2024屆重慶市一中數(shù)學高二下期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆重慶市一中數(shù)學高二下期末統(tǒng)考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點是拋物線的焦點，點為拋物線上的任意一點，為平面上點，則的最小值為（）A．3 B．2 C．4 D．2．已知，是的導數(shù)，若的展開式中的系數(shù)小于的展開式中的系數(shù)，則的取值范圍是（）A． B．C． D．3．若將函數(shù)f(x)＝x5表示為f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5為實數(shù)，則（）A． B． C． D．4．下列參數(shù)方程可以用來表示直線的是（）A．（為參數(shù)） B．（為參數(shù)）C．（為參數(shù)） D．（為參數(shù)）5．已知，，，則的大小關系是（）A． B． C． D．6．中國古代儒家提出的“六藝”指:禮?樂?射?御?書?數(shù).某校國學社團預在周六開展“六藝”課程講座活動,周六這天準備排課六節(jié),每藝一節(jié),排課有如下要求:“樂”與“書”不能相鄰,“射”和“御”要相鄰,則針對“六藝”課程講座活動的不同排課順序共有()A．18種 B．36種 C．72種 D．144種7．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（）A． B． C． D．8．由曲線,直線及軸所圍成的平面圖形的面積為()A．6 B．4 C． D．9．的值等于（）A．1 B．－1 C． D．10．—個物體的運動方程為其中的單位是米，的單位是秒，那么物體在5秒末的瞬時速度是（）A．6米秒 B．7米秒 C．8米秒 D．9米秒11．芻薨（），中國古代算術中的一種幾何形體，《九章算術》中記載“芻薨者，下有褒有廣，而上有褒無廣.芻，草也.薨，屋蓋也.”翻譯為“底面有長有寬為矩形，頂部只有長沒有寬為一條棱，芻薨字面意思為茅草屋頂”，如圖，為一芻薨的三視圖，其中正視圖為等腰梯形，側(cè)視圖為等腰三角形，則搭建它（無底面，不考慮厚度）需要的茅草面積至少為（）A．24 B． C．64 D．12．某快遞公司的四個快遞點呈環(huán)形分布（如圖所示），每個快遞點均已配備快遞車輛10輛．因業(yè)務發(fā)展需要，需將四個快遞點的快遞車輛分別調(diào)整為5,7,14,14輛，要求調(diào)整只能在相鄰的兩個快遞點間進行，且每次只能調(diào)整1輛快遞車輛，則A．最少需要8次調(diào)整，相應的可行方案有1種B．最少需要8次調(diào)整，相應的可行方案有2種C．最少需要9次調(diào)整，相應的可行方案有1種D．最少需要9次調(diào)整，相應的可行方案有2種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是與的等比中項，則圓錐曲線的離心率是__________．14．在長方體中，，，，二面角的大小是_________（用反三角表示）．15．我國南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算術》中，用圖①的三角形形象地表示了二項式系數(shù)規(guī)律，俗稱“楊輝三角形”．現(xiàn)將楊輝三角形中的奇數(shù)換成，偶數(shù)換成，得到圖②所示的由數(shù)字和組成的三角形數(shù)表，由上往下數(shù)，記第行各數(shù)字的和為，如，，，，……，則______16．已知正方體的棱長為2，是棱的中點，點在正方體內(nèi)部或正方體的表面上，且平面，則動點的軌跡所形成的區(qū)域面積是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，直三棱柱的底面為直角三角形，兩直角邊和的長分別為4和3，側(cè)棱的長為5.（1）求三棱柱的體積；（2）設是中點，求直線與平面所成角的大小.18．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù).（1）證明：；（2）若對任意的均成立，求實數(shù)的最小值.20．（12分）已知函數(shù)f(x)=ax2-(a+2)x+(Ⅰ)當a=1時，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；(Ⅱ)當a>0時，若f(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值為-2，求a的取值范圍；(Ⅲ)若?x1，x2∈(0,+∞)，且x121．（12分）某工廠為檢驗車間一生產(chǎn)線工作是否正常，現(xiàn)從生產(chǎn)線中隨機抽取一批零件樣本，測量它們的尺寸(單位：)并繪成頻率分布直方圖，如圖所示.根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件尺寸服從正態(tài)分布，其中近似為零件樣本平均數(shù)，近似為零件樣本方差.(1)求這批零件樣本的和的值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，求；(3)若從生產(chǎn)線中任取一零件，測量其尺寸為，根據(jù)原則判斷該生產(chǎn)線是否正常？附：；若，則，，.22．（10分）已知O是平面直角坐標系的原點，雙曲線.（1）過雙曲線的右焦點作x軸的垂線，交于A、B兩點，求線段AB的長；（2）設M為的右頂點，P為右支上任意一點，已知點T的坐標為，當?shù)淖钚≈禐闀r，求t的取值范圍；（3）設直線與的右支交于A，B兩點，若雙曲線右支上存在點C使得，求實數(shù)m的值和點C的坐標.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

