2024屆湖南省醴陵市高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題含解析

2024屆湖南省醴陵市高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，用表示所選3人中女生的人數(shù)，則為（）A．0 B．1 C．2 D．32．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．16 B．(10＋)π C．4＋(5＋)π D．6＋(5＋)π3．在底面為正方形的四棱錐中，平面，，則異面直線與所成的角是（）A． B． C． D．4．條件，條件，若是的必要不充分條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．5．如圖，四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形，已知小正方形的外接圓恰好是大正方形的內(nèi)切圓，現(xiàn)在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（）A． B． C． D．6．甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有6個(gè)紅球，2個(gè)白球和2個(gè)黑球，先從甲罐中隨機(jī)取岀一個(gè)球放入乙罐，分別以，，表示由甲罐取岀的球是紅球、白球和黑球的事件，再從乙罐中隨機(jī)取出一個(gè)球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，下列結(jié)論中不正確的是（）A．事件與事件不相互獨(dú)立 B．，，是兩兩互斥的事件C． D．7．已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的模為（）A．2 B． C．1 D．08．若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則A． B． C． D．9．函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是（）．A．0 B．1 C．2 D．310．?dāng)?shù)列滿足，則數(shù)列的前20項(xiàng)的和為()A．100 B．-100 C．-110 D．11011．已知函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，則該函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，，若，，使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．120，168的最大公約數(shù)是__________．14．若實(shí)數(shù)x,y滿足x+y-2≥0x≤4y≤5則z=y-x的最小值為15．若向量與平行．則__．16．的展開式中，的系數(shù)為__________．（用數(shù)字作答）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，且滿足.（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)且傾斜角為的直線與相交于兩點(diǎn)，求的值.18．（12分）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若，使得，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.19．（12分）對(duì)任意正整數(shù)n，設(shè)表示n的所有正因數(shù)中最大奇數(shù)與最小奇數(shù)的等差中項(xiàng)，表示數(shù)列的前n項(xiàng)和.（1）求，，，，的值；（2）是否存在常數(shù)s，t，使得對(duì)一切且恒成立？若存在，求出s，t的值，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；若不存在，請(qǐng)說明理由.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.設(shè)直線與曲線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的下方.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求，兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（Ⅱ）當(dāng)變化時(shí)，求線段中點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程.21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點(diǎn)，其傾斜角為，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸，與直角坐標(biāo)系取相同的長度單位，建立極坐標(biāo)系，設(shè)曲線C的極坐標(biāo)方程為．（1）若直線與曲線C有公共點(diǎn)，求的取值范圍：（2）設(shè)為曲線C上任意一點(diǎn)，求的取值范圍．22．（10分）如圖幾何體中，底面為正方形，平面，，且.（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的大小.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

先由題意得到的可能取值為，分別求出其對(duì)應(yīng)概率，進(jìn)而可求出其期望.【題目詳解】由題意，的可能取值為，由題中數(shù)據(jù)可得：，，，所以.故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望，熟記期望的概念，會(huì)求每個(gè)事件對(duì)應(yīng)的概率即可，屬于?？碱}型.2、C【解題分析】分析：由該幾何體的三視圖判斷出組合體各部分的幾何特征，以及各部分的幾何體相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù)，由面積公式求出該幾何體的表面積.詳解：該幾何體是兩個(gè)相同的半圓錐與一個(gè)半圓柱的組合體，其表面積為：S＝π＋4π＋4＋π＝4＋(5＋)π.故選：C.點(diǎn)睛：本題考查了由三視圖求幾何體的表面積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征及相關(guān)幾何量的數(shù)據(jù).3、B【解題分析】

底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，分別過P，D點(diǎn)作AD，AP的平行線交于M，連接CM，AM，因?yàn)镻B∥CM，所以就是異面直線PB與AC所成的角.【題目詳解】解：由題意：底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，分別過P，D點(diǎn)作AD，AP的平行線交于M，連接CM，AM，

.

∴PBCM是平行四邊形，

∴PB∥CM，

所以∠ACM就是異面直線PB與AC所成的角.

