專題04 二次函數(shù)中動點(diǎn)存在性問題全攻略（解析版）

專題04二次函數(shù)中動點(diǎn)存在性問題全攻略目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【題型一等腰三角形存在性問題】 1【題型二直角三角形存在性問題】 14【題型三等腰直角三角形存在性問題】 28【題型四平行四邊形存在性問題】 43【題型五菱形存在性問題】 57【題型六矩形存在性問題】 71【題型七正方形存在性問題】 86【題型一等腰三角形存在性問題】 【方法指導(dǎo)】【知識點(diǎn)1解決等腰三角形存在性問題的方法】1、“兩圓一線”找動點(diǎn)△ABC是等腰三角形，A，B是定點(diǎn)，C是動點(diǎn)，確定點(diǎn)C的軌跡：=1\*GB3①以點(diǎn)A為圓心、AB長為半徑作圓；=2\*GB3②以點(diǎn)B為圓心、AB長為半徑作圓；=3\*GB3③作線段AB的垂直平分線.2、求動點(diǎn)坐標(biāo)的方法等腰三角形動頂點(diǎn)坐標(biāo)求法：=1\*GB3①代數(shù)法（設(shè)出動頂點(diǎn)坐標(biāo)，通常用一個未知數(shù)表示），分別求出三邊長的平方，分三種情況，列方程求解.=2\*GB3②幾何法，畫“兩圓一線”，根據(jù)圖形求解.兩點(diǎn)距離公式：A(x1，y中點(diǎn)坐標(biāo)公式：A(x1，y1)已知直線l1:y1=k1x+b【典型例題】【例1】（2023·廣東·模擬預(yù)測）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象交x軸于點(diǎn)A（1，0），B（3，0），交y軸于點(diǎn)C．（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）直線x=m分別交直線BC和拋物線于點(diǎn)M，N，當(dāng)△BMN是等腰三角形時，直接寫出m的值．【答案】（1）這個二次函數(shù)的表達(dá)式是y=x2﹣4x+3；（2）當(dāng)△BMN是等腰三角形時，m的值為2，﹣2，1，2．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)等腰三角形的定義，可得關(guān)于m的方程，根據(jù)解方程，可得答案．【詳解】解：（1）將A（1，0），B（3，0）代入函數(shù)解析式，得a+b+3＝解得a＝∴二次函數(shù)的表達(dá)式是y=x2-4x+3；（2）M（m，-m+3），N（m，m2-4m+3）MN=m2-3m，BM=2|m-3|，當(dāng)MN=BM時，①m2-3m=2（m-3），解得m=2，②m2-3m=-2（m-3），解得m=-2當(dāng)BN=MN時，∠NBM=∠BMN=45°，m2-4m+3=0，解得m=1或m=3（舍）當(dāng)BM=BN時，∠BMN=∠BNM=45°，-（m2-4m+3）=-m+3，解得m=2或m=3（舍），當(dāng)△BMN是等腰三角形時，m的值為2，-2，1，2．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是利用等腰三角形的定義得出關(guān)于m的方程，要分類討論，以防遺漏．【例2】（2023·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·統(tǒng)考三模）如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，y與軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)D．已知A（-1，0），C（0(1)求拋物線的解析式；(2)在拋物線的對稱軸上是否存在P點(diǎn)，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由．【答案】(1)y=-(2)存在，點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，6），（1，10），（1，-10），（1，5【分析】（1）把A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=-x2+bx+c，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；（2）分兩種情況討論：i)當(dāng)△PCD是以CD為腰的等腰三角形時，又可分兩種情況討論：①PC=CD；②PD=CD．設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出方程求解即可；ii)當(dāng)△PCD是以CD為底的等腰三角形時，點(diǎn)P在CD的垂直平分線上，PC=PD，利用兩點(diǎn)間的距離公式列出方程求解即可．【詳解】（1）解：把A（-1，0），C（0，3）代入y=-x2+bx+c，得：-1-b+c=0c=3，解得：b=2∴拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3；（2）解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴對稱軸為直線x=1，∴D（1，0）．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，t），∵C（0，3），∴CD2=12+32=10．分兩種情況討論：i)當(dāng)△PCD是以CD為腰的等腰三角形時，又可分兩種情況討論：①若PC=CD，則12+（t-3）2=10，解得t=0（舍棄）或6，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，6）；②若PD=CD，則t2=10，解得t=±10，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，10）或（1，-10）；ii)當(dāng)△PCD是以CD為底的等腰三角形時，PC=PD，則1+（t-3）2=t2，解得：t=53所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，53綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)有三個，分別是（1，6）或（1，10））或（1，-10）或（1，53【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)、利用軸對稱求最短距離；難度適中，在考慮構(gòu)建等腰三角形時，采用了分類討論的思想．【例3】（2023春·廣東·九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線y=-x2+bx+c過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P為拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，當(dāng)△PCB是以BC為底邊的等腰三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在（2）條件下，是否存在點(diǎn)M為拋物線第一象限上的點(diǎn)，使得S△BCM=S【答案】(1)y=-x(2)點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,1)；(3)存在，【分析】（1）把代入y=-x2（2）依題意可得出即P點(diǎn)在的平分線上且在拋物線的對稱軸上利用等腰三角形的性質(zhì)，即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）利用鉛垂線ME，即可表達(dá)出，再由S△BCM=【詳解】（1）根據(jù)題意，得0=--1解得b=2c=3∴拋物線解析式為：y=-x（2）由（1）得y=-x∴點(diǎn)C(0,3)，且點(diǎn)，∴OC=OB=3．∵當(dāng)△PCB是以BC為底邊的等腰三角形∴PC=PB，∵OP=OP，∴△COP?△BOP，∴∠COP=∠BOP=1設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于H點(diǎn)，則∠OPH=90°，∴∠OPH=∠POH=45°，∴OH=PH，∵拋物線對稱軸x=-2∴OH=1，∴PH=1，∴y=1．∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(1,1)．（3）存在．理由如下：過點(diǎn)M作ME∥y軸，交BC于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)F．設(shè)Mm,-m2設(shè)直線BC的解析式為：，依題意，得：0=3k+b3=b解得，∴直線BC的解析式為：，當(dāng)時，y=-m+3，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,-m+3)，∵點(diǎn)M在第一象限內(nèi)，且在BC的上方，∴ME=-=-mS==3S△BCP∵S△BCM∴3解得m1【點(diǎn)睛】此題考查了求拋物線的解析式、等腰三角形的存在性問題，三角形的面積，掌握待定系數(shù)法求拋物線的解析式，等腰三角形與函數(shù)的特征，三角形面積與函數(shù)的做法是解題的關(guān)鍵．【強(qiáng)化訓(xùn)練】1、（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)D．(1)求二次函數(shù)的解析式．(2)有一個點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點(diǎn)B運(yùn)動，另一個點(diǎn)N從點(diǎn)D與點(diǎn)M同時出發(fā)，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)B時，點(diǎn)M、N同時停止運(yùn)動，問點(diǎn)M、N運(yùn)動到何處時，△MNB面積最大，試求出最大面積．(3)在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使△PBC為等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在請說明理由．【答案】(1)y＝x2﹣4x+3(2)當(dāng)M（2，0）、N（2，2）或（2，﹣2）時△MNB面積最大，最大面積是1(3)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（0，﹣3）或（0，0）【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可；（2）如圖1，設(shè)A運(yùn)動時間為t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，則DN＝2t，S△MNB=12×（2﹣t）（3）先求出B點(diǎn)坐標(biāo)，BC的長，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分①CP＝CB，②BP＝BC，③PB＝PC，三種情況求解即可．【詳解】（1）解：把A（1，0）和C（0，3）代入y＝x2+bx+c，得1+b+c=0c=3解得：b=-4c=3∴二次函數(shù)的表達(dá)式為：y＝x2﹣4x+3；（2）解：如圖1，設(shè)A運(yùn)動時間為t，由AB＝2，得BM＝2﹣t，則DN＝2t，∴S△MNB=12×（2﹣t）×2t＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣1）∴t=1時S△MNB值最大∴當(dāng)M點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），N點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）或（2，﹣2）時△MNB面積最大，最大面積是1；（3）解：令y＝0，則x2﹣4x+3＝0，解得：x＝1或x＝3，∴B（3，0），∴BC＝32，點(diǎn)P在y軸上，當(dāng)△PBC為等腰三角形時分三種情況進(jìn)行討論：如圖2，①當(dāng)CP＝CB時，PC＝32，∴OP＝OC+PC＝3+32或OP＝PC﹣OC＝32-∴P1（0，3+32），P2（0，3﹣32）；②當(dāng)BP＝BC時，OP＝OB＝3，∴P3（0，﹣3）；③當(dāng)PB＝PC時，∵OC＝OB＝3，∴此時P與O重合，∴P4（0，0）；綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（0，﹣3）或（0，0）．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)與等腰三角形綜合．解題的關(guān)鍵在于對知識的靈活運(yùn)用．