甘肅省蘭州市一中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

甘肅省蘭州市一中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在橢圓內(nèi)，通過點(diǎn)，且被這點(diǎn)平分的弦所在的直線方程為（）A． B．C． D．2．利用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考慮兩個(gè)分類變量X與Y是否有關(guān)系時(shí)，通過查閱下表來確定“X和Y有關(guān)系”的可信度．如果k>5.024，那么就有把握認(rèn)為“X和Y有關(guān)系”的百分比為()P(K2>k0)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.83A．25% B．95%C．5% D．97.5%3．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，滿足，且，則不等式的解集為()A． B． C． D．4．已知平面α與平面β相交，直線m⊥α，則()A．β內(nèi)必存在直線與m平行，且存在直線與m垂直B．β內(nèi)不一定存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直C．β內(nèi)必存在直線與m平行，不一定存在直線與m垂直D．β內(nèi)不一定存在直線與m平行，但必存在直線與m垂直5．定義在上的函數(shù)，若對于任意都有且則不等式的解集是（）A． B． C． D．6．給出下列四個(gè)命題：①回歸直線過樣本點(diǎn)中心（，）②將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，平均值不變③將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差不變④在回歸方程＝4x+4中，變量x每增加一個(gè)單位時(shí)，y平均增加4個(gè)單位其中錯(cuò)誤命題的序號是（）A．① B．② C．③ D．④7．若，則的值為（）A．2 B．1 C．0 D．8．已知函數(shù)，則，，的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．9．某產(chǎn)品的銷售收入（萬元）關(guān)于產(chǎn)量（千臺）的函數(shù)為；生產(chǎn)成本（萬元）關(guān)于產(chǎn)量（千臺）的函數(shù)為，為使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品()A．9千臺 B．8千臺 C．7千臺 D．6千臺10．已知，分別是橢圓C：的上下兩個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓上存在四個(gè)不同點(diǎn)P，使得的面積為，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（）A． B． C． D．11．若曲線在點(diǎn)（0，n）處的切線方程x-y+1=0，則（）A．， B．，C．， D．，12．某中學(xué)高二年級的一個(gè)研究性學(xué)習(xí)小組擬完成下列兩項(xiàng)調(diào)查：①從某社區(qū)430戶高收入家庭，980戶中等收入家庭，290戶低收入家庭中任意選出170戶調(diào)查社會(huì)購買力的某項(xiàng)指標(biāo)；②從本年級12名體育特長生中隨機(jī)選出5人調(diào)查其學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)情況；則該研究性學(xué)習(xí)小組宜采用的抽樣方法分別是（）A．①用系統(tǒng)抽樣，②用簡單隨機(jī)抽樣 B．①用系統(tǒng)抽樣，②用分層抽樣C．①用分層抽樣，②用系統(tǒng)抽樣 D．①用分層抽樣，②用簡單隨機(jī)抽樣二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．為計(jì)算，設(shè)計(jì)了下面的程序框圖，則在空白框中應(yīng)填入______.14．若二項(xiàng)式（x﹣）n的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為__．15．在的展開式中的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)相等，則正數(shù)______.16．若函數(shù)與函數(shù)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是________；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；⑵如果對于任意的，總成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）(1)設(shè)k，，且，求證：；(2)求滿足的正整數(shù)n的最大值；19．（12分）如圖，在中，D是邊BC上一點(diǎn)，，，．（1）求DC的長；（2）若，求的面積．20．（12分）設(shè)命題實(shí)數(shù)滿足（）；命題實(shí)數(shù)滿足（1）若且p∧q為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若?q是?p的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知展開式中的倒數(shù)第三項(xiàng)的系數(shù)為45，求：（1）含的項(xiàng)；（2）系數(shù)最大的項(xiàng)．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】試題分析：設(shè)以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦的端點(diǎn)分別為，則，又，兩式相減化簡得，即以點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線的斜率為，由直線的點(diǎn)斜式方程可得，即，故選A.考點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系.2、D【解題分析】∵k＞5.024，而在觀測值表中對應(yīng)于5.024的是0.025，∴有1-0.025=97.5%的把握認(rèn)為“X和Y有關(guān)系”，

故選D．3、A【解題分析】

令，這樣原不等式可以轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，并結(jié)合已知條件，可以判斷出的單調(diào)性，利用單調(diào)性，從而可以解得，也就可以求解出，得到答案.【題目詳解】解:令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查了利用轉(zhuǎn)化法、構(gòu)造函數(shù)法、求導(dǎo)法解決不等式解集問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和推理論證能力.4、D【解題分析】

