河北省承德市聯(lián)校2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

河北省承德市聯(lián)校2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．我國(guó)第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機(jī)起降飛行訓(xùn)練中，有5架殲－15飛機(jī)準(zhǔn)備著艦．如果甲、乙兩機(jī)必須相鄰著艦，而丙、丁兩機(jī)不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法有()A．12種 B．18種 C．24種 D．48種2．已知，且，則a=（）A．﹣1 B．2或﹣1 C．2 D．﹣23．展開式的常數(shù)項(xiàng)為（）A．112 B．48 C．-112 D．-484．在圓中，弦的長(zhǎng)為4，則（）A．8 B．-8 C．4 D．-45．歐拉公式：為虛數(shù)單位），由瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明，它建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，根據(jù)歐拉公式，（）A．1 B． C． D．6．已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別為，，，，畫該三棱錐的三視圖的俯視圖時(shí)，以平面為投影面，得到的俯視圖可以為（）A． B． C． D．7．、兩支籃球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束.除第五局隊(duì)獲勝的概率是外，其余每局比賽隊(duì)獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.則隊(duì)以獲得比賽勝利的概率為（）A． B． C． D．8．某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)時(shí)命題也成立.現(xiàn)已知當(dāng)時(shí)該命題不成立，那么可推得（）A．當(dāng)時(shí)該命題不成立 B．當(dāng)時(shí)該命題成立C．當(dāng)時(shí)該命題不成立 D．當(dāng)時(shí)該命題成立9．二面角為，、是棱上的兩點(diǎn)，、分別在半平面、內(nèi)，，且，，則的長(zhǎng)為A．1 B． C． D．10．在四棱錐中，底面是正方形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，且各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，體積為4，且四棱錐的高為整數(shù)，則此球的半徑等于（）（參考公式：）A．2 B． C．4 D．11．若函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)y＝f′（x）的圖象如圖所示，則y＝f（x）的圖象可能（）A． B．C． D．12．已知函數(shù)對(duì)任意的滿足（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布如下：則的值為__________．14．命題:，使得成立；命題，不等式恒成立.若命題為真，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.15．由曲線,直線及軸所圍成的平面圖形的面積為________.16．隨機(jī)變量X～B（3，p），P（X≤2），則E（X）＝__．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）求的最小值（2）若不等式的解集為M，且，證明：.18．（12分）（1）集合，或，對(duì)于任意，定義，對(duì)任意，定義，記為集合的元素個(gè)數(shù)，求的值；（2）在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，，，是否存在正整數(shù)，使得數(shù)列的所有項(xiàng)都在數(shù)列中，若存在，求出所有的，若不存在，說明理由；（3）已知當(dāng)時(shí)，有，根據(jù)此信息，若對(duì)任意，都有，求的值.19．（12分）假設(shè)某種人壽保險(xiǎn)規(guī)定，投保人沒活過65歲，保險(xiǎn)公司要賠償10萬元；若投保人活過65歲，則保險(xiǎn)公司不賠償，但要給投保人一次性支付4萬元已知購(gòu)買此種人壽保險(xiǎn)的每個(gè)投保人能活過65歲的概率都為，隨機(jī)抽取4個(gè)投保人，設(shè)其中活過65歲的人數(shù)為，保險(xiǎn)公司支出給這4人的總金額為萬元(參考數(shù)據(jù)：)(1)指出X服從的分布并寫出與的關(guān)系；(2)求.(結(jié)果保留3位小數(shù))20．（12分）已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，且.（I）求的值，并猜想的表達(dá)式；（II）用數(shù)學(xué)歸納法證明（I）中的猜想.21．（12分）已知數(shù)列滿足，且.（1）設(shè)，求證數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）已知函數(shù).（1）求的值；（2）將函數(shù)的圖象沿軸向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求在上的最大值和最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】試題分析：先將甲、乙兩機(jī)看成一個(gè)整體，與另外一機(jī)進(jìn)行全排列，共有種排列方法，且留有三個(gè)空；再?gòu)娜齻€(gè)位置中將丙、丁兩機(jī)進(jìn)行排列，有種方法；由分步乘法計(jì)數(shù)原理，得不同的著艦方法有種.考點(diǎn)：排列組合.2、B【解題分析】

