人教版高三數(shù)學(xué)第二學(xué)期多選題單元 期末復(fù)習(xí)提高題檢測(cè)試卷

一、函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)多選題

1.已知函數(shù)〃》）=濟(jì)明+/叫以下結(jié)論正確的是（）

A./（X）是偶函數(shù)B./（X）最小值為2

C./（X）在區(qū)間，肛一^）上單調(diào)遞減D.g（X）=〃X）-gx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5

【答案】ABD

【分析】

去掉絕對(duì)值，由函數(shù)的奇偶性及周期性，對(duì)函數(shù)分段研究，利用導(dǎo)數(shù)再得到函數(shù)的單調(diào)

性，再對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【詳解】

XGR./（一x）=/（x）,.??/（X）是偶函數(shù)，A正確；

因?yàn)?（x+2?）=〃x）,由函數(shù)的奇偶性與周期性，只須研究“X）在［0,2句上圖像變

2esin\0<x<^-

jrjr

當(dāng)/'（x）=2cos疝血、，則/（x）在xe0,y上單調(diào)遞增，在-,71上單調(diào)

遞減,此時(shí)“力72,冽;

當(dāng)）W2乃時(shí),，f'（x）=cosx（esinx-e-sinr,貝ij/（x）在xe辦春上單調(diào)遞增，在

37r1

—,2^-上單調(diào)遞減，此時(shí)2,e+-，故當(dāng)0Vx<24時(shí)，/（x）min=2,

B正確.

因/（X）在龍6仁,乃）上單調(diào)遞減，又/（X）是偶函數(shù)，故/（X）在［-%,-3上單調(diào)遞

增，故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D,轉(zhuǎn)化為/（x）=|；x根的個(gè)數(shù)問(wèn)題.因/（X）在（0卷］上單調(diào)遞增，在眨,兀）上單

調(diào)遞減，在卜，用上單調(diào)遞增，在仁，2萬(wàn)）上單調(diào)遞減.當(dāng)xeS，%）時(shí)，f（x）>2,

2222

—x<2,/（冗）=一%無(wú)實(shí)根..￡（34,H~oo）時(shí),—x>6>2e=f（-^）nnx,/（x）=—x

兀7171兀

37r

無(wú)實(shí)根，XG71,—,顯然》=乃為方程之根./（X）=eL+ermx,

/'(x)=cosx(**_eTig)>0,=3,單獨(dú)就這段圖象,

/'(萬(wàn))=/［彳)=0，/(x)在萬(wàn)，爹上變化趨勢(shì)為先快扣慢，故g(x)在卜，彳)內(nèi)

有1個(gè)零點(diǎn)，由圖像知g(x)在甘,3萬(wàn)內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，又/萬(wàn)=2e>5,結(jié)合圖

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：研究函數(shù)性質(zhì)往往從以下方面入手：

(1)分析單調(diào)性、奇偶性、周期性以及對(duì)稱(chēng)性；

(2)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)容易畫(huà)出圖象的函數(shù)，將兩個(gè)函數(shù)的圖

象畫(huà)在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

?llnxl,x>0__

2.已知函數(shù)/(x)=?1,若函數(shù)y=/(/(x))+。有6個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a

x+l,x<0

的可能取值是()

11

A.0B.C.—1D.

23

【答案】BD

【分析】

分別代入各個(gè)選項(xiàng)中a的值，選解出/(/(幻)+。=。中的f(x)，然后再根據(jù)數(shù)形結(jié)合可

得出答案.

【詳解】

畫(huà)出函數(shù)=1的圖象：

x+l,x?0

函數(shù)y=/(/(x))+a有零點(diǎn)，即方程/(/(x))+a=0有根的問(wèn)題.

對(duì)于A：當(dāng)a=0時(shí)，/(/(x))=0,

故/(x)=-l，/(x)=l，故x=0,x=-2,x=~,x=e,

e

故方程/(/(x))+a=0有4個(gè)不等實(shí)根；

對(duì)于8：當(dāng)"=一J時(shí)，/(/(x))=；,

故/(幻=-3，/(x)=4e,/(，)=%，

當(dāng)/3)=—；時(shí)，由圖象可知，有1個(gè)根，

當(dāng)/(x)="時(shí)，由圖象可知，有2個(gè)根，

當(dāng)時(shí)，由圖象可知，有3個(gè)根，

故方程/(/*))+，=0有6個(gè)不等實(shí)根；

對(duì)于C：當(dāng)。=-1時(shí)，/(/?)=1,

故/(x)=0,/(x)=e,f(x)=-,

e

當(dāng)/(x)=0時(shí)，由圖象可知，有.2個(gè)根，

當(dāng)/(x)=e時(shí)，由圖象可知，有2個(gè)根，

當(dāng)/(x)=1時(shí)，由圖象可知，有3個(gè)根，

e

故方程/(/(1))+。=0有7個(gè)不等實(shí)根；

對(duì)于D：當(dāng)〃=—；時(shí)，/(/(x))=；,

21

故f(x)=_§,/(X)=y/e,，(*)=京,

2

當(dāng)/")=-§時(shí)，由圖象可知，有1個(gè)根，

當(dāng)/(x)=私時(shí)，由圖象可知，有2個(gè)根，

當(dāng)/(x)=五時(shí)，由圖象可知，有3個(gè)根，

故方程/(/"))+。=0有6個(gè)不等實(shí)根；

故選：BD.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵一是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，二是先解出外幻的值，三是根據(jù)數(shù)形

結(jié)合得到每一個(gè)新的方程的根.

