2024屆河北衡中同卷數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

2024屆河北衡中同卷數(shù)學(xué)高二下期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則（）A． B．C． D．2．已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，則的解集為（）A． B． C． D．3．.若直線是曲線的一條切線，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．4．如果（，表示虛數(shù)單位），那么()A．1 B． C．2 D．05．已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值無最小值，則實數(shù)的取值范圍（）A． B． C． D．6．設(shè)拋物線的焦點為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點，，垂足為A，如果為正三角形，那么等于（）A． B． C．6 D．127．已知矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，F(xiàn)為線段CD上一動點（不含端點），現(xiàn)將△ADF沿直線AF進行翻折，在翻折過程中不可能成立的是（）A．存在某個位置，使直線AF與BD垂直 B．存在某個位置，使直線AD與BF垂直C．存在某個位置，使直線CF與DA垂直 D．存在某個位置，使直線AB與DF垂直8．袋中裝有完全相同的5個小球，其中有紅色小球3個，黃色小球2個，如果不放回地依次摸出2個小球，則在第一次摸出紅球的條件下，第二次摸出紅球的概率是（）A．310B．35C．19．讀下面的程序：上面的程序在執(zhí)行時如果輸入6，那么輸出的結(jié)果為()A．6 B．720 C．120 D．504010．設(shè)函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)至少存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．11．甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)參加某種技術(shù)競賽，決出了第一名到第五名的五個名次，甲、乙去詢問成績，組織者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍”；對乙說：“你當(dāng)然不會是最差的”.從組織者的回答分析，這五個人的名次排列的不同情形種數(shù)共有（）A． B． C． D．12．現(xiàn)有張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各張.從中任取張，要求這張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多張.不同取法的種數(shù)為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，則除以8所得的余數(shù)為________.14．若對任意，都有恒成立，則實數(shù)的取值范圍是_______________.15．已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則的實部為____．16．已知直線過點，且它的一個方向向量為，則原點到直線的距離為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知cosA=1-(1)求A；(2)若B=π2，且b=23，D是BC上的點，AD平分∠BAC，求18．（12分）對某班50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和對數(shù)學(xué)的興趣進行了調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：對數(shù)學(xué)感興趣對數(shù)學(xué)不感興趣合計數(shù)學(xué)成績好17825數(shù)學(xué)成績一般52025合計222850（1）試運用獨立性檢驗的思想方法分析：學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與數(shù)學(xué)成績是否有關(guān)系，并說明理由．（2）從數(shù)學(xué)成績好的同學(xué)中抽取4人繼續(xù)調(diào)查，設(shè)對數(shù)學(xué)感興趣的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828．19．（12分）設(shè)函數(shù).（1）求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;（2）求該函數(shù)在上的最小值．20．（12分）在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率。（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望EX.21．（12分）唐代餅茶的制作一直延續(xù)至今，它的制作由“炙”、“碾”、“羅”三道工序組成：根據(jù)分析甲、乙、丙三位學(xué)徒通過“炙”這道工序的概率分別是，，；能通過“碾”這道工序的概率分別是，，；由于他們平時學(xué)徒刻苦，都能通過“羅”這道工序；若這三道工序之間通過與否沒有影響，（Ⅰ）求甲、乙、丙三位同學(xué)中恰好有一人通過“炙”這道工序的概率，（Ⅱ）設(shè)只要通過三道工序就可以制成餅茶，求甲、乙、丙三位同學(xué)中制成餅茶人數(shù)的分布列.22．（10分）如圖，在正方體中，分別是的中點．求證：（1）求證：平面（2）求異面直線與所成角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進而判斷大小.【題目詳解】①令，則，∴在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時，，即，故A正確．B錯誤.②令，則，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，易知C，D不正確，故選A．【題目點撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，考查基本分析判斷能力，屬中檔題.2、B【解題分析】是定義在上的偶函數(shù)，，即，則函數(shù)的定義域為函數(shù)在上為增函數(shù)，故兩邊同時平方解得，故選3、A【解題分析】