根據(jù)，可得，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，，且，則，解得或，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了共線向量的坐標(biāo)表示及應(yīng)用，其中解答中熟記共線向量的概念以及坐標(biāo)表示是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解題分析】

把按照二項(xiàng)式定理展開，可得的展開式的常數(shù)項(xiàng)．【題目詳解】由于故展開式的常數(shù)項(xiàng)為，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了二項(xiàng)式展開式，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】分析：根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義，老鷹圓的垂徑定理，即可求得答案.詳解：如圖所示，在圓中，過點(diǎn)作于，則為的中點(diǎn)，在中，，可得，所以，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查了平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，其中解答中涉及到圓的性質(zhì)，直角三角形中三角函數(shù)的定義和向量的數(shù)量積的公式等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，著重考查了分析問題和解答問題的能力.5、B【解題分析】

由題意將復(fù)數(shù)的指數(shù)形式化為三角函數(shù)式，再由復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)即可得答案．【題目詳解】由得故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查歐拉公式的應(yīng)用，考查三角函數(shù)值的求法與復(fù)數(shù)的化簡(jiǎn)求值，是基礎(chǔ)題．6、C【解題分析】點(diǎn)在的投影為，點(diǎn)在的投影為，在的投影為，在的投影為，連接四點(diǎn)，注意實(shí)線和虛線，得出俯視圖，選C7、A【解題分析】分析：若“隊(duì)以勝利”，則前四局、各勝兩局，第五局勝利，利用獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式可得結(jié)果.詳解：若“隊(duì)以勝利”，則前四局、各勝兩局，第五局勝利，因?yàn)楦骶直荣惤Y(jié)果相互獨(dú)立，所以隊(duì)以獲得比賽勝利的概率為，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查閱讀能力，獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式，意在考查利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，屬于中檔題.8、A【解題分析】分析：利用互為逆否的兩個(gè)命題同真同假的原來，當(dāng)對(duì)不成立時(shí)，則對(duì)也不成立，即可得到答案．詳解：由題意可知，原命題成立的逆否命題成立，命題對(duì)不成立時(shí)，則對(duì)也不成立，否則當(dāng)時(shí)命題成立，由已知必推得也成立，與當(dāng)時(shí)命題不成立矛盾，故選A．點(diǎn)睛：本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法以及歸納法的性質(zhì)，互為逆否的兩個(gè)命題同真同假的性質(zhì)應(yīng)用，其中正確四種命題的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解題分析】試題分析：考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算10、B【解題分析】

如圖所示，設(shè)底面正方形的中心為，正四棱錐的外接球的球心為，半徑為.則在中，有，再根據(jù)體積為可求及，在中，有，解出后可得正確的選項(xiàng).【題目詳解】如圖所示，設(shè)底面正方形的中心為，正四棱錐的外接球的球心為，半徑為.設(shè)底面正方形的邊長(zhǎng)為，正四棱錐的高為，則.因?yàn)樵撜睦忮F的側(cè)棱長(zhǎng)為，所以，即……①又因?yàn)檎睦忮F的體積為4，所以……②由①得，代入②得，配湊得，，即，得或.因?yàn)?，所以，再將代入①中，解得，所以，所?在中，由勾股定理，得，即，解得，所以此球的半徑等于.故選B.【題目點(diǎn)撥】正棱錐中，棱錐的高、斜高、側(cè)棱和底面外接圓的半徑可構(gòu)成四個(gè)直角三角形，它們溝通了棱錐各個(gè)幾何量之間的關(guān)系，解題中注意利用它們實(shí)現(xiàn)不同幾何量之間的聯(lián)系.11、C【解題分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可.【題目詳解】由當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，則由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：先單調(diào)遞減，再單調(diào)遞增，然后單調(diào)遞減，排除，且兩個(gè)拐點(diǎn)（即函數(shù)的極值點(diǎn)）在x軸上的右側(cè)，排除B.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查的是導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.12、D【解題分析】

