北理矩陣分析課件

北理矩陣分析課件匯報(bào)人：AA2024-01-24矩陣基本概念與性質(zhì)矩陣變換與等價(jià)性線性方程組與矩陣解法特征值與特征向量計(jì)算相似對(duì)角化與二次型標(biāo)準(zhǔn)化矩陣函數(shù)與微分運(yùn)算目錄01矩陣基本概念與性質(zhì)矩陣定義及表示方法矩陣定義及表示方法010203a_{11}&a_{12}&cdots&a_{1n}a_{21}&a_{22}&cdots&a_{2n}$A=begin{pmatrix}矩陣定義及表示方法vdots&vdots&ddots&vdotsa_{m1}&a_{m2}&cdots&a_{mn}end{pmatrix}$矩陣表示方法：矩陣通常用大寫字母表示，如$A,B,C,ldots$。矩陣中的元素用小寫字母帶下標(biāo)表示，如$a_{ij}$表示矩陣$A$的第$i$行第$j$列的元素。矩陣定義及表示方法矩陣加法01兩個(gè)矩陣的加法是對(duì)應(yīng)元素相加，要求兩個(gè)矩陣的行數(shù)和列數(shù)分別相等。矩陣數(shù)乘02一個(gè)數(shù)與一個(gè)矩陣相乘，是將數(shù)與矩陣中的每一個(gè)元素相乘。矩陣乘法03設(shè)$A=(a_{ij})$是一個(gè)$mtimess$矩陣，$B=(b_{ij})$是一個(gè)$stimesn$矩陣，那么規(guī)定矩陣$C=(c_{ij})$是一個(gè)$mtimesn$矩陣，其中$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+ldots+a_{is}b_{sj}$。矩陣基本運(yùn)算規(guī)則結(jié)合律$(AB)C=A(BC)$。分配律$(A+B)C=AC+BC,C(A+B)=CA+CB$。數(shù)乘結(jié)合律$lambda(muA)=(lambdamu)A$。數(shù)乘分配律$(lambda+mu)A=lambdaA+muA,lambda(A+B)=lambdaA+lambdaB$。矩陣性質(zhì)探討方陣零矩陣對(duì)角矩陣單位矩陣特殊類型矩陣介紹行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣稱為方陣。除主對(duì)角線外的元素全為零的方陣稱為對(duì)角矩陣。所有元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記作$O$。主對(duì)角線上的元素全為1，其余元素全為0的方陣稱為單位矩陣，記作$I_n$或$E_n$。02矩陣變換與等價(jià)性初等行變換對(duì)調(diào)兩行、以數(shù)乘某一行、把某一行的若干倍加到另一行上初等列變換對(duì)調(diào)兩列、以數(shù)乘某一列、把某一列的若干倍加到另一列上初等變換的性質(zhì)不改變矩陣的秩、不改變矩陣的行列式值（若矩陣為方陣）初等變換及其性質(zhì)123若存在可逆矩陣P和Q，使得B=PAQ，則稱矩陣A與B等價(jià)定義矩陣A與B等價(jià)的充分必要條件是存在一系列初等變換將A變?yōu)锽判定條件等價(jià)關(guān)系具有自反性、對(duì)稱性和傳遞性性質(zhì)矩陣等價(jià)性判定等價(jià)與秩的關(guān)系若矩陣A與B等價(jià)，則r(A)=r(B)秩的性質(zhì)矩陣的秩具有非負(fù)性、不變性（初等變換不改變矩陣的秩）和可加性（若A、B可逆，則r(AB)=r(A)+r(B)）秩的定義矩陣A的秩定義為A中最大的非零子式的階數(shù)，記為r(A)秩與等價(jià)關(guān)系探討03求矩陣的特征值和特征向量通過初等變換將特征多項(xiàng)式化為標(biāo)準(zhǔn)形式，進(jìn)而求解特征值和特征向量01求解線性方程組通過初等變換將增廣矩陣化為階梯形矩陣，從而判斷方程組的解的情況并求解02判斷矩陣是否可逆若矩陣的秩等于其階數(shù)，則矩陣可逆；否則，矩陣不可逆應(yīng)用實(shí)例分析03線性方程組與矩陣解法通過系數(shù)矩陣和常數(shù)向量，將線性方程組表示為矩陣形式。線性方程組的矩陣表示將未知數(shù)表示為向量，通過向量運(yùn)算表示線性方程組。