考點13遞推公式求通項-2024年新高考藝體生一輪復(fù)習(xí)

考點13遞推公式求通項公式法求通項1.條件特征：前n項和與項或項數(shù)的關(guān)系2.解題思路①當(dāng)n＝1時，由a1＝S1求a1的值．②當(dāng)n≥2時，由an＝Sn－Sn－1，求得an的表達式③檢驗a1的值是否滿足(2)中的表達式，若不滿足，則分段表示an．④寫出an的完整表達式．累加法條件特征：a解題思路累乘法1.條件特征：2.解題思路五．倒數(shù)法求通項考法一公式法求通項【例11】（2023·安徽亳州）已知數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的通項公式為.【答案】【解析】數(shù)列的前項和為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，不滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為故答案為：【例12】（2023·天津）若數(shù)列的前項和，則此數(shù)列的通項公式為．【答案】【解析】由已知可得，當(dāng)時，，兩式相減可得，即，當(dāng)時，，不滿足上式，所以可得.故答案為：【例13】（2023·浙江杭州）已知數(shù)列的首項，前n項和為，若，則．【答案】【解析】因為，所以,兩式相減可得，所以，又因為，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，不符合的情況，所以，故答案為：.【變式】1.．（2023·寧夏銀川）已知數(shù)列的前項和為，且，求數(shù)列的通項公式；【答案】【解析】因為數(shù)列的前項和為，且，當(dāng)時，可得，當(dāng)時，，適合上式，所以數(shù)列的通項公式為.2．（2023·山西太原）設(shè)數(shù)列滿足，的通項公式；【答案】【解析】當(dāng)時，，

因為①，當(dāng)時，②，

①②得，，所以，

當(dāng)時，，滿足上式，

故數(shù)列的通項公式為．3．（2023·新疆伊犁）已知數(shù)列的前項和為，，，求數(shù)列的通項公式；【答案】【解析】因為數(shù)列的前項和為，，，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，由可得，上述兩個等式作差可得，可得，即，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且其首項為，公比為，所以，.4．（2023·陜西榆林）已知各項都為正數(shù)的數(shù)列的前項和為,且滿足.求數(shù)列的通項公式【答案】；【解析】數(shù)列中，，當(dāng)時，，由兩式相減，得，即，又?jǐn)?shù)列的各項都為正數(shù)，則，當(dāng)時，，解得，因此數(shù)列是首項為3，公差為3的等差數(shù)列，所以.考法二累乘法求通項【例21】（2023·河南）已知數(shù)列的項滿足，而，則＝（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，所以，，，……，，，（），所以，所以，因為，所以，因為滿足上式，所以，故選：B【例22】（2023·江蘇）已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項公式；【答案】（）【解析】因為，（），所以，（），所以，，，…，，（且），所以（且），整理得：（且），即，（且），又因為，所以，（且），當(dāng)時，適合上式，所以，（）.【變式】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列中，，，求通項=【答案】【解析】由條件等式得，.2（2023·河北）已知數(shù)列滿足，求的通項公式【答案】【解析】由題意，所以，即；所以，當(dāng)時，也滿足，所以的通項公式為3．（2023·福建）記為數(shù)列的前n項和，滿足，，求的通項公式【答案】【解析】因為，∴當(dāng)時，，所以，整理得：，即，∴顯然對于也成立，∴的通項公式考法三累加法求通項【例31】（2023上·江蘇無錫·高二江蘇省南菁高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則的通項公式為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，∴，∴，故選：C.【例32】（2023·甘肅金昌）已知數(shù)列滿足，，則．【答案】【解析】因為數(shù)列滿足，所以，，…，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，滿足上式．綜上所述，．故答案為：．【變式】1．（2023·浙江杭州）已知數(shù)列滿足，則．【答案】【解析】由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，上式也成立，所以.故答案為：.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，則【答案】【解析】由題意可得，所以，，…，，上式累加可得，又，所以.3．（2023陜西）若數(shù)列滿足且，則數(shù)列的第100項為【答案】3【解析】由題意，因為，所以，，，以上99個式子累加得，

