2024屆上海市莘莊中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測試題含解析

2024屆上海市莘莊中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）A．實(shí)軸上 B．虛軸上 C．第一象限 D．第二象限2．設(shè)，為的展開式的第一項(xiàng)（為自然對數(shù)的底數(shù)），,若任取，則滿足的概率是（）A． B． C． D．3．函數(shù)（，是自然對數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．4．設(shè)集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若，則（）A．{3，1} B．{3，2，1} C．{3，2} D．{3，0，1，2}5．函數(shù)在其定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象為（）A． B．C． D．6．根據(jù)歷年氣象統(tǒng)計資料，某地四月份吹東風(fēng)的概率為，下雨的概率為，既吹東風(fēng)又下雨的概率為.則在下雨條件下吹東風(fēng)的概率為（）A． B． C． D．7．函數(shù)f(x)=sin(ωx+πA．關(guān)于直線x=π12對稱 B．關(guān)于直線C．關(guān)于點(diǎn)π12，0對稱 D．8．1-2x5展開式中的x3系數(shù)為（A．40 B．-40 C．80 D．-809．下列說法中，正確說法的個數(shù)是（）①在用列聯(lián)表分析兩個分類變量與之間的關(guān)系時，隨機(jī)變量的觀測值越大，說明“A與B有關(guān)系”的可信度越大②以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到線性方程，則，的值分別是和0.3③已知兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為，若，，，則A．0 B．1 C．2 D．310．在等差數(shù)列中，且，則的最大值等于(）A．3 B．4 C．6 D．911．已知兩條不同直線a、b，兩個不同平面、，有如下命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，，則以上命題正確的個數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．012．不等式＞0的解集是A．（，） B．（4，）C．（，－3）∪（4，+） D．（，－3）∪（，）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．有甲、乙二人去看望高中數(shù)學(xué)張老師，期間他們做了一個游戲，張老師的生日是月日，張老師把告訴了甲，把告訴了乙，然后張老師列出來如下10個日期供選擇:2月5日，2月7日，2月9日，3月2日，3月7日，5月5日，5月8日，7月2日，7月6日，7月9日．看完日期后，甲說“我不知道，但你一定也不知道”，乙聽了甲的話后，說“本來我不知道，但現(xiàn)在我知道了”，甲接著說，“哦，現(xiàn)在我也知道了”．請問張老師的生日是_______．14．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為____．15．已知是等差數(shù)列，公差不為零．若，，成等比數(shù)列，且，則，．16．4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率是________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù).(Ⅰ)求函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間；(Ⅱ)當(dāng)時，求函數(shù)的最大值和最小值.18．（12分）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列，求的前項(xiàng)和．19．（12分）2021年，廣東省將實(shí)施新高考，2018年暑期入學(xué)的高一學(xué)生是新高考首批考生，新高考不再分文理科，采用模式，其中“3”是指語文、數(shù)學(xué)、外語；“1”是指在物理和歷史中必選一科（且只能選一科）；“2”是指在化學(xué)，生物，政治，地理四科中任選兩科.為積極推進(jìn)新高考，某中學(xué)將選科分為兩個環(huán)節(jié)，第一環(huán)節(jié)：學(xué)生在物理和歷史兩科中選擇一科；第二環(huán)節(jié)：學(xué)生在化學(xué)，生物，政治，地理四科中任選兩科.若一個學(xué)生兩個環(huán)節(jié)的選科都確定，則稱該學(xué)生的選考方案確定；否則，稱該學(xué)生選考方案待確定.該學(xué)校為了解高一年級1000名學(xué)生選考科目的意向，隨機(jī)選取50名學(xué)生進(jìn)行了一次調(diào)查，這50人第一環(huán)節(jié)的選考科目都確定，有32人選物理，18人選歷史；第二環(huán)節(jié)的選考科目已確定的有30人，待確定的有20人，具體調(diào)查結(jié)果如下表：選考方案確定情況化學(xué)生物政治地理物理選考方案確定的有18人161154選考方案待確定的有14人5500歷史選考方案確定的有12人35412選考方案待確定的有6人0032（1）估計該學(xué)校高一年級選考方案確定的學(xué)生中選考政治的學(xué)生有多少人？（2）從選考方案確定的12名歷史選考生中隨機(jī)選出2名學(xué)生，設(shè)隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.（3）在選考方案確定的18名物理選考生中，有11名學(xué)生選考方案為物理、化學(xué)、生物，試問剩余7人中選考方案為物理、政治、地理的人數(shù).（只需寫出結(jié)果）20．（12分）某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）估計該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率；（3）從評分在的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人評分都在的概率.21．（12分）某商場舉行促銷活動，有兩個摸獎箱，箱內(nèi)有一個“”號球，兩個“”號球，三個“”號球、四個無號球，箱內(nèi)有五個“”號球，五個“”號球，每次摸獎后放回，每位顧客消費(fèi)額滿元有一次箱內(nèi)摸獎機(jī)會，消費(fèi)額滿元有一次箱內(nèi)摸獎機(jī)會，摸得有數(shù)字的球則中獎，“”號球獎元，“”號球獎元，“”號球獎元，摸得無號球則沒有獎金．（1）經(jīng)統(tǒng)計，顧客消費(fèi)額服從正態(tài)分布，某天有位顧客，請估計消費(fèi)額（單位：元）在區(qū)間內(nèi)并中獎的人數(shù).（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）附：若，則，.（2）某三位顧客各有一次箱內(nèi)摸獎機(jī)會，求其中中獎人數(shù)的分布列.（3）某顧客消費(fèi)額為元，有兩種摸獎方法，方法一：三次箱內(nèi)摸獎機(jī)會；方法二：一次箱內(nèi)摸獎機(jī)會.請問：這位顧客選哪一種方法所得獎金的期望值較大.22．（10分）已知（1）求及的值；（2）求證：（），并求的值.（3）求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

