黑龍江省2024屆數(shù)學高二第二學期期末綜合測試模擬試題含解析

黑龍江省2024屆數(shù)學高二第二學期期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)在上恒不大于0，則的最大值為（）A． B． C．0 D．12．口袋中裝有標號為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個球，從袋中一次摸出2個球，記下號碼并放回，若這2個號碼之和是4的倍數(shù)或這2個球號碼之和是3的倍數(shù)，則獲獎.某人從袋中一次摸出2個球，其獲獎的概率為（）A． B． C． D．3．如圖，在正方體中，分別是的中點，則下列說法錯誤的是（）A． B．平面C． D．平面4．已知下表所示數(shù)據(jù)的回歸直線方程為y，則實數(shù)a的值為x23456y3711a21A．16 B．18C．20 D．225．設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域為，若直線的圖象經(jīng)過區(qū)域，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)有三個不同的零點（其中），則的值為()A． B． C． D．17．復數(shù)的模是()A．3 B．4 C．5 D．78．復數(shù)（）A． B． C． D．9．已知雙曲線方程為，它的一條漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．10．某快遞公司共有人，從周一到周日的七天中，每天安排一人送貨，每人至少送貨天，其不同的排法共有（）種.A． B． C． D．11．已知函數(shù)與的圖象如圖所示，則函數(shù)（）A．在區(qū)間上是減函數(shù) B．在區(qū)間上是減函數(shù)C．在區(qū)間上減函數(shù) D．在區(qū)間上是減函數(shù)12．“m≠0”是“方程=m表示的曲線為雙曲線”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在數(shù)列中，，，則________.14．觀察如圖等式，照此規(guī)律，第個等式為______.15．集合的所有子集個數(shù)為_________．16．已知正六棱柱的底面邊長為，側(cè)棱為，則該正六棱柱的體積為_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）若正數(shù)滿足，求的最小值.18．（12分）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點，且滿足，(1)求的解析式；(2)已知，求函數(shù)在的最大值和最小值；函數(shù)的圖像上是否存在這樣的點，其橫坐標是正整數(shù)，縱坐標是一個完全平方數(shù)？如果存在，求出這樣的點的坐標；如果不存在，請說明理由19．（12分）已知.（1）討論的單調(diào)性；（2）若，且在區(qū)間上的最小值為，求的值.20．（12分）設(shè)函數(shù).（1）求過點的切線方程；（2）若方程有3個不同的實根，求的取值范圍。（3）已知當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．21．（12分）求證：22．（10分）設(shè)函數(shù)f(x)＝1－x2＋ln(x＋1).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若不等式f(x)＞－x2(k∈N*)在(0，＋∞)上恒成立，求k的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

先求得函數(shù)導數(shù)，當時，利用特殊值判斷不符合題意.當時，根據(jù)的導函數(shù)求得的最大值，令這個最大值恒不大于零，化簡后通過構(gòu)造函數(shù)法，利用導數(shù)研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性和零點，并由此求得的取值范圍，進而求得的最大值.【題目詳解】，當時，，則在上單調(diào)遞增，，所以不滿足恒成立；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又恒成立，即.設(shè)，則.因為在上單調(diào)遞增，且，，所以存在唯一的實數(shù)，使得，當時，；當時，，所以，解得，又，所以，故整數(shù)的最大值為.故選A.【題目點撥】本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查構(gòu)造函數(shù)法，考查零點存在性定理，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.2、A【解題分析】分析：先求出基本事件的總數(shù)，再求出這2個號碼之和是4的倍數(shù)或這2個球號碼之和是3的倍數(shù)的基本事件，再根據(jù)古典概型的概率計算公式求解即可.詳解：從6個球中一次摸出2個球，共有種，2個號碼之和是4的倍數(shù)或這2個球號碼之和是3的倍數(shù)，共有：9種，獲獎的概率為.故選A.點睛：求古典概型的概率的關(guān)鍵是求試驗的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件的個數(shù)，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹形圖法，具體應(yīng)用時可根據(jù)需要靈活選擇．3、C【解題分析】

以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出結(jié)果．【題目詳解】∵在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，

∴以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，

設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為2，

則B（2，2，0），C1（0，2，2），M（1，2，1），D1（0，0，2），C（0，2，0），N（0，1，1），

∴MN⊥CC1，故A正確；∴MN⊥平面ACC1A1，故B成立；

∵∴MN和AB不平行，故C錯誤；

平面ABCD的法向量又MN?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD，故D正確．

故選C．【題目點撥】本題考查命題的真假判斷，考空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．4、B【解題分析】