設(shè)PA＝AB＝，在三角形ACM中，

∴三角形ACM是等邊三角形.

所以∠ACM等于60°，即異面直線PB與AC所成的角為60°.

故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了兩條異面直線所成的角的證明及求法.屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以是的必要不充分條件，可以推導(dǎo)出，但是不能推導(dǎo)出，若，則等價(jià)于無法推導(dǎo)出；若，則等價(jià)于滿足條件的為空集，無法推導(dǎo)出；若，則等價(jià)于，由題意可知，，，，的取值范圍是，故選B.5、B【解題分析】分析：設(shè)大正方形的邊長為1，其內(nèi)切圓的直徑為1，則小正方形的邊長為，從而陰影部分的面積為，由此利用幾何概型能求出在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率.詳解：設(shè)大正方形的邊長為1，其內(nèi)切圓的直徑為1，則小正方形的邊長為，所以大正方形的面積為1，圓的面積為，小正方形的面積為，則陰影部分的面積為，所以在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率.點(diǎn)睛：本題主要考查了面積比的幾何概型及其概率的計(jì)算問題，其中根據(jù)題意，準(zhǔn)確求解陰影部分的面積是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，以及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解題分析】

依次判斷每個(gè)選項(xiàng)得到答案.【題目詳解】A.乙罐取出的球是紅球的事件與前面是否取出紅球相關(guān)，正確B.，，兩兩不可能同時(shí)發(fā)生，正確C.，不正確D.，正確故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了獨(dú)立事件，互斥事件，條件概率，綜合性強(qiáng)，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和計(jì)算能力.7、C【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，然后再求出即可．【題目詳解】由題意得，∴．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)模的求法，解題的關(guān)鍵是正確求出復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．8、B【解題分析】

由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則化簡，由此可得到復(fù)數(shù)【題目詳解】由題可得；；故答案選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題。9、C【解題分析】

求導(dǎo)后代入即可.【題目詳解】易得,故函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解題分析】

數(shù)列{an}滿足，可得a2k﹣1+a2k＝﹣（2k﹣1）．即可得出．【題目詳解】∵數(shù)列{an}滿足，∴a2k﹣1+a2k＝﹣（2k﹣1）．則數(shù)列{an}的前20項(xiàng)的和＝﹣（1+3+……+19）1．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列分組求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．11、C【解題分析】

首先把點(diǎn)帶入求出，再根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱軸即可．【題目詳解】把點(diǎn)帶入得，因?yàn)?，所以，所以，函?shù)的對(duì)稱軸為．當(dāng)，所以選擇C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，需要記憶?？既呛瘮?shù)的性質(zhì)有：單調(diào)性、周期性、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心、奇偶性等．屬于中等題．12、A【解題分析】

由題意可轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)分別研究兩個(gè)函數(shù)最小值，求解即可.【題目詳解】解：當(dāng)時(shí)，由得，=，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，是函數(shù)的最小值，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，是函數(shù)的最小值，又因?yàn)椋?，使得，可得在的最小值不小于在的最小值，即，解得：，故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查指數(shù)函數(shù)和對(duì)勾函數(shù)的圖像及性質(zhì)，考查利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性問題的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、24【解題分析】∵，∴120，168的最大公約數(shù)是24.答案：2414、-6【解題分析】略視頻15、【解題分析】

由題意利用兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算法則，求得的值．【題目詳解】由題意，向量與平行，所以，解得．故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16、1【解題分析】

