2024屆安徽省阜陽市太和縣太和二中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

2024屆安徽省阜陽市太和縣太和二中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入的值為1，則輸出的值為（）A． B．2 C．0 D．無法判斷2．已知滿足，則的取值范圍為（）A． B． C． D．3．中國古代數(shù)學(xué)的瑰寶——《九章算術(shù)》中涉及到一種非常獨特的幾何體——鱉擩，它是指四面皆為直角三角形的四面體.現(xiàn)有四面體為一個鱉擩，已知平面，，若該鱉擩的每個頂點都在球的表面上，則球的表面積為（）A． B． C． D．4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的為2，則輸出的值是（）A．2 B．1 C． D．-15．已知三棱錐的頂點都在球的球面上，平面，則球的表面積為（）A． B． C． D．6．若，，滿足，，.則（）A． B． C． D．7．高二（3）班共有學(xué)生56人，現(xiàn)根據(jù)座號，用系統(tǒng)抽樣的方法，抽取一個容量為4的樣本，已知3號、31號、45號同學(xué)在樣本中，那么樣本中還有一個同學(xué)的座號是A．15 B．16 C．17 D．188．以下說法正確的是（）A．命題“，”的否定是“，”B．命題“，互為倒數(shù)，則”的逆命題為真C．命題“若，都是偶數(shù)，則是偶數(shù)”的否命題為真D．“”是“”的充要條件9．若如下框圖所給的程序運(yùn)行結(jié)果為，那么判斷框中應(yīng)填入的關(guān)于的條件是（）A． B． C． D．10．袋中有6個不同紅球、4個不同白球，從袋中任取3個球，則至少有兩個白球的概率是（）．A． B． C． D．11．使不等式成立的一個必要不充分條件是（）A． B． C． D．12．將個不同的小球放入個盒子中，則不同放法種數(shù)有（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若有且僅有一個整數(shù)，使，則實數(shù)的取值范圍是__________．14．函數(shù)的圖象在點處的切線方程是_____________.15．若正數(shù)，滿足，則的取值范圍是________．16．已知，則________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知均為正數(shù)，證明：，并確定為何值時，等號成立．18．（12分）用數(shù)學(xué)歸納法證明：．19．（12分）已知函數(shù)，．（1）令，當(dāng)時，求實數(shù)的取值范圍；（2）令的值域為，求實數(shù)的取值范圍；（3）已知函數(shù)在，數(shù)集上都有定義，對任意的，當(dāng)時或成立，則稱是數(shù)集上的限制函數(shù)；令函數(shù)，求其在上的限制函數(shù)的解析式，并求在上的單調(diào)區(qū)間．20．（12分）如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，曲線C由以原點為圓心，半徑為2的半圓和中心在原點，焦點在x軸上的半橢圓構(gòu)成，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）寫出曲線C的極坐標(biāo)方程；（2）已知射線與曲線C交于點M，點N為曲線C上的動點，求面積的最大值.21．（12分）已知復(fù)數(shù)滿足：，且在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限.（I）求復(fù)數(shù)；（Ⅱ）設(shè)，且，求實數(shù)的值.22．（10分）年春節(jié)期間，某服裝超市舉辦了一次有獎促銷活動，消費(fèi)每超過元（含元），均可抽獎一次，抽獎方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種.方案一：從裝有個形狀、大小完全相同的小球（其中紅球個，黑球個）的抽獎盒中，一次性摸出個球，其中獎規(guī)則為：若摸到個紅球，享受免單優(yōu)惠；若摸出個紅球則打折，若摸出個紅球，則打折；若沒摸出紅球，則不打折.方案二：從裝有個形狀、大小完全相同的小球（其中紅球個，黑球個）的抽獎盒中，有放回每次摸取球，連摸次，每摸到次紅球，立減元.（1）若兩個顧客均分別消費(fèi)了元，且均選擇抽獎方案一，試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率；（2）若某顧客消費(fèi)恰好滿元，試從概率的角度比較該顧客選擇哪一種抽獎方案更合算？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由條件結(jié)構(gòu)，輸入的x值小于0，執(zhí)行y＝﹣x，輸出y，等于0，執(zhí)行y＝0，輸出y，大于0，執(zhí)行y＝1x，輸出y，由x＝1＞0，執(zhí)行y＝1x得解．【題目詳解】因為輸入的x值為1大于0，所以執(zhí)行y＝1x＝1，輸出1．故選：B．【題目點撥】本題考查了程序框圖中的條件結(jié)構(gòu)，條件結(jié)構(gòu)的特點是，算法的流程根據(jù)條件是否成立有不同的流向，算法不循環(huán)執(zhí)行．2、D【解題分析】由題意，令，所以，所以，因為，所以所以所以，故選D.3、B【解題分析】分析：把此四面體放入長方體中，BC，CD，AB剛好是長方體的長、寬、高，算出長方體體對角線即可.詳解：把此四面體放入長方體中，BC，CD，AB剛好是長方體的長、寬、高，則，，故.故選：B.點睛：本題主要考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用.4、A【解題分析】