，代入回歸直線方程得，所以，則，故選擇B.5、C【解題分析】

由約束條件作出可行域，由直線過定點，數(shù)形結(jié)合求得定點與可行域內(nèi)動點連線的斜率的范圍，則答案可求．【題目詳解】由不等式組作出可行域，如圖.直線表示過點斜率為的直線.直線的圖象經(jīng)過區(qū)域即將軸繞點沿逆時針旋轉(zhuǎn)到點的位置..所以直線的圖象經(jīng)過區(qū)域，其斜率.故選：C【題目點撥】本題考查了直線系方程，考查了直線的斜率，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．6、D【解題分析】

令y=，從而求導y′=以確定函數(shù)的單調(diào)性及取值范圍，再令=t，從而化為t2+（a﹣1）t+1﹣a=0有兩個不同的根，從而可得a＜﹣3或a＞1，討論求解即可．【題目詳解】令y=，則y′=，故當x∈（0，e）時，y′＞0，y=是增函數(shù)，當x∈（e，+∞）時，y′＞0，y=是減函數(shù)；且=﹣∞，=，=0；令=t，則可化為t2+（a﹣1）t+1﹣a=0，故結(jié)合題意可知，t2+（a﹣1）t+1﹣a=0有兩個不同的根，故△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，故a＜﹣3或a＞1，不妨設(shè)方程的兩個根分別為t1，t2，①若a＜﹣3，t1+t2=1﹣a＞4，與t1≤且t2≤相矛盾，故不成立；②若a＞1，則方程的兩個根t1，t2一正一負；不妨設(shè)t1＜0＜t2，結(jié)合y=的性質(zhì)可得，=t1，=t2，=t2，故（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=（1﹣t1）2（1﹣t2）（1﹣t2）=（1﹣（t1+t2）+t1t2）2又∵t1t2=1﹣a，t1+t2=1﹣a，∴（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=1；故選：D．【題目點撥】本題考查了導數(shù)的綜合應(yīng)用及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查了函數(shù)的零點個數(shù)問題，考查了分類討論思想的應(yīng)用．7、C【解題分析】

直接利用復數(shù)的模的定義求得的值．【題目詳解】|，故選：C．【題目點撥】本題主要考查復數(shù)的模的定義和求法，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解題分析】分析：直接利用復數(shù)的除法運算得解.詳解：由題得，故答案為：C.點睛：本題主要考查復數(shù)的運算，意在考查學生對該知識的掌握水平和基本運算能力.9、A【解題分析】方法一：雙曲線的漸近線方程為，則，圓的方程，圓心為，所以，化簡可得，則離心率.方法二：因為焦點到漸近線的距離為，則有平行線的對應(yīng)成比例可得知，即則離心率為.選A.10、C【解題分析】分析：把天分成天組，然后人各選一組值班即可.詳解：天分成天，天，天組，人各選一組值班，共有種，故選C.點睛：本題主要考查分組與分配問題問題，著重考查分步乘法計數(shù)原理，意在考查綜合運用所學知識解決實際問題的能力，屬于中檔題.11、B【解題分析】分析：求出函數(shù)的導數(shù)，結(jié)合圖象求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可．詳解：，

由圖象得：時，，

故在遞增，

故選：B．點睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查導數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．12、C【解題分析】

根據(jù)雙曲線的標準方程進行判斷．【題目詳解】時，方程表示兩條直線，時，方程可化為，時表示焦點在軸上的雙曲線，時表示焦點在軸上的雙曲線．故選C．【題目點撥】本題考查雙曲線的標準方程，考查充分必要條件，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線的標準方程．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

先根據(jù)分組求和得再求極限得結(jié)果.【題目詳解】因為，所以因此故答案為：【題目點撥】本題考查分組求和以及數(shù)列極限，考查基本分析求解能力，屬中檔題.14、.【解題分析】分析：由題意結(jié)合所給等式的規(guī)律歸納出第個等式即可.詳解：首先觀察等式左側(cè)的特點：第1個等式開頭為1，第2個等式開頭為2，第3個等式開頭為3，第4個等式開頭為4，則第n個等式開頭為n，第1個等式左側(cè)有1個數(shù)，第2個等式左側(cè)有3個數(shù)，第3個等式左側(cè)有5個數(shù)，第4個等式左側(cè)有7個數(shù)，則第n個等式左側(cè)有2n-1個數(shù)，據(jù)此可知第n個等式左側(cè)為：，第1個等式右側(cè)為1，第2個等式右側(cè)為9，第3個等式右側(cè)為25，第4個等式右側(cè)為49，則第n個等式右側(cè)為，據(jù)此可得第個等式為.點睛：歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理，由歸納推理所得的結(jié)論不一定正確，通常歸納的個體數(shù)目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發(fā)現(xiàn)一般性規(guī)律的重要方法．15、8【解題分析】試題分析：∵集合有3個元素，∴集合的所有子集個數(shù)為考點：本題考查了子集的個數(shù)點評：解決此類問題常常用到：若集合有n個元素，則該集合的所有子集個數(shù)為16、【解題分析】

