2024屆江蘇南京市數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

2024屆江蘇南京市數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．觀察下列各式：3272112152……據(jù)此規(guī)律.所得的結(jié)果都是8的倍數(shù).由此推測可得（）A．其中包含等式：1032-1=10608 B．C．其中包含等式：532-1=2808 D．2．已知-1，a，b，-5成等差數(shù)列，-1，c，-4成等比數(shù)列，則a+b+c=（）A．-8 B．-6 C．-6或-4 D．-8或-43．設(shè)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要條件C．充分條件 D．既不充分也不必要條件4．已知某同學(xué)在高二期末考試中，A和B兩道選擇題同時答對的概率為，在A題答對的情況下，B題也答對的概率為，則A題答對的概率為()A． B． C． D．5．已知某企業(yè)上半年前5個月產(chǎn)品廣告投入與利潤額統(tǒng)計(jì)如下：月份12345廣告投入（萬元）9.59.39.18.99.7利潤（萬元）9289898793由此所得回歸方程為，若6月份廣告投入10（萬元）估計(jì)所獲利潤為（）A．97萬元 B．96.5萬元 C．95.25萬元 D．97.25萬元6．兩個線性相關(guān)變量x與y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表：x99.51010.511y1110865其回歸直線方程是，則相對應(yīng)于點(diǎn)（11，5）的殘差為（）A．0.1 B．0.2 C．﹣0.1 D．﹣0.27．外接圓的半徑等于1，其圓心O滿足，則向量在方向上的投影等于（）A． B． C． D．38．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A．向右平移個單位長度 B．向左平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度9．已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)在第（）象限．A．一 B．二 C．三 D．四10．如圖，用5種不同的顏色把圖中、、、四塊區(qū)域分開，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有()A．200種 B．160種 C．240種 D．180種11．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則其解析式為（）A． B． C． D．12．若且，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A． B．C．或 D．或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線被圓截得的弦長為________.14．已知曲線F（x，y）=0關(guān)于x軸、y軸和直線y=x均對稱，設(shè)集合S={（x，y）|F（x，y）=0，x∈Z，y∈Z}．下列命題：①若（1，2）∈S，則（-2，-1）∈S；②若（0，2）∈S，則S中至少有4個元素；③S中元素的個數(shù)一定為偶數(shù)；④若{（x，y）|y2=4x，x∈Z，y∈Z}?S，則{（x，y）|x2=-4y，x∈Z，y∈Z}?S．其中正確命題的序號為______．（寫出所有正確命題的序號）15．已知球的半徑為，為球面上兩點(diǎn)，若之間的球面距離是，則這兩點(diǎn)間的距離等于_________16．設(shè)，則等于___________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，斜率為k的動直線l過點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為.（1）若直線l與曲線C有兩個交點(diǎn)，求這兩個交點(diǎn)的中點(diǎn)P的軌跡關(guān)于參數(shù)k的參數(shù)方程；（2）在條件（1）下，求曲線的長度.18．（12分）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)時，對任意恒成立，求整數(shù)的最大值.19．（12分）已知函數(shù)（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最值．20．（12分）某企業(yè)開發(fā)一種新產(chǎn)品，現(xiàn)準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)對產(chǎn)品進(jìn)行促銷，在一年內(nèi)，預(yù)計(jì)年銷量（萬件）與廣告費(fèi)（萬元）之間的函數(shù)關(guān)系為，已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為萬元，每生產(chǎn)萬件此產(chǎn)品仍需要投入萬元，若年銷售額為“年生產(chǎn)成本的”與“年廣告費(fèi)的”之和，而當(dāng)年產(chǎn)銷量相等：（1）試將年利潤（萬元）表示為年廣告費(fèi)（萬元）的函數(shù)；（2）求當(dāng)年廣告費(fèi)投入多少萬元時，企業(yè)利潤最大?21．（12分）設(shè)函數(shù).（1）解不等式；（2）求函數(shù)的最大值.22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且其左右焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，.（1）求橢圓的離心率及標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為動點(diǎn)，其中，直線經(jīng)過點(diǎn)且與橢圓相交于，兩點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，是否存在定點(diǎn)，使恒成立？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

先求出數(shù)列3,7,11,15，……的通項(xiàng)，再判斷得解.【題目詳解】數(shù)列3,7,11,15，……的通項(xiàng)為an當(dāng)n=26時，a26故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查歸納推理，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可得出a+b的值，利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)求出c的值，于此可得出a+b+c的值?！绢}目詳解】由于-1、a、b、-5成等差數(shù)列，則a+b=-1又-1、c、-4成等比數(shù)列，則c2=-1當(dāng)c=-2時，a+b+c=-8；當(dāng)c=2時，a+b+c=-4，因此，a+b+c=-8或-4，故選：D?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，在處理等差數(shù)列和等比數(shù)列相關(guān)問題時，可以充分利用與下標(biāo)相關(guān)的性質(zhì)，可以簡化計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題。3、A【解題分析】