利用復(fù)數(shù)的乘法法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，即可得出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的位置．【題目詳解】，對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所對應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)，考查復(fù)數(shù)的乘法法則，關(guān)于復(fù)數(shù)問題，一般要利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式進(jìn)行解答，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、D【解題分析】分析：由已知求得m，畫出A表示的平面區(qū)域和滿足ab＞1表示的平面區(qū)域，求出對應(yīng)的面積比即可得答案．詳解:由題意，s=，∴m==，則A={（x，y）|0＜x＜m，0＜y＜1}={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}，畫出A={（x，y）|0＜x＜e，0＜y＜1}表示的平面區(qū)域，任取（a，b）∈A，則滿足ab＞1的平面區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，如圖所示：計算陰影部分的面積為S陰影==（x﹣lnx）=e﹣1﹣lne+ln1=e﹣1．所求的概率為P=，故答案為：D．點(diǎn)睛：（1）本題主要考查幾何概型，考查定積分和二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(1)解答本題的關(guān)鍵是利用定積分求陰影部分的面積.3、B【解題分析】

由函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)等價于函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個交點(diǎn)，畫出與的大致圖象，根據(jù)使得函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個交點(diǎn)，得到，即可求解.【題目詳解】由題意，函數(shù)（，是自然對數(shù)的底數(shù)，）存在唯一的零點(diǎn)等價于函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個交點(diǎn)，因?yàn)?，所以函?shù)與函數(shù)唯一交點(diǎn)為，又因?yàn)?，且，所以，即函?shù)在上單調(diào)遞減函數(shù)，又因?yàn)槭亲钚≌芷跒?，最大值為的正弦函數(shù)，所以可得與函數(shù)的大致圖象，如圖所示，所以要使得函數(shù)與函數(shù)只有唯一一個焦點(diǎn)，則，因?yàn)?，則，，所以，解得，又因?yàn)?，所以?shí)數(shù)的范圍為，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，其中解答中把唯一零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點(diǎn)問題，結(jié)合圖象進(jìn)行分析研究是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.4、B【解題分析】分析：由求出a的值，再根據(jù)題意求出b的值，然后由并集運(yùn)算直接得答案.詳解：由，，即，，則.故選：B.點(diǎn)睛：本題考查了并集及其運(yùn)算，考查了對數(shù)的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題.5、D【解題分析】分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即可得到結(jié)論.詳解：觀察函數(shù)圖象，從左到右單調(diào)性先單調(diào)遞增，然后單調(diào)遞減，最后單調(diào)遞增.對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)符號為正，負(fù)，正.,選項(xiàng)D的圖象正確.故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號的對應(yīng)關(guān)系是解題關(guān)鍵.6、C【解題分析】

在下雨條件下吹東風(fēng)的概率=既吹東風(fēng)又下雨的概率下雨的概率【題目詳解】在下雨條件下吹東風(fēng)的概率為，選C【題目點(diǎn)撥】本題考查條件概率的計算，屬于簡單題．7、B【解題分析】

求出函數(shù)的解析式，然后判斷對稱中心或?qū)ΨQ軸即可．【題目詳解】函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+π3）（ω＞0）的最小正周期為π2，可得ω函數(shù)f（x）＝2sin（4x+π由4x+π3=kπ+π2，可得x=kπ當(dāng)k＝0時，函數(shù)的對稱軸為：x=π故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，周期的求法，考查計算能力，是基礎(chǔ)題8、D【解題分析】