2、（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線y=ax2+bx+ca≠0與y軸交于點(diǎn)C（0，4），與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0），拋物線的對稱軸x＝1與拋物線交于點(diǎn)D，與直線(1)求拋物線的解析式；(2)探究對稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，C，A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)y＝﹣12x2+x(2)存在，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，11）或（1，﹣11）或（1，1）或（1，4+19）或（1，4﹣19）【分析】（1）先由拋物線的對稱軸是直線x＝1，求得b＝﹣2a，再將將A（﹣2，0），C（0，4）代入y=ax（2）設(shè)P（1，n），分三種情況討論：①當(dāng)AP＝AC時，20＝9+n2，此時P（1，11）或（1，-11）；②當(dāng)AP＝PC時，9+n2＝1+4-n2，此時P（1，1）；③當(dāng)AC＝PC時，20＝1+4-n2，此時P（1，4+19【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸x＝1，∴-b2a∴b＝﹣2a，∴y=ax將A（﹣2，0），C（0，4）代入y=ax得c=44a+4a+c=0解得c=4a=-∴y=-1（2）存在一點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P，C，A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，理由如下：∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，設(shè)P（1，n），∴AP2=9+n2①當(dāng)AP＝AC時，20=9+n解得n＝±11，∴P（1，11）或（1，-11②當(dāng)AP＝PC時，9+n解得n＝1，∴P（1，1）；③當(dāng)AC＝PC時，20=1+4-n解得n＝4+19或n＝4-∴P（1，4+19）或（1，4-綜上所述：P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，11）或（1，-11）或（1，1）或（1，4+19）或（1，4【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．3、（2023春·湖北黃石·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)如圖1，連接AC，點(diǎn)D為線段AC下方拋物線上一動點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥y軸交線段AC于E點(diǎn)，連接EO，記△ADC的面積為S1，△AEO的面積為，求S1-S(3)如圖2，將拋物線沿射線CB方向平移325個單位長度得到新拋物線，動點(diǎn)N在原拋物線的對稱軸上，點(diǎn)M為新拋物線的頂點(diǎn)，當(dāng)△AMN為以AM為腰的等腰三角形時，請直接寫出點(diǎn)【答案】(1)A(2)S1-S2的最大值為1，此時點(diǎn)D的坐標(biāo)為（(3)點(diǎn)N的坐標(biāo)為-1,3016或-1,-3016【分析】（1）令y=0，得到23（2）先求出直線AC的解析式為y=-23x-2，然后設(shè)點(diǎn)，其中，可得點(diǎn)，從而得到DE=-23m（3）根據(jù)點(diǎn)B1,0，C（0，-2），可得拋物線向右平移32個單位長度，向上平移3個單位長度得到新拋物線，從而得到點(diǎn)M的坐標(biāo)為12【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，令y=0，則23解得：x1∴點(diǎn)A-3,0（2）解：令x=0，y=-2，∴點(diǎn)C（0，-2），設(shè)直線AC的解析式為y=kx+bk≠0把點(diǎn)A-3,0，C（0，-2-3k+b=0b=-2，解得：k=-∴直線AC的解析式為y=-2設(shè)點(diǎn)，其中，∵DE∥y軸，∴點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)A-3,0，C（0，-2∴OA=3，∴，∴當(dāng)m=-2時，S1-S2取得最大值，最大值為1，此時點(diǎn)D（（3）解：∵點(diǎn)B1,0，C（0，-2∴OB=1，OC=2，∴BC=5∴OB:OC:BC=1:2:5∵將拋物線沿射線CB方向平移32∴拋物線向右平移32個單位長度，向上平移3∵，∴原拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為-1,-83，對稱軸為直線∴平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為12∴平移后得到新拋物線的解析式為y=2設(shè)點(diǎn)N-1,n當(dāng)AM=AN時，則AM2=AN2，-3-122當(dāng)AM=MN時，AM2=MN2，-3-122綜上所述，當(dāng)△AMN為以AM為腰的等腰三角形時，點(diǎn)N的坐標(biāo)為-1,3016或-1,-3016或【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型二直角三角形存在性問題】【方法指導(dǎo)】【知識點(diǎn)2解決直角三角形存在性問題的方法】1、“兩線一圓”找動點(diǎn)△ABC是直角三角形，A，B是定點(diǎn)，C是動點(diǎn)，確定點(diǎn)C的軌跡：=1\*GB3①過點(diǎn)A作AB的垂線；=2\*GB3②過點(diǎn)B作AB的垂線；=3\*GB3③以AB為直徑作圓.2、求動點(diǎn)坐標(biāo)的方法直角三角形動頂點(diǎn)坐標(biāo)求法：=1\*GB3①垂直求“k”值及定點(diǎn)定長法；=2\*GB3②“一線三直角”模型法；（1、先作出過該直角三角形的直角頂點(diǎn)的“橫平”或“豎直”的直線；2、過兩銳角頂點(diǎn)作該“橫平”或“豎直”直線的垂線，構(gòu)造全等三角形.）=3\*GB3③勾股定理法.【典型例題】【例4】（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+x+m（a≠0）的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，其中點(diǎn)B坐標(biāo)為（0，－4），點(diǎn)C坐標(biāo)為（2(1)求此拋物線的函數(shù)解析式．(2)點(diǎn)P為該拋物線對稱軸上的動點(diǎn)，使得△PAB為直角三角形，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)y=(2)P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，3），（-1，-5），-1，-2+【分析】（1）直接將B（0，-4），C（2，0）代入y=ax（2）分三種情況討論，①當(dāng)∠PAB=90°時，即PA⊥AB，則設(shè)PA所在直線解析式為：y=x+z，將A（-4,0）代入y=x+z得，解得：z=4，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1,3）；②當(dāng)∠PBA=90°時，即PB⊥AB，則設(shè)PB所在直線解析式為：y=x+t，將B（0，-4）代入y=x+t得，t=-4，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1,-5）；③當(dāng)∠APB=90°時，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為：-1，yp，由于PA所在直線斜率為：yp3，PB在直線斜率為：yp+4-1，yp【詳解】（1）解：將B（0，-4），C（2，0）代入y=ax2得：m=-44a+2+m=0解得：m=-4a=∴拋物線的函數(shù)解析式為：y=1（2）①當(dāng)∠PAB=90°時，即PA⊥AB，則設(shè)PA所在直線解析式為：y=x+z，將A（-4,0）代入y=x+z得，-4+z=0，解得：z=4，∴PA所在直線解析式為：y=x+4，∵拋物線對稱軸為：x=-1，∴當(dāng)x=-1時，y=-1+4=3，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，3）；②當(dāng)∠PBA=90°時，即PB⊥AB，則設(shè)PB所在直線解析式為：y=x+t，將B（0，-4）代入y=x+t得，t=-4，∴PA所在直線解析式為：y=x-4，∴當(dāng)x=-1時，y=-1-4=-5，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，-5）；③當(dāng)∠APB=90°時，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為：-1，∴PA所在直線斜率為：yp3，PB在直線斜率為：∵PA⊥PB，∴yp+4-1解得：yp1=-2+7∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：-1，-2+綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為：（-1，3），（-1，-5），-1，-2+7，-1，【點(diǎn)睛】本題主要考查的是二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)、三角形的綜合，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵．【例5】（2023春·廣東·九年級專題練習(xí)）拋物線y=ax2+114x-6與x軸交于At,0，B8,0兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線y＝kx－6經(jīng)過點(diǎn)(1)求拋物線的表達(dá)式和t，k的值；(2)如圖1，連接AC，AP，PC，若△APC是以CP為斜邊的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【答案】(1)，y=-14x2+(2)點(diǎn)P【分析】（1）分別把B8,0（2）作PM⊥x軸于點(diǎn)M，根據(jù)題意可得Pm,-14m2+114m-6【詳解】（1）解：∵B8,0在拋物線y=a∴64a+11∴a=-1∴拋物線解析式為y=-1當(dāng)y=0時，-1∴t1=3，∴t=3．∵B8,0在直線y=kx-6∴8k-6=0，∴k=3∴一次函數(shù)解析式為y=3（2）解：如圖，作PM⊥x軸于點(diǎn)M，對于y=-14x2+114∴點(diǎn)C（0，-6），即OC=6，∵A（3，0），∴OA=3，∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．∴Pm,-∴PM=14m∵∠CAP=90°，∴∠OAC+∠PAM=90°，∵∠APM+∠PAM=90°，∴∠OAC=∠APM，∵∠AOC=∠AMP=90°，∴△COA∽△AMP，∴OAPM∴OA?MA=OC?PM，即3(m-3)=6?1∴m1=3（舍），∴m=10，∴點(diǎn)P10,-【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵，是中考的壓軸題．【例6】（2023·山東·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2-2x-3與x軸相交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C(1)求線段AC的長；(2)若點(diǎn)Р為該拋物線對稱軸上的一個動點(diǎn)，當(dāng)PA=PC時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)M為該拋物線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)10(2)1(3)1，-4或-2，5【分析】（1）根據(jù)解析式求出A，B，C的坐標(biāo)，然后用勾股定理求得AC的長；（2）求出對稱軸為x=1，設(shè)P（1，t），用t表示出PA2和PC2的長度，列出等式求解即可；（3）設(shè)點(diǎn)M（m,m2-2m-3），分情況討論，當(dāng)CM2+BC2【詳解】（1）y=x2-2x-3令y=0，解得x1即A（-1，0），B（3，0），y=x2-2x-3令x=0，解得y=-3，即C（0，-3），∴AO=1,CO=3,∴AC=A（2）拋物線y=x2-2x-3的對稱軸為：設(shè)P（1，t），∴PA2=∴4+t2∴t=-1，∴P（1，-1）；（3）設(shè)點(diǎn)M（m,m2-2m-3），BMCMBC①當(dāng)CMm2解得，m1=0（舍），∴M（1，-4）；②當(dāng)BMm-32解得，m1=-2，∴M（-2，5）；③當(dāng)BMm-32解得，m=1±∴M1+52，綜上所述：滿足條件的M為1，-4或-2，5或【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了與坐標(biāo)軸交點(diǎn)、線段求值、存在直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會分類討論的思想，屬于中考壓軸題．【強(qiáng)化訓(xùn)練】1、（2023·山東濟(jì)寧·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A,B，與y軸交于點(diǎn)C，且直線過點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對稱．點(diǎn)P是線段OB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M，交直線BD于點(diǎn)

