廣東高明一中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

廣東高明一中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某學(xué)校為了了解本校學(xué)生的上學(xué)方式，在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽查部分學(xué)生，了解到上學(xué)方式主要有：——結(jié)伴步行，——自行乘車，——家人接送，——其他方式，并將收集的數(shù)據(jù)整理繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)圖中信息，求得本次抽查的學(xué)生中類人數(shù)是（）A．30 B．40 C．42 D．482．下列命題中正確的是（）A．若為真命題，則為真命題B．“”是“”的充要條件C．命題“，則或”的逆否命題為“若或，則”D．命題：，使得，則：，使得3．已知向量，，若，則（）A．－1 B．1 C．－2或1 D．－2或－14．函數(shù)的遞增區(qū)間為（）A．， B．C．， D．5．如圖，在中，．是的外心，于，于，于，則等于（）A． B．C． D．6．在中，，若，則A． B． C． D．7．已知A(2，－5,1)，B(2，－4，2)，C(1，－4,1)，則與的夾角為（）A．30° B．60° C．45° D．90°8．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足‘’，當(dāng)時，單調(diào)遞減，如果且，則的值（）A．等于0 B．是不等于0的任何實(shí)數(shù)C．恒大于0 D．恒小于09．名學(xué)生在一次數(shù)學(xué)考試中的成績分別為如，，，…，，要研究這名學(xué)生成績的平均波動情況，則最能說明問題的是（）A．頻率 B．平均數(shù) C．獨(dú)立性檢驗(yàn) D．方差10．袋中裝有完全相同的5個小球，其中有紅色小球3個，黃色小球2個，如果不放回地依次摸出2個小球，則在第一次摸出紅球的條件下，第二次摸出紅球的概率是（）A．310B．35C．111．已知甲、乙兩車由同一起點(diǎn)同時出發(fā)，并沿同一路線（假定為直線）行駛,甲車、乙車的速度曲線分別為和（如圖所示）,那么對于圖中給定的和，下列判斷中一定正確的是（）A．在時刻，兩車的位置相同B．時刻后，甲車在乙車后面C．在時刻，兩車的位置相同D．在時刻，甲車在乙車前面12．分子為1且分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù)稱為單位分?jǐn)?shù)，1可以分拆為若干個不同的單位分?jǐn)?shù)之和：1=12+13+16，A．228 B．240 C．260 D．273二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最大值為__________；14．已知，則___________；15．已知函數(shù)的圖象上存在點(diǎn),函數(shù)的圖象上存在點(diǎn),且點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.16．已知，則展開式中項(xiàng)的系數(shù)為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線的普通方程與圓的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)動點(diǎn)在圓上，動線段的中點(diǎn)的軌跡為，與直線交點(diǎn)為，且直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于點(diǎn)的橫坐標(biāo)，求點(diǎn)的直角坐標(biāo).18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn).（1）求證：BD⊥平面PAC；（2）若∠ABC=60°，求證：平面PAB⊥平面PAE；19．（12分）已知函數(shù).⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；⑵如果對于任意的，總成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）設(shè)命題：函數(shù)在上單調(diào)遞增，命題：不等式對于恒成立，若“”為假，“”為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)．在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，為參數(shù)）．在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為．（Ⅰ）求曲線C的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)，直線與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，求的值．22．（10分）已知.（1）當(dāng)時，求：①展開式中的中間一項(xiàng)；②展開式中常數(shù)項(xiàng)的值；（2）若展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和比各二項(xiàng)式系數(shù)之和大，求展開式中含項(xiàng)的系數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)所給的圖形，計(jì)算出總?cè)藬?shù)，即可得到A的人數(shù)．【題目詳解】解：根據(jù)選擇D方式的有18人，所占比例為15%，得總?cè)藬?shù)為120人，故選擇A方式的人數(shù)為120﹣42﹣30﹣18＝30人．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了條形圖和餅圖的識圖能力，考查分析問題解決問題的能力．2、B【解題分析】

