(duì)值不等式，比較大小，新定義．19、（1）；（2）的分布列為

【解題分析】試題解析:（1）記“該考生在第一次抽到理科題”為事件，“該考生第二次和第三次均抽到文科題”為事件，則所以該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到文科題的概率為（2）的可能取值為0，10，20，30，則所以的分布列為0102030所以，的數(shù)學(xué)期望20、(1)(2)見(jiàn)解析.【解題分析】試題分析：（1）由數(shù)列遞推式結(jié)合，可得（），然后利用累積法求得數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）把數(shù)列的通項(xiàng)公式代入()，然后利用裂項(xiàng)相消法求和，放縮得答案試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，，以上兩式相減，得，∴，∴，∴（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴，∴（）．點(diǎn)睛：本題主要考查了這一常用等式，需注意的范圍，累乘法求通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和，屬于高考中?？贾R(shí)點(diǎn)，難度不大；常見(jiàn)的數(shù)列求和的方法有公式法即等差等比數(shù)列求和公式，分組求和類似于，其中和分別為特殊數(shù)列，裂項(xiàng)相消法類似于，錯(cuò)位相減法類似于，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列等.21、（1）見(jiàn)解析；(2)0,2【解題分析】

（1）代入a的值，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定a的范圍即可．【題目詳解】（1）當(dāng)a=2時(shí)，f'x=2x-列表：x011f—0+f↘極小值f↗所以，當(dāng)x=1時(shí)，fx有極小值f1=（2）①因?yàn)閒x=x2-a當(dāng)a≤0時(shí)，f'所以fx在0，+∞當(dāng)a>0時(shí)，由f'x>0得x>a2，由所以fx在0，a2上單調(diào)遞減，所以fx在x1°當(dāng)a=2時(shí)，fx在0，1上單調(diào)遞減，fx2°當(dāng)0<a<2時(shí)，a2<1，故fa注意到fx=x取x0=e-1設(shè)gx=xlnx,g列表x011g—0+g↘極小值g↗所以，當(dāng)x=1e，gx所以xln