（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)△MDB的面積最大時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以Q,M,N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】（1）y=-x2+5x+6；（2）（2，0）；（3）存在，（0，12）或（0，-4）或（0，4+215）或（0【分析】（1）根據(jù)直線求出點(diǎn)B和點(diǎn)D坐標(biāo)，再根據(jù)C和D之間的關(guān)系求出點(diǎn)C坐標(biāo)，最后運(yùn)用待定系數(shù)法求出拋物線表達(dá)式；（2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，0），表示出M和N的坐標(biāo)，再利用三角形面積求法得出S△BMD=-3m（3）分當(dāng)∠QMN=90°時，當(dāng)∠QNM=90°時，當(dāng)∠MQN=90°時，三種情況，結(jié)合相似三角形的判定和性質(zhì)，分別求解即可.【詳解】解：（1）∵直線過點(diǎn)B，點(diǎn)B在x軸上，令y=0，解得x=6，令x=0，解得y=-6，∴B（6，0），D（0，-6），∵點(diǎn)C和點(diǎn)D關(guān)于x軸對稱，∴C（0，6），∵拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B0=-36+6b+c6=c，解得：b=5∴拋物線的表達(dá)式為：y=-x（2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，0），則點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，-m2+5m+6），點(diǎn)N坐標(biāo)為（m∴MN=-m2+5m+6∴S△BMD=S△MNB+S△MND=1=-3=-3（m-2）2+48當(dāng)m=2時，S△BMD最大=48，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）；（3）存在，由（2）可得：M（2，12），N（2，-4），設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，n），當(dāng)∠QMN=90°時，即QM⊥MN，如圖，可得，此時點(diǎn)Q和點(diǎn)M的縱坐標(biāo)相等，即Q（0，12）；

當(dāng)∠QNM=90°時，即QN⊥MN，如圖，可得，此時點(diǎn)Q和點(diǎn)N的縱坐標(biāo)相等，即Q（0，-4）；

當(dāng)∠MQN=90°時，MQ⊥NQ，如圖，分別過點(diǎn)M和N作y軸的垂線，垂足為E和F，∵∠MQN=90°，∴∠MQE+∠NQF=90°，又∠MQE+∠QME=90°，∴∠NQF=∠QME，∴△MEQ∽△QFN，∴MEQF=EQ解得：n=4+215或4-2∴點(diǎn)Q（0，4+215）或（0，4-2

