2024屆山西省忻州高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題含解析

2024屆山西省忻州高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末考試試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù),f(x)+2>f'(x),f(0)=1,則不等式ln[f(x)+2]>ln3+x的解集為（）A．(一∞,0) B．(0,+∞) C．(一∞,1) D．(1,+∞)2．下列判斷錯(cuò)誤的是A．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則B．“R，”的否定是“R，”C．若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，則D．“<”是“a<b”的必要不充分條件3．七巧板是我國(guó)古代勞動(dòng)人民的發(fā)明之一，被譽(yù)為“東方魔板”.如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．4．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．5．某地區(qū)高考改革，實(shí)行“”模式，即“”指語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門(mén)必考科目，“”指在化學(xué)、生物、政治、地理四門(mén)科目中必選兩門(mén)，“”指在物理、歷史兩門(mén)科目中必選一門(mén)，則一名學(xué)生的不同選科組合有多少種？（）A．種 B．種 C．種 D．種6．我國(guó)高鐵發(fā)展迅速，技術(shù)先進(jìn).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在經(jīng)停某站的高鐵列車(chē)中，每天的正點(diǎn)率服從正態(tài)分布，且，則（）A．0.96 B．0.97 C．0.98 D．0.997．某班班會(huì)準(zhǔn)備從含甲、乙的7人中選取4人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一人參加，且若甲、乙同時(shí)參加，則他們發(fā)言時(shí)順序不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序有（）A．720種 B．520種 C．360種 D．600種8．已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（）A． B．C． D．9．已知集合，,則等于()A． B． C． D．10．的展開(kāi)式中的系數(shù)為A．10 B．20 C．40 D．8011．在等差數(shù)列中，，，則公差（）A．-1 B．0 C．1 D．212．若過(guò)點(diǎn)可作兩條不同直線與曲線相切，則（）A．既有最大值又有最小值 B．有最大值無(wú)最小值C．有最小值無(wú)最大值 D．既無(wú)最大值也無(wú)最小值二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．向量，，在正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1）中的位置如圖所示，若向量與共線，則________．14．執(zhí)行如圖所示的程序框圖則輸出的實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_____．15．已知(是虛數(shù)單位),定義:給出下列命題:(1)對(duì)任意都有(2)若是的共軛復(fù)數(shù),則恒成立；(3)若則(4)對(duì)任意結(jié)論恒成立.則其中所有的真命題的序號(hào)是_____________.16．球的半徑為8，經(jīng)過(guò)球面上一點(diǎn)作一個(gè)平面，使它與經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的半徑成45°角，則這個(gè)平面截球的截面面積為_(kāi)________________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）觀察下列等式：；；；；……（1）照此規(guī)律，歸納猜想第個(gè)等式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想.18．（12分）大型綜藝節(jié)目《最強(qiáng)大腦》中，有一個(gè)游戲叫做盲擰魔方，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進(jìn)行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方．根據(jù)調(diào)查顯示，是否喜歡盲擰魔方與性別有關(guān)．為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，某興趣小組隨機(jī)抽取了100名魔方愛(ài)好者進(jìn)行調(diào)查，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：已知在全部100人中隨機(jī)抽取1人抽到喜歡盲擰的概率為．喜歡盲擰不喜歡盲擰總計(jì)男10女20總計(jì)100表（1）并邀請(qǐng)這100人中的喜歡盲擰的人參加盲擰三階魔方比賽，其完成時(shí)間的頻率分布如表所示：完成時(shí)間（分鐘）[0，10）[10，20）[20，30）[30，40]頻率0.20.40.30.1表（2）（Ⅰ）將表（1）補(bǔ)充完整，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為是否喜歡盲擰與性別有關(guān)？（Ⅱ）現(xiàn)從表（2）中完成時(shí)間在[30，40]內(nèi)的人中任意抽取2人對(duì)他們的盲擰情況進(jìn)行視頻記錄，記完成時(shí)間在[30，40]內(nèi)的甲、乙、丙3人中恰有一人被抽到為事件A，求事件A發(fā)生的概率．（參考公式：，其中）P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)y＝f（x）圖象的對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心；（Ⅱ）若函數(shù)，的零點(diǎn)為x1，x2，求cos（x1﹣x2）的值．20．（12分）若，解關(guān)于的不等式.21．（12分）在極坐標(biāo)系中，已知直線l的極坐標(biāo)方程為.以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，曲線C的參數(shù)方程為（m為參數(shù)）.（1）求直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；（2）已知點(diǎn)，直線l和曲線C相交于，兩點(diǎn)，求.22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若二次函數(shù)與函數(shù)的圖象恒有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】分析：先令，則且原不等式轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)單調(diào)性得結(jié)果.詳解：令，則因?yàn)樵坏仁睫D(zhuǎn)化為，所以因此選A.點(diǎn)睛：解函數(shù)不等式,首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為的形式，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時(shí)要注意與的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義域內(nèi).2、D【解題分析】

