《工程力學》課件 2.3平面任意力系

在平面力系中，如果各力作用線不全交于一點，也不全平行，這樣的力系就是平面一般力系。第三節(jié)平面一般力系和平面平行力系

平面平行力系各力作用線互相平行。

設(shè)在某一剛體上作用著平面一般力系

應(yīng)用力線平移定理，將該力系中的各個力逐個向剛體上的某一點O（稱為簡化中心）平移（圖c)，再將所得的平面匯交力系和平面力偶系分別合成（圖

d)。過程為：(a)平面一般力系的簡化

1、簡化的方法——向作用面內(nèi)任一點簡化o(a)od1d2dn(b)(c)O平面一般力系平面力偶系平面匯交力系向一點簡化合成合成力力偶yox(d)(2-15)(2-14)

2、簡化的結(jié)果——主矢和主矩式中α表示主矢

與

x軸間所夾的銳角，指向由XR與YR的正負號決定。3、簡化結(jié)果的討論（1）力系簡化為合力偶力系合成為一力偶，此時(主矢等于零時）主矩與簡化中心的位置無關(guān)。（2）力系簡化為合力

力系仍可簡化為一個合力，但合力的作用線不通過簡化中心。（a）（b）

就是原力系的合力，合力的作用線通過簡化中心。(c)od(b)odo()（3）力系平衡是平面一般力系平衡的充分和必要條件。小結(jié)：平面一般力系的簡化最終結(jié)果：合力偶、合力、平衡。例2-13

已知擋土墻自重W1=240kN，W2=360kN，水壓力FS＝200kN，土壓力FT＝400kN，各力方向和作用線如圖所示。試將這各力向底面中心O點簡化，并求簡化最后結(jié)果。解:（1）建立坐標系（2）計算主矢大小和方向2.5m4mxy2.5m4m（3）計算主矩（4）進一步簡化為一個合力FR合力FR的大小方向與F'R

相同作用線與O點距離合力FR在O點的左側(cè)。合力FR作用線與x軸交點坐標xy顯然有合力矩定理

平面一般力系如果有合力，則合力對該力系作用面內(nèi)任一點之矩等于力系中各分力對該點之矩的代數(shù)和。證明:

如右圖所示。4、平面一般力系合力矩定理

()o(b)od

平面一般力系平衡的充分必要條件是：力系的主矢和對任意一點的主矩都為零。即

平面一般力系的平衡方程為：MoO1.平衡方程的基本形式三、平面一般力系的平衡條件

平面一般力系平衡的充分必要條件是：力系中所有各力在兩個坐標軸上投影的代數(shù)和都等于零，且力系中所有各力對任一點的力矩的代數(shù)和也等于零。qaaaa平行分布力的等效集中力：作用點、方向、大小2a/3a/3a/3a/3a/3a/22a/3a/3a/2F=qaa/2例2–15懸臂梁AB受力如圖所示，梁的自重不計，求支座A反力。解:（1）取梁為研究對象，畫受力圖。（2）列平衡方程（3）校核：說明反力計算無誤。AB2mFAxFAyMA解:（1）取剛架為研究對象，畫受力圖。（2）列平面一般力系的平衡方程：例2–16簡支剛架承受荷載如圖所示，剛架的自重不計，求支座A、B的反力。4mAB4m12kNAB12kNFAxFAyFB（3）校核：說明反力計算無誤。AB12kNFAxFAyFB二矩式平衡方程其中A、B兩點的連線AB不能垂直于投影軸x。由后面兩式知：力系不可能簡化為一力偶，只能簡化為過A、B兩點的一合力或處于平衡。再加第一條件，若AB連線不垂直于x軸(或y

軸），則力系必平衡。FAxB證明:2.平衡方程的其它形式三矩式平衡方程其中A、B、C三點不能在同一條直線上。注意：以上格式分別有三個獨立方程，只能求出三個未知數(shù)。

由前面兩式知：力系不可能簡化為一力偶，只能簡化為過A、B兩點的一合力或處于平衡，再加第三條件，力系只能簡化為過A、B、C三點的一合力或處于平衡，若三點不在同一直線上，則力系必平衡。FABC證明:（1）取梁為研究對象，畫受力圖。（2）列平衡方程ACB4m2m6kN/m16kN例2–17外伸梁承受荷載如圖所示，梁的自重不計，求支座A、B的反力。FAxFAyFB解:（3）校核：說明反力計算無誤。平面平行力系：各力的作用線在同一平面內(nèi)且互相平行的力系。圖示一受平面平行力系作用的物體，如選軸x與各力作用線垂直，顯然有：yox四、平面平行力系即平面平行力系平衡的充要條件是：力系中各力的代數(shù)和以及各力對任一點之矩的代數(shù)和都為零。