3.若定義在R上的函數(shù)〃幻滿足/(-x)+/(x)=0,當(dāng)x<o時(shí)，

3

f(x)=x2+2ax+-a(a^R),則下列說(shuō)法正確的是()

2

A.若方程/(x)=+■有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則。<0或4<。<8

B.若方程/(x)=ox+|有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則4<。<8

C.若方程/(尤)=辦+1有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則。>8

D.若方程/(x)=ar+￡有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，貝ija>4

【答案】AC

【分析】

由題知fix)是R上的奇函數(shù)，則由X<0時(shí)的解析式可求出/(X)在R上的解析式.先討論

特殊情況x=0為方程的根，則可求出a=0,此時(shí)方程化為/(x)=o,而函數(shù)/(X)為/?

上的減函數(shù)，則方程僅有一個(gè)根.當(dāng)XHO時(shí)，由分段函數(shù)分類(lèi)討論得出x<0時(shí)，

14

<z=-a+l)+—~-+2,x>0時(shí)，a=x-2+——+4.利用數(shù)形結(jié)合思想，畫(huà)出圖

一(*+1)x-2

象，則可得知方程/(幻=以+三不同的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)分別為2個(gè)和4時(shí)，參數(shù)。的取值范

圍.

【詳解】

因?yàn)?(-X)+/(%)=。所以f(-x)=-/(x),

所以f(x)是R上的奇函數(shù)，/(0)=0,

,3

當(dāng)x>0時(shí)，—X<0,/(—x)=x—2cix+—6?,

、3

所以/(x)=-f(-x)=-x+2ax~~a>

x2+2〃x+；a,尢<0

綜上/(x)=<0,x=0,

、3

-x~+2ax--x>0

若x=0是方程/(x)=or+￡的一個(gè)根，

則々=0,此時(shí)/(x)=ax+￡,即/(x)=0,

x2,x<0

而/*)={o,x=O，在R上單調(diào)遞減，

-x2,x>0

當(dāng)。=0時(shí)，原方程有一個(gè)實(shí)根.

當(dāng)x<0時(shí)，f+2以+—3。二以+c色i,

22

所以f+G；+a=o，當(dāng)％=-1時(shí)不滿足，

所以a=_￡=_(%+1)+—!—+2,

X+1—(X+1)

)3a

當(dāng)x>0時(shí)，一r+2ax—ci—cixH—,

22

所以f—依+2〃=0,當(dāng)x=2時(shí)不滿足,

V24

所以。=/^二%一2+二一+4,如圖：

則avO或4va<8；

若方程/(x)=內(nèi)+1有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則a>8.

故選：AC

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是將方程/(的=雙+］進(jìn)行參數(shù)分離，再借助數(shù)形結(jié)合法，求

出對(duì)應(yīng)的參數(shù)的取值范圍.

4.己知5"=3，8〃=5，則()

11

<--

A.bc.a+-<b+-D.a+ab<b+b"

4ab

【分析】

根據(jù)條件求得a,b表達(dá)式，根據(jù)對(duì)數(shù)性質(zhì)結(jié)合放縮法得A正確，根據(jù)不等式性質(zhì)得B正

確，通過(guò)作差法判斷C錯(cuò)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性與放縮法可得D正確.

【詳解】

解：；5"=3，8〃=5，

a=log5,b=log；,

1

因?yàn)?4<5303<5；=log53<log55=-,

又由54>83=5>8：nloggSAloggl,所以選項(xiàng)A正確；

。v。=log<1,0<b=logg<1,則一>1,—>1,所以—I—>2,選項(xiàng)B正確；

abab

因?yàn)镺vacbvl,則/?一。>0,—>1,此時(shí)

ab

+—?=(a-/7)+---=(b-d)\———1|>0,

a\b)abyahJ

所以aH—>bf—,故選項(xiàng)C不正確；

ab

133

由萬(wàn)<a<"和工<b<l知"x)="^g(x)="’均遞減，

再由a,h的大小關(guān)系知/<4</<"=>a+/<)+》"，故選項(xiàng)D正確.

故選：ABD

【點(diǎn)睛】

本題考查了數(shù)值大小比較，關(guān)鍵運(yùn)用了指對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，作差法和放縮法.

5.對(duì)于定義在R上的函數(shù)“X),若存在正實(shí)數(shù)。，匕，使得++8對(duì)一

切xGR均成立，則稱(chēng)/(X)是“控制增長(zhǎng)函數(shù)”.在以下四個(gè)函數(shù)中是“控制增長(zhǎng)函數(shù)"的有

()

v

A./(x)=eB./(-x)=C./(x)=sin(x2)Df^x)=x-smx

【答案】BCD

【分析】

假設(shè)各函數(shù)是“控制增長(zhǎng)函數(shù)"，根據(jù)定義推斷/(x+a)〈/(x)+。對(duì)一切xwR恒成立的

條件，并判斷〃的存在性，即可得出結(jié)論.

【詳解】

對(duì)于A./a+。)</(%)+人可化為

(x+a)~+(x+a)+l<x'+x+l+Z?,2ax<—a2—a+h

?.?a>0,不等式在xwR上不恒成立，

所以/(幻=/+》+1不是“控制增長(zhǎng)函數(shù)，，；

對(duì)于B/(x+a)M/(x)+b可化為,

yj\x+a\<歷+b,即|x+a兇x|+〃+力向恒成立.