綜上：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（0，12）或（0，-4）或（0，4+215）或（0，4-215【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的表達(dá)式，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，解一元二次方程，解題時要注意數(shù)形結(jié)合，分類討論思想的運(yùn)用.2、（2023·福建·九年級專題練習(xí)）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝﹣1，且拋物線經(jīng)過A（1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，與x(1)若直線y＝mx+n經(jīng)過B，C兩點(diǎn)，求直線BC和拋物線的解析式；(2)設(shè)P為拋物線的對稱軸x＝﹣1上的一個動點(diǎn)，求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)y=-x2-2x+3，y(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，3+172）或（﹣1，【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）分點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)、點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)、P為直角頂點(diǎn)三種情況，分別求解即可．【詳解】（1）解：拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，且拋物線經(jīng)過A（1，0），故點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，0），設(shè)拋物線的表達(dá)式為y＝ax-x1將點(diǎn)C坐標(biāo)代入上式得：3＝a（﹣3），解得a＝﹣1，∴拋物線的解析式為：y=-x把B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝mx+n得：n=30=-3m+n，解得n=3∴直線的解析式為y＝x+3；（2）解：設(shè)P（﹣1，t），B（﹣3，0），C（0，3），則BC2＝18，PB2＝-1+32若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時，則BC即18+4+t2＝解得t＝﹣2；若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)時，則BC2+PC2＝PB2，即4+t2＝18+解得t＝4，若P為直角頂點(diǎn)時，則BC2=PB2+PC解得t＝3±17綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，3+172）或（﹣1，【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、點(diǎn)的對稱性等，其中（2），要注意分類求解，避免遺漏．3、（2023·山東·九年級專題練習(xí)）拋物線y=12x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A-2,0和B4,0，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．點(diǎn)P是線段BC下方拋物線上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于M，交x(1)求該拋物線的解析式；(2)用關(guān)于t的代數(shù)式表示線段PM，求PM的最大值及此時點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)過點(diǎn)C作CH⊥PN于點(diǎn)，S△BMN=9①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②連接CP，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△CPQ為直角三角形，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)PMmax(3)①P1,-92；②存在，【分析】（1）將點(diǎn)A(-2,0)和B(4,0)代入解析式，列方程組求解即可得到答案；（2）令x=0求出點(diǎn)C坐標(biāo)，從而求出直線BC解析式，用t表示點(diǎn)P點(diǎn)M坐標(biāo)，從而得到PM關(guān)于t的函數(shù)，求出最值即可得到答案；（3）①根據(jù)題意用t表示點(diǎn)H的坐標(biāo)根據(jù)面積列方程求解即可得到答案；②設(shè)出點(diǎn)Q坐標(biāo)，分∠CPQ=90°，∠CQP=90°兩類討論，根據(jù)勾股定理逆定理即可得到答案．【詳解】（1）將點(diǎn)A(-2,0)和B(4,0)代入解析式，得12×(-2)∴該拋物線的解析式為；（2）由題意可得P點(diǎn)坐標(biāo)為P(t,1令x=0得y=-4，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為C(0,-4)，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m，將B、C坐標(biāo)代入，得m=-44k+m=0，解得m=-4∴直線BC的解析式為y=x-4，∵PN∥y軸，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(t,t-4)，∴PM=t-4-(∵，∴當(dāng)t=2時，PM的值最大，PMmax此時點(diǎn)M的坐標(biāo)為：；（3）①由題意可得，如圖1，∵CH⊥PN，PN∥y軸，∴點(diǎn)C、H縱坐標(biāo)相同，點(diǎn)N、H、P的橫坐標(biāo)相同，∴點(diǎn)H的坐標(biāo)為H(t,-4)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(t,0)，∵S△BMN∴12即(4-t)解得t1=1，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(1,-9②當(dāng)∠CQP=90°時，如圖2所示，∵∠CQP=90°，∴點(diǎn)Q、P的縱坐標(biāo)相同，∴此時Q點(diǎn)坐標(biāo)為Q(0,1即Q(0,-9當(dāng)∠CPQ=90°時，如圖3所示，設(shè)，根據(jù)勾股定理得(n+4)解得n=-132∴Q(0,-13綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,-92)【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的幾何綜合，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值問題，動點(diǎn)圍成直角三角形問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用性質(zhì)列式求解．【題型三等腰直角三角形存在性問題】【方法指導(dǎo)】【知識點(diǎn)3解決等腰直角三角形存在性問題的方法】一般利用“一線三直角”模型輔助求解.【典型例題】【例7】（2023春·廣東·九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線y=ax2+bx-3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是對稱軸左側(cè)拋物線上的一點(diǎn)，當(dāng)△PMB是以PB為腰的等腰直角三角形時，請直接寫出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)．【答案】(1)y=(2)（-1，0）或（1-2，-2）或（，2）【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）分兩種情況當(dāng)∠BPM=90°和當(dāng)∠PBM=90°兩種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線y=ax2+bx-3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)，點(diǎn)∴a-b-3=09a+3b-3=0∴a=1b=-2∴拋物線解析式為y=x（2）解：如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方，∠BPM=90°時，過點(diǎn)P作EF∥x軸，過點(diǎn)M作MF⊥EF于F，過點(diǎn)B作BE⊥EF于E，∵△PBM是以PB為腰的等腰直角三角形，∴PA=PB，∠MFP=∠PEB=∠BPM=90°，∴∠FMP+∠FPM=∠FPM+∠EPB=90°，∴∠FMP=∠EPB，∴△FMP≌△EPB（AAS），