設(shè)切點，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在切點處的導(dǎo)數(shù)是切點處切線的斜率，求.【題目詳解】設(shè)切點，，解得.故選A.【題目點撥】本題考查了已知切線方程求參數(shù)的問題，屬于簡單題型，這類問題的關(guān)鍵是設(shè)切點，利用切點既在切線又在曲線上，以及利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義共同求參數(shù).4、B【解題分析】分析：復(fù)數(shù)方程左邊分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡為的形式，利用復(fù)數(shù)相等求出即可詳解：解得故選點睛：本題主要考查了復(fù)數(shù)相等的充要條件，運用復(fù)數(shù)的乘除法運算法則求出復(fù)數(shù)的表達式，令其實部與虛部分別相等即可求出答案．5、C【解題分析】

先求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)在區(qū)間上有最大值無最小值，即導(dǎo)數(shù)的零點在上，計算得到答案.【題目詳解】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有最大值無最小值即在有零點，且滿足：即故答案選C【題目點撥】本題考查了函數(shù)的最大值和最小值問題，將最值問題轉(zhuǎn)為二次函數(shù)的零點問題是解題的關(guān)鍵.6、C【解題分析】

設(shè)準(zhǔn)線l與軸交于點，根據(jù)拋物線的定義和△APF為正三角形，這兩個條件可以得出，在直角三角形中，利用正弦公式可以求出，即求出|PF|的長．【題目詳解】設(shè)準(zhǔn)線l與軸交于點，所以，根據(jù)拋物線的定義和△APF為正三角形，，在中，，，所以|PF|等于6,故本題選C．【題目點撥】本題考查了拋物線的定義．7、C【解題分析】

連結(jié)BD，在中，可以作于O，并延長交CD于F，得到成立，得到A正確；由翻折中，保持不變，可得到B正確；根據(jù)翻折過程中，，可得到C錯誤；根據(jù)翻折過程中，保持不變，假設(shè)成立，得到平面ABD，結(jié)合題中條件，進而可得出結(jié)果.【題目詳解】對于A，連結(jié)BD，在中，可以作于O，并延長交CD于F，則成立，翻折過程中，這個垂直關(guān)系保持不變，故A正確；對于B，在翻折過程中，保持不變，當(dāng)時，有平面，從而，此時，AD＝1，AB＝2，BD＝，故B正確；對于C，在翻折過程中，保持不變，若成立，則平面CDF，從而，AD＝1，AC＝，得CD＝2，在翻折過程中，，即CD＜2，所以，CD＝2不成立，C不正確；對于D，在翻折過程中，保持不變，若成立，則平面ABD，從而，設(shè)此時，則BF＝，BD＝，只要，BD就存在，所以D正確選C．【題目點撥】本題主要考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，熟記線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理即可，屬于常考題型.8、C【解題分析】試題分析：因為第一次摸到紅球的概率為35，則第一次摸出紅球且第二次摸出紅球的概率為35×考點：1、條件概率；2、獨立事件．9、B【解題分析】

執(zhí)行程序，逐次計算，根據(jù)判斷條件終止循環(huán)，即可求解輸出的結(jié)果，得到答案.【題目詳解】由題意，執(zhí)行程序，可得：第1次循環(huán)：滿足判斷條件，；第2次循環(huán)：滿足判斷條件，；第3次循環(huán)：滿足判斷條件，；第4次循環(huán)：滿足判斷條件，；第5次循環(huán)：滿足判斷條件，；第6次循環(huán)：滿足判斷條件，；不滿足判斷條件，終止循環(huán)，輸出，故選B.【題目點撥】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計算輸出，其中解答中正確理解循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計算功能，逐次計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】令,則，設(shè)，令，，則，發(fā)現(xiàn)函數(shù)在上都是單調(diào)遞增，在上都是單調(diào)遞減，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，得，所以函數(shù)至少存在一個零點需滿足，即．應(yīng)選答案D。點睛：解答本題時充分運用等價轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，先將函數(shù)解析式中的參數(shù)分離出來，得到，然后構(gòu)造函數(shù)，分別研究函數(shù)，的單調(diào)性，從而確定函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時，得，所以函數(shù)至少存在一個零點等價于，即．使得問題獲解。11、D【解題分析】分析：先排乙，再排甲，最后排剩余三人.詳解：先排乙，有種，再排甲，有種，最后排剩余三人，有種因此共有，選D.點睛：求解排列、組合問題常用的解題方法：(1)元素相鄰的排列問題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——“間接法”；（5）“在”與“不在”問題——“分類法”.12、C【解題分析】試題分析：3張卡片不能是同一種顏色，有兩種情形：三種顏色或者兩種顏色，如果是三種顏色，取法數(shù)為，如果是兩種顏色，取法數(shù)為，所以取法總數(shù)為，故選C．考點：分類加法原理與分步乘法原理．【名師點晴】（1）對于一些比較復(fù)雜的既要運用分類加法計數(shù)原理又要運用分步乘法計數(shù)原理的問題，我們可以恰當(dāng)?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，使問題更加直觀、清晰．（2）當(dāng)兩個原理混合使用時，一般是先分類，在每類方法里再分步．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、7【解題分析】

