河北省邯鄲市雞澤縣第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題含解析

河北省邯鄲市雞澤縣第一中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在區(qū)間上任取兩個實(shí)數(shù)a，b，則函數(shù)無零點(diǎn)的概率為（）A． B． C． D．2．五名應(yīng)屆畢業(yè)生報(bào)考三所高校,每人報(bào)且僅報(bào)一所院校,則不同的報(bào)名方法的種數(shù)是()A． B． C． D．3．已知，，，則的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．4．設(shè)，則“，且”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．若集合,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B．C． D．6．的展開式中，的系數(shù)為()A．-10 B．-5 C．5 D．07．已知等差數(shù)列前9項(xiàng)的和為27，，則A．100 B．99 C．98 D．978．過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)，且，則（）A． B． C． D．9．一個球從100米高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，則右邊程序框圖輸出的S表示的是（）A．小球第10次著地時向下的運(yùn)動共經(jīng)過的路程B．小球第10次著地時一共經(jīng)過的路程C．小球第11次著地時向下的運(yùn)動共經(jīng)過的路程D．小球第11次著地時一共經(jīng)過的路程10．已知各頂點(diǎn)都在一個球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且側(cè)棱垂直于底面）高為4，體積為16，則這個球的表面積是（）A． B． C． D．11．已知向量，若，則（）A． B． C． D．12．中，角、、的對邊分別為，，，若，三角形面積為，，則()A．7 B．8 C．5 D．6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成員先后搶4個不相同的紅包，每人最多搶一個紅包，且紅包全被搶光，則甲乙兩人都搶到紅包的情況有________種14．已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)、在拋物線上位于軸的兩側(cè)，且（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），若的面積是，的面積是，則的最小值是______.15．把10個相同的小球全部放入編號為1，2，3的三個盒子中，要求每個盒子中的小球數(shù)不小于盒子的編號數(shù)，則不同的方法共有___________種16．若，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在數(shù)列an中，a（1）求a2（2）猜想an18．（12分）已知函數(shù)f(x)=sin（1）若fx在0,π2（2）若a=1，g(x)=f(x)+ex且gx19．（12分）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，.（Ⅰ）求及邊的值；（Ⅱ）求的值.20．（12分）（1）已知命題:實(shí)數(shù)滿足，命題:實(shí)數(shù)滿足方程表示的焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)命題:關(guān)于的不等式的解集是；:函數(shù)的定義域?yàn)?若是真命題，是假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．（12分）如圖，四棱錐中，底面ABCD為菱形，平面ABCD，BD交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)是線段PC中點(diǎn)，G為線段EC中點(diǎn)．Ⅰ求證：平面PBD；Ⅱ求證：．22．（10分）某種兒童型防蚊液儲存在一個容器中，該容器由兩個半球和一個圓柱組成，（其中上半球是容器的蓋子，防蚊液儲存在下半球及圓柱中），容器軸截面如圖所示，兩頭是半圓形，中間區(qū)域是矩形，其外周長為毫米.防蚊液所占的體積為圓柱體積和一個半球體積之和.假設(shè)的長為毫米.（注：，其中為球半徑，為圓柱底面積，為圓柱的高）（1）求容器中防蚊液的體積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）如何設(shè)計(jì)與的長度，使得最大？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

在區(qū)間上任取兩個實(shí)數(shù)a，b，其對應(yīng)的數(shù)對構(gòu)成的區(qū)域?yàn)檎叫?，所求事件?gòu)成的區(qū)域?yàn)樘菪螀^(qū)域，利用面積比求得概率.【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)無零點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，則事件函數(shù)無零點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域?yàn)樘菪?，在區(qū)間上任取兩個實(shí)數(shù)a，b所對應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域?yàn)檎叫?，所以函?shù)無零點(diǎn)的概率.【題目點(diǎn)撥】本題考查幾何概型計(jì)算概率，考查利用面積比求概率，注意所有基本事件構(gòu)成的區(qū)域和事件所含基本事件構(gòu)成的區(qū)域.2、D【解題分析】由題意，每個人可以報(bào)任何一所院校，則結(jié)合乘法原理可得：不同的報(bào)名方法的種數(shù)是.本題選擇D選項(xiàng).3、A【解題分析】

利用等中間值區(qū)分各個數(shù)值的大小．【題目詳解】，，，故，所以．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查大小比較問題，關(guān)鍵選擇中間量和函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．4、A【解題分析】分析：由題意逐一考查充分性和必要性即可.詳解：若“，且”，有不等式的性質(zhì)可知“”，則充分性成立；若“”，可能，不滿足“，且”，即必要性不成立；綜上可得：“，且”是“”的充分不必要條件.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查充分不必要條件的判定及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.5、D【解題分析】