∴PE=MF，BE=PF，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，m），∴BE=m，∴MF=2，PF=m，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1-m，m-2），∵點(diǎn)M在拋物線y=x∴1-m2-2∴1-2m+m∴m2解得m=2或m=-1（舍去），∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，0）；同理當(dāng)當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方，∠BPM=90°時可以求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，0）；如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方，∠PBM=90°時，過點(diǎn)B作EF∥y軸，過點(diǎn)P作PE⊥EF于E，過點(diǎn)M作MF⊥EF于F，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，m），同理可證△PEB≌△BFM（AAS），∴BF=PE=2，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3-m，-2），∵點(diǎn)M在拋物線y=x∴3-m2∴9-6m+m∴m2解得m=2+2或m=2-∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1-2，-2如圖3所示，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方，∠PBM=90°時，同理可以求得點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，2）；綜上所述，當(dāng)△PMB是以PB為腰的等腰直角三角形時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，0）或（1-2，-2）或（，2）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)綜合，一次函數(shù)與幾何綜合，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，熟知二次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【例8】（2023·山東日照·校考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸相交于A、B、C三點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為3,0，B點(diǎn)坐標(biāo)為-1,0，連接AC、BC．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在線段AC上以每秒2個單位長度向點(diǎn)C做勻速運(yùn)動；同時，動點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BA上以每秒1個單位長度向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動，連接，設(shè)運(yùn)動時間為（1）求b、c的值；（2）在線段AC上方的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使△MPQ是以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）b=2，c=3；（2）（，23+178【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）畫出圖形，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交x軸于E，過M作y軸的垂線，與EP交于F，證明△PFM≌△QEP，得到MF=PE=t，PF=QE=4-2t，得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，再代入二次函數(shù)表達(dá)式，求出t值，即可算出M的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）∵拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（3，0），B（-1，0），則0=-9+3b+c0=-1-b+c解得：b=2c=3（2）∵點(diǎn)M是線段AC上方的拋物線上的點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)P作x軸的垂線，交x軸于E，過M作y軸的垂線，與EP交于F，∵△PMQ是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°，∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°，∴∠PMF=∠QPE，在△PFM和△QEP中，∠F=∠QEP∠PMF=∠QPE∴△PFM≌△QEP（AAS），∴MF=PE=t，PF=QE=4-2t，∴EF=4-2t+t=4-t，又OE=3-t，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3-2t，4-t），∵點(diǎn)M在拋物線y=-x2+2x+3上，∴4-t=-（3-2t）2+2（3-2t）+3，解得：t=9-178或∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，23+178【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，涉及到全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形面積，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．【例9】（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）二次函數(shù)y=ax2+bx+2的圖象交x軸于點(diǎn)A（－1，0），B（4，0），兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，動點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿AB方向運(yùn)動，過點(diǎn)M作MN⊥x軸交直線BC于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)D，連接AC(1)求二次函數(shù)y=ax(2)在直線MN上存在一點(diǎn)P，當(dāng)△PBC是以∠BPC為直角的等腰直角三角形時，求此時點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)y=-(2)P（1，－1）或（3，3）【分析】（1）將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式中，求出系數(shù)a與b即可；（2）由BM的值得出M的坐標(biāo)M（2t-1,0)，因此設(shè)P（2t-1，m），由勾股定理可得PC2=2t-12+m-22，PB2=2t-52+m【詳解】（1）解：將A(-1,0)，B(4,0)代入y=ax得：a-b+2=016a+4b+2=0解得：a=-12∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-1（2）解：∵BM=5-2t，∴M2t-1,0設(shè)P（2t-1，m），則PC2=∵PB=PC，∴2t-12∴m=4t-5，∴P2t-1,4t-5∵PC⊥PB，∴2t-12將m=4t-5代入整理得：t2解得：t=1或t=2．將t=1或t=2分別代入P2t-1,4t-5∴P（1，－1）或（3，3）．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)與幾何的綜合題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求平面內(nèi)三角形的面積，以及根據(jù)等腰直角三角形求點(diǎn)的坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出函數(shù)解析式，同時根據(jù)解析式將點(diǎn)表示出來，列出方程進(jìn)行計算．【強(qiáng)化訓(xùn)練】1、（2023春·廣東梅州·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖1，拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A3,0、B-1,0，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P為x軸上方拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)F為y(1)求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)如圖2，是否存在點(diǎn)F，使得△AFP是以AP為腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=-(2)存在，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，-3）或（0，）或（0，13-2）【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）∠PAF=90°與∠APF=90°兩種情況討論，通過作垂線構(gòu)造全等三角形，從而得出邊相等，列出方程求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線y=ax2+bx+3與x∴9a+3解得：a=-1b∴該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=-x（2）設(shè)P（m，-m2+2m+3）（-1<m<3），F(xiàn)（0∵A（3，0），∴OA=3，OF=|n|，①當(dāng)AP=AF，∠PAF=90°時，如圖2，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，則∠ADP=90°=∠AOF，∴∠PAD+∠APD=90°，∵∠PAD+∠FAO=90°，∴∠APD=∠FAO，在△APD和△FAO中，∠ADP=∠AOF∠APD=∠FAO∴△APD≌△FAO（AAS），∴PD=OA，AD=OF，∵PD=-m2+2m+3，AD=3-m，∴-m解得：m=0或2，當(dāng)m=0時，P（0，3），AD=3，∴OF=3，即|n|=3，∵點(diǎn)F在y的負(fù)半軸上，∴n=-3，∴F0，當(dāng)m=2時，P（2，3），AD=1，∴OF＝1，即|n|=1，∵點(diǎn)F在y的負(fù)半軸上，∴n=-1，∴F（0，-1）；②當(dāng)AP=PF，∠APF=90°時，如圖3，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，PG⊥y軸于點(diǎn)G，則∠PDA=∠PDO=∠PGF=90°，∵∠PDO=∠PGF=∠DOG=90°，∴四邊形PDOG是矩形，∴∠FPG+∠FPD=90°，∵∠APD+∠FPD=∠APF=90°，∴∠FPG=∠APD，在△FPG和△APD中，∠PGF=∠PDA∠FPG=∠APD∴△FPG≌△APD（AAS），∴PG=PD，F(xiàn)G=AD，∵PD=-m2+2m+3，AD=3﹣m，PG∴-m2解得：m1=1-13當(dāng)m＝時，P（，），∴FG=AD=3-m=3-1+132∴F（0，13-2綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，-3）或（0，-1）或（0，13-2【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法，三角形的面積求法，等腰直角三角形的討論，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，難度比較大，根據(jù)題意正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．2、（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C0,3，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為3,0．點(diǎn)(1)求這個二次函數(shù)及直線BC的表達(dá)式．(2)點(diǎn)M為拋物線對稱軸上的點(diǎn)，問在拋物線上是否存在點(diǎn)N，使△MNO為等腰直角三角形，且∠NMO為直角，若存在，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=-x2+2x+3，直線BC(2)存在，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3-132，1+132）或（1+212，21-32）或（【分析】（1）利用待定系數(shù)法可直接求出二次函數(shù)和直線BC的解析式；（2）分情況討論：①當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方，點(diǎn)N在對稱軸左側(cè)時，如圖1，設(shè)對稱軸與x軸交于點(diǎn)F，過點(diǎn)N作NE⊥MF于點(diǎn)E，證明△MEN≌△OFM（AAS），可得OF＝EM＝1，設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，a），可得NE＝MF＝a，則N（1-a，1+a），把點(diǎn)N坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求出a的值，可得此時點(diǎn)N的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方，點(diǎn)N在對稱軸右側(cè)時，③當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方，點(diǎn)N在對稱軸左側(cè)時，④當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方，點(diǎn)N在對稱軸右側(cè)時，同理可求點(diǎn)N的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：把點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)代入解析式y(tǒng)=-x得：9＋解得：b＝∴二次函數(shù)得表達(dá)式為y=-x設(shè)BC的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b，把點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可得：0=3k+b3=b解得：k=-1b=3∴直線BC的函數(shù)表達(dá)式為：；（2）分情況討論：①當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方，點(diǎn)N在對稱軸左側(cè)時，如圖1，設(shè)對稱軸與x軸交于點(diǎn)F，過點(diǎn)N作NE⊥MF于點(diǎn)E，∵△MNO為等腰直角三角形，且∠NMO為直角，∴NM＝MO，∠NMO＝90°，∴∠NME＋∠OMF＝90°，∵∠NME＋∠MNE＝90°，∴∠MNE＝∠OMF，又∵∠MEN＝∠OFM＝90°，∴△MEN≌△OFM（AAS），∴OF＝EM，MF＝NE，∵二次函數(shù)y=-x2+2x+3∴OF＝EM＝1，設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（1，a），則NE＝MF＝a，∴N（1-a，1+a），∵點(diǎn)N在拋物線y=-x∴1+a=-1-a整理得：a2解得：a=-1+∴N（3-132，②當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方，點(diǎn)N在對稱軸右側(cè)時，如圖2，同理可得：點(diǎn)N坐標(biāo)為（1+212，③當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方，點(diǎn)N在對稱軸左側(cè)時，如圖3，同理可得：點(diǎn)N坐標(biāo)為（1-212，④當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方，點(diǎn)N在對稱軸右側(cè)時，如圖4，同理可得：點(diǎn)N坐標(biāo)為（3+132，綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（3-132，1+132）或（1+212，21-32）或（【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法的應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，其中第（2）問有一定難度，能夠正確分類討論是解題的關(guān)鍵．3、（2023春·全國·九年級專題練習(xí)）拋物線y=ax2+bx-32經(jīng)過點(diǎn)1,-1，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC∠ACB=90°按照如圖的方式放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A、C坐標(biāo)分別為0,2、(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)：(2)求拋物的解析式；(3)在拋物線上是否還存在點(diǎn)P(點(diǎn)B除外)，使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由．【答案】(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為-3,1(2)拋物線的解析式為y=(3)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,-1【分析】（1）根據(jù)題意，過點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D；根據(jù)角的互余的關(guān)系，易得B到x、y軸的距離，即B的坐標(biāo)；（2）根據(jù)拋物線過B點(diǎn)的坐標(biāo)，可得a的值，進(jìn)而可得其解析式；（3）首先假設(shè)存在，分A、C是直角頂點(diǎn)兩種情況討論，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得答案．【詳解】（1）解：(1)過點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D．∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠CAO=90°，∴∠BCD=∠CAO，又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，∴△BCD≌△CAOAAS∴BD=OC=1，CD=OA=2，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為-3,1；（2）拋物線y=ax2+bx-32則a+b-3解得a=1所以拋物線的解析式為y=1（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形：①若以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)；則延長BC至點(diǎn)P1，使得P1C=BC過點(diǎn)P1作P∵CP∴△MP∴CM=CD=2，∵OC=1，∴OM=1，P1(1,-1)②若以點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)；則過點(diǎn)A作AP2⊥CA，且使得A過點(diǎn)P2作P2N⊥y∴NP∴點(diǎn)，③以A為直角頂點(diǎn)的等腰Rt△ACP的頂點(diǎn)P有兩種情況．即過點(diǎn)A作直線l⊥AC，在直線l上截取AP=AC時，點(diǎn)P可能在y軸右側(cè)，即現(xiàn)在解答情況②的點(diǎn)P2點(diǎn)P也可能在y軸左側(cè)，即還有第③種情況的點(diǎn)P3．因此，然后過P3作P3G⊥y軸于∴GPP3為；經(jīng)檢驗，點(diǎn)P1(1,-1)與在拋物線y=13x2+綜上，存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為1,-1．【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，本題綜合性強(qiáng)，能力要求極高．解題的關(guān)鍵是利用分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．【題型四平行四邊形存在性問題】【方法指導(dǎo)】【知識點(diǎn)4解決平行四邊形存在性問題的方法】平行四邊形四頂點(diǎn)坐標(biāo)模型若平行四邊形ABCD的四頂點(diǎn)坐標(biāo)為Axa,（兩次“中點(diǎn)坐標(biāo)公式”）平行四邊形存在性問題的通解通法第一步寫出或設(shè)出四個頂點(diǎn)坐標(biāo)；第二步以對角線為分類標(biāo)準(zhǔn)，分三種情況討論；第三步檢驗所求點(diǎn)的坐標(biāo)能否構(gòu)成平行四邊形.【典型例題】【例10】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）已知，如圖拋物線與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)．點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，OC=3OB．(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上．是否存在以A，C，E，P為頂點(diǎn)且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y＝34x2＋94x(2)存在P1（?3，?3），P2（，3），P3（,3）【分析】（1）根據(jù)OC＝3OB，B（1，0），求出C點(diǎn)坐標(biāo)（0，?3），把點(diǎn)B，C的坐標(biāo)代入y＝ax2＋3ax＋c，求出a點(diǎn)坐標(biāo)即可求出函數(shù)解析式；（2）①過點(diǎn)C作CP1∥x軸交拋物線于點(diǎn)P1，過點(diǎn)P1作P1E1∥AC交x軸于點(diǎn)E1，此時四邊形ACP1E1為平行四邊形．②平移直線AC交x軸于點(diǎn)E，交x軸上方的拋物線于點(diǎn)P2，P3，由題意可知點(diǎn)P2、P3的縱坐標(biāo)為3，從而可求得其橫坐標(biāo)．【詳解】（1）解：（1）∵B的坐標(biāo)為（1，0），∴OB＝1．∵OC＝3OB＝3，點(diǎn)C在x軸下方，∴C（0，?3）．∵將B（1，0），C（0，?3）代入拋物線的解析式得：4a+c=0c=-3，解得：a=∴拋物線的解析式為y＝34x2＋94x?（2）解：存在．①如圖2，過點(diǎn)C作CP1∥x軸交拋物線于點(diǎn)P1，過點(diǎn)P1作P1E1∥AC交x軸于點(diǎn)E1，此時四邊形ACP1E1為平行四邊形．∵C（0，?3），令34x2＋94x?3＝?∴x1＝0，x2＝?3．∴P1（?3，?3）．②平移直線AC交x軸于點(diǎn)E2，E3，交x軸上方的拋物線于點(diǎn)P2，P3，當(dāng)AC＝P2E2時，四邊形ACE2P2為平行四邊形，當(dāng)AC＝P3E3時，四邊形ACE3P3為平行四邊形．∵C（0，?3），∴P2，P3的縱坐標(biāo)均為3．令y＝3得：34x2＋94x?3＝3，解得；x1＝，x2＝．∴P2（，3），P3（,3）．綜上所述，存在3個點(diǎn)符合題意，坐標(biāo)分別是：P1（?3，?3），P2（，3），P3（,3）．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)求最值，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識，根據(jù)題意作出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵，在解答（2）時要注意進(jìn)行分類討論．【例11】（2023·河南開封·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x2-4x+c與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)如圖2，若點(diǎn)M是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M使以A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(0,5)(2)存在，M的坐標(biāo)為或（3，-16）或(-7,-16)【分析】（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入y=-x2-4x+c（2）分①當(dāng)AC為平行四邊形ANMC的邊，②當(dāng)AC為平行四邊形AMNC的邊，③當(dāng)AC為對角線三種情況討論求解即可．【詳解】（1）（1）∵點(diǎn)A(-5,0)在拋物線y=-x∴0=-∴c=5，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,5)；（2）存在．∵y=-x∴拋物線的對稱軸為直線x=-設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-2，m），點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，-x分三種情況：①當(dāng)AC為平行四邊形ANMC的邊時，如圖，∵A（-5，0），C（0，5），∴xC-x解得，x=3.∴-∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，-16）②當(dāng)AC為平行四邊形AMNC的邊長時，如圖，方法同①可得，，∴-∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-7，-16）；③當(dāng)AC為對角線時，如圖，∵A（-5，0），C（0，5），∴線段AC的中點(diǎn)H的坐標(biāo)為(-5+02,0+52∴x+(-2)2=-5∴-∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-3，8）綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：或（3，-16）或(-7,-16)．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，其中涉及到二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)．熟知幾何圖形的性質(zhì)利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【例12】（2023·四川·九年級專題練習(xí)）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于O（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），A兩點(diǎn)，且二次函數(shù)的最小值為，點(diǎn)M(1,m)是其對稱軸上一點(diǎn)，y軸上一點(diǎn)