先計算出底面正六邊形的面積，然后根據(jù)棱柱的體積公式，即可求解出正六棱柱的體積.【題目詳解】因為底面是個邊長為的正三角形，所以底面積為，所以正六棱柱的體積為：.故答案為：.【題目點撥】本題考查正棱柱的體積計算，難度較易.棱柱的體積計算公式：(是棱柱的底面積，是棱柱的高).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解題分析】試題分析：由柯西不等式得，所以試題解析：因為均為正數(shù)，且，所以．于是由均值不等式可知，當且僅當時，上式等號成立．從而．故的最小值為．此時．考點：柯西不等式18、（1）；（2）當時，，當，當，；當，；（3）.【解題分析】

（1）由得到函數(shù)的對稱軸，所以，再根據(jù)函數(shù)所過的點得到c=11,進而得到函數(shù)表達式；（2）根據(jù)函數(shù)表達式將絕對值去點，寫成分段形式，討論t的范圍，進而得到最值；設(shè)函數(shù)的圖像上存在點符合要求其中則，從而，變形為，根據(jù)數(shù)據(jù)43為質(zhì)數(shù)，故可得到結(jié)果.【題目詳解】（1）因為二次函數(shù)所以二次函數(shù)的對稱軸方程為，即，所以.又因為二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點所以，解得，因此，函數(shù)的解析式為.(2)由（1）知，=，所以，當時，，當，當，當，，如果函數(shù)的圖像上存在點符合要求其中則，從而即,注意到43是質(zhì)數(shù)，且，所以有，解得,因此，函數(shù)的圖像上存在符合要求的點，它的坐標為.【題目點撥】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．分段函數(shù)的值域是將各段的值域并到一起，分段函數(shù)的定義域是將各段的定義域并到一起，分段函數(shù)的最值，先取每段的最值，再將兩段的最值進行比較，最終取兩者較大或者較小的.19、（1）當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)函數(shù)解析式可得定義域和導函數(shù)；分別在和兩種情況下討論導函數(shù)的符號，從而得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）首先確定解析式和；通過可知；分別在、和三種情況下確定在上的單調(diào)性，從而得到最小值的位置，利用最小值構(gòu)造方程求得結(jié)果.【題目詳解】（1）由題意得：定義域為：；當時，在上恒成立在上單調(diào)遞增當時，令，解得：時，；時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）則令，解得：①當，即時，在上恒成立在上單調(diào)遞增，解得：，舍去②當，即時，時，；時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，解得：，符合題意③當，即時，在上恒成立在上單調(diào)遞減，解得：，舍去綜上所述：【題目點撥】本題考查導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到利用導數(shù)討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值求解參數(shù)值的問題；關(guān)鍵是能夠根據(jù)參數(shù)與導函數(shù)零點的位置關(guān)系確定函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，從而得到最值的位置.20、（1）；（2）；（3）【解題分析】

求導帶入求出切線斜率，再利用點斜式寫出切線。求出的單調(diào)區(qū)間，極值，則在極小值與極大值之間。參變分離，求最值?！绢}目詳解】(1)設(shè)切點為切線過(2)對函數(shù)求導，得函數(shù)令，即，解得，或，即，解得，的單調(diào)遞增區(qū)間是及，單調(diào)遞減區(qū)間是當,有極大值；當，有極小值當時，直線與的圖象有3個不同交點，此時方程有3個不同實根。實數(shù)的取值范圍為(3)時，恒成立，也就是恒成立，令，則，的最小值為，【題目點撥】本題考查曲線上某點的切線方程，兩方程的交點問題以及參變分離。屬于中檔題。21、證明見解析．【解題分析】試題分析：此題證明可用分析法，尋找結(jié)論成立的條件，由于不等式兩邊均為正，因此只要證，化簡后再一次平方可尋找到?jīng)]有根號，易知顯然成立的式子，從而得證．試題解析：證明：因為都是正數(shù)，所以為了證明只需證明展開得即因為成立，所以成立即證明了【題目點撥】(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件.正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵.(2)證明較復雜的問題時，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結(jié)論等價(或充分)的中間結(jié)論，然后通過綜合法證明這個中間結(jié)論，從而使原命題得證.22、(1)見解析(2)1【解題分析】

（1）首先求出f（x）的定義域，函數(shù)f（x）的導數(shù)，分別令它大于0，小于0，解不等式