又|x+a|gx|+a,故只需保證|巾+。0%|+>2+2久/臼恒成立即可.

\-b>0,.,.y/\x\>,當(dāng)。一2。2<0時(shí)，

不等式J|x+a|<Tlxj+力恒成立，

/(%)=歷是“控制增長(zhǎng)函數(shù)"：

對(duì)于C.：-1Wf(x)=sin(x2)<1,f(x+a)—/(x)<2,

.??。22時(shí)，。為任意正數(shù)，+恒成立，

/(x)=sin(x2)是"控制增長(zhǎng)函數(shù)"；

對(duì)于D./(x+a)〈/(x)+?；癁?，

(x+a)sin(x+a)<xsinx+Z?,令a=2〃，

貝!|(x+2^-)sinx<xsinx+b,2zrsinx<Z?,

當(dāng)人22萬(wàn)時(shí)，不等式0+4)5由0+。)<》5抽》+人恒成立，

二/(x)=x-sinx是“控制增長(zhǎng)函數(shù)”.

故選：BCD

【點(diǎn)睛】

本題考查了新定義的理解，函數(shù)存在成立和恒成立問(wèn)題的研究.我們可先假設(shè)結(jié)論成立，再

不斷尋求結(jié)論成立的充分條件，找得到就是"控制增長(zhǎng)函數(shù)”.如果找出了反例，就不是"控制

增長(zhǎng)函數(shù)”.

6.已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)xe(—8,O)時(shí)，f(x)=-x2+2x,下列說(shuō)法正

確的是()

A.xw(0,+。。)時(shí)，函數(shù)解析式為/(x)=1—2x

B.函數(shù)在定義域R上為增函數(shù)

C.不等式/(3x-2)<3的解集為(F,l)

D.不等式/(?-V+x—l〉。恒成立

【答案】BC

【分析】

對(duì)于A,利用奇函數(shù)定義求xe((),+8)時(shí)，函數(shù)解析式為/(尤)=/+2%；對(duì)于B,研究

當(dāng)xe(9,O)時(shí)，的單調(diào)性，結(jié)合奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，知/(X)在/?上的單調(diào)

性；對(duì)于C,求出/(1)=3,不等式/(3x—2)<3,轉(zhuǎn)化為.f(3x—2)</(1),利用單調(diào)

性解不等式；對(duì)于D,分類(lèi)討論xe(O,+8)與xe(-0,0)兩種情況是否恒成立.

【詳解】

對(duì)于A,設(shè)xe(0,+oo),-xe(-oo,0),JjiiJ/(-x)=-x2-2x,

又/(x)是奇函數(shù)，所以/(X)=-/(—X)=X2+2X,

即xe(0,+8)時(shí)，函數(shù)解析式為/(幻=/+2》，故A錯(cuò)；

對(duì)于B,f(x)=-x2+2x,對(duì)稱(chēng)軸為x=l,所以當(dāng)xe(-8,0)時(shí)，/(*)單調(diào)遞增，由

奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以/(X)在E上為增函數(shù)，故B對(duì)；

對(duì)于C,由奇函數(shù)在R上為增函數(shù)，則xe((),+oo)時(shí)，f(x)=x2+2x=3,解得占=1,

%2=-3(舍去)，即/⑴=3,

所以不等式/(3%-2)<3,轉(zhuǎn)化為了(3x—2)</(I),

又/(x)在R上為增函數(shù)，得3%—2<1,解得x<l,

所以不等式的解集為(-8,1),故C對(duì)；

對(duì)于D,當(dāng)XG(rO,0)時(shí)，/(%)=-X2+2X

f(x)-+x-1=—x~+2x—x~+x—1=-2%"+3x—1=(一2x+l)(x—1)<0,

當(dāng)xe(0,+oo)時(shí)，，f(%)=x2+2x

f(x)—x~+x—l-x^+2,x—x2+x—1—3x—1不恒大于0,故D錯(cuò)；

故選：BC

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：考查了解抽象不等式，要設(shè)法把隱性劃歸為顯性的不等式求解，方法是：

(1)把不等式轉(zhuǎn)化為f[g(x)]>f[h(x)]的模型；

(2)判斷函數(shù)/(力的單調(diào)性，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將不等式的函數(shù)符號(hào)脫掉，得到

具體的不等式(組)來(lái)求解，但要注意奇偶函數(shù)的區(qū)別.

考查了利用奇偶性求函數(shù)解析式，求函數(shù)解析式常用的方法：

(1)己知函數(shù)類(lèi)型，用待定系數(shù)法求解析式；

(2)己知函數(shù)奇偶性，用奇偶性定義求解析式；

(3)已知/(x)求/Tg(x)],或已知/[g(x)]求f(x),用代入法、換元法或配湊法;

(4)若/(x)與/(,)或/(-x)滿足某個(gè)等式，可構(gòu)造另一個(gè)等式，通過(guò)解方程組求解;

X

—X—2xx<0

7.已知函數(shù)/(X)={',以下結(jié)論正確的是()

"(X-2)/20

A.函數(shù)八幻在區(qū)間［2,4］上是減函數(shù)

B./(2020)+/(2021)=1

C.若方程/(幻一儂-1=0(〃"/?)恰有5個(gè)不相等的實(shí)根，則加€卜；,一3］

8

D.若函數(shù)丁=/0)-左在區(qū)間(-8,6)上有8個(gè)零點(diǎn)七。(8,注？/'),則￡玉=16

/=1

【答案】BCD

【分析】

對(duì)于A,畫(huà)出函數(shù)的圖象即可判斷；對(duì)于B,由函數(shù)的周期性可計(jì)算求解；對(duì)于C,方程

/(x)—mx—l=0(，"eR)恰有5個(gè)不相等的實(shí)根等價(jià)于y=/(%)與直線y=如+1有5

個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出圖形即可判斷求解；對(duì)于D,函數(shù)y=/(x)-左在區(qū)間(一泡6)上有8個(gè)零

點(diǎn)，則〉=/(%)與丁=左有8個(gè)交點(diǎn)，由對(duì)稱(chēng)性可求解.