．考法四構(gòu)造等比數(shù)列【例41】（2023·吉林）已知數(shù)列滿足，，則【答案】【解析】因為，則，且，可知數(shù)列是以首項為4，公比為2的等比數(shù)列，所以，即，【例42】（2023·福建莆田）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，且，求數(shù)列的通項公式【答案】【解析】，則，故，當(dāng)時，，，兩式相減得到，即，則，，故是首項為，公比為的等比數(shù)列，，故，時滿足，故.【變式】1．（2022·上海市控江中學(xué)）已知數(shù)列滿足，則其通項公式_______．【答案】【解析】令，則，又，∴，故，而，∴是公比為，首項為，則，∴.故答案為：.2．（2023·山西）已知數(shù)列滿足，，則___________.【答案】【解析】由已知可得，設(shè)，則，所以，，可得，所以，，且，由題意可知，對任意的，，則，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且該數(shù)列的首項為，公比為，所以，，因此，.故答案為：.3.（2023湖北）已知在數(shù)列中，，，則【答案】【解析】因為，，所以，整理得，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．所以，解得．故選：A考法五倒數(shù)法求通項【例51】（2023·湖北黃岡）已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系：，，則【答案】【分析】利用構(gòu)造法求出數(shù)列的通項公式，再求出數(shù)列的通項公式，即可得到結(jié)果.【詳解】依題意，，由，得，即，而，因此數(shù)列是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，則，?！纠?2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，．求數(shù)列的通項公式；【答案】【解析】因為，所以令，則，解得，對兩邊同時除以，得，又因為，所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以，所以；【例53】（2023江西）已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項公式______．【答案】【解析】∵，∴，即．又，，∴數(shù)列是以3為首項，1為公差的等差數(shù)列，∴，∴數(shù)列的通項公式．故答案為：.【變式】1．（2023·陜西）已知數(shù)列滿足，，，則【答案】【解析】，即，可得，又，即有數(shù)列是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，可得，即.2．（2023·江蘇揚州）已知數(shù)列中，且，則an為【答案】【解析】，，即，兩邊同時除以得：，即，令，則，則是首項為，公差為的等差數(shù)列，則，即，則3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項公式.【答案】【解析】∵，∴，∴數(shù)列是等差數(shù)列，公差為，又，∴，∴.4．（2023湖北）已知數(shù)列滿足，，則__________．【答案】【解析】因為，所以===1．（2023·陜西榆林）已知數(shù)列的前n項和為，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因為，則，整理得，又，則，因此數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，則，所以.故選：D.2．（2023·河南許昌）已知數(shù)列滿足，則的通項公式（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由得，而，故是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，即.故選：D3．（2023·江蘇蘇州）等比數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足，時，，則數(shù)列的通項公式為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意得，，解得，故，時，，故．故選：A4．（2023·云南昆明·高三校考階段練習(xí)）圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，第四層有10個球，第五層有15個球，…，則該“三角垛”第十層的小球個數(shù)為（