寫出二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為2，可求得項(xiàng)是第幾項(xiàng)，從而求得系數(shù)．【題目詳解】展開式通項(xiàng)為，令，則，∴的系數(shù)為．故答案為1．【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理，考查二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式．解題時(shí)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，然后令的指數(shù)為所求項(xiàng)的指數(shù)，從而可求得，得出結(jié)論．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）首先依據(jù)動(dòng)點(diǎn)的極坐標(biāo)的關(guān)系找到點(diǎn)的極坐標(biāo)方程，再化為直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）首先根據(jù)條件確定直線的參數(shù)方程，依據(jù)參數(shù)的幾何意義，結(jié)合解方程，利用韋達(dá)定理得到解.【題目詳解】（Ⅰ）設(shè)的極坐標(biāo)為，的極坐標(biāo)為，由題設(shè)知.所以，即的極坐標(biāo)方程，所以的直角坐標(biāo)方程為.（Ⅱ）交點(diǎn)，所以直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的直角坐標(biāo)方程，代入得：，，設(shè)方程兩根為，則分別是對(duì)應(yīng)的參數(shù)，所以.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與圓的極坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化、直線參數(shù)方程的應(yīng)用，突顯了直觀想象的考查.18、（1）分別在區(qū)間上各存在一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn).（2）【解題分析】

（1）求出的導(dǎo)數(shù)并判斷其單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在定理取幾個(gè)特殊值判斷出零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。（2）假設(shè)對(duì)任意恒成立，轉(zhuǎn)化成對(duì)任意恒成立.令，則.討論其單調(diào)性?！绢}目詳解】（1），即，則，令解得.當(dāng)在上單調(diào)遞減；當(dāng)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，.因?yàn)?，所?又，，所以，，所以分別在區(qū)間上各存在一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn).（2）假設(shè)對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立.令，則.①當(dāng)，即時(shí)，且不恒為0，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.又，所以對(duì)任意恒成立.故不符合題意；②當(dāng)時(shí)，令，得；令，得.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時(shí)，存在，使，即.故符合題意.綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在定理，屬于中等題。19、（1），，，，；（2），見解析.【解題分析】

（1）根據(jù)定義計(jì)算即可；（2）先由，，確定出s，t的值，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明.【題目詳解】（1）1的最大正奇因數(shù)為1，最小正奇因數(shù)為1，所以，2的最大正奇因數(shù)為1，最小正奇因數(shù)為1，所以，3的最大正奇因數(shù)為3，最小正奇因數(shù)為1，所以，4的最大正奇因數(shù)為1，最小正奇因數(shù)為1，所以，5的最大正奇因數(shù)為5，最小正奇因數(shù)為1，所以.（2）由（1）知，，，，所以，解得.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，，成立；②假設(shè)當(dāng)（，）時(shí)，結(jié)論成立，即，那么當(dāng)時(shí)，易知當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.所以.所以當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.綜合①②可知，對(duì)一切且恒成立.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列中的新定義問題，利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，考查學(xué)生的邏輯推理能力，是一道有一定難度的題.20、（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)題意，可將直線與曲線C聯(lián)立求得，兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（II）（解法一）當(dāng)變化時(shí)，，于是可知點(diǎn)的軌跡為圓，從而得到其軌跡方程；（解法二）設(shè)，可用相關(guān)點(diǎn)法表示出的坐標(biāo)，代入，于是得到軌跡方程.【題目詳解】解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，直線，曲線的普通方程為：，由解得或，∵點(diǎn)在點(diǎn)的下方，所以，兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)為：，.（II）（解法一）當(dāng)變化時(shí)，，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓（點(diǎn)除外），因?yàn)榍€是圓心為的圓，則以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)，半徑為2.所以點(diǎn)軌跡的直角坐標(biāo)方程為，所以點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為.（解法二）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)是線段中點(diǎn)，是極點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入中，得，因?yàn)?，不重合，所以，所以點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，軌跡方程.意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力，邏輯推理能力，難度中等.21、（1）；（2）．【解題分析】試題分析：（1）將極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，再利用直線與圓的位置關(guān)系進(jìn)行求解；（2）利用三角換元法及三角恒等變換進(jìn)行求解．試題解析：（I）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為直線l的參數(shù)方程為將代入整理得直線l與曲線C有公共點(diǎn)，的取值范圍是（II）曲線C的方程可化為其參數(shù)方程為為曲線上任意一點(diǎn)，的取值范圍是．考點(diǎn)：1．極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化．22、（1）見解析（2）【解題分析】

（1）由，，結(jié)合面面平行判定定理可