【詳解】

由題可知當(dāng)X20時(shí)，“X)是以2為周期的函數(shù)，則可畫(huà)出“X)的函數(shù)圖象，

對(duì)于A,根據(jù)函數(shù)圖象可得，/(X)在(2,3)單調(diào)遞增，在(3,4)單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,〃2O2O)=/(O)=/(—2)=0,/(2021)=/(1)=/(-1)=1,則

/(2020)+/(2021)=1,故B正確；

對(duì)于C,方程/(X)-如—l=0(〃zeR)恰有5個(gè)不相等的實(shí)根等價(jià)于y=/(x)與直線

y=Mx+l有5個(gè)交點(diǎn)，如圖，直線y=3+1過(guò)定點(diǎn)A(0』)，觀察圖形可知

k<m<k,其中3（4,0）,。（6,0）,則須8=-1，須0=一，，故加€

AKAC故

46

C正確；

對(duì)于D,若函數(shù)y=/（x）一女在區(qū)間（一8,6）上有8個(gè)零點(diǎn)，則丁=/（力與丁=%有8個(gè)

8

交點(diǎn)，如圖，可知這八個(gè)零點(diǎn)關(guān)于x=2對(duì)稱(chēng)，則工玉=4x4=16,故D正確.

1=1

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)與方程的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是判斷出函數(shù)的周期性，畫(huà)出函

數(shù)的圖象，即可將方程的解的個(gè)數(shù)問(wèn)題、函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，利

用數(shù)形結(jié)合的思想可快捷解決問(wèn)題.

8.設(shè)s,t>0,若滿足關(guān)于x的方程后二｝+和匚｝=$恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解

%<々<七=5,則下列選項(xiàng)中，一定正確的是（）

64

A.%+毛+毛>0B.s-t=—

25

t4144

C.—=—D.s+t=-----

s525

【答案】CD

【分析】

設(shè)/(*)=新習(xí)+』由，得出函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，從而有玉+乙+無(wú)3=0,因此方程

"X)=s必有一解為0,代入得24=s，分04X"和%>r兩種情況得出函數(shù)“X)的單

調(diào)性和最值，從而求得S，/，可得選項(xiàng).

【詳解】

設(shè)J(x)=#_4+#+4'則函數(shù)"X)為偶函數(shù)，所以玉+%2+%3=0，

所以f(x)=s，其中必有一解為0，貝1」/(0)=加+gi=s：.14t=s,

①當(dāng)OMxMf時(shí)，f(x)=y/7^x+4i+x<2.-y=2?,當(dāng)且僅當(dāng)％=o時(shí)取等號(hào);

②當(dāng)X>E時(shí)，/(x)=Jf-x+Jf+x在(r,+oo)上遞增,

,,,f(x)=s=2\[t,

\fx~~t+Jx+>—2?\/F—x—t+2J-1)(%+/)+x+f=41—A-x—5/——x=,

又,"(x)在上遞增，,七=京，即七=s=%=2j7=f=￡,s="|f=與

r6454144

/.-=—X-=—,s+t=.

52516525

故選：CD.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)與方程的綜合知識(shí)，關(guān)鍵構(gòu)造合適的函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，最

值，屬于較難題.

2x-l\,x<l,,

9.已知/(x)=<,則關(guān)于龍的方程"(x)f-/(x)+2k-l=0,下列正

Inx,x>1,

確的是()

A.存在實(shí)數(shù)后，使得方程恰有1個(gè)不同的實(shí)數(shù)解;

B.存在實(shí)數(shù)Z，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解;

C.存在實(shí)數(shù)后，使得方程恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解;

D.存在實(shí)數(shù)攵,使得方程恰有6個(gè)不同的實(shí)數(shù)解;

【答案】ACD

【分析】

令〃力=拒0,根據(jù)判別式確定方程/T+2左一1=0根的個(gè)數(shù)，作出了(X)的大致圖

象，根據(jù)根的取值，數(shù)形結(jié)合即可求解.

【詳解】

令/（力=后0,則關(guān)于X的方程［/（x）］2-/（X）+2左—1=0,

可得產(chǎn)一，+2左一1=0，

當(dāng)k=*時(shí)，A=l—4（2〃—1）=0,此時(shí)方程僅有一個(gè)根.

