2024屆廣東汕頭潮陽區(qū)數(shù)學高二第二學期期末調(diào)研試題含解析

2024屆廣東汕頭潮陽區(qū)數(shù)學高二第二學期期末調(diào)研試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若（為虛數(shù)單位），則復數(shù)（）A． B． C． D．2．已知的展開式中第5項與第7項的二項式系數(shù)相等，則奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為（）A． B． C． D．3．下列函數(shù)一定是指數(shù)函數(shù)的是（）A． B． C． D．4．若是離散型隨機變量，，，又已知，，則的值為（）A． B． C．3 D．15．設集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若，則（）A．{3，1} B．{3，2，1} C．{3，2} D．{3，0，1，2}6．將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），再將所得圖象上所有的點向左平移個單位長度，則所得圖象對應的函數(shù)解析式為（）A． B．C． D．7．函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))在區(qū)間上的最大值是()A． B． C． D．8．已知隨機變量X的分布列表如下表，且隨機變量，則Y的期望是（）X-101mA． B． C． D．9．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．10．設有個不同顏色的球，放入個不同的盒子中，要求每個盒子中至少有一個球，則不同的放法有（）A．種 B．種C．種 D．種11．在棱長為的正方體中，如果、分別為和的中點，那么直線與所成角的大小為（）A． B． C． D．12．設等差數(shù)列的公差為d，若數(shù)列為遞減數(shù)列，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知定義在上的函數(shù)在導函數(shù)為，若，且當時，，則滿足不等式的實數(shù)的取值范圍是__________．14．在xOy平面上，將雙曲線的一支及其漸近線和直線、圍成的封閉圖形記為D，如圖中陰影部分，記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為，過作的水平截面，計算截面面積，利用祖暅原理得出體積為________15．為了了解一片經(jīng)濟林的生長情況,隨機抽測了其中60株樹木的底部周長(單位:),所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間上,其頻率分布直方圖如圖所示,則在抽測的60株樹木中,有_______株樹木的底部周長大于110.16．已知向量，則向量的單位向量______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，是雙曲線：（、為常數(shù)，）上的兩個不同點，是坐標原點，且，（1）若是等腰三角形，且它的重心是雙曲線的右頂點，求雙曲線的漸近線方程；（2）求面積的最小值.18．（12分）如圖，在以為頂點的多面體中，平面，平面，．（1）請在圖中作出平面，使得，且，并說明理由；（2）求直線和平面所成角的正弦值．19．（12分）在數(shù)列中，，，設.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式.20．（12分）已知二階矩陣A=abcd，矩陣A屬于特征值λ1=-1的一個特征向量為α121．（12分）若二面角的平面角是直角，我們稱平面垂直于平面，記作.（1）如圖，已知，，，且，求證：；（2）如圖，在長方形中，，，將長方形沿對角線翻折，使平面平面，求此時直線與平面所成角的大小.22．（10分）已知函數(shù)（）.（Ⅰ）若曲線在點處的切線平行于軸，求實數(shù)的值；（Ⅱ）當時，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】由可得：，故選B.2、A【解題分析】由題意可得：，由二項式系數(shù)的性質(zhì)可得：奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為.本題選擇A選項.點睛：1．二項展開式的通項是展開式的第k＋1項，這是解決二項式定理有關問題的基礎．在利用通項公式求指定項或指定項的系數(shù)要根據(jù)通項公式討論對k的限制．2．因為二項式定理中的字母可取任意數(shù)或式，所以在解題時根據(jù)題意，給字母賦值，是求解二項展開式各項系數(shù)和的一種重要方法．3．二項式定理的應用主要是對二項展開式正用、逆用，要充分利用二項展開式的特點和式子間的聯(lián)系．3、D【解題分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義，逐項分析即可.【題目詳解】A：中指數(shù)是，所以不是指數(shù)函數(shù)，故錯誤；B：是冪函數(shù)，故錯誤；C：中底數(shù)前系數(shù)是，所以不是指數(shù)函數(shù)，故錯誤；D：屬于指數(shù)函數(shù)，故正確.故選D.【題目點撥】指數(shù)函數(shù)和指數(shù)型函數(shù)：形如（且）的是指數(shù)函數(shù)，形如（且且且）的是指數(shù)型函數(shù).4、D【解題分析】分析：由期望公式和方差公式列出的關系式，然后變形求解．詳解：∵，∴隨機變量的值只能為，∴，解得或，∴．故選D．點睛：本題考查離散型隨機變量的期望與方差，解題關鍵是確定隨機變量只能取兩個值，從而再根據(jù)其期望與方差公式列出方程組，以便求解．5、B【解題分析】分析：由求出a的值，再根據(jù)題意求出b的值，然后由并集運算直接得答案.詳解：由，，即，，則.故選：B.點睛：本題考查了并集及其運算，考查了對數(shù)的運算，是基礎題.6、D【解題分析】