構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，將代入函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性選出正確的選項(xiàng).【題目詳解】構(gòu)造函數(shù)，依題意，故函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，由得，即，排除A選項(xiàng).由得，即，排除B選項(xiàng).由得，即，排除C，選項(xiàng).由得，即，D選項(xiàng)正確，故選D.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查構(gòu)造函數(shù)法比較大小，考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念，考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：離散型隨機(jī)變量的概率之和為1詳解：解得：。點(diǎn)睛：離散型隨機(jī)變量的概率之和為1，是分布列的性質(zhì)。14、【解題分析】分析：命題為真，則都為真，分別求出取交集即可.詳解：命題為真，則都為真，對(duì)，，使得成立，則；對(duì)，，不等式恒成立，則，又（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等），，故.故答案為.點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，復(fù)合命題的真假判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.15、【解題分析】試題分析：由定積分知考點(diǎn)：定積分及其幾何意義16、1．【解題分析】

推導(dǎo)解得，再根據(jù)二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式，可得的值.【題目詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，所以解得所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，考查二項(xiàng)分布等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解題分析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式分3種情況討論，分段求出函數(shù)的最小值，綜合3種情況即可得答案；根據(jù)題意，分3種情況討論，求出不等式的解集，又由a，，可得，，分析可得，變形即可得結(jié)論．【題目詳解】（1），在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，．2若，則，或，或，，，，，，，即．【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用和絕對(duì)值不等式的解法，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．18、（1），；（2）為正偶數(shù)；（3）；【解題分析】

（1）由題意得：集合表示方程解的集合，由于或，即可得到集合的元素個(gè)數(shù)；利用倒序相加法及，即可得到答案；（2）假設(shè)存在，對(duì)分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行討論；（3）利用類比推理和分類計(jì)數(shù)原理可得的值.【題目詳解】（1）由題意得：集合表示方程解的集合，由于或，所以方程中有個(gè)，個(gè)，從而可得到解的情況共有個(gè)，所以.令，所以，所以，所以，即.（2）當(dāng)取偶數(shù)時(shí)，中所有項(xiàng)都是中的項(xiàng).由題意：均在數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，，說明數(shù)列的第項(xiàng)是數(shù)列中的第項(xiàng).當(dāng)取奇數(shù)時(shí)，因?yàn)椴皇钦麛?shù)，所以數(shù)列的所有項(xiàng)都不在數(shù)列中.綜上所述：為正偶數(shù).（3）當(dāng)時(shí)，有①當(dāng)時(shí)，②又對(duì)任意，都有③所以即為的系數(shù)，可?、僦小ⅱ谥械?；或①中、②中的；或①中、②中的；或①中的、②中的；所以.【題目點(diǎn)撥】本題第（1）問考查對(duì)集合新定義的理解；第（2）問考查等比數(shù)列的控究性問題；第（3）問考查類比推理與計(jì)數(shù)原理相結(jié)合；對(duì)邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力要求較高，屬于難題.19、(1)；；(2)【解題分析】

（1）先由題意可得，服從二項(xiàng)分布；再由題意得到，化簡(jiǎn)即可得出結(jié)果；（2）先由，根據(jù)（1）的結(jié)果，得到，進(jìn)而可得，即可求出結(jié)果.【題目詳解】(1)由題意得，服從二項(xiàng)分布，即，因?yàn)?個(gè)投保人中，活過65歲的人數(shù)為，則沒活過65歲的人數(shù)為，因此，即.(2)由得，所以，所以=.所以約為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)分布的問題，熟記二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式即可，屬于?？碱}型.20、（I）；（II）證明見解析.【解題分析】

（I）根據(jù)的值猜想的表達(dá)式；（II）分和兩步證明.【題目詳解】（I），，，，猜想.（II）證明：當(dāng)時(shí)，，猜想成立；假設(shè)時(shí)，猜想成立，即，則當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)猜想成立.綜上，對(duì)于一切均成立.【題目點(diǎn)撥】本題考查抽象函數(shù)求值與歸納猜想.21、（1）詳見解析（2）【解題分析】

（1）由已知數(shù)列遞推式可得，又，得，從而可得數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）由（1）求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)一步得到，然后分類分組求數(shù)列的前項(xiàng)和．【題目詳解】（1）由已知得代入得又，所以數(shù)列是等比數(shù)列（2）由（1）得，，因?yàn)椋?，，且時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.所以【題目點(diǎn)撥】本題