河北省固安三中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題含解析

河北省固安三中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．用四個(gè)數(shù)字1,2,3,4能寫成（）個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù).A．6 B．12 C．16 D．202．已知滿足，其中，則的最小值為（）A． B． C． D．13．已知隨機(jī)變量，的分布列如下表所示，則（）123123A．， B．，C．， D．，4．.已知為等比數(shù)列，，則．若為等差數(shù)列，，則的類似結(jié)論為（）A． B．C． D．5．已知，的最小值為，則的最小值為（）A． B． C． D．6．1-2x5展開式中的x3系數(shù)為（A．40 B．-40 C．80 D．-807．某人考試，共有5題，至少解對(duì)4題為及格，若他解一道題正確的概率為0.6，則他及格的概率為（）A． B． C． D．8．若復(fù)數(shù)所表示的點(diǎn)在第一象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A． B． C． D．9．直線與直線平行，則=（）A． B． C．－7 D．510．函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值分別為()A．25,-2 B．50,-2 C．50,14 D．50,-1411．設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，公比，則（）A． B． C． D．12．已知,,,則實(shí)數(shù)的大小關(guān)系是()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在正四面體P-ABC，已知M為AB的中點(diǎn)，則PA與CM所成角的余弦值為____.14．三棱錐P﹣ABC中，PA＝PB＝AB＝AC＝BC，M是PA的中點(diǎn)，N是AB的中點(diǎn)，當(dāng)二面角P﹣AB﹣C為時(shí)，則直線BM與CN所成角的余弦值為______.15．已知三棱錐的底面是等腰三角形，，底面，，則這個(gè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為_______.16．中醫(yī)藥是反映中華民族對(duì)生命、健康和疾病的認(rèn)識(shí)，具有悠久歷史傳統(tǒng)和獨(dú)特理論及技術(shù)方法的醫(yī)藥學(xué)體系，是中華文明的瑰寶.某科研機(jī)構(gòu)研究發(fā)現(xiàn)，某品種中成藥的藥物成份的含量（單位：）與藥物功效（單位：藥物單位）之間具有關(guān)系：.檢測(cè)這種藥品一個(gè)批次的5個(gè)樣本，得到成份的平均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，估計(jì)這批中成藥的藥物功效的平均值為__________藥物單位．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知cosA=1-(1)求A；(2)若B=π2，且b=23，D是BC上的點(diǎn)，AD平分∠BAC，求18．（12分）已知函數(shù)，其中均為實(shí)數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（I）求函數(shù)的極值；（II）設(shè)，若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．19．（12分）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)D，使直線AD與BD關(guān)于y軸對(duì)稱？若存在，求出點(diǎn)D坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．20．（12分）已知函數(shù)，．（1）令，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）令的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知函數(shù)在，數(shù)集上都有定義，對(duì)任意的，當(dāng)時(shí)或成立，則稱是數(shù)集上的限制函數(shù)；令函數(shù)，求其在上的限制函數(shù)的解析式，并求在上的單調(diào)區(qū)間．21．（12分）設(shè)．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．22．（10分）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)(22,π4)

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

根據(jù)題意，由排列數(shù)公式計(jì)算即可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意，屬于排列問題，則一共有種不同的取法.即共有12個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的兩位數(shù).故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列數(shù)公式的應(yīng)用，注意區(qū)分排列、組合、放回式抽取和不放回抽取的不同.2、C【解題分析】

令，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，確定，進(jìn)而得到結(jié)果.【題目詳解】令，則.，由得：；由得：，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即的最小值為.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)最值的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定最值點(diǎn).3、C【解題分析】

由題意分別求出Eξ，Dξ，Eη，Dη，由此能得到Eξ＜Eη，Dξ＞Dη．【題目詳解】由題意得：Eξ，Dξ．Eη，Dη＝（）2（2）2（3）2，∴Eξ＜Eη，Dξ=Dη．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差的求法，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．4、D【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列中等差中項(xiàng)性質(zhì)推導(dǎo)可得.【題目詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)，有＝＝…＝2.易知選項(xiàng)D正確．【題目點(diǎn)撥】等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)的性質(zhì)是出題的熱點(diǎn),經(jīng)常與其它知識(shí)點(diǎn)綜合出題.5、C【解題分析】

如圖所示：在直角坐標(biāo)系中，取點(diǎn)，，，得到的軌跡方程為，故，得到答案.【題目詳解】如圖所示：在直角坐標(biāo)系中，取點(diǎn)，，，則，，滿足，設(shè)，過點(diǎn)作垂直于所在的直線與，則的最小值為，即，根據(jù)拋物線的定義知的軌跡方程為：.取，故，即，當(dāng)垂直于準(zhǔn)線時(shí)等號(hào)成立.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量和拋物線的綜合應(yīng)用，根據(jù)拋物線的定義得到的軌跡方程是解題的關(guān)鍵.6、D【解題分析】