由二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式，賦值即可求出。【題目詳解】1-2x5展開式的通項(xiàng)公式是T令r=3，所以x3系數(shù)為C53【題目點(diǎn)撥】本題主要考查如何求二項(xiàng)式定理的展開式中某一項(xiàng)的系數(shù)。9、D【解題分析】

對題目中的三個命題判斷正誤，即可得出結(jié)論．【題目詳解】解：對于①，分類變量A與B的隨機(jī)變量K2越大，說明“A與B有關(guān)系”的可信度越大，①正確；對于②，以模型y＝cekx去擬合一組數(shù)據(jù)時，設(shè)z＝lny，由y＝cekx，兩邊取對數(shù)，可得lny＝ln（cekx）＝lnc+lnekx＝lnc+kx，令z＝lny，可得z＝lnc+kx，又z＝0.3x+4，∴l(xiāng)nc＝4，k＝0.3，c＝e4，②正確；對于③，根據(jù)回歸直線方程為y＝a+bx，，∴ab3﹣2×1＝1，∴③正確；綜上，正確的命題為①②③，共3個．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了回歸方程，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，隨機(jī)變量K2的概念與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．10、B【解題分析】

先由等差數(shù)列的求和公式，得到，再由基本不等式，即可求出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中，所以，即，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，的最大值為4.故選B?！绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查基本不等式求積的最大值，熟記等差數(shù)列的求和公式以及基本不等式即可，屬于常考題型.11、C【解題分析】

直接利用空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系逐一判定即可得答案．【題目詳解】①若a∥α，b?α，則a與b平行或異面，故①錯誤；②若a∥α，b∥α，則a∥b，則a與b平行，相交或異面，故②錯誤；③若，a?α，則a與β沒有公共點(diǎn)，即a∥β，故③正確；④若α∥β，a?α，b?β，則a與b無公共點(diǎn)，∴平行或異面，故④錯誤．∴正確的個數(shù)為1．故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查命題真假的判斷，考查直線與平面之間的位置關(guān)系，涉及到線面、面面平行的判定與性質(zhì)定理，是基礎(chǔ)題．12、D【解題分析】分析：解分式不等式先移項(xiàng)將一側(cè)化為0，通分整理，轉(zhuǎn)化為乘法不等式。詳解：，故選D。點(diǎn)睛：解分式不等式的解法要，先移項(xiàng)將一側(cè)化為0（本身一側(cè)為0不需要移項(xiàng)），通分整理，轉(zhuǎn)化為乘法不等式，但分母不能為0.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3月2日【解題分析】

甲說“我不知道，但你一定也不知道”，可排除五個日期，乙聽了甲的話后，說“本來我不知道，但現(xiàn)在我知道了”，再排除2個日期，由此能求出結(jié)果.【題目詳解】甲只知道生日的月份，而給出的每個月都有兩個以上的日期，所以甲說“我不知道”，根據(jù)甲說“我不知道，但你一定也不知道”，而5月、7月中8日6日是唯一的，所以5月、7月不正確，乙聽了甲的話后，說“本來我不知道，但現(xiàn)在我知道了”，而剩余的5個日期中乙能確定生日，說明一定不是7日，甲接著說，“哦，現(xiàn)在我也知道了”，可排除2月5日2月9日，現(xiàn)在可以得知張老師生日為3月2日.【題目點(diǎn)撥】本題考查推理能力，考查進(jìn)行簡單的合情推理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能夠根據(jù)敘述合理運(yùn)用排除法進(jìn)行求解.14、－【解題分析】

由純虛數(shù)的定義，可以得到一個關(guān)于的等式和不等式，最后求出的值.【題目詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù)，所以有，.故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了純虛數(shù)的定義，解不等式和方程是解題的關(guān)鍵.15、【解題分析】

根據(jù)題意列出關(guān)于、的方程組，即可解出這兩個量的值.【題目詳解】由題可得，，故有，又因?yàn)?，即，所?【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列基本量的計算，解題的關(guān)鍵就是根據(jù)題意列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組進(jìn)行求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.16、7【解題分析】

求得4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動、周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的情況，利用古典概型概率公式求解即可．【題目詳解】4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，共有24=16種情況，周六、周日都有同學(xué)參加公益活動，共有24﹣2=16﹣2=14種情況，∴所求概率為1416=7故答案為：78【題目點(diǎn)撥】有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)：1．基本事件總數(shù)較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉；2．注意區(qū)分排列與組合，以及計數(shù)原理的正確使用．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ），0【解題分析】