本題需要考慮兩種情況，，通過二次函數(shù)性質(zhì)以及即集合性質(zhì)來確定實(shí)數(shù)的取值范圍?！绢}目詳解】設(shè)當(dāng)時，，滿足題意當(dāng)時，時二次函數(shù)因?yàn)樗院愦笥?，即所以，解得?！绢}目點(diǎn)撥】本題考察的是集合和帶有未知數(shù)的函數(shù)的綜合題，需要對未知數(shù)進(jìn)行分類討論。6、B【解題分析】

在的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)分別等于2和1，求出r的值，得到含與的項(xiàng)，再與、與-1對應(yīng)相乘即可求得展開式中x的系數(shù)．【題目詳解】要求的系數(shù)，則的展開式中項(xiàng)與相乘，項(xiàng)與-1相乘，的展開式中項(xiàng)為，與相乘得到，的展開式中項(xiàng)為，與-1相乘得到，所以的系數(shù)為.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式及特定項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．7、C【解題分析】試題分析：由已知，所以故選C.【考點(diǎn)】等差數(shù)列及其運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】等差、等比數(shù)列各有五個基本量,兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運(yùn)算問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于基本量的方程（組）,因此可以說數(shù)列中的絕大部分運(yùn)算題可看作方程應(yīng)用題,所以用方程思想解決數(shù)列問題是一種行之有效的方法.8、C【解題分析】

由已知可得，再由，即可求出結(jié)論.【題目詳解】因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線為，點(diǎn)在拋物線上，所以，.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)用焦半徑公式是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】結(jié)合題意閱讀流程圖可知，每次循環(huán)記錄一次向下運(yùn)動經(jīng)過的路程，上下的路程相等，則表示小球第11次著地時向下的運(yùn)動共經(jīng)過的路程.本題選擇C選項(xiàng).10、C【解題分析】

根據(jù)正四棱柱的底面是正方形,高為4,體積為16,求得底面正方形的邊長,再求出其對角線長,然后根據(jù)正四棱柱的體對角線是外接球的直徑可得球的半徑,再根據(jù)球的表面積公式可求得.【題目詳解】依題意正四棱柱的體對角線是其外接球的直徑,的中點(diǎn)是球心,如圖:依題意設(shè),則正四棱柱的體積為:,解得,所以外接球的直徑,所以外接球的半徑,則這個球的表面積是.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了球與正四棱柱的組合體,球的表面積公式,正四棱柱的體積公式,屬中檔題.11、C【解題分析】

首先根據(jù)向量的線性運(yùn)算求出向量，再利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示列出方程，即可求出的值．【題目詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，即，解得或，又，所以．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算，平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題．12、A【解題分析】分析：由已知及三角形的面積公式可求bc，然后由a+b+c=20以及余弦定理，即可求a．詳解：由題意可得，S△ABC=bcsinA=bcsin60°∴bcsin60°=10∴bc=40∵a+b+c=20∴20﹣a=b+c．由余弦定理可得，a2=b2+c2﹣2bccos60°=（b+c）2﹣3bc=（20﹣a）2﹣120解得a=1．故選A．點(diǎn)睛：本題綜合考查正弦定理、余弦定理及三角形的面積公式等知識的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活利用公式．考查計(jì)算能力．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、72【解題分析】第一步甲乙搶到紅包，有種，第二步其余三人搶剩下的兩個紅包，有種，所以甲乙兩人都搶到紅包的情況有種．14、【解題分析】

設(shè)點(diǎn)、，并設(shè)，則，利用，可得出，并設(shè)直線的方程為，將此直線與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可求出的值，可得出直線過定點(diǎn)，再利用三角形的面積公式以及基本不等式可求出的最小值.【題目詳解】設(shè)點(diǎn)、，并設(shè)，則，，則，易知，得，.設(shè)直線的方程為，代入拋物線的方程得，則，得，所以直線的方程為，直線過軸上的定點(diǎn)，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等式成立，因此，的最小值為，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題考查直線與拋物線的綜合問題，常規(guī)思路就是設(shè)出直線方程，將其與拋物線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求解，另外在求最值時，充分利用基本不等式進(jìn)行求解，難點(diǎn)在于計(jì)算量較大，屬于難題.15、15【解題分析】