由二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式，賦值即可求出。【題目詳解】1-2x5展開式的通項(xiàng)公式是T令r=3，所以x3系數(shù)為C53【題目點(diǎn)撥】本題主要考查如何求二項(xiàng)式定理的展開式中某一項(xiàng)的系數(shù)。7、C【解題分析】

由題，得他及格的情況包含答對(duì)4題和5題，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，即可得到本題答案.【題目詳解】由題，得他及格的情況包括答對(duì)4題和5題，所以對(duì)應(yīng)的概率.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題，屬基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再由實(shí)部與虛部均大于0聯(lián)立不等式組求解即可.【題目詳解】表示的點(diǎn)在第一象限，，解得．實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查的是復(fù)數(shù)的乘法、乘方運(yùn)算，屬于中檔題．解題時(shí)一定要注意和以及運(yùn)算的準(zhǔn)確性，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤．9、D【解題分析】

由兩直線平行的條件計(jì)算．【題目詳解】由題意，解得．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查兩直線平行的條件，直線與平行的條件是：在均不為零時(shí)，，若中有0，則條件可表示為．10、B【解題分析】

求導(dǎo)，分析出函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的極值和兩端點(diǎn)的函數(shù)值，可得函數(shù)f（x）＝2x3+9x2﹣2在區(qū)間[﹣4，2]上的最大值和最小值．【題目詳解】∵函數(shù)f（x）＝2x3+9x2﹣2，∴f′（x）＝6x2+18x，當(dāng)x∈[﹣4，﹣3），或x∈（0，2]時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)x∈（﹣3，0）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)為減函數(shù)；由f（﹣4）＝14，f（﹣3）＝25，f（0）＝﹣2，f（2）＝50，故函數(shù)f（x）＝2x3+9x2﹣2在區(qū)間[﹣4，2]上的最大值和最小值分別為50，﹣2，故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的函數(shù)的最值及函數(shù)的單調(diào)性問題，屬于中檔題．11、D【解題分析】

由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式分別表示出與，化簡(jiǎn)即可得到的值【題目詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比，則，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題。12、A【解題分析】

容易得出30.6＞1，0＜0.63＜1，log0.63＜0，從而可得出a，b，c的大小關(guān)系．【題目詳解】∵30.6＞30＝1，0＜0.63＜0.60=1，log0.63＜log0.61＝0；∴a＞b＞c．故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，熟記單調(diào)性是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：取的中點(diǎn)，連接，由三角形中位線定理可得即為與所成的角或其補(bǔ)角，利用余弦定理可得結(jié)果.詳解：取的中點(diǎn)，連接，由三角形中位線定理可得，，故即為與所成的角或其補(bǔ)角，因?yàn)槭钦拿骟w，不妨設(shè)令其棱長(zhǎng)為，則由正四面體的性質(zhì)可求得，故，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查余弦定理的應(yīng)用以及異面直線所成角的求法，求異面直線所成的角的做題步驟分為三步，分別為：作角、證角、求角，尤其是第二步證明過程不可少，是本題易失點(diǎn)分，切記.14、【解題分析】

先連結(jié)PN，根據(jù)題意，∠PNC為二面角P－AB－C的平面角，得到∠PNC＝，根據(jù)向量的方法，求出兩直線方向向量的夾角，即可得出結(jié)果.【題目詳解】解：連結(jié)PN，因?yàn)镹為AB中點(diǎn)，PA＝PB，CA＝CB，所以，，所以，∠PNC為二面角P－AB－C的平面角，所以，∠PNC＝，設(shè)PA＝PB＝AB＝AC＝BC＝2，則CN＝PN＝BM＝，，設(shè)直線BM與CN所成角為，，【題目點(diǎn)撥】本題主要考查異面直線所成的角，靈活運(yùn)用向量法求解即可，屬于?？碱}型.15、【解題分析】分析：利用等體積法，設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則r（S△ABC+S△PAC+S△PAB+S△PCB）=×PA?S△ABC，解得求出r，再根據(jù)球的體積公式即可求出．詳解：∵AB⊥AC，PA⊥底面ABC，PA=AB=1，∴∴S△ABC=×AC×BC=×1×1=，S△PAC=×AC×PA=S△PAB=×AB×PA=，S△PCB==，∴VP﹣ABC=×PA?S△ABC=，設(shè)內(nèi)切球半徑為r，則r（S△ABC+S△PAC+S△PAB+S△PCB）=×PA?S△ABC，解得r=．故答案為．點(diǎn)睛：（1）本題主要考查幾何體的內(nèi)切球問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和空間想象能力分析推理能力.(2)求幾何體的內(nèi)切球的半徑一般是利用割補(bǔ)法和等體積法.16、92【解題分析】