根據(jù)給定的程序框圖，執(zhí)行循環(huán)體，逐次計算、判斷，即可得到輸出的結(jié)果，得到答案．【題目詳解】由題意，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，可得：第一次循環(huán)：，滿足判斷條件，；第二次循環(huán)：，滿足判斷條件，；第三次循環(huán)：，滿足判斷條件，；第四次循環(huán)：，滿足判斷條件，；第五次循環(huán)：，滿足判斷條件，；第六次循環(huán)：，不滿足判斷條件，輸出結(jié)果，故選A．【題目點撥】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的計算與輸出問題，其中利用循環(huán)結(jié)構(gòu)表示算法，一定要先確定是用當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，還是用直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點是先判斷再循環(huán)，直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點是先執(zhí)行一次循環(huán)體，再判斷；注意輸入框、處理框、判斷框的功能，不可混用，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解題分析】

根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形把三棱錐補(bǔ)充為長方體，則該長方體的外接球即為三棱錐的外接球，計算長方體的對角線，求出外接球的直徑和表面積．【題目詳解】根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，

以AB、BD和CD為棱，把三棱錐補(bǔ)充為長方體，

則該長方體的外接球即為三棱錐的外接球，

且長方體的對角線是外接球的直徑；

，

外接球O的表面積為．

故選：D．【題目點撥】本題考查了三棱錐外接球表面積計算問題，將三棱錐補(bǔ)成長方體，是求外接球直徑的關(guān)鍵，屬于中檔題．6、A【解題分析】

利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.【題目詳解】，，，，，，，，，故選：A.【題目點撥】本題考查了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了計算能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解題分析】試題分析：由系統(tǒng)抽樣的特點—等距離可得，∴3號、17號、號、號同學(xué)在樣本中.考點：系統(tǒng)抽樣.8、B【解題分析】

根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題的知識判斷A選項的正確性.寫出原命題的逆命題并判斷真假性，由此判斷B選項的正確性..寫出原命題的否命題并判斷真假性，由此判斷C選項的正確性.根據(jù)充要條件的知識判斷D選項的正確性.【題目詳解】對于A選項，原命題是全稱命題，其否定是特稱命題，注意到要否定結(jié)論，故否定應(yīng)是“，”，所以A選項錯誤.對于B選項，原命題的逆命題是“若，則互為倒數(shù)”，是真命題，故B選項正確.對于C選項，原命題的否命題為“若不都是偶數(shù)，則不是偶數(shù)”，當(dāng)都為奇數(shù)時，是偶數(shù)，故為假命題.所以C選項錯誤.對于D選項，由，所以.“”不是“”的充要條件.故D選項錯誤.綜上所述可知，B選項正確.故選：B【題目點撥】本小題主要考查全稱命題的否定、逆命題、否命題以及充要條件等知識，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】分析：根據(jù)賦值框中對累加變量和循環(huán)變量的賦值，先判斷后執(zhí)行，假設(shè)滿足條件，依次執(zhí)行循環(huán)，到累加變量S的值為35時，再執(zhí)行一次k=k+1，此時判斷框中的條件不滿足，由此可以得到判斷框中的條件．詳解：框圖首先給累加變量S賦值1，給循環(huán)變量k賦值1．判斷1＞6，執(zhí)行S=1+1=11，k=1﹣1=9；判斷9＞6，執(zhí)行S=11+9=20，k=9﹣1=8；判斷8＞6，執(zhí)行S=20+8=28，k=8﹣1=7；判斷7＞6，執(zhí)行S=28+7=35，k=6；判斷6≤6，輸出S的值為35，算法結(jié)束．所以判斷框中的條件是k＞6？．故答案為:D.點睛：本題考查了程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，考查了當(dāng)型循環(huán)，當(dāng)型循環(huán)是先判斷后執(zhí)行，滿足條件執(zhí)行循環(huán)，不滿足條件時，算法結(jié)束，此題是基礎(chǔ)題．10、D【解題分析】