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)橥ㄟ^對函數(shù)求導(dǎo)可得，所以要求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即要滿足，即解可得x的范圍.本小題要處理好兩個關(guān)鍵點(diǎn)：三角的化一公式；解三角不等式.（Ⅱ）因?yàn)橛桑á瘢┛傻煤瘮?shù)在上遞增，又因?yàn)樗钥傻檬菃握{(diào)增區(qū)間，是單調(diào)減區(qū)間.從而可求結(jié)論.試題解析：（Ⅰ）單調(diào)區(qū)間為（Ⅱ）由知（Ⅰ）知，是單調(diào)增區(qū)間，是單調(diào)減區(qū)間所以,考點(diǎn)：1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解決單調(diào)性問題.2.區(qū)間限制的最值問題.3.解三角不等式.18、（1）；（2）．【解題分析】試題分析：（1）將已知條件轉(zhuǎn)化為數(shù)列的首項(xiàng)和公差表示，通過解方程組可得到基本量的值，從而求得通項(xiàng)公式；（2）借助于（1）可求得的通項(xiàng)公式，結(jié)合特點(diǎn)利用列項(xiàng)求和法求和試題解析：（1）由已知有，則（2），則考點(diǎn)：數(shù)列求通項(xiàng)公式就和19、（1）180；（1）；（3）1人.【解題分析】

（1）利用分層抽樣原理求得對應(yīng)的學(xué)生人數(shù)；（1）由題意知隨機(jī)變量的可能取值，計算對應(yīng)的概率，寫出的分布列，計算數(shù)學(xué)期望值；（3）由化學(xué)中去除11人后余5人，結(jié)合選政治和地理的人數(shù)，可得所求．【題目詳解】（1）由數(shù)據(jù)可知，選考方案確定的18名物理選考生中確定選考政治的有5人，選考方案確定的11名歷史選考生中確定選考政治的有4人所以，估計該學(xué)校高一年級選考方案確定的學(xué)生中選考政治的學(xué)生有人（1）由數(shù)據(jù)可知，選考方案確定的11名歷史考生中有3人選考化學(xué)、地理；有5人選考生物、地理；有4人選考政治、地理.由已知得的所有取值為0，1，則所以的分布列為01所以數(shù)學(xué)期望.（3）剩余7人中選考方案為物理、政治、地理的人數(shù)為1．【題目點(diǎn)撥】本題考查了分層抽樣的計算，也考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望問題，是中檔題．20、（Ⅰ）0.006；（Ⅱ）；（Ⅲ）【解題分析】

試題分析：（Ⅰ）在頻率分布直方圖中，由頻率總和即所有矩形面積之和為，可求；（Ⅱ）在頻率分布直方圖中先求出50名受訪職工評分不低于80的頻率為，由頻率與概率關(guān)系可得該部門評分不低于80的概率的估計值為;（Ⅲ）受訪職工評分在[50,60)的有3人，記為，受訪職工評分在[40,50)的有2人，記為，列出從這5人中選出兩人所有基本事件，即可求相應(yīng)的概率.試題解析：（Ⅰ）因?yàn)椋浴?.4分)（Ⅱ）由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評分不低于80的頻率為，所以該企業(yè)職工對該部門評分不低于80的概率的估計值為………8分（Ⅲ）受訪職工評分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3（人），即為;受訪職工評分在[40,50)的有：50×0.004×40＝2（人），即為.從這5名受訪職工中隨機(jī)抽取2人，所有可能的結(jié)果共有10種，它們是又因?yàn)樗槿?人的評分都在[40,50)的結(jié)果有1種，即，故所求的概率為考點(diǎn)：1.頻率分布直方圖；2.概率和頻率的關(guān)系；3.古典概型.【名師點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖、概率與頻率關(guān)系、古典概型，屬中檔題；利用頻率分布直方圖解題的時，注意其表達(dá)的意義，同時要理解頻率是概率的估計值這一基礎(chǔ)知識；在利用古典概型解題時，要注意列出所有的基本事件，千萬不可出現(xiàn)重、漏的情況.21、(1)中獎的人數(shù)約為人.(2)分布列見解析.(3)這位顧客選方法二所得獎金的期望值較大.【解題分析】分析：（1）依題意得，，得，消費(fèi)額在區(qū)間內(nèi)的顧客有一次箱內(nèi)摸獎機(jī)會，中獎率為，人數(shù)約，可得其中中獎的人數(shù)；（2）三位顧客每人一次箱內(nèi)摸獎中獎率都為，三人中中獎人數(shù)服從二項(xiàng)分布，，，從而可得分布列；（3）利用數(shù)學(xué)期望的計算公式算出兩種方法所