線性方程組的向量表示線性方程組表示方法消元過程通過行變換將系數(shù)矩陣化為上三角矩陣，同時(shí)更新常數(shù)向量。高斯消元法的優(yōu)缺點(diǎn)具有通用性和穩(wěn)定性，但計(jì)算量較大?；卮^程從上三角矩陣出發(fā)，逐步求解出未知數(shù)的值。高斯消元法求解過程對(duì)于n個(gè)未知數(shù)的線性方程組，如果系數(shù)矩陣的行列式不等于零，則方程組有唯一解，且解可以通過系數(shù)矩陣和常數(shù)向量的行列式計(jì)算得出?？死▌t的表述適用于小型線性方程組，可以直接求解出未知數(shù)的值?？死▌t的應(yīng)用場景具有直觀性和簡潔性，但計(jì)算量隨未知數(shù)個(gè)數(shù)增加而急劇增大?？死▌t的優(yōu)缺點(diǎn)克拉默法則應(yīng)用迭代法的基本思想通過構(gòu)造迭代格式，從初始近似值出發(fā)逐步逼近精確解。直接法的基本思想通過有限步四則運(yùn)算直接求得方程組的精確解。迭代法和直接法的比較迭代法適用于大型稀疏線性方程組，具有占用內(nèi)存少、計(jì)算速度快的優(yōu)點(diǎn)；直接法適用于中小型稠密線性方程組，具有精度高、穩(wěn)定性好的優(yōu)點(diǎn)。在實(shí)際應(yīng)用中，可以根據(jù)問題的特點(diǎn)和要求選擇合適的解法。迭代法和直接法比較04特征值與特征向量計(jì)算特征值設(shè)A是n階方陣，如果存在數(shù)λ和非零n維列向量x，使得Ax=λx成立，則稱λ是A的特征值，x是A的對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量。特征向量對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量x滿足Ax=λx，即(A-λE)x=0，其中E是單位矩陣。特征值和特征向量定義求解步驟1.寫出特征多項(xiàng)式f(λ)=|A-λE|；3.將求得的特征值λ代入(A-λE)x=0，求解齊次線性方程組，得到對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量x。2.求解特征多項(xiàng)式f(λ)=0的根，得到特征值λ；特征多項(xiàng)式：設(shè)A是n階方陣，則行列式|A-λE|稱為A的特征多項(xiàng)式，記作f(λ)。特征多項(xiàng)式求解方法特征值和特征向量性質(zhì)特征值和特征向量的性質(zhì)包括2.k重特征值至多對(duì)應(yīng)k個(gè)線性無關(guān)的特征向量；3.若A可逆，則A的特征值均不為0；1.不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無關(guān)；應(yīng)用實(shí)例分析實(shí)例一：利用特征值和特征向量求解矩陣的冪步驟2.將矩陣A對(duì)角化，得到A=PΛP^(-1)，其中P是由特征向量組成的矩陣，Λ是由特征值構(gòu)成的對(duì)角矩陣；1.求解矩陣A的特征值和特征向量；應(yīng)用實(shí)例分析3.計(jì)算A的k次方，即A^k=(PΛP^(-1))^k=PΛ^kP^(-1)。實(shí)例二：利用特征值和特征向量判斷矩陣的相似性應(yīng)用實(shí)例分析應(yīng)用實(shí)例分析01步驟021.分別求解兩個(gè)矩陣A和B的特征值和特征向量；032.判斷兩個(gè)矩陣的特征值是否相等，若相等則繼續(xù)判斷特征向量是否可以通過線性變換相互轉(zhuǎn)化；043.若兩個(gè)矩陣的特征值和特征向量滿足相似條件，則判斷兩個(gè)矩陣相似。05相似對(duì)角化與二次型標(biāo)準(zhǔn)化010405060302定義：設(shè)$A,B$都是$n$階矩陣，若存在可逆矩陣$P$，使得$P^{-1}AP=B$，則稱$A$與$B$相似，記作$AsimB$。性質(zhì)反身性：$AsimA$。對(duì)稱性：若$AsimB$，則$BsimA$。傳遞性：若$AsimB$，$BsimC$，則$AsimC$。相似矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式、行列式、跡（主對(duì)角線元素之和）和秩。