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)N，使得以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=(2)存在，N(1,-1)或(3,3)或(-1,3)【分析】（1）由二次函數(shù)的最小值為，點(diǎn)M(1,m)是其對稱軸上一點(diǎn)，得二次函數(shù)頂點(diǎn)為(1,-1)，設(shè)頂點(diǎn)式，將點(diǎn)代入即可求出函數(shù)解析式；（2）設(shè)Nn,n2-2n，分三種情況：當(dāng)AB為對角線時，當(dāng)AM為對角線時，當(dāng)【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的最小值為，點(diǎn)M(1,m)是其對稱軸上一點(diǎn)，∴二次函數(shù)頂點(diǎn)為(1,-1)，設(shè)二次函數(shù)解析式為，將點(diǎn)代入得，a-1=0，，∴y=(x-1)（2）設(shè)Nn,當(dāng)AB為對角線時，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，2+0=1+n，∴n=1，∴N(1,-1)，當(dāng)AM為對角線時，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，2+1=n+0，∴n=3，∴N(3,3)，當(dāng)AN為對角線時，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，2+n=0+1，∴n=-1，∴N(-1,3)，綜上：N(1,-1)或(3,3)或(-1,3)．【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式，拋物線與圖形面積，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法及平行四邊形是性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【強(qiáng)化訓(xùn)練】1、（2023春·山東煙臺·九年級統(tǒng)考期中）如圖，拋物線y=12x2-2x-6與x軸相交于點(diǎn)A、點(diǎn)B(1)請直接寫出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)F是拋物線上的動點(diǎn)，作FE//AC交x軸于點(diǎn)E，是否存在點(diǎn)F，使得以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)A-2,0，B6,0，(2)存在，或或4,-6．【分析】（1）令y=0得到12x2-2x-6=0，求出x即可求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，令x=0，則（2）根據(jù)點(diǎn)F是拋物線上的動點(diǎn)，作FE//AC交x軸于點(diǎn)E得到AE∥CF，設(shè)，當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時，當(dāng)點(diǎn)F在x軸的上方時，結(jié)合點(diǎn)OC=6，利用平行四邊形的性質(zhì)來列出方程求解．【詳解】（1）解：令y=0，則12解得x1=-2，∴A-2,0，B令x=0，則y=-6，∴C0,-6（2）解：存在．∵點(diǎn)F是拋物線上的動點(diǎn)，作FE//AC交x軸于點(diǎn)E，如下圖．∴AE∥CF，設(shè)．當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時，∵C0,-6即OC=6，∴，解得a1=0（舍去），∴．當(dāng)點(diǎn)F在x軸的上方時，令y=6，則，解得，，∴或．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)為或4,-6或．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)與平行四邊形、二次函數(shù)與面積等問題的綜合題，主要考查求點(diǎn)的坐標(biāo)，平行四邊形的性質(zhì)，面積的表示，涉及方程思想，分類思想等．2、（2023·湖北黃岡·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A3,0、B-1,0兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(1)求這條拋物線所對應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)在拋物線的對稱軸上取一點(diǎn)E，點(diǎn)F為拋物線上一動點(diǎn)，使得以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)、AC為邊的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；【答案】(1)y=-x2+2x+3，頂點(diǎn)(2)F-2,-5或【分析】（1）用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式，再化成頂點(diǎn)式即可得出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）先用待定系數(shù)法求直線AC解析式為，再過點(diǎn)F作FG⊥DE于點(diǎn)G，證△OAC≌△GFE，得OA=GF=3，設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為m,-m2+2m+3，則G點(diǎn)的坐標(biāo)為1,-m2+2m+3，所以FG=m-1=3，即可求出m=-2或m=4，從而求得點(diǎn)F坐標(biāo)；【詳解】（1）解：∵拋物線y=a∴9a+3b+3=0a-b+3=0c=3，解得：∴拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3=-(x-1)∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為1,4；（2）解：設(shè)直線AC的解析式為：，把點(diǎn)A3,0，C0,3代入得：k=-1，∴直線AC解析式為：，過點(diǎn)F作FG⊥DE于點(diǎn)G，∵以A、C、E、F四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是以AC為邊的平行四邊形，∴AC∥EF，AC=EF，又∵OA∥FG，∴∠OAC=∠GFE∴△OAC≌△GFE，∴OA=GF=3，設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為m,-m則G點(diǎn)的坐標(biāo)為1,-m∴FG=m-1∴m=-2或m=4，當(dāng)m=-2時，-m∴F1當(dāng)m=4時，-∴F2∴F-2,-5或F【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，利用軸對稱求最小值，本題屬二次函數(shù)綜合題目，掌握二交次函數(shù)圖象性質(zhì)和靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．3、（2023春·山東聊城·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，AC=