根據(jù)題目可知，利用正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性、含有一個(gè)量詞的命題的否定、二項(xiàng)分布的變量的期望值公式以及不等式的基本性質(zhì)逐項(xiàng)分析，得出答案．【題目詳解】（1）隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，故選項(xiàng)正確．（2）已知原命題是全稱(chēng)命題，故其否定為特稱(chēng)命題，將換為，條件不變，結(jié)論否定即可，故B選項(xiàng)正確．（3）若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，則，故C選項(xiàng)正確．（4）當(dāng)時(shí)，“a<b”不能推出“<”，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．綜上所述，故答案選D．【題目點(diǎn)撥】本題是一個(gè)跨章節(jié)綜合題，考查了正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性、含有一個(gè)量詞的命題的否定、二項(xiàng)分布的變量的期望值公式以及不等式的基本性質(zhì)四個(gè)知識(shí)點(diǎn)．3、B【解題分析】

設(shè)出大正方形的面積，求出陰影部分的面積，從而求出滿(mǎn)足條件的概率即可．【題目詳解】設(shè)“東方魔板”的面積是4，

則陰影部分的三角形面積是1，

陰影部分平行四邊形的面積是則滿(mǎn)足條件的概率故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了幾何概型問(wèn)題，考查面積之比，是一道基礎(chǔ)題．4、A【解題分析】

由實(shí)部虛部均大于0聯(lián)立不等式組求解．【題目詳解】解：復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，，解得．實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查不等式組的解法，是基礎(chǔ)題．5、B【解題分析】

根據(jù)題意，分步進(jìn)行分析該學(xué)生在“語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門(mén)”、“化學(xué)、生物、政治、地理四門(mén)”、“物理、歷史兩門(mén)”中的選法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門(mén)必考科目，有1種選法；②在化學(xué)、生物、政治、地理四門(mén)科目中必選兩門(mén)，有種選法；③在物理、歷史兩門(mén)科目中必選一門(mén)，有種選法；則這名學(xué)生的不同選科組合有種.故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性，求得指定區(qū)間的概率.【題目詳解】由于，故，故選D.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性，考查正態(tài)分布指定區(qū)間的概率的求法，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】

分別計(jì)算甲乙只有一人參加、甲乙都參加兩種情況下的發(fā)言順序的種數(shù)，根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理加和求得結(jié)果.【題目詳解】甲、乙只有一人參加，則共有：C2甲、乙都參加，則共有：C5根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得，共有：480+120=600種發(fā)言順序本題正確選項(xiàng)：D【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合綜合應(yīng)用問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)分類(lèi)的方式，分別計(jì)算兩類(lèi)情況的種數(shù)，屬于常考題型.8、B【解題分析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法求出，然后求出模長(zhǎng).【題目詳解】因?yàn)?，所以，，所以，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模長(zhǎng)求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).9、C【解題分析】

分析：利用一元二次不等式的解法求出中不等式的解集確定出，然后利用交集的定義求解即可.詳解：由中不等式變形得，解得，即，因?yàn)?，，故選C.點(diǎn)睛：研究集合問(wèn)題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿(mǎn)足的屬性.研究?jī)杉系年P(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實(shí)質(zhì)求滿(mǎn)足屬于集合且屬于集合的元素的集合.本題需注意兩集合一個(gè)是有限集，一個(gè)是無(wú)限集，按有限集逐一驗(yàn)證為妥.10、C【解題分析】分析：寫(xiě)出，然后可得結(jié)果詳解：由題可得令,則所以故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題。11、C【解題分析】

全部用表示，聯(lián)立方程組，解出【題目詳解】【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題。12、C【解題分析】

數(shù)形結(jié)合分析臨界條件再判斷即可.【題目詳解】對(duì)求導(dǎo)有,當(dāng)時(shí),此時(shí)切線方程為,此時(shí).此時(shí)剛好能夠作出兩條切線,為臨界條件,畫(huà)出圖像有：又當(dāng)時(shí)為另一臨界條件,故.故有最小值無(wú)最大值.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運(yùn)用,需要數(shù)形結(jié)合分析臨界條件進(jìn)行求解.屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

建立平面直角坐標(biāo)系，從而得到的坐標(biāo)，這樣即可得出的坐標(biāo)，根據(jù)與共線，可求出，從而求出的坐標(biāo)，即得解.【題目詳解】建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則：；與共線故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查了平面向量線性運(yùn)算和共線的坐標(biāo)表示，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.14、1【解題分析】

先要通讀程序框圖，看到程序中有循環(huán)結(jié)構(gòu)，然后代入初值，看是否進(jìn)入循環(huán)體，是就執(zhí)行循環(huán)體，寫(xiě)清每次循環(huán)的結(jié)果；不是就退出循環(huán)，看清要輸出的是何值．【題目詳解】模擬執(zhí)行程序，可得，滿(mǎn)足條件，，滿(mǎn)足條件，，滿(mǎn)足條件，，滿(mǎn)足條件，，滿(mǎn)足條件，，滿(mǎn)足條件，，滿(mǎn)足條件，，滿(mǎn)足條件，，滿(mǎn)足條件，，滿(mǎn)足條件，，不滿(mǎn)足條件，退出循環(huán)，輸出m的值為1．故答案為：1．【題目點(diǎn)撥】本題考查程序框圖要掌握常見(jiàn)的當(dāng)型、直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；以及會(huì)判斷條件結(jié)構(gòu)，并得到條件結(jié)構(gòu)的結(jié)果；在已知框圖的條件下，可以得到框圖的結(jié)果．15、（2），（4）【解題分析】