根據(jù)且、或命題真假性判斷A選項(xiàng)真假，根據(jù)充要條件知識判斷B選項(xiàng)真假，根據(jù)逆否命題的概念判斷C選項(xiàng)真假，根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題判斷D選項(xiàng)真假.【題目詳解】對于A選項(xiàng)，當(dāng)真時，可能一真一假，故可能是假命題，故A選項(xiàng)為假命題.對于B選項(xiàng)，根據(jù)基本不等式和充要條件的知識可知，B選項(xiàng)為真命題.對于C選項(xiàng)，原命題的逆否命題為“若且，則”，故C選項(xiàng)為假命題.對于D選項(xiàng)，原命題為特稱命題，其否定是全稱命題，要注意否定結(jié)論，即：，使得.綜上所述，本小題選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查還有簡單邏輯連接詞真假性，考查充要條件，考查逆否命題，考查特稱命題的否定是全稱命題等知識，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】

根據(jù)題意得到的坐標(biāo)，由可得的值.【題目詳解】由題，，，或，故選C【題目點(diǎn)撥】本題考查利用坐標(biāo)法求向量差及根據(jù)向量垂直的數(shù)量積關(guān)系求參數(shù)4、A【解題分析】分析：直接對函數(shù)求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)大于0，即可求得增區(qū)間.詳解：，，增區(qū)間為.故答案為A.點(diǎn)睛：本題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用，需要注意的是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一定是函數(shù)的定義域的子集，因此求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一般下，先求定義域；或者直接求導(dǎo)，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.5、D【解題分析】由正弦定理有,為三角形外接圓半徑,所以,在中,,同理,所以,選D.6、A【解題分析】

根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則，用、表示出即可.【題目詳解】即：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查平面向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】分析：由題意可得，，進(jìn)而得到與，再由，可得結(jié)論.詳解：，，，并且，，與的夾角為，故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查空間向量夾角余弦公式，屬于中檔題.解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握由空間點(diǎn)的坐標(biāo)寫出向量的坐標(biāo)與向量求模.8、D【解題分析】

由且，不妨設(shè)，，則，因?yàn)楫?dāng)時，單調(diào)遞減，所以，又函數(shù)滿足，所以，所以，即.故選：D.9、D【解題分析】分析：直接根據(jù)頻率、平均數(shù)、獨(dú)立性檢驗(yàn)、方差的基本定義判斷即可.詳解：因?yàn)轭l率表示可能性大小，錯；平均數(shù)表示平均水平的高低，錯；獨(dú)立性檢驗(yàn)主要指兩個變量相關(guān)的可能性大小，錯；方差表示分散與集中程度以及波動性的大小，對，故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查頻率、平均數(shù)、獨(dú)立性檢驗(yàn)、方差的基本定義，屬于簡單題.10、C【解題分析】試題分析：因?yàn)榈谝淮蚊郊t球的概率為35，則第一次摸出紅球且第二次摸出紅球的概率為35×考點(diǎn)：1、條件概率；2、獨(dú)立事件．11、D【解題分析】

根據(jù)圖象可知在前，甲車的速度高于乙車的速度；根據(jù)路程與速度和時間的關(guān)系可得到甲車的路程多于乙車的路程，從而可知甲車在乙車前面.【題目詳解】由圖象可知，在時刻前，甲車的速度高于乙車的速度由路程可知，甲車走的路程多于乙車走的路程在時刻，甲車在乙車前面本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)圖象的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確選取臨界狀態(tài)，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解題分析】

使用裂項(xiàng)法及m，n的范圍求出m，n的值，從而求出答案．【題目詳解】∵1=1∴1=1∴1∵m?n，m，n∈N∴m=13，n=20，所以mn=260.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查歸納推理和裂項(xiàng)相消法，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解題分析】

作出可行域，作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，平移此直線可得最優(yōu)解?！绢}目詳解】作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，向上平移直線，增大，當(dāng)直線過點(diǎn)時，取得最大值3。故答案為：3?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查簡單的線性規(guī)劃，解題方法是作出可行域，作出目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線，平移此直線可得最優(yōu)解。14、【解題分析】

分別令和，代入求值，然后兩式相減計(jì)算結(jié)果.【題目詳解】當(dāng)時，當(dāng)時，，兩式相減：，所以：.故答案為：【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)展開式求系數(shù)和，重點(diǎn)考查賦值法，屬于基礎(chǔ)題型.15、【解題分析】