由題可得，進(jìn)而可得，再計(jì)算出，從而得出答案．【題目詳解】5個(gè)樣本成份的平均值為，標(biāo)準(zhǔn)差為，所以，，即，解得因?yàn)?，所以所以這批中成藥的藥物功效的平均值藥物單位【題目點(diǎn)撥】本題考查求幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)，解題的關(guān)鍵是求出，屬于一般題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）A=π3【解題分析】

（1）先利用二倍角公式將題目等式化成關(guān)于sinA2的方程，求出sin（2）根據(jù)角平分線定義先求出∠BAD，再依銳角三角函數(shù)的定義求出AD，最后依據(jù)三角形面積公式求出。【題目詳解】（1）解：因?yàn)?-2sin2A即sinA因?yàn)锳∈0,π，所以sinA2所以A2=π6因此,A=π（2）因?yàn)锳=π3，B=π2，所以C=π又因?yàn)锳D為的角∠BAC平分線，所以∠BAD=π在Rt△ABD中，所以cos∠BAD=ABAD所以S△ADC【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二倍角公式的應(yīng)用，以及三角形面積的求法。18、（1）當(dāng)時(shí)，取得極大值，無極小值；（2）.【解題分析】試題分析：（1）由題對(duì)得，研究其單調(diào)性，可得當(dāng)時(shí)，取得極大值，無極小值；（2）由題當(dāng)時(shí)，，由單調(diào)性可得在區(qū)間上為增函數(shù)，根據(jù)，構(gòu)造函數(shù)，由單調(diào)性可得在區(qū)間上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則等價(jià)于，即，故又構(gòu)造函數(shù)，可知在區(qū)間上為減函數(shù)，∴在區(qū)間上恒成立，即在區(qū)間上恒成立，∴，設(shè)則，∵，∴，則在區(qū)間上為減函數(shù)，∴在區(qū)間上的最大值，∴，試題解析：（1）由題得，，令，得．，列表如下：1大于00小于0極大值∴當(dāng)時(shí)，取得極大值，無極小值；（2）當(dāng)時(shí)，，∵在區(qū)間上恒成立，∴在區(qū)間上為增函數(shù)，設(shè)，∵在區(qū)間上恒成立，∴在區(qū)間上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則等價(jià)于，即，設(shè)，則在區(qū)間上為減函數(shù)，∴在區(qū)間上恒成立，∴在區(qū)間上恒成立，∴，設(shè)，∵，∴，則在區(qū)間上為減函數(shù)，∴在區(qū)間上的最大值，∴，∴實(shí)數(shù)的最小值為．點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)的綜合應(yīng)用，屬難題.解題時(shí)要認(rèn)真研究題意，進(jìn)而構(gòu)造新函數(shù)賓研究其性質(zhì)以達(dá)到解決問題的目的19、（1）；（2）見解析.【解題分析】分析：（1）由題意得，求解即可；（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，則，設(shè)，，，聯(lián)立方程，從而可得，又由，得，從而求得答案.詳解：（Ⅰ）由題意，設(shè)橢圓方程為，則有，解得，所以橢圓C的方程為．（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，則．設(shè)，，，聯(lián)立方程，得，，，由，得，即，綜上所述，存在點(diǎn)，使直線AD與BD關(guān)于y軸對(duì)稱．點(diǎn)睛：對(duì)題目涉及的變量巧妙的引進(jìn)參數(shù)，利用題目的條件和圓錐曲線方程組成二元二次方程組，再化為一元二次方程，從而利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行整體代換，達(dá)到“設(shè)而不求，減少計(jì)算”的效果，直接得結(jié)果．20、（1）（2）（3）增區(qū)間為在【解題分析】

（1）由分段函數(shù)求值問題，討論落在哪一段中，再根據(jù)函數(shù)值即可得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）由分段函數(shù)值域問題，由函數(shù)的值域可得，再求出實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）先閱讀題意，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可.【題目詳解】解:（1）由,且時(shí)，當(dāng)時(shí),有時(shí),,與題設(shè)矛盾,當(dāng)時(shí),有時(shí),,與題設(shè)相符,故實(shí)數(shù)的取值范圍為:;（2）當(dāng)，，因?yàn)?，所以，即，?dāng)，，因?yàn)?，所以，即，又由題意有，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為；（3）由的導(dǎo)函數(shù)為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得函數(shù)在任一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在這一點(diǎn)處切線的斜率，由限制函數(shù)的定義可知，由，即函數(shù)在為增函數(shù)，故函數(shù)在為增函數(shù).【題目點(diǎn)撥】本題考查了分段函數(shù)求值問題、分段函數(shù)值域問題及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，