可在正方體中選擇兩個(gè)相交平面，再選擇由頂點(diǎn)構(gòu)成且與其中一個(gè)面垂直的直線，通過變化直線的位置可得正確的選項(xiàng)．【題目詳解】

如圖，平面平面，平面，但平面內(nèi)無直線與平行，故A錯(cuò)．又設(shè)平面平面，則，因，故，故B、C錯(cuò)，綜上，選D．【題目點(diǎn)撥】本題考察線、面的位置關(guān)系，此種類型問題是易錯(cuò)題，可選擇合適的幾何體去構(gòu)造符合條件的點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系或不符合條件的反例．5、D【解題分析】

令,求導(dǎo)后根據(jù)題意知道在上單調(diào)遞增，再求出，即可找到不等式的解集?！绢}目詳解】令則所以在上單調(diào)遞增，又所以的解集故選D【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解不等式，屬于中檔題。6、B【解題分析】

由回歸直線都過樣本中心，可判斷①；由均值和方差的性質(zhì)可判斷②③；由回歸直線方程的特點(diǎn)可判斷④，得到答案．【題目詳解】對于①中，回歸直線過樣本點(diǎn)中心，故①正確；對于②中，將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，平均值為加上或減去這個(gè)常數(shù)，故②錯(cuò)誤；對于③中，將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差不變，故③正確；對于④中，在回歸直線方程，變量每增加一個(gè)單位時(shí)，平均增加4個(gè)單位，故④正確，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了回歸直線方程的特點(diǎn)和均值、方差的性質(zhì)的應(yīng)用，著重考查了．判斷能力，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解題分析】分析：令x=1，可得1=a1．令x=，即可求出．詳解：，令x=1，可得1=．令x=，可得a1+++…+=1，∴++…+=﹣1，故選：D．點(diǎn)睛：本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用、方程的應(yīng)用，考查了賦值法，考查了推理能力與計(jì)算能力，注意的處理，屬于易錯(cuò)題．8、A【解題分析】

由為偶函數(shù)，知，由在（0，1）為增函數(shù)，知，由此能比較大小關(guān)系．【題目詳解】∵為偶函數(shù)，∴，∵，由時(shí)，，知在（0，1）為增函數(shù)，∴，∴，故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)值大小的比較，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的靈活運(yùn)用．9、B【解題分析】

根據(jù)題意得到利潤關(guān)于產(chǎn)量的函數(shù)式，再由導(dǎo)數(shù)求得使利潤最大時(shí)的產(chǎn)量，即可求解出答案?！绢}目詳解】設(shè)利潤為萬元，則，，令，得，令，得，∴當(dāng)時(shí)，取最大值，故為使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)8千臺．選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值來解決實(shí)際問題。10、A【解題分析】

求出橢圓的焦距，求出橢圓的短半軸的長，利用已知條件列出不等式求出的范圍，然后求解離心率的范圍．【題目詳解】解：，分別是橢圓的上下兩個(gè)焦點(diǎn)，可得，短半軸的長：，橢圓上存在四個(gè)不同點(diǎn)，使得△的面積為，可得，可得，解得，則橢圓的離心率為：．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11、A【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的切線方程得到切點(diǎn)坐標(biāo)以及切線斜率，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程求解即可．【題目詳解】曲線在點(diǎn)處的切線方程是，，則，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，曲線方程為，則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即，即，則，，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題．應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切點(diǎn)處切線的斜率，主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：(1)已知切點(diǎn)求斜率,即求該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；(2)己知斜率求切點(diǎn)即解方程；(3)巳知切線過某點(diǎn)(不是切點(diǎn))求切點(diǎn),設(shè)出切點(diǎn)利用求解.12、D【解題分析】

①總體由差異明顯的幾部分構(gòu)成時(shí)，應(yīng)選用分層抽樣；②總體個(gè)體數(shù)有限、逐個(gè)抽取、不放回、每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性均等，應(yīng)選用簡單隨機(jī)抽樣；∴選D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)框圖作用分析即可求得空白處應(yīng)該填入的語句.【題目詳解】由程序框圖的輸出值，結(jié)合本框圖的作用是計(jì)算，考慮，，所以空白處應(yīng)該填入.故答案為：【題目點(diǎn)撥】此題考查程序框圖的識別，根據(jù)已知程序框圖需要輸出的值填補(bǔ)框圖，關(guān)鍵在于弄清框圖的作用，準(zhǔn)確分析得解.14、1120【解題分析】由題意可得：n=8.∴通項(xiàng)公式，令=2，解得r=4.∴展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：1120.點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第r＋1項(xiàng)，再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出r值即可.(2)已知展開式的某項(xiàng)，求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng)，再由通項(xiàng)寫出第r＋1項(xiàng)，由特定項(xiàng)得出r值，最后求出其參數(shù).15、【解題分析】