（1）求拋物線的解析式；（2）在第二象限內(nèi)的拋物線上確定一點(diǎn)P，使四邊形PBAC的面積最大．求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的結(jié)論下，點(diǎn)M為x軸上一動點(diǎn)，拋物線上是否存在一點(diǎn)Q．使點(diǎn)P、B、M、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，若存在．請直接寫出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）P-32,15【分析】（1）根據(jù)OB=OC=3OA，AC=10，利用勾股定理求出OA，可得OB和OC，得到A，B，C（2）判斷出四邊形PBAC的面積最大時，△BPC的最大面積，過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)H，求出直線BC的表達(dá)式，設(shè)點(diǎn)Px，-x2-2x+3，利用三角形面積公式S△BPC（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行分類討論，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）∵OB=OC=3OA，AC=10∴OC2+O解得：OA=1，OC=OB=3，∴A1，0，B-3，則0=a+b+c0=9a-3b+c3=c，解得：∴拋物線的解析式為y=-x（2）如圖，四邊形PBAC的面積＝△BCA的面積＋△PBC而△BCA的面積是定值，故四邊形PBAC的面積最大，只需要△PBC過點(diǎn)P作y軸的平行線交BC于點(diǎn)H，∵B-3，0，C0，則0=-3m+n3=n，解得：m=1∴直線BC的表達(dá)式為y=x+3，設(shè)點(diǎn)Px，-S△BPC∵，故S有最大值，即四邊形PBAC的面積有最大值，此時x=-32，代入y=-x∴P-

（3）由（1）、（2）得：B-3，0根據(jù)題意設(shè)Ma,0，Q①若BP為平行四邊形的對角線，則-3-32=a+b154=-b2-2b+3將代入拋物線得：，∴Q1

②若BQ為平行四邊形的對角線，則-3+b=-32+a154=-b2-2b+3將代入拋物線得：，∴Q2

③若BM為平行四邊形的對角線，則-3+a=-32+b154分別將b=-2-312，b=∴Q3-2+31

綜上：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或-2-312,-15【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、一次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型五菱形存在性問題】【方法指導(dǎo)】【知識點(diǎn)5解決菱形存在性問題的方法】二次函數(shù)綜合題中的菱形存在性問題一般涉及兩動頂點(diǎn)、兩定頂點(diǎn),且其中一動頂點(diǎn)在某條線上運(yùn)動,設(shè)為第一動頂點(diǎn),另一動頂點(diǎn)隨第一動頂點(diǎn)的變化而變化,設(shè)為第二動頂點(diǎn)，即只要確定第一動頂點(diǎn)的位置,就可確定第二動頂點(diǎn)的位置.解決此類問題時,可利用轉(zhuǎn)化思想,將菱形存在性問題轉(zhuǎn)化為等腰三角形存在性問題,再利用解決等腰三角形存在性問題的方法求出第一動頂點(diǎn)的坐標(biāo),繼而利用平移變換或線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式,求出第二動頂點(diǎn)的坐標(biāo)【典型例題】【例13】（2023·湖北荊門·校聯(lián)考一模）如圖，二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象交x軸于點(diǎn)A-3,0，B1,0，交y軸于點(diǎn)C．點(diǎn)Pm,0是x軸上的一動點(diǎn)，PM⊥x軸，交直線

（1）求這個二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)P在x軸上運(yùn)動，則在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使以M，N，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．若存在，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y=x2+2x-3；（2）①94【分析】（1）把代入y=x2+bx+c中求出b，（2）分MN=MC和MC=2MN兩種情況，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到關(guān)于【詳解】解：（1）把代入y=x20=9-3b+c,0=1+x+c.解得b=2,∴y=x（2）設(shè)直線AC的表達(dá)式為，把A(-3,0),C(0,-3)代入．得，0=-3k+b,-3=b.解這個方程組，得∴y=-x-3．

∵點(diǎn)Pm,0是x軸上的一動點(diǎn)，且PM⊥x∴M(m,-m-3),Nm,m∴MN=(-m-3)-m（i）當(dāng)以M，N，C，Q為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則有MN=MC，如圖，∵C（0，-3）∴MC=(m-0)∴-整理得，m4∵，∴m2解得，m1=-3+∴當(dāng)m=-3+2時，CQ=MN=3∴OQ=-3-(32-2∴Q(0，-32-1當(dāng)m=-3-2時，CQ=MN=-3∴OQ=-3-(-32-2∴Q(0，32-1(ii)若MC=2則有-整理得，m4∵，∴m2解得，m1=-1當(dāng)m=-1時，MN=CQ=2，∴Q（0，-1），當(dāng)m=-5時，MN=-10＜0（不符合實(shí)際，舍去）綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是利用菱形的性質(zhì)得出關(guān)于m的方程，要分類討論，以防遺漏．【例14】（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線y=ax2+bx+c

(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)M是拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)N為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，是否存在以BC為邊，點(diǎn)B、C、【答案】(1)y=-(2)存在，4,17或4,-17或-2,14【分析】（1）利用待定系數(shù)法代入求解即可；（2）分兩種情況進(jìn)行分析：若BC為菱形的邊長，利用菱形的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：將點(diǎn)A-1,0a-b+c=09a+3b+c=0解得：a=-1b=2∴拋物線的解析式為y=-x（2）存在，N2,2或4,17或4,-17或-2,∵B3,0∵拋物線的解析式為y=-x∴對稱軸為：x=1，設(shè)點(diǎn)M1,t若BC為菱形的邊長，菱形BCMN，則BC2=C解得：t1=17∵3+1=0+x0+t=3+y∴x=4,y=t-3，∴N14,17若BC為菱形的邊長，菱形BCNM，則BC2=B解得：t1=14∵3+x=0+10+y=3+t∴x=-2,y=3+t，∴N3-2,14綜上可得：4,17或4,-17或-2,14【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，三角形面積問題及特殊四邊形問題，全等三角形的判定和性質(zhì)等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【例15】（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線L：y=ax2+bx-3與x軸交于A-1,0，B3,0兩點(diǎn)，其對稱軸直線l(1)求拋物線L的函數(shù)表達(dá)式．(2)將拋物線L向左平移得到拋物線L'，當(dāng)拋物線L'經(jīng)過原點(diǎn)時，與原拋物線的對稱軸相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F為拋物線L'對稱軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，若以點(diǎn)A，E，F(xiàn)，M為頂點(diǎn)的四邊形是以AE【答案】(1)y=(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為0,5-27或0,5+27或-4,2【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)得到拋物線L'的解析式為y'=x2+4x，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，設(shè)F-2,n，分兩種情況：當(dāng)時，則【詳解】（1）解：將A-1,0，B3,0代入a-b-3=09a+3b-3=0，解得a=1∴拋物線L的函數(shù)表達(dá)式是y=（2）∵拋物線L向左平移得到拋物線L'，B∴拋物線L向左平移3個單位得到拋物線L'∴拋物線L'過點(diǎn)-4,0設(shè)拋物線L'的解析式為y∴16-4p=0，解得p=4，∴y'∵拋物線L'與原拋物線的對稱軸相交于點(diǎn)E，原拋物線對稱軸為直線x=-∴y'∴E1,5∵點(diǎn)F為拋物線L'對稱軸上的一點(diǎn)，對稱軸為直線x=-∴設(shè)F-2,n∵以點(diǎn)A，E，F(xiàn)，M為頂點(diǎn)的四邊形是以AE為邊的菱形，∴當(dāng)時，則AE2∴1+12解得n=±27∴F的坐標(biāo)為-2,27或-2,-2∵以點(diǎn)A，E，F(xiàn)，M為頂點(diǎn)的四邊形是以AE為邊的菱形，∴AF∥EM,AF=EM，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為0,5-27或0,5+2當(dāng)AE=EF時，則AE∴1+12解得n=5±25∴F的坐標(biāo)為-2,5+25或-2,5-2∵以點(diǎn)A，E，F(xiàn)，M為頂點(diǎn)的四邊形是以AE為邊的菱形，∴AE∥FM,AE=FM，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為-4,25或-4,-2綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為0,5-27或0,5+27或-4,25【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，菱形的性質(zhì)，二次函數(shù)平移的規(guī)律，坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離，正確掌握二次函數(shù)與圖形問題是解題的關(guān)鍵．【強(qiáng)化訓(xùn)練】1、（2023春·天津·九年級專題練習(xí)）如圖，二次函數(shù)y=ax2+2x+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C0,3，與x軸分別交于點(diǎn)(1)求該二次函數(shù)的解析式及其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)記作點(diǎn)P'，當(dāng)四邊形POP'【答案】(1)y=-x2+2x+3(2)P【分析】（1）把點(diǎn)C0,3，B（2）先畫出圖形，再利用菱形的性質(zhì)可得yP【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)y=ax2+2x+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C0,3，與∴c=39a+6+c=0，解得：所以拋物線的解析式為y=-x∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3（2）解：如圖，四邊形POP∴CO⊥PP∵C0,3∴OK=CK=3∴y∴-解得：x=2±∵點(diǎn)P是直線BC上方的拋物線上任意一點(diǎn)，∴x＞0,即∴P【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，一元二次方程的解法．2、（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過點(diǎn)A-2,0和點(diǎn)B4,0，且與直線l:y=-x-1交于D、E兩點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)E的右側(cè)），點(diǎn)M