分析兩個命題的真假即得，即命題和．【題目詳解】為真，但時．所以命題為假．故應(yīng)為充分不必要條件．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查充分必要條件判斷，充分必要條件實(shí)質(zhì)上是判斷相應(yīng)命題的真假：為真，則是的充分條件，是的必要條件．4、B【解題分析】分析：根據(jù)條件概率公式計(jì)算即可.詳解：設(shè)事件A：答對A題，事件B：答對B題，則，..故選：B.點(diǎn)睛：本題考查了條件概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解題分析】

首先求出的平均數(shù)，將樣本中心點(diǎn)代入回歸方程中求出的值，然后寫出回歸方程，然后將代入求解即可【題目詳解】代入到回歸方程為，解得將代入，解得故選【題目點(diǎn)撥】本題是一道關(guān)于線性回歸方程的題目，解答本題的關(guān)鍵是求出線性回歸方程，屬于基礎(chǔ)題。6、B【解題分析】

求出樣本中心，代入回歸直線的方程，求得，得出回歸直線的方程，令，解得，進(jìn)而求解相應(yīng)點(diǎn)的殘差，得到答案.【題目詳解】由題意，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可得，把樣本中心代入回歸方程，即，解得，即回歸直線的方程為，令，解得，所以相應(yīng)點(diǎn)的殘差為，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了回歸直線方程的求解及應(yīng)用，其中解答中正確求解回歸直線的方程，利用回歸直線的方程得出預(yù)測值是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】分析：先根據(jù)題意畫出圖形，由已知條件可知三角形為直角三角形，且，再根據(jù)直角三角形射影定理可求得所求投影的值.詳解：根據(jù)題意畫出圖像如下圖所示，因?yàn)?，所以為中點(diǎn)，所以是圓的直徑，所以.由于，所以三角形為等邊三角形，所以，根據(jù)直角三角形射影定理得，即.故選C.點(diǎn)睛：本小題主要考查圓的幾何性質(zhì)，考查向量加法的幾何意義，考查直角三角形射影定理等知識.屬于中檔題.8、D【解題分析】因?yàn)榘训膱D象向右平移個單位長度可得到函數(shù)的圖象，所以，為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象，向右平移個單位長度故選D.9、D【解題分析】分析：首先化簡所給的復(fù)數(shù)，然后確定復(fù)數(shù)所在的象限即可.詳解：由題意可得：，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)位于第四象限，即復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)在第四象限.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.10、D【解題分析】

根據(jù)題意可知，要求出給四個區(qū)域涂色共有多少種方法，需要分步進(jìn)行考慮；對區(qū)域A、B、C、D按順序著色，推出其各有幾種涂法，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，將各區(qū)域涂色的方法數(shù)相乘，所得結(jié)果即為答案．【題目詳解】涂有5種涂法，有4種，有3種，因?yàn)榭膳c同色，故有3種，∴由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，不同涂法有種．故答案選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了排列組合中的涂色問題，處理區(qū)域涂色問題的基本方法為分步乘法計(jì)數(shù)原理．11、C【解題分析】

設(shè)冪函數(shù)，代入點(diǎn)，即可求得解析式.【題目詳解】設(shè)冪函數(shù)，代入點(diǎn)，，解得，.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了冪函數(shù)解析式的求法.12、C【解題分析】試題分析：根據(jù)題意，由于且，且成立，當(dāng)0<a<1時，根據(jù)對數(shù)函數(shù)遞減性質(zhì)可知，，故可知范圍是，綜上可知實(shí)數(shù)的取值范圍C考點(diǎn)：不等式點(diǎn)評：主要是考查了對數(shù)不等式的求解，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解題分析】

將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)與半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式，運(yùn)用勾股定理即可求出截得的弦長【題目詳解】由圓可得則圓心坐標(biāo)為，半徑圓心到直線的距離直線被圓截得的弦長為故答案為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了求直線被圓所截的弦長，由弦長公式，分別求出半徑和圓心到直線的距離，然后運(yùn)用勾股定理求出弦長14、①②④【解題分析】