這樣，平面平行力系的平衡條件可寫為：

平面平行力系平衡方程的二矩式為條件：A、B兩點的連線不能與各力的作用線平行。yox或解：（1）取桁架為研究對象，畫受力圖。（2）列平衡方程：20kN例2–18平面桁架承受荷載如圖所示，桁架的自重不計，求支座A、B的反力。60kN40kN（3）校核：說明反力計算無誤。CBAFAFBACB2mD2m例2–19簡支梁承受荷載如圖所示，梁的自重不計，求支座A、B的反力。FAFB解：（1）取簡支梁為研究對象，畫受力圖，建立坐標系。（2）列平衡方程：說明反力計算無誤。（3）校核：

物體系：由幾個物體通過一定的約束方式聯(lián)系在一起的系統(tǒng)。如圖所示。CD3m1.5m4.5m3mAB20kN2m2.5m1.5m10kNE2kN/mG第四節(jié)物體系統(tǒng)的平衡10kN1、內(nèi)力和外力外力：系統(tǒng)以外的物體給所研究系統(tǒng)的力。內(nèi)力：在系統(tǒng)內(nèi)部，各個物體之間，或一個物體的這一部分與哪一部分之間，相互作用的力。mq0CADBE30。a3aP注意：內(nèi)力與外力是相對的，受力圖中內(nèi)力不畫。xy3m1.5m4.5m3m2m2.5m1.5mCDAB20kN10kNE2kN/mG10kNCB20kNAHAVAF'CxF'CyVB10kNCEFCxFCyF'EyF'ExVDHAVAVBVDVG2kN/mEG10kNFExFEyVG

整個系統(tǒng)處于平衡時，系統(tǒng)中每一個物體也平衡。在求解物體系的平衡問題時，要研究整體，還要研究局部個體，才能使問題得到解決。應(yīng)該從未知量較少或未知量數(shù)正好等于獨立的平衡方程數(shù)的受力圖開始，逐步求解。解題順序與結(jié)構(gòu)組裝順序相反，即后組裝的部分先力學分析。2、解法例2–21組合梁承受荷載如圖所示，梁的自重不計，求圖示梁支座A、D的反力。

（2）取整個結(jié)構(gòu)為研究對象解：xy7.07kN

4kN/mHAVAMA2m2m2mCDAB7.07kNHAVAMA

4kN/mCDABCF'CxF'Cy

（1）取CD桿為研究對象VDFCxFCyVD主從結(jié)構(gòu){基本部分附屬部分45o45o

（3）校核：說明反力計算無誤。xy7.07kN

4kN/m2m2m2mCDABVD小結(jié)：主從結(jié)構(gòu)計算順序為先附屬部分，后基本部分或整個結(jié)構(gòu)。45oHAVAMA取整個結(jié)構(gòu)為研究對象4m解：

（1）取整個三鉸剛架為研究對象A2m6m6mCB6m12kN

8kN/m例2–22鋼筋混凝土三鉸結(jié)構(gòu)受荷載如圖所示，求支座A、B和頂鉸C處的約束反力。ACB4m12kN

8kN/mHAVAVBHBACB4m12kN

8kN/mFAxFAyFByFBxCB4m12kNFAxFAyFByFBxF'CxF'CyFCyFCxA

8kN/mC

（2）取AC部分為研究對象

（3）取BC部分為研究對象ACB4m12kN

8kN/mHAVAVBHBCB4m12kNHAVAVBHBF'CxF'CyFCyFCxA

8kN/mC

（4）校核：說明反力計算無誤。小結(jié)：底鉸在同一水平線的三鉸結(jié)構(gòu)計算順序為先整個結(jié)構(gòu)計算豎向反力，后部分結(jié)構(gòu)計算水平反力。

取整個三鉸剛架為研究對象1、力線平移定理本節(jié)小結(jié)一、平面一般力系簡化平面一般力系向作用面內(nèi)任一點簡化的結(jié)果是一個力和一個力偶。這個力作用在簡化中心，它的矢量稱為原力系的主矢（量），并等于這個力系中各力的矢量和；這個力偶的力偶矩稱為原力系對簡化中心的主矩，并等于原力系各力對簡化中心的力矩的代數(shù)和。2、簡化結(jié)論

主矩一般與簡化中心的位置有關(guān)。主矢等于零時，主矩與簡化中心的位置無關(guān)。主矢的大小和方向與簡化中心位置無關(guān)。平面一般力系的簡化最終結(jié)果：合力、合力偶、平衡。3、合力矩定理4、簡化計算合力作用線與O點（垂直）距離計算公式合力作用線與x軸交點坐標計算公式合力作用線與y軸交點坐標計算公式二、平面一般力系的平衡條件及其應(yīng)用AB不能垂直于