2024屆湖北省利川市第五中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試試題含解析

2024屆湖北省利川市第五中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．、兩支籃球隊進(jìn)行比賽，約定先勝局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束.除第五局隊獲勝的概率是外，其余每局比賽隊獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨立.則隊以獲得比賽勝利的概率為（）A． B． C． D．2．一臺機器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為，若這臺機器一周個工作日不發(fā)生故障，可獲利萬元；發(fā)生次故障獲利為萬元；發(fā)生次或次以上故障要虧損萬元，這臺機器一周個工作日內(nèi)可能獲利的數(shù)學(xué)期望是（）萬元．（已知，）A． B． C． D．3．有8件產(chǎn)品，其中4件是次品，從中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次數(shù)，則（）A． B． C． D．4．針對時下的“抖音熱”，某校團委對“學(xué)生性別和喜歡抖音是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的女生人數(shù)是男生人數(shù)的12，男生喜歡抖音的人數(shù)占男生人數(shù)的16，女生喜歡抖音的人數(shù)占女生人數(shù)23，若有99%參考公式：KP0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828A．12人 B．18人 C．24人 D．30人5．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)）上的點到直線的距離的最大值為（）A． B． C． D．6．某公司為確定明年投入某產(chǎn)品的廣告支出，對近年的廣告支出與銷售額（單位：百萬元）進(jìn)行了初步統(tǒng)計，得到下列表格中的數(shù)據(jù)：經(jīng)測算，年廣告支出與年銷售額滿足線性回歸方程，則的值為（）A． B． C． D．7．在△ABC中，若AB=2，AC=3，∠A=60°，則BC的長為（）A． B． C．3 D．8．拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過焦點，則過弦的端點的兩條切線的交點在其準(zhǔn)線上.設(shè)拋物線，弦過焦點，為阿基米德三角形，則的面積的最小值為（）A． B． C． D．9．已知實數(shù)，滿足，則與的關(guān)系是（）A． B． C． D．10．已知有下列各式：，，成立，觀察上面各式，按此規(guī)律若，則正數(shù)（）A． B． C． D．11．設(shè)曲線在點處的切線方程為，則（）A．1 B．2 C．3 D．412．已知函數(shù)的定義域為，且滿足（是的導(dǎo)函數(shù)），則不等式的解集為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個袋子中裝有8個球，其中2個紅球，6個黑球，若從袋中拿出兩個球，記下顏色，則兩個球中至少有一個是紅球的概率是________（用數(shù)字表示）14．點2，，3，，4，，若的夾角為銳角，則的取值范圍為______．15．在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，方程的根為________.16．已知函數(shù)，則的最大值是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知（為自然對數(shù)的底數(shù)），.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極小值；（2）當(dāng)時，關(guān)于的方程有且只有一個實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）設(shè)不等式|2x-1|<1的解集為M，且a∈M,b∈M.（1）試比較ab+1與a+b的大小；（2）設(shè)maxA表示數(shù)集A中的最大數(shù)，且h=max{219．（12分）某理科考生參加自主招生面試，從7道題中（4道理科題3道文科題）不放回地依次任取3道作答.（1）求該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到文科題的概率；（2）規(guī)定理科考生需作答兩道理科題和一道文科題，該考生答對理科題的概率均為，答對文科題的概率均為，若每題答對得10分，否則得零分.現(xiàn)該生已抽到三道題（兩理一文），求其所得總分的分布列與數(shù)學(xué)期望.20．（12分）已知數(shù)列的前項和為，，（）．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)（），數(shù)列的前項和為，證明：（）．21．（12分）已知函數(shù)fx（1）當(dāng)a=2，求函數(shù)fx（2）若函數(shù)fx22．（10分）如圖為某一幾何體的展開圖，其中是邊長為的正方形，，點及共線.(1)沿圖中虛線將它們折疊起來，使四點重合，請畫出其直觀圖，試問需要幾個這樣的幾何體才能拼成一個棱長為的正方體?(2)設(shè)正方體的棱的中點為，求平面與平面所成二面角(銳角)的余弦值.(3)在正方體的邊上是否存在一點，使得點到平面的距離為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】分析：若“隊以勝利”，則前四局、各勝兩局，第五局勝利，利用獨立事件同時發(fā)生的概率公式可得結(jié)果.詳解：若“隊以勝利”，則前四局、各勝兩局，第五局勝利，因為各局比賽結(jié)果相互獨立，所以隊以獲得比賽勝利的概率為，故選A.點睛：本題主要考查閱讀能力，獨立事件同時發(fā)生的概率公式，意在考查利用所學(xué)知識解決實際問題的能力，屬于中檔題.2、C【解題分析】

