多元函數(shù)的微分學(xué)

多元函數(shù)的微分學(xué)匯報人：AA2024-01-25contents目錄多元函數(shù)的基本概念與性質(zhì)偏導(dǎo)數(shù)與全微分多元復(fù)合函數(shù)的微分法多元函數(shù)的極值與最值方向?qū)?shù)與梯度多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用01多元函數(shù)的基本概念與性質(zhì)VS設(shè)$D$為一個非空的$n$元有序數(shù)組的集合，$f$為某一確定的對應(yīng)規(guī)則。若對于每一個有序數(shù)組$(x_1,x_2,ldots,x_n)inD$，通過對應(yīng)規(guī)則$f$，都有唯一確定的實數(shù)$y$與之對應(yīng)，則稱對應(yīng)規(guī)則$f$為定義在$D$上的$n$元函數(shù)。多元函數(shù)的表示方法多元函數(shù)可以用解析式、表格或圖像等方式表示。其中，解析式表示法是最常用的一種，通過給出函數(shù)的具體表達式來描述函數(shù)的性質(zhì)。多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義與表示方法設(shè)函數(shù)$f(x_1,x_2,ldots,x_n)$在點$P_0(x_1^0,x_2^0,ldots,x_n^0)$的某一鄰域內(nèi)有定義。如果$lim_{(x_1,x_2,ldots,x_n)to(x_1^0,x_2^0,ldots,x_n^0)}f(x_1,x_2,ldots,x_n)=f(x_1^0,x_2^0,ldots,x_n^0)$，則稱函數(shù)$f(x_1,x_2,ldots,x_n)$在點$P_0$處連續(xù)。多元函數(shù)連續(xù)性的定義多元函數(shù)的連續(xù)性具有一些重要性質(zhì)，如局部有界性、局部保號性、四則運算性質(zhì)等。這些性質(zhì)在多元函數(shù)的微分學(xué)研究中具有重要意義。多元函數(shù)連續(xù)性的性質(zhì)多元函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$的某個鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)在$(x_0,y_0)$處的全增量$Deltaz=f(x_0+Deltax,y_0+Deltay)-f(x_0,y_0)$可以表示為$Deltaz=ADeltax+BDeltay+o(rho)$，其中$A,B$不依賴于$Deltax,Deltay$而僅與$x_0,y_0$有關(guān)，$rho=sqrt{(Deltax)^2+(Deltay)^2}$，則稱函數(shù)$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處可微。多元函數(shù)的可微性具有一些重要性質(zhì)，如可微必連續(xù)、連續(xù)不一定可微、可微函數(shù)的和差積仍可微等。這些性質(zhì)在多元函數(shù)的微分學(xué)研究中具有重要意義，為后續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)、全微分等概念的研究奠定了基礎(chǔ)。多元函數(shù)可微性的定義多元函數(shù)可微性的性質(zhì)多元函數(shù)的可微性02偏導(dǎo)數(shù)與全微分03偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)圖像在指定點處沿某一坐標(biāo)軸方向的切線斜率。01偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)是指多元函數(shù)在某一點處，對其中一個自變量求導(dǎo)而將其余自變量視為常數(shù)的導(dǎo)數(shù)。02偏導(dǎo)數(shù)的計算計算偏導(dǎo)數(shù)時，將其他自變量視為常數(shù)，對指定自變量應(yīng)用一元函數(shù)的求導(dǎo)法則。偏導(dǎo)數(shù)的定義與計算高階偏導(dǎo)數(shù)的定義高階偏導(dǎo)數(shù)是指對多元函數(shù)中的某個自變量多次求偏導(dǎo)數(shù)得到的導(dǎo)數(shù)。高階偏導(dǎo)數(shù)的計算計算高階偏導(dǎo)數(shù)時，需要按照求導(dǎo)順序依次對各個自變量求偏導(dǎo)數(shù)。高階偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義高階偏導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)圖像在指定點處沿某一坐標(biāo)軸方向的高階切線性質(zhì)。高階偏導(dǎo)數(shù)030201全微分的定義全微分是指多元函數(shù)在某一點處的全增量可以表示為各個自變量增量的線性組合，且線性組合的系數(shù)就是函數(shù)在該點的偏導(dǎo)數(shù)。全微分的計算計算全微分時，需要將多元函數(shù)在各點的偏導(dǎo)數(shù)求出，然后根據(jù)全微分的定義進行計算。全微分的幾何意義全微分表示函數(shù)圖像在指定點處的全增量與各個自變量增量之間的關(guān)系，可以用來近似計算函數(shù)在某一點附近的值。全微分的定義與計算03多元復(fù)合函數(shù)的微分法鏈?zhǔn)椒▌t對于形如$z=f(u,v),u=g(x,y),v=h(x,y)$的復(fù)合函數(shù)，其求導(dǎo)法則為$frac{partialz}{partialx}=frac{partialz}{partialu}frac{partialu}{partialx}+frac{partialz}{partialv}frac{partialv}{partialx}$，$frac{partialz}{partialy}=frac{partialz}{partialu}frac{partialu}{partialy}+frac{partialz}{partialv}frac{partialv}{partialy}$。高階導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可通過連續(xù)應(yīng)用鏈?zhǔn)椒▌t求得。復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則隱函數(shù)的求導(dǎo)法則直接法將隱函數(shù)中的$y$表示為$x$的函數(shù)，然后直接對$x$求導(dǎo)。公式法對于形如$F(x,y)=0$的隱函數(shù)，其求導(dǎo)公式為$frac{dy}{dx}=-frac{F_x}{F_y}$，其中$F_x$和$F_y$分別表示$F$對$x$和$y$的偏導(dǎo)數(shù)。