2024屆江蘇省揚州市梅嶺中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試試題含解析

2024屆江蘇省揚州市梅嶺中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè),則（）A．a(chǎn)<b〈c B．b<a<c C．c〈a〈b D．c<b〈a2．如圖，在矩形中的曲線分別是，的一部分，，，在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點，則此點取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．3．已知復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位），則A． B． C． D．4．某城市關(guān)系要好的，，，四個家庭各有兩個小孩共人，分別乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐名（乘同一輛車的名小孩不考慮位置），其中戶家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的名小孩恰有名來自于同一個家庭的乘坐方式共有（）A．種 B．種 C．種 D．種5．已知隨機(jī)變量的概率分布如下表，則（）A． B． C． D．6．已知直線y=x+1與曲線y=A．1B．2C．-1D．-27．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，給出下列四個命題：①若m∥n，m⊥β，則n⊥β；②若m∥α，m∥β，則α∥β；③若m∥n，m∥β，則n∥β；④若m⊥α，m⊥β，則α⊥β.其中真命題的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．48．下列函數(shù)在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A． B． C． D．9．設(shè)集合,，則（）A． B． C． D．10．外接圓的半徑等于1，其圓心O滿足，則向量在方向上的投影等于（）A． B． C． D．311．若直線經(jīng)過點，且原點到直線的距離為，則直線的方程為A． B．C．或 D．或12．設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，記，，，則的大小關(guān)系為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則__________．14．已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是___．15．如圖，在正方體中，與所成角的大小為________.16．已雙曲線過點，其漸近線方程為，則雙曲線的焦距是_________；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，正四棱柱的底面邊長，若與底面所成的角的正切值為．（1）求正四棱柱的體積；（2）求異面直線與所成的角的大小．18．（12分）現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲.（Ⅰ）求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；（Ⅱ）求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；（Ⅲ）用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙游戲的人數(shù)，記，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.19．（12分）（1）集合，或，對于任意，定義，對任意，定義，記為集合的元素個數(shù)，求的值；（2）在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，，，是否存在正整數(shù)，使得數(shù)列的所有項都在數(shù)列中，若存在，求出所有的，若不存在，說明理由；（3）已知當(dāng)時，有，根據(jù)此信息，若對任意，都有，求的值.20．（12分）已知一個口袋中有個紅球和個白球（，，），這些球除顏色外完全相同．現(xiàn)將口袋中的球隨機(jī)地逐個摸出（不放回），直到紅球全部被摸出為止．（1）當(dāng)，時，試求“摸球次數(shù)為5”的概率；（2）隨機(jī)變量表示摸球次數(shù)，是的數(shù)學(xué)期望．寫出的概率分布列，并求．21．（12分）已知橢圓：的左焦點左頂點.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知，是橢圓上的兩點，，是橢圓上位于直線兩側(cè)的動點.若，試問直線的斜率是否為定值？請說明理由.22．（10分）某地方政府召開全面展開新舊動能轉(zhuǎn)換重大工程動員大會，動員各方力量，迅速全面展開新舊動能轉(zhuǎn)換重大工程．某企業(yè)響應(yīng)號召，對現(xiàn)有設(shè)備進(jìn)行改造，為了分析設(shè)備改造前后的效果，現(xiàn)從設(shè)備改造前、后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取了200件作為樣本，檢測一項質(zhì)量指標(biāo)值．若該項質(zhì)量指標(biāo)值落在內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則為不合格品．如圖所示的是設(shè)備改造前樣本的頻率分布直方圖．（1）若設(shè)備改造后樣本的該項質(zhì)量指標(biāo)值服從正態(tài)分布，求改造后樣本中不合格品的件數(shù)；（2）完成下面2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān)．0設(shè)備改造前設(shè)備改造后合計合格品件數(shù)不合格品件數(shù)合計附參考公式和數(shù)據(jù)：若，則，．0.1500.1000.0500.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】分析：先對a,b,c,進(jìn)行化簡，然后進(jìn)行比較即可.詳解：，又故，故選D.點睛：考查對指數(shù)冪的化簡運算，定積分計算，比較大小則通常進(jìn)行估算值的大小，屬于中檔題.2、A【解題分析】