設(shè)獲利為隨機變量，可得出的可能取值有、、，列出隨機變量的分布列，利用數(shù)學(xué)期望公式計算出隨機變量的數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】設(shè)獲利為隨機變量，則隨機變量的可能取值有、、，由題意可得，，則.所以，隨機變量的分布列如下表所示：因此，隨機變量的數(shù)學(xué)期望為，故選C.【題目點撥】本題考查隨機變量數(shù)學(xué)期望的計算，解題的關(guān)鍵就是根據(jù)已知條件列出隨機變量的分布列，考查運算求解能力，屬于中等題.3、D【解題分析】

首先把取一次取得次品的概率算出來，再根據(jù)離散型隨機變量的概率即可算出．【題目詳解】因為是有放回地取產(chǎn)品，所以每次取產(chǎn)品取到次品的概率為．從中取3次，為取得次品的次數(shù)，則,,選擇D答案．【題目點撥】本題考查離散型隨機變量的概率,解題時要注意二項分布公式的靈活運用.屬于基礎(chǔ)題．4、B【解題分析】

設(shè)男生人數(shù)為x，女生人數(shù)為x2，完善列聯(lián)表，計算K2【題目詳解】設(shè)男生人數(shù)為x，女生人數(shù)為x喜歡抖音不喜歡抖音總計男生1656x女生1316x總計xx32K男女人數(shù)為整數(shù)故答案選B【題目點撥】本題考查了獨立性檢驗，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.5、B【解題分析】

將直線，化為直角方程，根據(jù)點到直線距離公式列等量關(guān)系，再根據(jù)三角函數(shù)有界性求最值.【題目詳解】可得：根據(jù)點到直線距離公式，可得上的點到直線的距離為【題目點撥】本題考查點到直線距離公式以及三角函數(shù)有界性，考查基本分析求解能力，屬中檔題.6、D【解題分析】分析：求出,代入回歸方程計算，利用平均數(shù)公式可得出的值.詳解：,,,解得，故選D.點睛：本題主要考查平均數(shù)公式的應(yīng)用，線性回歸方程經(jīng)過樣本中心的性質(zhì)，意在考查綜合利用所學(xué)知識解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】

在中，由，以及的值，利用余弦定理，即可求解，得到答案.【題目詳解】由題意，在中，由，由余弦定理可得，則，故選D.【題目點撥】本題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，以及余弦定理是解答特殊角的三角函數(shù)值的應(yīng)用，其中熟練掌握余弦定理是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解題分析】

利用導(dǎo)數(shù)的知識，可得，即三角形為直角三角形，利用基本不等式，可得當(dāng)直線垂直軸時，面積取得最小值.【題目詳解】設(shè)，過A，B的切線交于Q，直線的方程為：，把直線的方程代入得：，所以，則，由導(dǎo)數(shù)的知識得：，所以，所以，所以，因為，當(dāng)時，可得的最大值為，故選B.【題目點撥】本題是一道與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的試題，如果能靈活運用阿基米德三角形的結(jié)論，即當(dāng)直線過拋物線的焦點，則切線與切線互相垂直，能使運算量變得更小.9、C【解題分析】

設(shè)，，則，對進(jìn)行平方展開化簡得，代入得，兩式相加即可.【題目詳解】設(shè)，，則且，等式兩邊同時平方展開得：，即令等式中，化簡后可得：兩式相加可得故選：C【題目點撥】本題考查了代數(shù)式的計算化簡求值，考查了換元法，屬于中檔題10、C【解題分析】

觀察上面各式,,,,類比推理即可得到結(jié)果.【題目詳解】由題,觀察上面各式可得,,,則,所以,故選:C【題目點撥】本題考查類比推理,考查理解分析能力.11、D【解題分析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得直線的斜率，列出a的方程即可求解【題目詳解】因為，且在點處的切線的斜率為3，所以，即.故選：D【題目點撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題12、D【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，在不等式兩邊同時乘以化為，即，然后利用函數(shù)在上的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，在不等式兩邊同時乘以得，即，所以，解得，因此，不等式的解集為，故選：D.【題目點撥】本題考查利用構(gòu)造新函數(shù)求解函數(shù)不等式問題，其解法步驟如下：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造新函數(shù)；（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，必要時分析該函數(shù)的奇偶性；（3）將不等式變形為，利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)題意，袋中有２個紅球和６個黑球，由組合數(shù)公式可得從中取出2個的情況數(shù)目，若兩個球中至少有一個是紅球，即一紅一黑，或者兩紅，由分步計數(shù)原理可得其情況數(shù)目，由等可能事件的概率，計算可得答案.【題目詳解】解：根據(jù)題意，袋中有２個紅球和６個黑球，共８個球，