事件“至少有兩個白球”包含“兩個白球一個紅球”和“三個都是白球”，然后利用古典概型的概率的計算公式可求出所求事件的概率．【題目詳解】事件“至少有兩個白球”包含“兩個白球一個紅球”和“三個都是白球”，由古典概型的概率公式知，事件“兩個白球一個紅球”的概率為，事件“三個都是白球”的概率為，因此，事件“至少有兩個球是白球”的概率為，故選D．【題目點撥】本題考查古典概型的概率公式以及概率的加法公式，解題時要弄清楚事件所包含的基本情況，結(jié)合概率的加法公式進(jìn)行計算，考查分類討論數(shù)學(xué)思想，屬于中等題．11、B【解題分析】解不等式，可得，即，故“”是“”的一個必要不充分條件，故選B.12、B【解題分析】試題分析：采用分步計數(shù)原理來求解：分3步，每一步4種方法，不同方法種數(shù)有種考點：分步計數(shù)原理二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】因，故由題設(shè)問題轉(zhuǎn)化為“有且僅有一個整數(shù)使得或”。因為，所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，即函數(shù)在處取最大值，由于，因此由題設(shè)可知，解之得，應(yīng)填答案。點睛：解答本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解題設(shè)中條件“有且僅有一個整數(shù)，使”。求解時先將問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化為“有且僅有一個整數(shù)使得或”。進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為斷定函數(shù)圖像的形狀問題，然后先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，依據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系推斷出該函數(shù)在在處取最大值，從而借助題設(shè)條件得到不等式組，通過解不等式組使得問題獲解。14、【解題分析】

首先求出在1處的導(dǎo)數(shù)，再求出在1處的函數(shù)值，然后用點斜式求出方程即可.【題目詳解】，∴且，切線方程是，即．【題目點撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在點處的切線方程，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

利用基本不等式將變形為即可求得的取值范圍.【題目詳解】∵，，∴，即，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故答案為：.【題目點撥】本題主要考查利用基本不等式求代數(shù)式的取值范圍問題，屬常規(guī)考題.16、【解題分析】分析：由題意，利用目標(biāo)角和已知角之間的關(guān)系，現(xiàn)利用誘導(dǎo)公式，在結(jié)合二倍角公式，即可求解．詳解：由題意，又由，所以．點睛：本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值問題，其中解答中正確構(gòu)造已知角與求解角之間的關(guān)系，合理選擇三角恒等變換的公式是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見證明【解題分析】試題分析：、證明因為a，b，c均為正數(shù)，由均值不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①同理，②故.③所以原不等式成立．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時，①式和②式等號成立；當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3時，③式等號成立．即當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時，原式等號成立．考點：重要不等式點評：主要是考查了運(yùn)用重要不等式進(jìn)行放縮來證明不等式的方法，屬于中檔題．18、詳見解析【解題分析】

用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，先證明當(dāng)時，等式成立再假設(shè)當(dāng)時等式成立，進(jìn)而證明當(dāng)時，等式也成立.【題目詳解】當(dāng)時，左邊右邊，等式成立．假設(shè)當(dāng)時等式成立，即當(dāng)時，左邊═2當(dāng)時，等式也成立．綜合，等式對所有正整數(shù)都成立．【題目點撥】數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個與自然數(shù)集相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)是關(guān)于自然數(shù)的命題，（1）奠基在時成立；（2）歸納在為任意自然數(shù)成立的假設(shè)下可以推出成立，則對一切自然數(shù)都成立．19、（1）（2）（3）增區(qū)間為在【解題分析】

（1）由分段函數(shù)求值問題，討論落在哪一段中，再根據(jù)函數(shù)值即可得實數(shù)的取值范圍；（2）由分段函數(shù)值域問題，由函數(shù)的值域可得，再求出實數(shù)的取值范圍；（3）先閱讀題意，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可.【題目詳解】解:（1）由,且時，當(dāng)時,有時,,與題設(shè)矛盾,當(dāng)時,有時,,與題設(shè)相符,故實數(shù)的取值范圍為:;（2）當(dāng)，，因為，所以，即，當(dāng)，，因為，所以，即，又由題意有，所以，故實數(shù)的取值范圍為；（3）由的導(dǎo)函數(shù)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得函數(shù)在任一點處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在這一點處切線的斜率，由限制函數(shù)的定義可知，由，即函數(shù)在為增函數(shù)，故函數(shù)在為增函數(shù).【題目點撥】本題考查了分段函數(shù)求值問題、分段函數(shù)值域問題及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，重點考查了閱讀理解能力，屬中檔題.20、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)題意，分別求出曲線上半部分和下半部分直角坐標(biāo)方程，利用直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式，即可得到曲線的極坐標(biāo)方程；（2）由題可知要使面積最大，則點在半圓上，且，利用極坐標(biāo)方程求出，由三角形面積公式即可得到答案?！绢}目詳解】（1）由題設(shè)可得，曲線上半部分的直角坐標(biāo)方程為，所以曲線上半部分的極坐標(biāo)方程為.又因為曲線下半部分的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以曲線下半部分極坐標(biāo)方程為，故曲線的極坐標(biāo)方程為.（2）由題設(shè)，將代入曲線的極坐標(biāo)方程可得：.又點