先利用定積分計算陰影部分面積，再用陰影部分面積除以總面積得到答案.【題目詳解】曲線分別是，的一部分則陰影部分面積為：總面積為：【題目點撥】本題考查了定積分，幾何概型，意在考查學(xué)生的計算能力.3、B【解題分析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則和復(fù)數(shù)的模計算即可.詳解：，則.故選：B.點睛：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的運算主要有加、減、乘、除及求低次方根．除法實際上是分母實數(shù)化的過程．4、B【解題分析】若A戶家庭的李生姐妹乘坐甲車,即剩下的兩個小孩來自其他的2個家庭,有種方法.若A戶家庭的李生姐妹乘坐乙車,那來自同一家庭的2名小孩來自剩下的3個家庭中的一個,有.所以共有12+12=24種方法.本題選擇B選項.點睛：(1)解排列組合問題要遵循兩個原則：一是按元素(或位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法．5、C【解題分析】由分布列的性質(zhì)可得：，故選C.6、B【解題分析】設(shè)切點P(x0,y∴x7、A【解題分析】對于①，由直線與平面垂直的判定定理易知其正確；對于②，平面α與β可能平行或相交，故②錯誤；對于③，直線n可能平行于平面β，也可能在平面β內(nèi)，故③錯誤；對于④，由兩平面平行的判定定理易得平面α與β平行，故④錯誤．綜上所述，正確命題的個數(shù)為1，故選A.8、C【解題分析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性定義，代入-x檢驗即可判斷是奇函數(shù)或偶函數(shù)；根據(jù)基本初等函數(shù)的圖像即可判斷函數(shù)是否為增函數(shù)．【題目詳解】A．在定義域上既不是增函數(shù)，也不是減函數(shù)；B．在定義域上既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)；C．在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)；D．在定義域上既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)，故選C．【題目點撥】本題考查了函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解題分析】

先求出集合、，再利用交集的運算律可得出集合.【題目詳解】，，因此，，故選C.【題目點撥】本題考查集合的交集運算，考查學(xué)生對于集合運算律的理解應(yīng)用，對于無限集之間的運算，還可以結(jié)合數(shù)軸來理解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．10、C【解題分析】分析：先根據(jù)題意畫出圖形，由已知條件可知三角形為直角三角形，且，再根據(jù)直角三角形射影定理可求得所求投影的值.詳解：根據(jù)題意畫出圖像如下圖所示，因為，所以為中點，所以是圓的直徑，所以.由于，所以三角形為等邊三角形，所以，根據(jù)直角三角形射影定理得，即.故選C.點睛：本小題主要考查圓的幾何性質(zhì)，考查向量加法的幾何意義，考查直角三角形射影定理等知識.屬于中檔題.11、D【解題分析】

當(dāng)直線斜率不存在時，滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時，假設(shè)直線方程，利用點到直線距離公式構(gòu)造方程解得結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)直線斜率不存在時，方程為：，滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為：，即：原點到直線距離：，解得：直線為：，即：綜上所述：直線的方程為：或本題正確選項：【題目點撥】本題考查點到直線距離公式的應(yīng)用，易錯點是忽略直線斜率不存在的情況，導(dǎo)致求解錯誤.12、A【解題分析】分析：根據(jù)x＞0時f（x）解析式即可知f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，由f（x）為奇函數(shù)即可得出，然后比較的大小關(guān)系，根據(jù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增即可比較出a，b，c的大小關(guān)系．詳解：x＞0時，f（x）=lnx；∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)；=；，；∴；∴；∴a＜b＜c；即c＞b＞a．故選A．點睛：利用指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)比較實數(shù)或式子的大小，一方面要比較兩個實數(shù)或式子形式的異同，底數(shù)相同，考慮指數(shù)函數(shù)增減性，指數(shù)相同考慮冪函數(shù)的增減性，當(dāng)都不相同時，考慮分析數(shù)或式子的大致范圍，來進(jìn)行比較大小，另一方面注意特殊值的應(yīng)用，有時候要借助其“橋梁”作用，來比較大?。?、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

設(shè)出冪函數(shù)，代入點計算函數(shù)表達(dá)式，將代入得到答案.【題目詳解】設(shè)：，圖像經(jīng)過點，即故答案為【題目點撥】本題考查了冪函數(shù)的計算，屬于簡單題.14、【解題分析】

對的范圍分類討論函數(shù)的單調(diào)性，再利用可判斷函數(shù)在上遞增，利用函數(shù)的單調(diào)性將轉(zhuǎn)化成：，解得：，問題得解.【題目詳解】當(dāng)時，，它在上遞增，當(dāng)時，，它在上遞增，又所以在上遞增，所以可化為：，解得：.所以實數(shù)的取值范圍是故填：【題目點撥】本題主要考查了分類思想及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化能力及計算能力，屬于中檔題。15、【解題分析】