從中取出2個，有種情況，

兩個球中至少有一個是紅球，即一紅一黑，或者兩紅的情況有種，

則兩個球中至少有一個是紅球的概率為，

故答案為：.【題目點撥】本題考查等可能事件的概率的計算，是簡單題，關(guān)鍵在于正確應(yīng)用排列、組合公式.14、【解題分析】

根據(jù)的夾角為銳角，可得，且不能同向共線解出即可得出．【題目詳解】1，，2，，的夾角為銳角，，且不能同向共線．解得，．則的取值范圍為．故答案為．【題目點撥】本題主要考查了向量夾角公式、向量共線定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．15、【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)范圍求根公式求解【題目詳解】因為，所以方程的根為故答案為：【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)范圍解實系數(shù)一元二次方程，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.16、【解題分析】分析：對函數(shù)求導(dǎo)，研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得到函數(shù)的最值.詳解：函數(shù)，設(shè)，函數(shù)在故當(dāng)t=時函數(shù)取得最大值，此時故答案為：.點睛：這個題目考查了函數(shù)最值的求法，較為簡單，求函數(shù)的值域或者最值常用的方法有：求導(dǎo)研究單調(diào)性，或者直接研究函數(shù)的單調(diào)性，或者應(yīng)用均值不等式求最值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析；(2)見解析【解題分析】

(1)由題意，當(dāng)時，然后求導(dǎo)函數(shù)，分析單調(diào)性求得極值；(2)先將原方程化簡，然后換元轉(zhuǎn)化成只有一個零點，再對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，討論單調(diào)性，利用零點存在性定理求得a的取值.【題目詳解】（1）當(dāng)時，令解得遞減極小值遞增（2）設(shè)，令，，，設(shè)，，由得，，在單調(diào)遞增，即在單調(diào)遞增，，①當(dāng)，即時，時，，在單調(diào)遞增,又，此時在當(dāng)時，關(guān)于的方程有且只有一個實數(shù)解.②當(dāng)，即時，，又故，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，又，故當(dāng)時，，在內(nèi)，關(guān)于的方程有一個實數(shù)解.又時，，單調(diào)遞增，且，令，,,故在單調(diào)遞增，又故在單調(diào)遞增，故，故，又，由零點存在定理可知，.故當(dāng)時，的方程有兩個解為和綜上所述：當(dāng)時的方程有且只有一個實數(shù)解【題目點撥】本題主要考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，討論單調(diào)性和零點的存在性定理是解題的關(guān)鍵點，屬于難題.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a).f(b)<0,那么，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,這個c也就是方程f(x)=0的根.18、（1）見解析；（2）(2,+∞)．【解題分析】試題分析：（1）解不等式|2x-1|<1可得M=(0,1)，即a,b范圍已知，然后比較ab+1和a+b的大小可用作差法；（2）很顯然由a∈(0,1)，知2a∈(2,+∞)，同樣2b∈(2,+∞)，對a+bab，a+bab≥2ab試題解析：（1），（2）∴考點：解絕對值不等式，比較大小，新定義．19、（1）；（2）的分布列為

【解題分析】試題解析:（1）記“該考生在第一次抽到理科題”為事件，“該考生第二次和第三次均抽到文科題”為事件，則所以該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到文科題的概率為（2）的可能取值為0，10，20，30，則所以的分布列為0102030所以，的數(shù)學(xué)期望20、(1)(2)見解析.【解題分析】試題分析：（1）由數(shù)列遞推式結(jié)合，可得（），然后利用累積法求得數(shù)列通項公式；（2）把數(shù)列的通項公式代入()，然后利用裂項相消法求和，放縮得答案試題解析：（1）當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，，以上兩式相減，得，∴，∴，∴（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴，∴（）．點睛：本題主要考查了這一常用等式，需注意的范圍，累乘法求通項公式以及數(shù)列求和，屬于高考中?？贾R點，難度不大；常見的數(shù)列求和的方法有公式法即等差等比數(shù)列求和公式，分組求和類似于，其中和分別為特殊數(shù)列，裂項相消法類似于，錯位相減法類似于，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列等.21、（1）見解析；(2)0,2【解題分析】

（1）代入a的值，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的零點個數(shù)確定a的范圍即可．【題目詳解】（1）當(dāng)a=2時，f'x=2x-列表：x011f—0+f↘極小值f↗所以，當(dāng)x=1時，fx有極小值f1=（2）①因為fx=x2-a當(dāng)a≤0時，f'所以fx在0，+∞當(dāng)a>0時，由f'x>0得x>a2，由所以fx在0，a2上單調(diào)遞減，所以fx在x1°當(dāng)a=2時，fx在0，1上單調(diào)遞減，fx2°當(dāng)0<a<2時，a2<1，故fa注意到fx=x取x0=e-1設(shè)gx=xlnx,g列表x011g—0+g↘極小值g↗所以，當(dāng)x=1e，gx所以xln