結(jié)合曲線F（x，y）=0關(guān)于x軸、y軸和直線y=x均對稱，利用對稱性分別進(jìn)行判斷即可．【題目詳解】①若（1，2）∈S，則（1，2）關(guān)于y=x對稱的點(diǎn)（2，1）∈S，關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)（2，-1）∈S，關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)（-2，-1）∈S；故①正確，②若（0，2）∈S，關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)（0，-2）∈S，關(guān)于y=x對稱的點(diǎn)（2，0）∈S，（-2，0）∈S，此時S中至少有4個元素；故②正確，③若（0，0）∈S，則（0，0）關(guān)于x軸，y軸，y=x對稱的點(diǎn)是自身，此時S中元素的個數(shù)為奇數(shù)個，故③錯誤；④若{（x，y）|y2=4x，x∈Z，y∈Z}?S，則關(guān)于y對稱的集合為{（x，y）|y2=-4x，x∈Z，y∈Z}?S，從而{（x，y）|y2=-4x，x∈Z，y∈Z}?S關(guān)于y=x對稱的集合{（x，y）|x2=-4y，x∈Z，y∈Z}?S，故④正確，故答案為：①②④【題目點(diǎn)撥】本題主要考查命題的真假判斷，結(jié)合函數(shù)圖象的對稱性分別進(jìn)行驗(yàn)證是解決本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．15、【解題分析】

根據(jù)球面距離計(jì)算出的大小，根據(jù)的大小即可計(jì)算出之間的距離.【題目詳解】因?yàn)?，，所以為等邊三角形，所?故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)球面距離計(jì)算球面上兩點(diǎn)間的距離，難度較易.計(jì)算球面上兩點(diǎn)間的距離，可通過求解兩點(diǎn)與球心的夾角，根據(jù)角度直接寫出或者利用余弦定理計(jì)算出兩點(diǎn)間的距離.16、【解題分析】

根據(jù)微積分基本定理可得，再結(jié)合函數(shù)解析式，根據(jù)牛頓萊布尼茨定理計(jì)算可得；【題目詳解】解：因?yàn)樗怨蚀鸢笧椋骸绢}目點(diǎn)撥】本題考查利用定積分求曲邊形的面積，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解題分析】

（1）把兩邊同時乘以，然后結(jié)合極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式可得曲線的直角坐標(biāo)方程，設(shè)直線的方程為，與曲線聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得兩個交點(diǎn)的中點(diǎn)的軌跡關(guān)于參數(shù)的參數(shù)方程；（2）化參數(shù)方程為普通方程，作出圖形，數(shù)形結(jié)合即可求得曲線的長度．【題目詳解】解：（1）曲線C的直角坐標(biāo)方程為.設(shè)直線l的方程為，設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)為，，聯(lián)立直線l與曲線C的方程得解得，，，，設(shè)P的坐標(biāo)為，則，代入l的方程得.故的參數(shù)方程為.（2）由的參數(shù)方程得即.如圖，圓C：圓心為，半徑為2，圓D：圓心為，半徑為2，曲線為劣弧，顯然，所以的長度為.【題目點(diǎn)撥】本題考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程，考查參數(shù)方程化普通方程，考查圓與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．18、（Ⅰ）當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.（Ⅱ）2【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)解析式求得導(dǎo)函數(shù)，討論與兩種情況，結(jié)合一元二次方程的根即可由導(dǎo)函數(shù)符號判斷函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）將代入解析式，并代入不等式分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求得，在令，由即可證明在單調(diào)遞增，再根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知存在唯一的，使得，進(jìn)而由單調(diào)性求得，整理化簡后可得，即可得整數(shù)的最大值.【題目詳解】（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時，恒成立，所以在內(nèi)單調(diào)遞增.當(dāng)時，由得，，，且在區(qū)間內(nèi)，在區(qū)間內(nèi).綜上可得，當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.（Ⅱ）將代入函數(shù)解析式，可求得，代入不等式可得，即對任意恒成立，令，只需.，令，，所以在單調(diào)遞增，顯然有，，所以存在唯一的，使得.在，，，單調(diào)遞減；在，，，單調(diào)遞增.所以，此時，可得，所以，因?yàn)?，所以，所以整?shù)的最大值為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了由導(dǎo)數(shù)判斷含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性，分類討論思想的綜合應(yīng)用，分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值，零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，化簡過程較為繁瑣，屬于難題.19、(Ⅰ)增區(qū)間為（1，），(-)，減區(qū)間為（-1,1）；(Ⅱ)最小值為，最大值為【解題分析】試題分析：（Ⅰ）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后解和的解集；（Ⅱ）根據(jù)上一問的單調(diào)區(qū)間，確定函數(shù)的端點(diǎn)值域極值，其中最大值就是函數(shù)的最大值，最小的就是函數(shù)的最小值.試題解析：（Ⅰ）根據(jù)題意，由于因?yàn)?gt;0,得到x>1,x<-1,故可知在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，而則，故在上是減函數(shù)（Ⅱ）當(dāng)時，在區(qū)間取到最小值為．當(dāng)時，在區(qū)間取到最大值為.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)用20、（1）；（2）當(dāng)年廣告費(fèi)投入8萬元時，企業(yè)年利潤最大【解題分析】

（1）用年銷售額減去廣告費(fèi)用和投入成本得出利潤；

（2）利用基本不等式求出利潤最大值及其對應(yīng)的的值．【題目詳解】解：