根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求出展開式中的系數(shù)、展開式中的常數(shù)項(xiàng)，再根據(jù)它們相等，求出的值.【題目詳解】解：因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)公式為，令，求得，故展開式中的系數(shù)為.令，求得，故展開式中的系數(shù)為，所以，因?yàn)闉檎龜?shù)，所以.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

作出函數(shù)的圖象和直線，由圖形觀察可知它們有兩交點(diǎn)的情形?！绢}目詳解】作出函數(shù)的圖象和直線，如圖，當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)直線與函數(shù)圖象相切時(shí)，，，，（舍去），∴函數(shù)與函數(shù)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)。故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，解題時(shí)用數(shù)形結(jié)合思想，即作出函數(shù)圖象（半個(gè)橢圓）及直線當(dāng)平移直線時(shí)觀察它與函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況．本題解題時(shí)要特別注意函數(shù)圖象只是橢圓的上半部分，不能誤認(rèn)為是整個(gè)橢圓，那就會(huì)得出錯(cuò)誤結(jié)論．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）【解題分析】

試題分析：⑴求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)令其大于零得增區(qū)間，令其小于零得減函數(shù)；⑵令，要使總成立，只需時(shí)，對討論,利用導(dǎo)數(shù)求的最小值.試題解析：(1)由于，所以.當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)令，要使總成立，只需時(shí).對求導(dǎo)得，令，則，()所以在上為增函數(shù)，所以.對分類討論：①當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上為增函數(shù)，所以，即恒成立；②當(dāng)時(shí)，在上有實(shí)根，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，，所以，不符合題意；③當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上為減函數(shù)，則，不符合題意.綜合①②③可得，所求的實(shí)數(shù)的取值范圍是.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值、構(gòu)造函數(shù).18、(1)略；(2)7【解題分析】

（1）根據(jù)組合數(shù)公式可證得左右兩側(cè)形式相同，從而可得結(jié)論；（2）將問題變?yōu)椋瑢⒉坏仁阶髠?cè)根據(jù)組合數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可求得等于，從而可將不等式變?yōu)?，根?jù)為正整數(shù)求得結(jié)果.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，（2），即：又，即又為正整數(shù)，即正整數(shù)的最大值為：【題目點(diǎn)撥】本題考查利用組合數(shù)公式及其性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算或證明，考查對于公式的掌握程度，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.19、（1）3（2）【解題分析】

（1）在中，中分別使用正弦定理，結(jié)合，，即，即得解；（2）在中，中分別使用余弦定理，結(jié)合，可解得，分別計(jì)算，又可得解.【題目詳解】（1）在中，由正弦定理，得．在中，由正弦定理，得．因?yàn)椋?，所以．從而有，即．又，所以．?）在中，由余弦定理，得．在中，由余弦定理，得．由，得．因?yàn)?，所以．故有．解得．又，所以，．；．故的面積．【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.20、(1);(2).【解題分析】試題分析：（1）若a=1，分別求出p，q成立的等價(jià)條件，利用且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；（2）利用￢p是￢q的充分不必要條件，即q是p的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．試題解析：(1)由得，又，所以，當(dāng)時(shí)，，即為真時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍為.為真時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍是，若為真，則真真，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）是的充分不必要條件，即，等價(jià)于，設(shè)，，則是的真子集；則，且所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.21、(1)當(dāng)a≤0，在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）遞減；當(dāng)，在（0，2）和上單調(diào)遞增，在（2，）遞減；當(dāng)a=，在（0，+∞）遞增；當(dāng)a＞，在（0，）和（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（，2）遞減；(2).【解題分析】

（1）求出，分四種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，又，取，可證明，有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于，得，可證明，當(dāng)時(shí)與當(dāng)且時(shí)，至多一個(gè)零點(diǎn)，綜合討論結(jié)果可得結(jié)論.【題目詳解】（1）的定義域?yàn)椋?，（i）當(dāng)時(shí)，恒成立，時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在上單調(diào)遞減.（ii）當(dāng)時(shí)，由得，（舍去），①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)，即時(shí)，或，恒成立，在上單調(diào)遞增；時(shí)，恒成