82

當(dāng)人＜3時(shí)，△=1一4（2左一1）＞0,此時(shí)方程有兩個(gè)根A/，

且。+，2=1，此時(shí)至少有一個(gè)正根；

當(dāng)火＞工時(shí)，A=l-4（2左一1）＜0,此時(shí)方程無(wú)根；

作出外力的大致圖象，如下：

G

-1-

當(dāng)上=：時(shí)，此時(shí).=:，由圖可知/（x）=f,有3個(gè)不同的交點(diǎn)，c正確；

82

當(dāng)女＜￡時(shí)，此時(shí)方程有兩個(gè)根九弓，且乙+弓=1，此時(shí)至少有一個(gè)正根，

O

當(dāng)4G（0,1）、12G（0,1），且f尸芍時(shí)，/（x）=f，有6個(gè)不同的交點(diǎn)，D正確;

當(dāng)方程有兩個(gè)根九七，一個(gè)大于1，另一個(gè)小于0，

此時(shí)〃x）=r,僅有1個(gè)交點(diǎn)，故A正確；

當(dāng)方程有兩個(gè)根4,工2,一個(gè)等于1，另一個(gè)等于0，/（%）=，，有3個(gè)不同的交點(diǎn),

當(dāng)%＞|時(shí)，△=1一4（2左一1）＜0,此時(shí)方程無(wú)根.

故選：ACD

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了根的個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍，解題的關(guān)鍵是利用換元法將方程化

為*+2々一］=(),根據(jù)方程根的分布求解，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，分類(lèi)討論的思想.

io.狄利克雷是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，是最早倡導(dǎo)嚴(yán)格化方法的數(shù)學(xué)家之一，狄利克雷函數(shù)

:(Q是有理數(shù)集)的出現(xiàn)表示數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)的理解開(kāi)始了深刻的變化，

0,x^Q

從研究"算"到研究更抽象的"概念、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)關(guān)于/(x)的性質(zhì)，下列說(shuō)法正確的是

()

A.函數(shù)/(X)是偶函數(shù)

B.函數(shù)〃X)是周期函數(shù)

C.對(duì)任意的玉eR,x,eQ,都有/(為+￡)=/(%)

D.對(duì)任意的x2eQ,都有"％?/)=〃菁)

【答案】ABC

【分析】

利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷A選項(xiàng)的正誤；驗(yàn)證/(x+l)=/(x),可判斷B選項(xiàng)的正

誤；分為eQ、王任。兩種情況討論，結(jié)合函數(shù)/(X)的定義可判斷C選項(xiàng)的正誤；取

々=0,凡任。可判斷D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，任取xeQ,則-xeQ,〃x)=l=/(-x)；

任取x任Q,則一x定Q,/(x)=0=/(-x).

所以，對(duì)任意的xeR,-x)=/(x),即函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，A選項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，任取xeQ,則x+leQ,則〃x+l)=l=〃x)；

任取x任Q,則x+lwQ,則/(x+l)=0=/(x).

所以，對(duì)任意的尤wR,/(x+l)=/(x),即函數(shù)〃x)為周期函數(shù)，B選項(xiàng)正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，對(duì)任意引€。，x,GQ,則玉+々€。，/(百+々)=1=/(3)；

對(duì)任意的西生。，X2eQ,則玉+々仁。，/(石+W)=0=/(xJ.

綜上，對(duì)任意的x,eQ,都有/(石+馬)=/(再)，C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，取々=0,若則/(玉?馬)=/(0)=1。/(石)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABC.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知函數(shù)的定義依次討論各選項(xiàng)，分自變量為無(wú)理

數(shù)和有理數(shù)兩種情況討論，對(duì)于D選項(xiàng)，可取玉史Q(chēng),々=0驗(yàn)證.

二、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用多選題

11.對(duì)于定義城為R的函數(shù)/(x),若滿足：①/(0)=0；②當(dāng)xwR,且x/0時(shí)，都

有M、'(x)>o；③當(dāng)4<。</且1%1<1^I時(shí)，都有/(%)</(*2)，則稱(chēng)f(x)為"偏對(duì)

稱(chēng)函數(shù)".下列函數(shù)是"偏對(duì)稱(chēng)函數(shù)"的是()

A./(X)=—X1+*B.力(x)=e"-x—1

ln(-x+l),x<0

c.力(x)=D.力(x)=xsinx

2x,尤>0

【答案】BC

【分析】

運(yùn)用新定義，分別討論四個(gè)函數(shù)是否滿足三個(gè)條件，結(jié)合奇偶性和單調(diào)性，以及對(duì)稱(chēng)性，

即可得到所求結(jié)論.

【詳解】

解：經(jīng)驗(yàn)證，/(x),力(x),/；(%),A(x)都滿足條件①；

fx〉Ofx<0

x/，(x)>Oo<lra)>o,或i《ru)<o；

當(dāng)玉<0<%2且|X|1<1々|時(shí)，等價(jià)于一工2<玉<0<一%］<工2，

即條件②等價(jià)于函數(shù)/(X)在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(0,+8)上單調(diào)遞增；

A中,/；(x)=-d+x2,=-3x2+2x,則當(dāng)XHO時(shí),由

2

勸'(％)=-3/+2/=%2(2-3%)40,得尤2］，不符合條件②，故工(x)不是"偏對(duì)稱(chēng)