將編號為的三個盒子中分別放入個小球，從而將問題轉(zhuǎn)變?yōu)榉细舭宸ǖ男问剑酶舭宸ㄇ蠼獾玫浇Y(jié)果.【題目詳解】編號為的三個盒子中分別放入個小球，則還剩個小球則問題可變?yōu)榍髠€相同的小球放入三個盒子中，每個盒子至少放一個球的不同方法的種數(shù)由隔板法可知共有：種方法本題正確結(jié)果：【題目點(diǎn)撥】本題考查隔板法求解組合應(yīng)用問題，關(guān)鍵是能夠首先將問題轉(zhuǎn)化為符合隔板法的形式，隔板法主要用來處理相同元素的組合問題.16、【解題分析】

利用二倍角公式直接計(jì)算得到答案.【題目詳解】.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角恒等變換，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）4，9，16；（2）an【解題分析】

（1）根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系，把n=1,2,3分別代入，求出a2（2）先假設(shè)n=k時，ak=k【題目詳解】（1）∵a1=1，∴a2故a2,a（2）由（1）猜想an①當(dāng)n=1時，a1②設(shè)n=k時，猜想成立，即ak則當(dāng)n=k+1時，ak+1即當(dāng)n=k+1時猜想也成立，由①②可知，猜想成立，即an【題目點(diǎn)撥】運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時，要求嚴(yán)格按照從特殊到一般的思想證明，特別是歸納假設(shè)一定要用到，否則算是沒有完成證明.18、（1）a>0（2）見解析【解題分析】

（1）求出函數(shù)y=fx的導(dǎo)數(shù)，對實(shí)數(shù)a分a≤0和a>0兩種情況討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)存在定理以及導(dǎo)數(shù)符號來判斷，于此得出實(shí)數(shù)a（2）利用分析法進(jìn)行轉(zhuǎn)化證明，構(gòu)造新函數(shù)Fx=g【題目詳解】（1）已知f'當(dāng)a≤0時，f'(x)≥0，∴f(x)在0,π2上單調(diào)遞增，此時不存在極大值點(diǎn)；當(dāng)a>0時，f''(x)=-sinx-a<0，又f'(0)=1>0，f'π2=-π2a<0，故存在唯一x0此時，x0是函數(shù)fx綜上可得a>0；（2）依題g(x)=ex+∴g(x)=ex+∵g(0)=1,:x欲證x1+x2<0，等價證x令F(x)=g(-x)+g(x)-2=e∵F'(x)=e故x>0時，F(xiàn)'(x)單調(diào)遞增∴F(x)單調(diào)遞增，∴F(x)>F(0)=0，得證.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，涉及極值點(diǎn)的存在性問題，以及二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)解決函數(shù)不等式的證明，考查函數(shù)思想，考查轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，屬于難題。19、(1)，或；(2).【解題分析】分析：（1）根據(jù)正弦定理和二倍角公式，求得，在利用余弦定理求得邊長的值；（2）由二倍角公式求得，再利用三角恒等變換求得的值.詳解：（Ⅰ）中，，，∴，又，∴，，解得；又，，，解得或；（Ⅱ）∵，∴，∴；∴.點(diǎn)睛：本題主要考查了利用正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換求解三角形問題，對于解三角形問題，通常利用正弦定理進(jìn)行“邊轉(zhuǎn)角”尋求角的關(guān)系，利用“角轉(zhuǎn)邊”尋求邊的關(guān)系，利用余弦定理借助三邊關(guān)系求角，利用兩角和差公式及二倍角公式求三角函數(shù)值.利用正、余弦定理解三角形問題是高考高頻考點(diǎn)，經(jīng)常利用三角形內(nèi)角和定理，三角形面積公式，結(jié)合正、余弦定理解題.20、（1）；（2）【解題分析】分析：（1）利用一元二次不等式的解法化簡，利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程化簡，由包含關(guān)系列不等式求解即可；（2）化簡命題可得，化簡命題可得，由為真命題，為假命題，可得一真一假，分兩種情況討論，對于真假以及假真分別列不等式組，分別解不等式組，然后求并集即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.詳解：（1）由得：，即命題由表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，可得，解得，即命題.因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以或解得：，∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）解：命題為真命題時，實(shí)數(shù)的取值集合為對于命題:函數(shù)的定義域?yàn)榈某湟獥l件是①恒成立.當(dāng)時，不等式①為，顯然不成立；當(dāng)時，不等式①恒成立的條件是，解得所以命題為真命題時，的取值集合為由“是真命題，是假命題”，可知命題、一真一假當(dāng)真假時，的取值范圍是當(dāng)假真時，的取值范圍是綜上，的取值范圍是.點(diǎn)睛：本題主要考查根據(jù)命題真假求參數(shù)范圍、一元二次不等式的解法、指數(shù)函數(shù)的