參數(shù)方程的一階導(dǎo)數(shù)對于形如$x=varphi(t),y=psi(t)$的參數(shù)方程，其一階導(dǎo)數(shù)為$frac{dy}{dx}=frac{psi'(t)}{varphi'(t)}$。參數(shù)方程的高階導(dǎo)數(shù)參數(shù)方程的高階導(dǎo)數(shù)可通過連續(xù)應(yīng)用一階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則求得。參數(shù)方程的求導(dǎo)法則04多元函數(shù)的極值與最值通過求解多元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，并令其等于零，得到可能的極值點。然后利用二階偏導(dǎo)數(shù)判斷極值點的性質(zhì)（極大值、極小值或鞍點）。構(gòu)造多元函數(shù)的Hesse矩陣，通過判斷Hesse矩陣的正定性、負定性或不定性來確定極值點的性質(zhì)。無條件極值的求法Hesse矩陣法一階偏導(dǎo)數(shù)法條件極值的求法通過引入拉格朗日乘數(shù)，將條件極值問題轉(zhuǎn)化為無條件極值問題，然后利用無條件極值的求法求解。拉格朗日乘數(shù)法采用約束優(yōu)化方法（如梯度投影法、罰函數(shù)法等）將條件極值問題轉(zhuǎn)化為一系列無約束優(yōu)化問題，通過求解這些無約束優(yōu)化問題得到條件極值。約束優(yōu)化方法對于定義在閉區(qū)域上的多元函數(shù)，其最大值和最小值一定存在?？梢酝ㄟ^比較區(qū)域內(nèi)各點的函數(shù)值和邊界上的函數(shù)值來確定最值。閉區(qū)域上的最值對于定義在開區(qū)域上的多元函數(shù)，其最大值和最小值可能不存在。但可以通過求解區(qū)域內(nèi)的駐點和邊界點，并結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)來判斷是否存在最值。開區(qū)域上的最值多元函數(shù)的最值問題在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，如經(jīng)濟學(xué)中的成本最小化、收益最大化問題，工程學(xué)中的最優(yōu)設(shè)計問題等。實際問題的應(yīng)用多元函數(shù)的最值問題05方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)的定義與性質(zhì)定義：設(shè)函數(shù)$z=f(x,y)$在點$P_0(x_0,y_0)$的某一鄰域$U(P_0)$內(nèi)有定義。自點$P_0$引射線$l$，設(shè)$x$軸正向到射線$l$的轉(zhuǎn)角為$\alpha$，并設(shè)$P(x_0+\Deltax,y_0+\Deltay)$為$l$上的另一點且$P\inU(P_0)$。若極限$\lim{\rho\to0}\frac{\Deltaz}{\rho}=\lim{\rho\to0}\frac{f(x_0+\Deltax,y_0+\Deltay)-f(x_0,y_0)}{\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2}}$存在，則稱此極限為函數(shù)$f(x,y)$在點$P0$沿方向$l$的方向?qū)?shù)，記作$\frac{\partialf}{\partiall}|{(x_0,y_0)}$。性質(zhì)：方向?qū)?shù)具有方向性，即方向?qū)?shù)不僅與點的位置有關(guān)，還與方向有關(guān)。此外，方向?qū)?shù)反映了函數(shù)在該點沿指定方向的變化率。輸入標(biāo)題02010403梯度的定義與性質(zhì)定義：設(shè)函數(shù)$z=f(x,y)$在平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點$P_0(x_0,y_0)inD$，都可以定出一個向量性質(zhì)：梯度的方向是函數(shù)在該點處方向?qū)?shù)取得最大值的方向，梯度的模等于方向?qū)?shù)的最大值。此外，梯度是一個向量，具有大小和方向。這向量稱為函數(shù)$f(x,y)$在點$P_0(x_0,y_0)$的梯度，記作$text{grad}f(x_0,y_0)$或$nablaf(x_0,y_0)$。$frac{partialf}{partialx}mathbf{i}+frac{partialf}{partialy}mathbf{j}$方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系可以通過公式表達：$frac{partialf}{partiall}=text{grad}fcdotmathbf{e}_l=|text{grad}f|costheta$，其中$mathbf{e}_l=(cosalpha,sinalpha)$是方向$l$的單位向量，$theta$是梯度向量與方向向量之間的夾角。當(dāng)$theta=0$時，即方向向量與梯度向量同向時，方向?qū)?shù)取得最大值，此時方向?qū)?shù)等于梯度的模；當(dāng)$theta=pi$時，即方向向量與梯度向量反向時，方向?qū)?shù)取得最小值，此時方向?qū)?shù)等于梯度的模的相反數(shù)；當(dāng)$theta=frac{pi}{2}$時，即方向向量與梯度向量垂直時，方向?qū)?shù)為零。方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系06多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用通過求解多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，可以得到空間曲線在某一點的切線方程。切線方程利用切線的方向向量，可以進一步求得法平面的方程。法平面方程切線和法平面是描述空間曲線局部性質(zhì)的重要工具，它們在空間解析幾何和多元函數(shù)微分學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。幾何意義空間曲線的切線與法平面切平面方程對于曲面上的某一點，其切平面方程可以通過求解該點的偏導(dǎo)數(shù)得到。法線方程切平面的法線即為曲面在該點的法線，其方程可以通過切平面的方程求得。幾何意義切平面和法線是描述曲面局部性質(zhì)的重要工具，它們在空間解析幾何和多元函數(shù)微分學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。曲面的切平面與法線邊際分析01在經(jīng)濟學(xué)中，邊際分析是一種重要的分析方法，它涉及到多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)計算。通過邊際分析，可以研究經(jīng)