記點正上方的頂點為，在正方體中，得到即是與所成的角，進(jìn)而可得出結(jié)果.【題目詳解】如圖，記點正上方的頂點為，在正方體中，顯然，所以即是與所成的角，易得：故答案：【題目點撥】本題主要考查異面直線所成的角，在幾何體中作出異面直線所成的角，即可求解，屬于?？碱}型.16、【解題分析】

由漸近線方程設(shè)出雙曲線方程為，代入已知點的坐標(biāo)求出，化雙曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程后可得，從而求得。【題目詳解】由題意設(shè)雙曲線方程為，又雙曲線過點，∴，∴雙曲線方程為，即，，，∴焦距為。故答案為：?！绢}目點撥】本題考查雙曲線的焦距，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。已知雙曲線的漸近線方程為，則可設(shè)雙曲線方程為，代入已知條件求得，即得雙曲線方程。而不需考慮焦點所在的軸。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

（1）是與底面所成的角,所以,可得,在用柱體體積公式即可求得答案;（2）因為正四棱柱,可得,所以是異面直線與所成的角.【題目詳解】（1）如圖,連接正四棱柱的底面邊長面是與底面所成的角在中,正四棱柱的體積為:.（2）正四棱柱是異面直線與所成的角在中,異面直線與所成的角為:.【題目點撥】本題考查了正四棱柱體積和空間異面直線夾角.在求解異面直線所成角的求解,通過平移找到所成角是解這類問題的關(guān)鍵.18、（1）（2）（3）【解題分析】

解：依題意，這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為，去參加乙游戲的概率為.設(shè)“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件(i＝0,1,2,3,4)，則（Ⅰ）這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率（Ⅱ）設(shè)“這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B，則，由于與互斥，故所以，這4個人去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為（Ⅲ）ξ的所有可能取值為0,2,4.由于與互斥，與互斥，故，．所以ξ的分布列是ξ

0

2

4

P

隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望考點：1.離散型隨機(jī)變量的期望與方差；2.相互獨立事件的概率乘法公式；3.離散型隨機(jī)變量及其分布列．19、（1），；（2）為正偶數(shù)；（3）；【解題分析】

（1）由題意得：集合表示方程解的集合，由于或，即可得到集合的元素個數(shù)；利用倒序相加法及，即可得到答案；（2）假設(shè)存在，對分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行討論；（3）利用類比推理和分類計數(shù)原理可得的值.【題目詳解】（1）由題意得：集合表示方程解的集合，由于或，所以方程中有個，個，從而可得到解的情況共有個，所以.令，所以，所以，所以，即.（2）當(dāng)取偶數(shù)時，中所有項都是中的項.由題意：均在數(shù)列中，當(dāng)時，，說明數(shù)列的第項是數(shù)列中的第項.當(dāng)取奇數(shù)時，因為不是整數(shù)，所以數(shù)列的所有項都不在數(shù)列中.綜上所述：為正偶數(shù).（3）當(dāng)時，有①當(dāng)時，②又對任意，都有③所以即為的系數(shù)，可取①中、②中的1；或①中、②中的；或①中、②中的；或①中的、②中的；所以.【題目點撥】本題第（1）問考查對集合新定義的理解；第（2）問考查等比數(shù)列的控究性問題；第（3）問考查類比推理與計數(shù)原理相結(jié)合；對邏輯推理能力和運算求解能力要求較高，屬于難題.20、（1）；（2）分布列見詳解；.【解題分析】

（1）根據(jù)題意，先得出紅球全部摸出所包含的情況，再求出摸球5次所包含的基本事件個數(shù)，進(jìn)而可求出概率；（2）根據(jù)題意，先得出的可能取值為：，結(jié)合題意，求出對應(yīng)的概率，進(jìn)而可得出分布列，再由期望的計算公式，以及組合數(shù)的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【題目詳解】（1）當(dāng)，時，由題意，紅球全部摸出，共有種情況；若摸球次數(shù)為5，則第5次摸到紅球，此時所包含的基本事件個數(shù)為個；因此，“摸球次數(shù)為5”的概率為；（2）由題意，的可能取值為：，從袋中個紅球和個白球中，將紅球全部摸出，共有種情況；則，，，，……，，所以的分布列為：因此其數(shù)學(xué)期望為：

因為所以.【題目點撥】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，古典概型的概率問題，以及組合數(shù)的性質(zhì)，難度較大.21、(Ⅰ)；(Ⅱ)答案見解析.【解題分析】分析：（Ⅰ）根據(jù)條件依次求得，和，從而可得方程；（Ⅱ）當(dāng)∠APQ=∠BPQ，則PA、PB的斜率之和為0，設(shè)直線PA的斜率為k，則PB的斜率為-k，PA的直線方程為y-3=k（x-2），PB的直線方