函數(shù)”；

frr

B中,力(x)=e'—x—l,f2(x)=e-l,當(dāng)1>0時(shí),e>1，f2'(x)>0,當(dāng)x<0

時(shí)，0<ex<l，&'(%)<0,則當(dāng)XHO時(shí),都有我'(x)>0,符合條件②,

函數(shù)人(力=6*-工一1在(-8,0)上單調(diào)遞減,在(0,+8)上單調(diào)遞增，

由力(X)的單調(diào)性知，當(dāng)一工2<%<0<一司<%2時(shí)，人(石)<啟一￡)，

人(3)-人(々)<人(一々)-&。2)=—e*+e』+2X2,

令F(x)=-e*+e-*+2x,x〉0,尸'(x)=-e*-+2V-2Je*+2=0,

當(dāng)且僅當(dāng)e'=e-*即尤=0時(shí)，"="成立，

/(X)在［0,+8)上是減函數(shù)，.?.尸(士)〈尸(0)=0,即人(演)<人(々)，符合條件③，

故人(x)是"偏對(duì)稱(chēng)函數(shù)”；

C中，由函數(shù)力(x)=<'7,當(dāng)尤<0時(shí)，力'(x)=——<0,當(dāng)%>0時(shí)，

2x,x>0

力'(x)=2>0,符合條件②，

函數(shù)八(X)在(-0,0)上單調(diào)遞減，在(0,+e)上單調(diào)遞增，

有單調(diào)性知，當(dāng)一々<玉<。<一無(wú)1<工2時(shí)，力(玉)〈人(一馬)，

設(shè)F(x)=ln(x+1)—2x,x>0,則尸(x)=」--2<0,

F(x)在(0,+8)上是減函數(shù)，可得尸(x)<F(O)=0,

?1?f(Xt)-f(x2)<f(-x2)-/(x2)=ln(%2+l)-/(%2)=/⑸<0,

即/(%)</(%)，符合條件③，故力(x)是"偏對(duì)稱(chēng)函數(shù)"：

D中，力(x)=xsinx,則力(一%)=一心出(一力=力(彳)，則〃x)是偶函數(shù)，

而￡'(x)=sinx+xcosx=Jl+Ysin(x+0)(tanQ=x),則根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可

知，當(dāng)x〉0時(shí)，為‘(X)的符號(hào)有正有負(fù)，不符合條件②，故力甕)不是"偏對(duì)稱(chēng)函數(shù)"；

故選：BC.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查在新定義下利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查計(jì)算能力，考查轉(zhuǎn)化與

劃歸思想，屬于難題.

]nY

12.設(shè)函數(shù)/(x)=—1，g(x)=xlnx,下列命題，正確的是()

A.函數(shù)J、(x)在(O,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)單調(diào)遞減

B.不等關(guān)系戶'<乃3<屋<3"成立

C.若0<玉<%時(shí)，總有a(x；-x；)>2g(x2)-2g(xJ恒成立，則aNl

D.若函數(shù)〃(x)=g(x)-初/有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃7G(0,1)

【答案】AC

【分析】

利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷A選項(xiàng)的正誤；由函數(shù)/(X)在區(qū)間(e,+o。)上的單

調(diào)性比較萬(wàn)3、"的大小關(guān)系，可判斷B選項(xiàng)的正誤；分析得出函數(shù)s(x)=2g(x)—62

在(0,+8)上為減函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求出a的取值范圍，可判斷C選項(xiàng)

的正誤；分析出方程2加=上電土在(0,+。)上有兩個(gè)根，數(shù)形結(jié)合求出切的取值范圍，

可判斷D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)/(力=今的定義域?yàn)?0,+。)，則/'(x)=W=

由/'(x)>。，可得0cx<e,由/'(x)>0,可得x>e.

所以，函數(shù)/(X)在(o,e)上單調(diào)遞增，在(e,+9。)單調(diào)遞減，A選項(xiàng)正確;

]nx*

對(duì)于B選項(xiàng)，由于函數(shù)/(x)=—j在區(qū)間(e,M)上單調(diào)遞減，且4>〃>e,

.Xcrln乃In4ln41In2131n2-2八

所以，/(乃)>/(4),即——>—,又-------=-------=--------->0,

''''兀443236

所以，—>^>1,整理可得力3>d，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

萬(wàn)43

對(duì)于C選項(xiàng)，若0</</時(shí)，總有<石一))>2g(x2)-2g(xj恒成立,

可得2g(玉)—or；>2g(w)—>構(gòu)造函數(shù)s(x)=2g(x)—czx?_2xlnx—ar2,

則s(xj>s(w),即函數(shù)s(x)為(0,+e)上的減函數(shù),

51力=2(1+111力-20￥40對(duì)任意的%€(0,+0。)恒成立，

即aN1+lnx對(duì)任意的xw(0,+00)恒成立，

.、1+lnx_.八,、Inx

令f(zx)=——一，其中x>0,t(zx)=——

當(dāng)0<x<l時(shí)，/'(x)>0,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>l時(shí)，f(x)<0,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.

所以，()a=7(1)=1，/.?>1,C選項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，/z(x)=g(x)-mr2=x\nx-nv(r,則〃'(x)=l+lnx-2/nr,

由于函數(shù)M*)有兩個(gè)極值點(diǎn)，令〃'(x)=。，可得力%=l+lnx,

x

則函數(shù)y=2m與函數(shù)，力在區(qū)間(0,+動(dòng)上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，/(x)>0,如下圖所示：

當(dāng)0<2利<1時(shí)，即當(dāng)0<m<g時(shí)，函數(shù)y=2機(jī)與函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+“)上的圖象有

兩個(gè)交點(diǎn).