由正弦函數(shù)的周期變換以及平移變換即可得出正確答案.【題目詳解】函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）得到，再將所得圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到故選：D【題目點撥】本題主要考查了正弦函數(shù)的周期變換以及平移變換，屬于中檔題.7、D【解題分析】分析：先求導，再求函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上的最大值.詳解：由題得令因為.所以函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上的最大值為e-1.故答案為D.點睛：（1）本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值，意在考查學生對該知識的掌握水平.(2)設是定義在閉區(qū)間上的函數(shù)，在內(nèi)有導數(shù)，可以這樣求最值：①求出函數(shù)在內(nèi)的可能極值點（即方程在內(nèi)的根）；②比較函數(shù)值，與，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值.8、A【解題分析】

由隨機變量X的分布列求出m，求出，由，得，由此能求出結(jié)果．【題目詳解】由隨機變量X的分布列得：，解得，，，．故選：A．【題目點撥】本題考查離散型隨機變量的數(shù)學期望的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎題．9、D【解題分析】由題設中提供的三視圖中的圖形信息與數(shù)據(jù)信息可知該幾何體是一個底面是邊長分別為３,３,４的等腰三角形，高是４的三棱錐，如圖，將其拓展成三棱柱，由于底面三角形是等腰三角形，所以頂角的余弦為，則，底面三角形的外接圓的半徑，則三棱錐的外接球的半徑，其表面積，應選答案D。10、D【解題分析】

要求每個盒子中至少有一個球，可將兩個顏色的球捆綁在一起．再全排列．【題目詳解】將兩個顏色的球捆綁在一起，再全排列得選D【題目點撥】將兩個顏色的球捆綁在一起．再全排列．本題為選擇題還可取特值：令n=1,只有一種放法，排除AB，令n=2有6中放法，選D11、B【解題分析】

作出圖形，取的中點，連接、，證明四邊形為平行四邊形，計算出的三邊邊長，然后利用余弦定理計算出，即可得出異面直線與所成角的大小.【題目詳解】如下圖所示：取的中點，連接、，、分別為、的中點，則，且，在正方體中，，為的中點，且，則，所以，四邊形為平行四邊形，，則異面直線與所成的角為或其補角.在中，，，.由余弦定理得.因此，異面直線與所成角的大小為.故選B.【題目點撥】本題考查異面直線所成角的計算，一般利用定義法或空間向量法計算，考查計算能力，屬于中等題.12、C【解題分析】試題分析：因為是等差數(shù)列，則，又由于為遞減數(shù)列，所以，故選C.考點：1.等差數(shù)列的概念；2.遞減數(shù)列.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：根據(jù)條件得到函數(shù)的對稱性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和導數(shù)之間的關系判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用特殊值法進行求解即可.詳解：由，得函數(shù)關于對稱，當時，，即在上單調(diào)遞減，不妨設，則不等式等價為，即，即，得，故實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.點睛：本題主要考查不等式的求解，利用條件判斷函數(shù)的對稱性和單調(diào)性，利用特殊值法是解決本題的關鍵.14、.【解題分析】分析：由已知中過（0，y）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，計算截面面積，利用祖暅原理得出Ω的體積．詳解：在xOy平面上，將雙曲線的一支及其漸近線和直線y=0，y=4圍成的封閉圖形記為D，如圖中陰影部分．則直線y=a與漸近線交于一點A（，a）點，與雙曲線的一支交于B（，a）點，記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為Ω．過（0，y）（0≤y≤4）作Ω的水平截面，則截面面積S=，利用祖暅原理得Ω的體積相當于底面面積為9π高為4的圓柱的體積，∴Ω的體積V=9π×4=36π，故答案為36π點睛：本題考查的知識點是類比推理，其中利用祖暅原理將不規(guī)則幾何體的體積轉(zhuǎn)化為底面面積為9π高為4的圓柱的體積，是解答的關鍵．祖暅原理也可以成為中國的積分，將圖形的橫截面的面積在體高上積分，得到幾何體的體積.15、18【解題分析】