作垂直準線于點，根據(jù)拋物線的定義，得到，當三點共線時，的值最小，進而可得出結(jié)果.【題目詳解】如圖，作垂直準線于點，由題意可得，顯然，當三點共線時，的值最??；因為，，準線，所以當三點共線時，，所以.故選A【題目點撥】本題主要考查拋物線上任一點到兩定點距離的和的最值問題，熟記拋物線的定義與性質(zhì)即可，屬于常考題型.2、B【解題分析】

由展開式中的系數(shù)是，又，所以的展開式中的系數(shù)是，得到，繼而解得結(jié)果．【題目詳解】由題意，函數(shù)展開式中的系數(shù)是，又，所以的展開式中x的系數(shù)是，依題意得，解得．故選：B．【題目點撥】本題主要考查了二項式定理的應用，以及導數(shù)的計算，其中解答熟記導數(shù)的運算公式和二項展開式的通項是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．3、B【解題分析】分析：由題意可知，，然后利用二項式定理進行展開，使之與進行比較，可得結(jié)果詳解：由題可知：而則故選點睛：本題主要考查了二次項系數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題目意思，將轉(zhuǎn)化為是本題關鍵，然后運用二項式定理展開求出結(jié)果4、A【解題分析】

選項A:利用加減消元法消參,并求出的取值范圍,即可判斷出所表示的圖形；選項B：利用加減消元法消參,并求出的取值范圍,即可判斷出所表示的圖形；選項C：利用加減消元法消參,并求出的取值范圍即可判斷出所表示的圖形；選項D：利用同角的三角函數(shù)關系式進行消參即即可判斷出所表示的圖形,最后選出正確答案.【題目詳解】選項A:,而,所以參數(shù)方程A表示的是直線；選項B：,而,所以參數(shù)方程B表示的是射線；選項C：,而,所以參數(shù)方程C表示的是線段；選項D：,所以參數(shù)方程D表示的是單位圓,故選A.【題目點撥】本題考查了參數(shù)方程化為普通方程,并判斷普通方程所表示的平面圖形,求出每個參數(shù)方程中橫坐標的取值范圍是解題的關鍵.5、C【解題分析】，故答案選6、D【解題分析】

由排列、組合及簡單的計數(shù)問題得：由題意可將“射”和“御”進行捆綁看成一個整體，共有種，然后與“禮”、“數(shù)”進行排序，共有種，最后將“樂”與“書”插入4個空即可，共有種，再相乘得解．【題目詳解】由題意“樂”與“書”不能相鄰,“射”和“御”要相鄰，可將“射”和“御”進行捆綁看成一個整體，共有種，然后與“禮”、“數(shù)”進行排序，共有種，最后將“樂”與“書”插入4個空即可，共有種，由于是分步進行，所以共有種，故選：D.【題目點撥】本題考查排列、組合及簡單計數(shù)問題，根據(jù)問題選擇合適的方法是關鍵，此類問題常見的方法有元素優(yōu)先法、捆綁法、插空法等，本題屬于中等題.7、D【解題分析】由題設中提供的三視圖中的圖形信息與數(shù)據(jù)信息可知該幾何體是一個底面是邊長分別為３,３,４的等腰三角形，高是４的三棱錐，如圖，將其拓展成三棱柱，由于底面三角形是等腰三角形，所以頂角的余弦為，則，底面三角形的外接圓的半徑，則三棱錐的外接球的半徑，其表面積，應選答案D。8、D【解題分析】