所以，實(shí)數(shù)加的取值范圍是(0,；),D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的方法：

(1)直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基

本性質(zhì)作出圖象，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)問(wèn)題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，

體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想的應(yīng)用；

(2)構(gòu)造新函數(shù)法：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題；

(3)參變量分離法：由/(x)=0分離變量得出a=g(x),將問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線>

與函數(shù)y=g(x)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題.

13.已知函數(shù)/(x)=sinx+x3-￡ix,則下列結(jié)論正確的是()

A.“X)是奇函數(shù)B.當(dāng)。=一3時(shí)，函數(shù)“X)恰有兩個(gè)零點(diǎn)

C.若為增函數(shù)，則aWlD.當(dāng)a=3時(shí)，函數(shù)/(x)恰有兩個(gè)極值點(diǎn)

【答案】ACD

【分析】

利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/(X)的單調(diào)性，可判斷

B選項(xiàng)的正誤；利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用導(dǎo)數(shù)以及零點(diǎn)存

在定理可判斷D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)/(x)=sinx+x3-tzx的定義域?yàn)镽,

f(-x)=sin(-^)++ax=-sinJ;-x3+ax=-/(x)?函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，A選

項(xiàng)正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)a=—3時(shí)，/'(x)=sinx+%3+3x,則/"(x)=cosx+3x2+3>0,

所以，函數(shù)/(%)在R上為增函數(shù)，又"0)=0,所以，函數(shù)/(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，

B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，(x)=cosx4-3X2-a,

由于函數(shù)為增函數(shù)，則r(x)20對(duì)任意的xeR恒成立，BP?<3X2+COSX.

令g(x)=3x?+cosx,則g'(x)=6x-sinx,則g"(x)=6—cosx>。，

所以，函數(shù)g'(x)在H上為增函數(shù)，

當(dāng)x<0時(shí),g'(x)<g'(O)=O，此時(shí)，函數(shù)g(x)為減函數(shù)；

當(dāng)x>0時(shí)，g'(x)>g'(O)=O,此時(shí)，函數(shù)g(x)為增函數(shù).

所以，g(x)min=g(O)=l，,aWLC選項(xiàng)正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)a=3時(shí)，/(x)=sinx+x3-3x,則r(%)=cosx+3f-3.

由B選項(xiàng)可知，函數(shù)尸(x)在(—0,0)上單調(diào)遞減，在(0,+。)上單調(diào)遞增，

??"'(T)=/'⑴=cos1>0,(⑼=-2<0,

由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)/'(x)在(TO)和(0,1)上都存在一個(gè)零點(diǎn)，

因此，當(dāng)a=3時(shí)，函數(shù)/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)，D選項(xiàng)正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】

結(jié)論點(diǎn)睛：利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，可按照以下原則進(jìn)行：

(1)函數(shù)/(X)在區(qū)間O上單調(diào)遞增of'(x)20在區(qū)間O上恒成立；

(2)函數(shù)/(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減o/'(x)W0在區(qū)間O上恒成立；

(3)函數(shù)/(x)在區(qū)間。上不單調(diào)。/'(x)在區(qū)間。上存在極值點(diǎn)；

(4)函數(shù)/(x)在區(qū)間O上存在單調(diào)遞增區(qū)間=玉wO,使得/'(力>0成立;

(5)函數(shù)“X)在區(qū)間O上存在單調(diào)遞減區(qū)間=Ire。，使得/'(x)<0成立.

14.對(duì)于函數(shù)/(x)=r,下列說(shuō)法正確的有()

A.在x=G處取得極大值!-B.f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)

2e

c./(2)</(而)<y(G)D.若/(》)〉女一4?在(o,+8)上有解，則

X

k<-

2

【答案】ACD

【分析】

利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)一步求出函數(shù)的極值可判斷A；利用函數(shù)的單調(diào)性和函

數(shù)值的范圍判斷B；利用函數(shù)的單調(diào)性比較出函數(shù)值的大小關(guān)系判斷C；利用不等式有解

問(wèn)題的應(yīng)用判斷D.

【詳解】

函數(shù)/(%)=詈，所以r(“)=上二當(dāng)竺L寸(,>0)，

令尸(x)=0,即21nx=1,解得x=&,

當(dāng)0<x<五時(shí)，/'(x)>()，故f(x)在(0,6)上為單調(diào)遞增函數(shù).

當(dāng)X>五時(shí)，f'M<0,故/(x)在(”,+00)上為單調(diào)遞減函數(shù).

所以在％時(shí)取得極大值/(&)=」-,故A正確；

2e

當(dāng)0<x<五時(shí)，f'(x)>0,f(x)在(0,G)上為單調(diào)遞增函數(shù)，

因?yàn)?(1)=0,所以函數(shù)/(x)在(0,上有唯一零點(diǎn)，

當(dāng)x2五時(shí)，/。)=詈>0恒成立，即函數(shù)f(x)在［&,+8)上沒(méi)有零點(diǎn),

綜上，/CO有唯一零點(diǎn)，故8錯(cuò)誤.

由于當(dāng)x>&H寸，r(x)<0,f(x)在(G,+8)上為單調(diào)遞減函數(shù)，

因?yàn)?>6>6>血，所以/(2)</(6)</(6)，故C正確：

由于/(幻>%-1在(0,+8)上有解，故％</。)+1=譬1有解,

XXX

,Jnx+1\、n_/、lnx+1-21nx-l

所rri以xl女＜(丁)…設(shè)g(x)=T'則g(x)=-^

1

令<(x)=0,解得無(wú)=仁

11

當(dāng)工,〒時(shí)，r(x)<0,故/(X)在(z―,+00)上為單調(diào)遞減函數(shù).