根據(jù)頻率小矩形的面積小矩形的高組距底部，求出周長大于110的頻率，再根據(jù)頻數(shù)樣本容量頻率求出對應的頻數(shù).【題目詳解】由頻率分布直方圖知：底部周長大于110的頻率為，所以底部周長大于110的頻數(shù)為（株），故答案是：18.【題目點撥】該題考查的是有關頻率分布直方圖的應用，在解題的過程中，注意小矩形的面積表示的是對應范圍內(nèi)的頻率，屬于簡單題目.16、【解題分析】

計算出，從而可得出，即可求出向量的坐標.【題目詳解】，，因此，向量的單位向量.故答案為：.【題目點撥】本題考查與非零向量同向的單位向量坐標的計算，熟悉結(jié)論“與非零向量同向的單位向量為”的應用是解題的關鍵，考查計算能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解題分析】

(1)根據(jù)三角形重心的性質(zhì)與是等腰三角形可求得的坐標,再代入雙曲線方程求解即可.

(2)將雙曲線：用極坐標表達,可直接設,再利用,代入求得關于的表達式再求最值即可.【題目詳解】(1)當是等腰三角形,且它的重心是雙曲線的右頂點時,可知在雙曲線的右支上,且.設,則由重心性質(zhì)有,故在雙曲線上,故,可得,即.故雙曲線的漸近線方程為.(2)由雙曲線:,轉(zhuǎn)換為極坐標則有,化簡得,設則有,故,故,當且僅當,即,即時等號成立.故面積的最小值為.【題目點撥】本題主要考查了圓錐曲線中面積的最值問題,因為題中有,故在求面積的最小值時,可以考慮用極坐標的方法做進行簡化計算,屬于難題.18、（1）見解析；（2）.【解題分析】試題分析：（1）取BC的中點P，連接EP，DP，證明平面ABF∥平面EDP，可得結(jié)論；（2）建立如圖所示的坐標系，求出平面BCE的法向量，利用向量方法求直線EF與平面BCE所成角的正弦值．試題解析：（1）如圖，取中點，連接，則平面即為所求的平面.顯然，以下只需證明平面；∵，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴.又平面，平面，∴平面.∵平面，平面，∴.又平面，平面，∴平面，又平面平面，∴平面平面.又平面，∴平面，即平面.（2）過點作并交于，∵平面，∴，即兩兩垂直，以為原點，以所在直線分別為軸，建立如圖所示空間直角坐標系.在等腰梯形中，∵，∴，則.∵，∴，∴.設平面的法向量，由，得，取，可得平面的一個法向量.設直線和平面所成角為，又∵，∴，故直線和平面所成角的正弦值為.19、（1）見證明；（2）【解題分析】

（1）結(jié)合已知條件，運用等比數(shù)列的定義進行證明（2）先求出數(shù)列的通項公式，然后再求出數(shù)列的通項公式【題目詳解】（1）證明：因為，所以，所以，因為，所以，故數(shù)列是等比數(shù)列，首項是2，公比是2.（2）解：由（1）可知，數(shù)列是等比數(shù)列，首項，公比，所以.因為，所以，則.【題目點撥】本題考查了證明數(shù)列是等比數(shù)列，求數(shù)列通項公式，結(jié)合定義即可求出結(jié)果，較為基礎20、A=【解題分析】

運用矩陣定義列出方程組求解矩陣A【題目詳解】由特征值、特征向量定義可知，Aα即abc同理可得3a+2b=12,3c+2d=8.解得a=2，b=3，c=2，d=1.因此矩陣【題目點撥】本題考查了由矩陣特征值和特征向量求矩陣，只需運用定義得出方程組即可求出結(jié)果，較為簡單21、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）在內(nèi)過點作，根據(jù)題意得到，進而可得出結(jié)論；（2）過點作于點，連接，得到即是直線與平面所成角，根據(jù)題中條件，求出，，由余弦定理得到，進而可求出結(jié)果.【題目詳解】（1）在內(nèi)過點作，因為，，且，所以，因為，所以；（2）過點作于點，連接，因為平面平面，所以平面，所以即是直線與平面所成角；又在長方形中，，，所以，；因此，所以，又，由余弦定理可得：，所以，所以，因此直線與平面所成角的大小為.【題目點撥】本題主要考查線面垂直的證明