由題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝a+2lnx（x∈[，e]）的圖象與函數(shù)y＝x2+2的圖象有交點(diǎn)，即方程a+2lnx＝x2+2（x∈[，e]）有解，即a＝x2+2﹣2lnx（x∈[，e]）有解，令f（x）＝x2+2﹣2lnx，利用導(dǎo)數(shù)法求出函數(shù)的值域，可得答案．【題目詳解】函數(shù)y＝﹣x2﹣2的圖象與函數(shù)y＝x2+2的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，若函數(shù)y＝a+2lnx（x∈[，e]）的圖象上存在點(diǎn)P，函數(shù)y＝﹣x2﹣2的圖象上存在點(diǎn)Q，且P，Q關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)y＝a+2lnx（x∈[，e]）的圖象與函數(shù)y＝x2+2的圖象有交點(diǎn)，即方程a+2lnx＝x2+2（x∈[，e]）有解，即a＝x2+2﹣2lnx（x∈[，e]）有解，令f（x）＝x2+2﹣2lnx，則f′（x），當(dāng)x∈[，1）時，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，e]時，f′（x）＞0，故當(dāng)x＝1時，f（x）取最小值3，由f（）4，f（e）＝e2，故當(dāng)x＝e時，f（x）取最大值e2，故a∈[3，e2]，故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)圖象的對稱性，函數(shù)的值域，難度中檔．16、-2【解題分析】

利用定積分可求=2，則二項(xiàng)式為，展開式的通項(xiàng)：．令5-2r=-1，解得r=1．繼而求出系數(shù)即可．【題目詳解】∵=2，則二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)：，令5-2r=-1，解得r=1．∴展開式中x-1的系數(shù)為.故答案為：-2．【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理通項(xiàng)的應(yīng)用，根據(jù)通項(xiàng)公式展開即可，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)的直角坐標(biāo)方程是.直線的普通方程為.(2).【解題分析】

（1）消去參數(shù)后可得的普通方程，把化成，利用互化公式可得的直角方程.（2）設(shè)點(diǎn)，則，利用在橢圓上可得的直角方程，聯(lián)立直線的普通方程和的直角坐標(biāo)方程可得的直角坐標(biāo).【題目詳解】解：（1）由，得，將互化公式代上式，得，故圓的直角坐標(biāo)方程是.由，得，即.所以直線的普通方程為.（2）設(shè)點(diǎn).由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得曲線的直角坐標(biāo)方程為.聯(lián)立，解得，或.故點(diǎn)的直角坐標(biāo)是.【題目點(diǎn)撥】極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)，關(guān)鍵是，而直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)，關(guān)鍵是．參數(shù)方程化為直角方法，關(guān)鍵是消去參數(shù)，消參的方法有反解消參、平方消參、交軌法等．18、（1）見解析；（2）見解析；【解題分析】

（1）要證BD⊥平面PAC，只需在平面PAC上找到兩條直線跟BD垂直即證，顯然，從平面中可證，即證.(2)要證明平面PAB⊥平面PAE,可證平面即可.【題目詳解】（1）證明：因?yàn)槠矫?所以；因?yàn)榈酌媸橇庑?，所?因?yàn)?平面,所以平面.（2）證明：因?yàn)榈酌媸橇庑吻遥詾檎切?，所?因?yàn)?所以；因?yàn)槠矫?，平?所以；因?yàn)樗云矫?，平?所以平面平面.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立體幾何中的探索問題等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.19、（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）【解題分析】

試題分析：⑴求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)令其大于零得增區(qū)間，令其小于零得減函數(shù)；⑵令，要使總成立，只需時，對討論,利用導(dǎo)數(shù)求的最小值.試題解析：(1)由于，所以.當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)令，要使總成立，只需時.對求導(dǎo)得，令，則，()所以在上為增函數(shù)，所以.對分類討論：①當(dāng)時，恒成立，所以在上為增函數(shù)，所以，即恒成立；②當(dāng)時，在上有實(shí)根，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以當(dāng)時，，所以，不符合題意；③當(dāng)時，恒成立，所以在上為減函數(shù)，則，不符合題意.綜合①②③可得，所求的實(shí)數(shù)的取值范圍是.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值、構(gòu)造函數(shù).20、的取值范圍是【解題分析】試題分析：∵命題p：函數(shù)在R上單調(diào)遞增,∴a>1，又命題q：不等式對于恒成立△=(-a)-4<0，∴-2<a<2∵“”為假，“”為真,∴p,q必一真一假;(1)當(dāng)p真,q假時,有，∴(2)當(dāng)p假,q真時,有，∴-2<a≤1.綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍為-------12分考點(diǎn)：本題考查了復(fù)合命題的真假點(diǎn)評：“P或Q”是真命題，“P且Q”是假命題，根據(jù)真假表知，P，Q之中一真一假，因此有兩種情況，要分類討論21