7eyje

當(dāng)0<x<3時(shí)，Ax)>0,故/(?在(0,4)上為單調(diào)遞增函數(shù).

yJeyje

ee

所以g(x)”*e—=一

22

故左<二，故。正確.

2

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：本題通過(guò)對(duì)多個(gè)命題真假的判斷，綜合考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，這種題型綜合性較

強(qiáng)，也是高考的命題熱點(diǎn)，同學(xué)們往往因?yàn)槟骋惶幹R(shí)點(diǎn)掌握不好而導(dǎo)致“全盤(pán)皆輸"，因

此做這類(lèi)題目更要細(xì)心、多讀題，盡量挖掘出題目中的隱含條件，另外，要注意從簡(jiǎn)單的

自己已經(jīng)掌握的知識(shí)點(diǎn)入手，然后集中精力突破較難的命題.

cos2x

15.設(shè)函數(shù)/(1)=---------,則(

2+sinxcosx

A.f(x)=f(x+7r)B.2)的最大值為g

C./*)在-f,o單調(diào)遞增D.f(x)在［0,?)單調(diào)遞減

k4J

【答案】AD

【分析】

先證明f(x)為周期函數(shù)，周期為萬(wàn)，從而A正確，再利用輔助角公式可判斷B的正誤,

結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可判斷CD的正誤.

【詳解】

cos2尤

f(x)的定義域?yàn)镽,且/(幻=一；--------，

2+sinxcosx

r,、cos(2x+27)cos2xk,

/(X+7)=--------------------r=-_;----------=/(X),故A正確.

2+sin(x+))cos(x+7r)2+sinxcosx

2cos2x2cos2x2cos2x

X/(x)=令y

4+2sinxcosx4+sin2^4+sin2x

則4y=2cos2%-ysin2x=44+y2cos(2x+°)，

2y

其中cos°=I,sin0=

{4+y244+y2

“三#即故一筆，筆’

當(dāng)y=215時(shí),有cos夕=—藍(lán)■,sino=；,此時(shí)cos(2x+")=l即x=—,

故Wax=誓，故B錯(cuò)誤?

,2[(-2sin2x)(4+sin2x)-2cos22x]-4(1+4sin2x)

f(%)=；=~-

(4+sin2x)(4+sin2x)

當(dāng)無(wú)時(shí)，/'0)<(),故/(x)在為減函數(shù)，故D正確.

當(dāng)xe1一?,0)時(shí)，一l<sin2x<0,故一3<l+4sin2x<l,

因?yàn)閒=2x為增函數(shù)且2xe(一、,0),而y=l+4sinr在(-go)為增函數(shù),

所以〃(x)=l+4sin2x在(一?,。］上為增函數(shù)，

故l+4sin2x=0在(一(,0)有唯一解％,

故當(dāng)xe(Xo,O)時(shí)，/z(x)>0即_f(x)<0,故f(x)在&，0)為減函數(shù)，故C不正確.

故選:AD

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：與三角函數(shù)有關(guān)的復(fù)雜函數(shù)的研究，一般先研究其奇偶性和周期性，而單調(diào)性

的研究需看函數(shù)解析式的形式，比如正弦型函數(shù)或余弦型函數(shù)可利用整體法來(lái)研究，而分

式形式則可利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究，注意輔助角公式在求最值中的應(yīng)用.

16.下列說(shuō)法正確的是()

A.函數(shù)/(x)=sin2x+ecos%—*!XG(),1卜最大值是1

CosJQ

B.函數(shù)/(x)=sinx?tanxd--------xe0,］的值域?yàn)?1,夜］

tanxI

函數(shù)〃x)=；sin2x+a-cosx在(0,乃)上單調(diào)遞增，則。的取值范圍是(一叫一”

C.

2tx2+V^rsin[x+(J+x

D.函數(shù)/")=的最大值為。，最小值為。，若。+匕=2,

2x2+cosx

貝h=l

【答案】ACD

【分析】

/0

化簡(jiǎn)函數(shù)解析式為了(司=-cosx-^-+1,利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)的

正誤；令"sinx+cosx,可得/(x)=g(r)=彳一L,利用導(dǎo)數(shù)法可判斷B選項(xiàng)的正

t—1

誤；利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可判斷C選項(xiàng)的正誤；計(jì)算出“x)+/(—x)=2f,利

用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可判斷D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

A選項(xiàng)，

2

/(x)=1—COS2X+5/3cosx--=-COS2X+V3COSX4--=

cosx-92J+1

又“e0最可得：cosxe[0,l],則當(dāng)cosx=^時(shí)函數(shù)/(x)取得最大值1，A對(duì);

c、4岳\sin2xcos2xsin3x+cos3x

B選項(xiàng)，/.f(x)=-------+---------=-------------------

cosxsin九sinx-cosx

(sinx+cosx)(sin2x+cos2x-sinx-cos%)

sinx-cosx

(sinx+cosx)(sinx+cosx)2-3sinx-cosx

sinx-cosx

71

設(shè)，=sinx+cosx=5/2sinXH--,貝|Jr=(sinx+cosx)2=l+2sinxcosx,則

4

.「一1

sinx-cosx=----

2

冗7T3%,sin[x+-^

XGXH--€G,.”￡(1,啦],

47'T

2

tt-3x-—t&一3