相似矩陣定義及性質(zhì)對(duì)角化條件及步驟01條件02$n$階矩陣$A$可對(duì)角化的充分必要條件是$A$有$n$個(gè)線性無關(guān)的特征向量。若$n$階矩陣$A$的$n$個(gè)特征值互不相等，則$A$可對(duì)角化。03對(duì)角化條件及步驟步驟1.求出矩陣$A$的特征多項(xiàng)式，并解出特征值$lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_n$。2.對(duì)每個(gè)特征值$lambda_i$，求出對(duì)應(yīng)的特征向量$alpha_i$。3.將所有特征向量組成矩陣$P=[alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_n]$。4.計(jì)算對(duì)角矩陣$Lambda=P^{-1}AP=text{diag}(lambda_1,lambda_2,ldots,lambda_n)$。對(duì)角化條件及步驟定義：二次型$f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=X^TAX$（其中$A$是對(duì)稱矩陣）經(jīng)過可逆線性變換$X=PY$后，得到新的二次型$g(y_1,y_2,\ldots,y_n)=Y^TBY$，若$B=\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n)$，則稱二次型$g$是二次型$f$的標(biāo)準(zhǔn)形。二次型標(biāo)準(zhǔn)化過程010203步驟1.寫出二次型的矩陣形式$f=X^TAX$。2.求出對(duì)稱矩陣$A$的特征值和特征向量。二次型標(biāo)準(zhǔn)化過程3.利用特征向量構(gòu)造可逆矩陣$P$。4.進(jìn)行線性變換$X=PY$，得到標(biāo)準(zhǔn)形$g=Y^TBY=lambda_1y_1^2+lambda_2y_2^2+ldots+lambda_ny_n^2$。二次型標(biāo)準(zhǔn)化過程應(yīng)用實(shí)例分析考慮二次型$f(x,y)=x^2+4xy+y^2$，求其標(biāo)準(zhǔn)形。實(shí)例首先寫出二次型的矩陣形式$f=[x,y]begin{bmatrix}1&22&1end{bmatrix}begin{bmatrix}xyend{bmatrix}$。然后求出矩陣的特征值和特征向量，構(gòu)造可逆矩陣$P$，最后進(jìn)行線性變換得到標(biāo)準(zhǔn)形。分析06矩陣函數(shù)與微分運(yùn)算ABCD常見矩陣函數(shù)介紹指數(shù)函數(shù)矩陣指數(shù)函數(shù)是實(shí)數(shù)指數(shù)函數(shù)的推廣，具有類似的性質(zhì)和運(yùn)算規(guī)則。三角函數(shù)矩陣三角函數(shù)包括正弦、余弦等，具有周期性、奇偶性等性質(zhì)。對(duì)數(shù)函數(shù)矩陣對(duì)數(shù)函數(shù)是實(shí)數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的推廣，用于解決矩陣方程和矩陣微積分等問題。反三角函數(shù)矩陣反三角函數(shù)是實(shí)數(shù)反三角函數(shù)的推廣，用于解決矩陣方程和矩陣微積分等問題。常數(shù)矩陣的微分常數(shù)矩陣的微分等于零矩陣。分別遵循實(shí)數(shù)函數(shù)的和、差、積的微分法則。遵循鏈?zhǔn)椒▌t，即先對(duì)內(nèi)部函數(shù)求導(dǎo)，再與外部函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相乘。逆矩陣的微分可以通過求逆矩陣的公式和微分法則求得。矩陣函數(shù)的和、差、積的微分復(fù)合函數(shù)的微分逆矩陣的微分矩陣函數(shù)微分法則常數(shù)變易法適用于一階線性微分方程，通過設(shè)定一個(gè)常數(shù)并求解微分方程得到通解。拉普拉斯變換法適用于線性常微分方程和偏微分方程，通過拉普拉斯變換將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程求解。特征根法適用于二階常系數(shù)線性微分方程，通過求解特征方程得到通解