先求可積區(qū)間，再根據(jù)定積分求面積.【題目詳解】由,得交點為，所以所求面積為，選D.【題目點撥】本題考查定積分求封閉圖形面積，考查基本求解能力，屬基本題.9、B【解題分析】

根據(jù)復數(shù)的計算方法，可得的值，進而可得，可得答案．【題目詳解】解：根據(jù)復數(shù)的計算方法，可得，則，故選：．【題目點撥】本題考查復數(shù)的混合運算，解本題時，注意先計算括號內(nèi)，再來計算復數(shù)平方，屬于基礎題．10、D【解題分析】分析：求出運動方程的導數(shù)，據(jù)對位移求導即得到物體的瞬時速度，求出導函數(shù)在t=3時的值，即為物體在3秒末的瞬時速度詳解：∵物體的運動方程為s=1﹣t+t2s′=﹣1+2ts′|t=5=9.故答案為：D.點睛：求物體的瞬時速度，只要對位移求導數(shù)即可．11、B【解題分析】茅草面積即為幾何體的側(cè)面積，由題意可知該幾何體的側(cè)面為兩個全等的等腰梯形和兩個全等的等腰三角形．其中，等腰梯形的上底長為4，下底長為8，高為；等腰三角形的底邊長為4，高為．故側(cè)面積為．即需要的茅草面積至少為．選B．12、D【解題分析】

先閱讀題意，再結(jié)合簡單的合情推理即可得解．【題目詳解】（1）A→D調(diào)5輛，D→C調(diào)1輛，B→C調(diào)3輛，共調(diào)整：5＋1＋3＝9次，（2）A→D調(diào)4輛，A→B調(diào)1輛，B→C調(diào)4輛，共調(diào)整：4＋1＋4＝9次，故選：D【題目點撥】本題考查了閱讀能力及簡單的合情推理，屬中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解題分析】分析：根據(jù)等比中項，可求出m的值為；分類討論m的不同取值時圓錐曲線的不同，求得相應的離心率。詳解：由等比中項定義可知所以當時，圓錐曲線為橢圓，離心率當時，圓錐曲線為雙曲線，離心率所以離心率為或2點睛：本題考查了數(shù)列和圓錐曲線的綜合應用，基本概念和簡單的分類討論，屬于簡單題。14、【解題分析】

根據(jù)二面角平面角的定義可知為二面角的平面角，在直角三角形中表示出，進而求得結(jié)果.【題目詳解】由長方體特點可知：平面又平面，平面，即為二面角的平面角又，，即二面角的大小為：本題正確結(jié)果：【題目點撥】本題考查二面角的求解，關鍵是能夠根據(jù)二面角平面角的定義確定平面角，將平面角放到直角三角形中來進行求解.15、64.【解題分析】

將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，可得第1次全行的數(shù)都為1的是第2行，第2次全行的數(shù)都為1的是第4行，…，由此可知全奇數(shù)的行出現(xiàn)在2n的行數(shù)，即第n次全行的數(shù)都為1的是第2n行．126＝27﹣2，故可得．所以第128行全是1，那么第127行就是101010…101，第126行就是11001100…110011，問題得以解決．【題目詳解】解：由題意，將楊輝三角中的奇數(shù)換成1，偶數(shù)換成0，可得第1次全行的數(shù)都為1的是第2行，第2次全行的數(shù)都為1的是第4行，…，由此可知全奇數(shù)的行出現(xiàn)在2n的行數(shù)，即第n次全行的數(shù)都為1的是第2n行．126＝27﹣2，故可得第128行全是1，那么第127行就是101010…101，第126行就是11001100…110011，11又126÷4＝31+2，∴S126＝2×31+2＝64，故答案為：64點睛：本題考查歸納推理，屬中檔題.16、【解題分析】