令可得，再將展開分析即可.【題目詳解】由已知，令，得，又.所以除以8所得的余數(shù)為7.故答案為：7【題目點撥】本題考查二項式定理的綜合應(yīng)用，涉及到余數(shù)問題，做此類題一定要合理構(gòu)造二項式，并展開進行分析判斷，是一道中檔題.14、【解題分析】

根據(jù)（）代入中求得的最大值，進而得到實數(shù)的取值范圍。【題目詳解】因為，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）；所以，即的最大值為，即實數(shù)的取值范圍是；故答案為：【題目點撥】本題考查不等式恒成立問題的解題方法，解題關(guān)鍵是利用基本不等式求出的最大值，屬于中檔題。15、；【解題分析】

對復(fù)數(shù)進行四運算，化簡成，求得的實部.【題目詳解】因為，所以的實部為.【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算及實部概念.16、【解題分析】

求出直線的方程，然后利用點到直線的距離公式可求出原點到直線的距離.【題目詳解】由于直線的一個方向向量為，則直線的斜率為，所以，直線的方程為，即，因此，原點到直線的距離為.故答案為：.【題目點撥】本題考查點到直線距離的計算，同時也考查了直線方向向量的應(yīng)用，解題時要根據(jù)題中條件得出直線的斜率，并寫出直線的方程，考查計算能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）A=π3【解題分析】

（1）先利用二倍角公式將題目等式化成關(guān)于sinA2的方程，求出sin（2）根據(jù)角平分線定義先求出∠BAD，再依銳角三角函數(shù)的定義求出AD，最后依據(jù)三角形面積公式求出?！绢}目詳解】（1）解：因為1-2sin2A即sinA因為A∈0,π，所以sinA2所以A2=π6因此,A=π（2）因為A=π3，B=π2，所以C=π又因為AD為的角∠BAC平分線，所以∠BAD=π在Rt△ABD中，所以cos∠BAD=ABAD所以S△ADC【題目點撥】本題主要考查了二倍角公式的應(yīng)用，以及三角形面積的求法。18、（1）有99.9%的把握認(rèn)為有關(guān)系，理由詳見解析；（2）分布列詳見解析，數(shù)學(xué)期望為2.72【解題分析】

根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論；

由題意知隨機變量X的可能取值，計算對應(yīng)的概率值，寫出分布列和數(shù)學(xué)期望值．【題目詳解】（1）．因為，所以有99.9%的把握認(rèn)為有關(guān)系．（2）由題意知，的取值為0，1，2，3，1．因為，．所以，分布列為01231所以，．【題目點撥】本題考查了獨立性檢驗與離散型隨機變量的分布列應(yīng)用問題，是中檔題．19、（1）遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）-10【解題分析】

（1），解得單調(diào)區(qū)間即可；（2）由(1)的單調(diào)性知,在上的最小值只可能在處取,代入求值即可【題目詳解】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.(2)由(1)的單調(diào)性知,在上的最小值只可能在處取,在上的最小值為.【題目點撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運用：求單調(diào)區(qū)間，極值，最值，考查運算能力，屬于中檔題．20、（1）（2）見解析【解題分析】（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，計算即得(II)由題意知X可取的值為：.利用超幾何分布概率計算公式得X的分布列為X01234P進一步計算X的數(shù)學(xué)期望.試題解析：（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，則(II)由題意知X可取的值為：.則因此X的分布列為X01234PX的數(shù)學(xué)期望是