(1)求拋物線的解析式．(2)拋物線與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系上一點(diǎn)，若以為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，請求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)y=-(2)點(diǎn)為R3-392,-5+392或R【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)題意，分別求得BC,BM2,CM2，①當(dāng)BC為對角線時，MB=CM，②當(dāng)BC【詳解】（1）解：∵拋物線y=ax2+x+c經(jīng)過點(diǎn)A∴4a-2+c=016a+4+c=0解得：a=-1∴拋物線解析式為：y=-1（2）∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C，∴y=-12x2+x+4，當(dāng)x=0∵B4,0，∴BC=4BM2=①當(dāng)BC為對角線時，MB=CM，

∴2t解得：t=-1∴M-∵BC,MR的中點(diǎn)重合，∴Rx解得：Rx∴R9②當(dāng)BC為邊時，當(dāng)四邊形BMRC為菱形，BM=BC

∴2t解得：t=3-392∴-t-1=-3-392∴M3-392由CM,BR的中點(diǎn)重合，∴Rx+4=3-解得：Rx=-5-∴R-5-392當(dāng)BC=MC時；如圖所示，即四邊形CMRB是菱形，

點(diǎn)的坐標(biāo)即為四邊形BMRC為菱形時，M的坐標(biāo)，∴點(diǎn)為R3-392,綜上所述，點(diǎn)為R3-392,-5+392或R3+【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，面積問題，菱形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，細(xì)心的計算是解題的關(guān)鍵．3、（2023春·廣東·九年級專題練習(xí)）如圖，拋物線與x軸交于，B3,0兩點(diǎn)，與y軸軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P是y軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)Q是在對稱軸上一動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，Q，使得以點(diǎn)P，Q，C，D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y=-2(2)存在，（1，8－5）或（1，8＋5）或（1，274【分析】（1），將兩個點(diǎn)的坐標(biāo)代入關(guān)系式y(tǒng)=ax2+bx+6，求出a（2），先將關(guān)系式配方得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再分兩種情況討論：當(dāng)CD為菱形的邊時，作CE⊥DQ，再求出CD，即可求出點(diǎn)Q點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)CD為菱形的對角線時，作CE⊥DQ3，可知CE，DE，再設(shè)EQ3=m，表示DQ3＝CQ3＝2－m，在Rt△CEQ中，根據(jù)勾股定理求出m的值，可得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【詳解】（1）∵拋物線y=ax2+bx+6經(jīng)過點(diǎn)A（－1，0），B（3，0解得a=-2b=4∴拋物線的解析式是；（2）存在．∵y=-2x∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，8）．分兩種情況討論：當(dāng)CD為菱形的邊時，如圖所示②：過C作CE⊥DQ于E．∵C（0，6），D（1，8），∴CD＝，∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，8－5）或（1，8＋5）；當(dāng)CD為菱形的對角線時，如圖所示③：過點(diǎn)C作CE⊥DQ3于E．由題意可知，CE＝1，DE＝8－6＝2，設(shè)EQ3＝m，則DQ3＝CQ3＝2－m，在Rt△CEQ中，由勾股定理得，12＋m2＝（2－m）2，解得m＝34，∴Q3點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6＋34＝27∴此時Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，274綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，8－5）或（1，8＋5）或（1，274【點(diǎn)睛】這是一道關(guān)于二次函數(shù)的綜合問題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)關(guān)系式，全等三角形的性質(zhì)和判定，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理等．【題型六矩形存在性問題】【方法指導(dǎo)】【知識點(diǎn)6解決菱形存在性問題的方法】二次函數(shù)綜合題中的矩形存在性問題一般涉及兩動頂點(diǎn)、兩定頂點(diǎn),且其中一動頂點(diǎn)在某條線上運(yùn)動,設(shè)為第一動頂點(diǎn),另一動頂點(diǎn)隨第一動頂點(diǎn)的變化而變化,設(shè)為第二動頂點(diǎn)，即只要確定第一動頂點(diǎn)的位置,就可確定第二動頂點(diǎn)的位置.解決此類問題時,可利用轉(zhuǎn)化思想,將矩形存在性問題轉(zhuǎn)化為直角三角形存在性問題,利用垂直求“k”值、定點(diǎn)定長法、“一線三直角”模型法、勾股定理法求出第一動頂點(diǎn)的坐標(biāo),繼而利用平移變換或線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出第二動頂點(diǎn)的坐標(biāo).【典型例題】【例16】（2023·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c交x軸于點(diǎn)A和C（1，0），交y軸于點(diǎn)B（0，3），拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)(1)求拋物線的解析式；(2)M為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使得以A，B，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，請直接寫出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y＝﹣(2)存在，-1-52，-1+52【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求出解析式；（2）先設(shè)出點(diǎn)N的坐標(biāo)，根據(jù)矩形的性質(zhì)列出關(guān)于N點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，即可求出N點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）把C(1,0)，B(0,3)代入y=-x得：-1+b+c=0c=3∴b=-2，c=3，∴y=-x（2）存在，，B(0,3)，設(shè)N(n,-n則AB2=18，A∵以點(diǎn)A，B，M，N為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是矩形，∴ΔABN是直角三角形，若AB是斜邊，則AB即18=(n解得：n1=-1-∴N的橫坐標(biāo)為-1-52或若AN是斜邊，則AN即(n解得n=0（與點(diǎn)B重合，舍去）或n=-1，∴N的橫坐標(biāo)是，若BN是斜邊，則BN即n2解得n=-3（與點(diǎn)A重合，舍去）或n=2，∴N的橫坐標(biāo)為2，綜上N的橫坐標(biāo)為-1-52，-1+52，【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，求解析式常用的是待定系數(shù)法，一般都是第一問，也是后面內(nèi)容的基礎(chǔ)，必須掌握且不能出錯，否則后面的兩問沒法做，對于相似三角形，要牢記它的判定與性質(zhì)，考試中一般都是先判定，再用性質(zhì)．【例17】（2023春·山東日照·九年級統(tǒng)考期中）如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為3,0，點(diǎn)C的坐標(biāo)為0,3，直線1經(jīng)過B（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是在直線l上方的拋物線上一動點(diǎn)，點(diǎn)M是坐標(biāo)平面內(nèi)一動點(diǎn)，是否存在動點(diǎn)P，M，使得以C，B，P，M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形？若存在，請直線寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）94，E32,【分析】（1）將點(diǎn)B3,0，點(diǎn)C0,3代入（2）設(shè)Pn,-n2+2n+3，①當(dāng)CP⊥CB時，n=-n2+2n，可求P點(diǎn)橫坐標(biāo)；②【詳解】解：（1）將點(diǎn)B3,0，點(diǎn)C0,3代入則有-9+3b+c=0c=3∴b=2∴y=-x（2）設(shè)Pn,-①當(dāng)CP⊥CB時，∵∠CBO=45°，∴∠PCD=45°，∴n=-n∴n=1，∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)為1；②當(dāng)CP⊥CB時，nn-2∴n-2∴n=1+52∴P點(diǎn)橫坐標(biāo)為1+5綜上所述：P點(diǎn)橫坐標(biāo)為1+52或【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)；熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【例18】（2023·湖南婁底·統(tǒng)考三模）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,4)，且與x軸交于點(diǎn)B(-1,0)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點(diǎn)P(m,0)旋轉(zhuǎn)180°，此時點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C、D．連結(jié)AB、BC、CD、【答案】(1)y=-(x-1)2+4(2)m=4，【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為，再把B(-1,0)代入即可得出答案；（2）過點(diǎn)A(1,4)作AE⊥x軸于點(diǎn)E，