分別取的中點,并連同點順次連接,六邊形就是所求的動點的軌跡,求出面積即可.【題目詳解】如下圖所示：分別取的中點,并連同點順次連接，因為是三角形的中位線,所以平面,平面,同理都平行平面,所以就是所求的動點的軌跡,該正六邊形的邊長為,所以正六邊形的面積為：.故答案為【題目點撥】本題考查了直線與平面平行的判定定理的應用,考查了數(shù)學運算能力、空間想象能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）30；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)體積公式直接計算；（2）說明就是直線與平面所成角，再計算.【題目詳解】（1）根據(jù)題意可知，;（2）連接，平面，就是直線與平面所成角，是直角三角形，，且是中點，，,直線與平面所成角的大小.【題目點撥】本題考查柱體的體積公式和直線與平面所成的角，意在考查基本概念和計算求解能力，屬于簡單題型.18、（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）【解題分析】

（1）求出，當時，求出的解即可；（2）所求的問題為在上恒成立，設，，注意，所以在遞增滿足題意，若存在區(qū)間遞減，則不滿足題意，對分類討論，求出單調(diào)區(qū)間即可.【題目詳解】（Ⅰ）當時，，則.所以當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（Ⅱ）由，得在上恒成立.設，則.設，①當時，，則在上恒成立，在上單調(diào)遞增，在恒成立，所以當時，在上恒成立；②當時，令，得或（舍去）.所以當時，，則是上的減函數(shù)；當時，，則是上的增函數(shù).所以當時，.因此當時，不恒成立.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.【題目點撥】本題考查函數(shù)導數(shù)的綜合應用，涉及到函數(shù)單調(diào)性、不等式恒成立，考查分類討論思想，確定分類標準是解題的關鍵，屬于中檔題.19、（1）證明見解析（2）【解題分析】

(1)由可得,再構(gòu)造函數(shù),分析函數(shù)單調(diào)性求最值證明即可.(2)根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù),再根據(jù)的正負分析函數(shù)的單調(diào)性可知為最大值,進而求得實數(shù)的最小值即可.【題目詳解】（1）證明：由,得,.設,所以,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以,.又因為（其中）,所以,,所以,成立.（2）解：設,.,,所以,.下面證明當時,成立.,因為,所以,所以.又因為當時,,所以,所以,所以,當時,.故,.所以,的最大值為,所以,的最小值為.【題目點撥】本題主要考查了利用導數(shù)證明函數(shù)不等式的問題,同時也考查了數(shù)列中求最大值項的方法.需要構(gòu)造數(shù)列求解的正負判斷,屬于難題.20、（I）y=-2；（II）a≥1；（III）0≤a≤8.【解題分析】

(Ⅰ)求出f'(x),由f(1)的值可得切點坐標，求出f'(1)的值，可得切線斜率，利用點斜式可得曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；(Ⅱ)確定函數(shù)的定義域，求導函數(shù)，分類討論，利用導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求得函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最小值為-2，即可求a的取值范圍；(Ⅲ)設g(x)=f(x)+2x，則g(x)=ax2-ax+lnx，對任意x1，x2∈(0,+∞)，x1【題目詳解】(Ⅰ)當a=1時，f(x)=x2因為，f(1)=-2，所以切線方程為

y=-2.(Ⅱ)函數(shù)f(x)=ax2-(a+2)x+當a>0時，f'(x)=2ax-(a+2)+1令，即f'(x)=2ax2-(a+2)x+1x當0<1a≤1，即a≥1時，f(x)所以f(x)在[1,e]上的最小值是f(1)=-2；當1<1a<e時，f(x)在[1,e]當1a≥e時，f(x)在所以f(x)在[1,e]上的最小值是f(e)<f(1)=-2，不合題意.綜上可得

a≥1.(Ⅲ)設g(x)=f(x)+2x，則g(x)=ax2-ax+lnx，對任意x1，x2∈(0,+∞)，而g'(x)=2ax-a+1當a=0時，g'(x)=1x>0，此時g(x)當a≠0時，只需在(0,+∞)恒成立，因為x∈(0,+∞)，只要2ax2-ax+1≥0，則需要對于函數(shù)y=2ax2-ax+1，過定點(0,1)，對稱軸綜上可得

0≤a≤8.【題目點撥】本題是以導數(shù)的運用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問題和解決問題的能