）A．36 B．45 C．55 D．66【答案】C【解析】設(shè)每一層的小球數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列，方法1：觀察歸納發(fā)現(xiàn)：，，，…，所以.方法2：，，，…，所以，，所以.故選：C.5．（2023·河北衡水）在數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，所以，所以，兩邊取倒數(shù)得，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，.故選：A6．（2023·上海閔行）在數(shù)列中，若，，則的通項公式為.【答案】【解析】在數(shù)列中，，，因此數(shù)列是常數(shù)列，則，所以的通項公式為.故答案為：7．（2023·河北滄州）已知數(shù)列滿足，，則該數(shù)列的通項公式．【答案】【解析】因為，所以，則數(shù)列時以為首項公比為的等比數(shù)列，故，所以.8．（2023·廣東江門）數(shù)列中，，且，則等于.【答案】【解析】由題意可知：，顯然有，由累乘法可得.而符合，故答案為：9．（2023·湖北黃石）已知數(shù)列滿足，則的通項公式為.【答案】【解析】對兩邊取倒數(shù)得，即，當(dāng)時，，，，，，將以上各式累加得，又，所以，所以，當(dāng)時，也滿足，所以.故答案為：10（2023·浙江杭州）已知數(shù)列的首項，前n項和為，若，則．【答案】【解析】因為，所以,兩式相減可得，所以，又因為，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，不符合的情況，所以，故答案為：.11．（2023·江蘇泰州）已知數(shù)列的前項和為，且，則數(shù)列的通項公式為．【答案】【解析】當(dāng)時，.當(dāng)時，.因為，所以，.故答案為：.12．（2023·山西）在等比數(shù)列中，，則.【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，所以，所以，則當(dāng)時，，則.又也滿足，所以.故答案為：13．（2023·福建泉州）已知數(shù)列滿足，，則.【答案】【解析】由可得，所以，，……，，累加可得，，即當(dāng)時，也符合上式，所以，故答案為：14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，則通項公式.【答案】【解析】由，得，所以，，，……，，所以，所以，因為，所以，因為滿足上式，所以，故答案為：15．（2023·貴州遵義）設(shè)數(shù)列的前項和為且,求的通項公式【答案】【解析】，則,兩式相減得即，且時,，解得.所以16（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知：，（）求數(shù)列的通項.【答案】.【解析】在數(shù)列中，，當(dāng)時，，顯然，則，，也滿足上式，所以數(shù)列的通項是.17．（2023北京）已知數(shù)列的前項和為．求數(shù)列的通項公式；【答案】【解析】由于，所以①，當(dāng)時，②，①②得，整理得，所以，累乘可得，且，所以，經(jīng)檢驗可得，也滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為.18．（2023上·新疆烏魯木齊）設(shè)數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式【答案】【解析】因為數(shù)列滿足，，則，且，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且該數(shù)列的第二項為，公比為，所以，，則.19．（2023·青?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且，求的通項公式【答案】【解析】當(dāng)時，.當(dāng)時，由，得，則，因為滿足，所以.當(dāng)時，.因為滿足，所以.20．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列的前項和，且滿足，求數(shù)列的通項公式【答案】【解析】由題知，①當(dāng)時，解得．當(dāng)時，，②由①－②，得，整理得為常數(shù)，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，因此數(shù)列的通項公式為．21．（2023·天津東麗）已知正項數(shù)列的前項和為，且，求數(shù)列的通項公式【答案】【解析】當(dāng)時，由，得，得，由，得，兩式相減，得，即，即因為數(shù)列各項均為正數(shù)，所以，所以所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列.因此，，即數(shù)列的通項公式為.22．（2023·江蘇無錫·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項和為，且，求數(shù)列的通項公式【答案】【解析】由①當(dāng)時，，所以

當(dāng)時，②①②式相減得，即

兩邊同除以得，，又，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，，則23．（2023·北京海淀）求下列數(shù)列的通項公式.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【解析】（1）因為，所以，所以數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，所以；（2）因為，所以，所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，所以；（3）由，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，上式不成立，所以（4）因為，所以，則當(dāng)時，，當(dāng)時，上式也成立，所以；（5）因為，所以，則當(dāng)時，，當(dāng)時，上式也成立，所以；（6）因為，所以，即，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，所以；（7）由，得，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以，所以數(shù)列是以為公比，為首項的等比數(shù)列，所以；（8）由，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以，所以數(shù)列數(shù)列從第二項起是以為公比，為首項的等比數(shù)列，所以，當(dāng)時，上式不成立，所以.1．（2023·北京）已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前50項和為（）A．48 B． C．52 D．【答案】D【解析】由，得，則，，，，所以，于是數(shù)列的前50項和．故選：D.2．（2023·陜西安康）已知數(shù)列的前項和為，且，則數(shù)列的通項公式為.【答案】【解析】法一：當(dāng)時，，解得.又，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列.又，所以，解得，所以數(shù)列的公差，所以數(shù)列的通項公式為.方法二：恒成立，當(dāng)時，，解得.當(dāng)時，，且，解得.當(dāng)時，①，又②，①②，得③，所以④.④③，得.因為，所以，即.又，所以數(shù)列是首項為2，公差為5的等差數(shù)列，所以數(shù)列的通項公式為.故答案為：.3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列{an}的前n項和為，，，求{an}的通項.【答案】【解析】∵……①∴……②②①得：……③∵{an}的特征函數(shù)為：，由x=1.設(shè)，……④將④代入③得：，∴，∵，∴，∴.4．（2023·山東濟南）已知