由新定義逐一核對(duì)四個(gè)命題得答案．【題目詳解】解：對(duì)于（1），當(dāng)時(shí)，，命題（1）錯(cuò)誤；

對(duì)于（2），設(shè)，則，則，命題（2）正確；

對(duì)于（3），若，則錯(cuò)誤，如，滿(mǎn)足，但；

對(duì)于（4），設(shè)，

則，

，

，

由，

得恒成立，（4）正確．

∴正確的命題是（2）（4）．

故答案為（2），（4）．【題目點(diǎn)撥】本題是新定義題，考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了絕對(duì)值的不等式，是中檔題．16、【解題分析】

先求出截面圓的半徑，再算截面面積?！绢}目詳解】截面圓半徑為，截面面積為?！绢}目點(diǎn)撥】先求出截面圓的半徑，再算截面面積。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解題分析】分析：（1）第個(gè)等式為.(2)利用個(gè)數(shù)學(xué)歸納法證明猜想.詳解：（1）第個(gè)等式為；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊,所以當(dāng)時(shí)，原等式成立.②假設(shè)當(dāng)時(shí)原等式成立，即,則當(dāng)時(shí)，,所以當(dāng)時(shí)，原等式也成立.由①②知，（1）中的猜想對(duì)任何都成立.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查歸納猜想和數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是證明n=k+1時(shí)，=.18、（I）表（1）見(jiàn)解析，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為喜歡盲擰與性別有關(guān)；（II）【解題分析】

（I）根據(jù)題意計(jì)算出在全部的100人中喜歡盲擰的人數(shù)，可將表（1）補(bǔ)充完整，利用公式求得,與臨界值比較，即可得到結(jié)論；（II）首先計(jì)算出成功完成時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)，再利用列舉法和古典概型的概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率?！绢}目詳解】（I）在全部的100人中喜歡盲擰的人數(shù)為人，根據(jù)題意列聯(lián)表如下：喜歡盲擰不喜歡盲擰總計(jì)男401050女203050總計(jì)6040100由表中數(shù)據(jù)計(jì)算所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為喜歡盲擰與性別有關(guān)；（Ⅱ）成功完成時(shí)間在[30，40]內(nèi)的人數(shù)為設(shè)為甲、乙、丙，A,B,C,依題意：從該6人中選出2人，所有可能的情況有：甲乙，甲丙，甲A，甲B,甲C，乙丙，乙A，乙B，乙C，丙A，丙B，丙C，AB,AC,BC.共15種，其中甲、乙、丙3人中恰有一人被抽到有：甲A，甲B,甲C，乙A，乙B，乙C，丙A，丙B，丙C，共9種，故事件A發(fā)生的概率為【題目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)以及古典概型的概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題。19、（Ⅰ）對(duì)稱(chēng)軸方程為x，k∈Z，對(duì)稱(chēng)中心為（，0），k∈Z；（Ⅱ）±．【解題分析】

（Ⅰ）先利用三角恒等變換化簡(jiǎn)目標(biāo)函數(shù)，然后求解對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心；（Ⅱ）先求出的零點(diǎn)，然后求解cos（x1﹣x2）的值．【題目詳解】函數(shù)sin4xcos4x＝sin（4x），（Ⅰ）由4x，k∈Z，可得f（x）的對(duì)稱(chēng)軸方程為x，k∈Z，令4xkπ，k∈Z，則x，k∈Z，∴f（x）的對(duì)稱(chēng)中心為（，0），k∈Z；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)，可得g（x）＝sin（4x），的零點(diǎn)為x1，x2，∴sin（4x1）0，即sin（4x1），∴2sin（2x1）cos（2x1），∴，∴．由（Ⅰ）知，f（x）在內(nèi)的對(duì)稱(chēng)軸為x，則x1+x2，∴x2x1，∴cos（x1﹣x2）＝cos（x1﹣（x1）＝cos（2x1）＝sin（2x1）＝sin（2x1）＝sin（2x1）＝±．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)及恒等變換，把目標(biāo)函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)型函數(shù)是求解的關(guān)鍵，零點(diǎn)的轉(zhuǎn)化有一定的技巧，側(cè)重考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).20、見(jiàn)解析【解題分析】

本題是含有參數(shù)的解不等式，可以先將不等式轉(zhuǎn)化為的形式，再通過(guò)分類(lèi)討論參數(shù)得出解．【題目詳解】時(shí)，且；時(shí)，等價(jià)于因?yàn)?，所以，所以不等式可化?jiǎn)為當(dāng)時(shí)，