2024屆上海市南模中學高二數(shù)學第二學期期末達標測試試題含解析

2024屆上海市南模中學高二數(shù)學第二學期期末達標測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．多面體是由底面為的長方體被截面所截得到的，建立下圖的空間直角坐標系，已知、、、、、.若為平行四邊形，則點到平面的距離為A． B． C． D．2．知，，，則，，的大小關系為（）A． B． C． D．3．如圖所示陰影部分是由函數(shù)、、和圍成的封閉圖形，則其面積是（）A． B． C． D．4．在三棱錐中，平面平面ABC，平面PAB，，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．5．某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐四個面的面積中最大的是A． B．3C． D．6．已知函數(shù)在定義域上有兩個極值點，則的取值范圍是（）A． B． C． D．7．如圖，在正方體中，分別是的中點，則下列說法錯誤的是（）A． B．平面C． D．平面8．函數(shù)在處切線斜率為（）A． B． C． D．9．某超市抽取13袋袋裝食用鹽，對其質(zhì)量（單位：g）進行統(tǒng)計，得到如圖所示的莖葉圖，若從這13袋食用鹽中隨機選取1袋，則該袋食用鹽的質(zhì)量在內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．10．已知為雙曲線：右支上一點，為其左頂點，為其右焦點，滿足，，則點到直線的距離為（）A． B． C． D．11．已知數(shù)列，則是這個數(shù)列的（）A．第項 B．第項 C．第項 D．第項12．某單位為了了解用電量y（度）與氣溫x（℃）之間的關系，隨機統(tǒng)計了某4天的用電量與當天氣溫，并制作了對照表：氣溫x（℃）181310-1用電量（度）24343864由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程，預測當氣溫為-4℃時用電量度數(shù)為（）A．68 B．67 C．65 D．64二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知中，角．．的對邊分別為．．，且，，，則____14．函數(shù)是奇函數(shù)的導函數(shù)，，當時，，則使得成立的x的取值范圍是________.15．設，其中實數(shù)，則__________．16．若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）將個不同的紅球和個不同的白球，放入同一個袋中，現(xiàn)從中取出個球.（1）若取出的紅球的個數(shù)不少于白球的個數(shù)，則有多少種不同的取法；（2）取出一個紅球記分，取出一個白球記分，若取出個球的總分不少于分，則有多少種不同的取法；（3）若將取出的個球放入一箱子中，記“從箱子中任意取出個球，然后放回箱子中”為一次操作，如果操作三次，求恰有一次取到個紅球并且恰有一次取到個白球的概率.18．（12分）已知函數(shù)f(x)＝alnx＋(a∈R)．(1)當a＝1時，求f(x)在x∈[1，＋∞)內(nèi)的最小值；(2)若f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；(3)求證ln(n＋1)>(n∈N*)．19．（12分）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓的極坐標方程為．（1）若與相交于兩點，，求；（2）圓的圓心在極軸上，且圓經(jīng)過極點，若被圓截得的弦長為，求圓的半徑．20．（12分）已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最值；（2）若關于的不等式恒成立，求的最大值.21．（12分）知函數(shù).(1)當時,求的解集;(2)已知，，若對于,都有成立,求的取值范圍.22．（10分）某品牌新款夏裝即將上市,為了對新款夏裝進行合理定價,在該地區(qū)的三家連鎖店各進行了兩天試銷售,得到如下數(shù)據(jù):連鎖店A店B店C店售價x（元）808682888490銷量y（元）887885758266(1)分別以三家連鎖店的平均售價與平均銷量為散點,如A店對應的散點為，求出售價與銷量的回歸直線方程;(2)在大量投入市場后,銷量與單價仍然服從(1)中的關系,且該夏裝成本價為40元/件,為使該新夏裝在銷售上獲得最大利潤,該款夏裝的單價應定為多少元?(保留整數(shù))附:,.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

利用向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面的法向量，結(jié)合，利用空間向量夾角余弦公式求出與所求法向量的夾角余弦，進而可得結(jié)果.【題目詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設，為平行四邊形，由得，，，，設為平面的法向量，顯然不垂直于平面，故可設，，即，，所以，又，設與的夾角為，則，到平面的距離為，故選D.【題目點撥】本題主要考查利用空間向量求點面距離，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉(zhuǎn)化為向量關系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應的角和距離.2、A【解題分析】由題易知：，∴故選A點睛：利用指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)比較實數(shù)或式子的大小，一方面要比較兩個實數(shù)或式子形式的異同，底數(shù)相同，考慮指數(shù)函數(shù)增減性，指數(shù)相同考慮冪函數(shù)的增減性，當都不相同時，考慮分析數(shù)或式子的大致范圍，來進行比較大小，另一方面注意特殊值的應用，有時候要借助其“橋梁”作用，來比較大小．3、B【解題分析】

根據(jù)定積分的幾何意義得到陰影部分的面積?！绢}目詳解】由定積分的幾何意義可知：陰影部分面積故選B.【題目點撥】本題考查定積分的幾何意義和積分運算，屬于基礎題．4、B【解題分析】

如圖，由題意知，，的中點是球心在平面內(nèi)的射影，設點間距離為，球心在平面中的射影在線段的高上，則有，可得球的半徑，即可求出三棱錐的外接球的表面積.【題目詳解】由題意知，，的中點是球心在平面中的射影，設點間距離為，球心在平面中的射影在線段的高上，，，，又平面平面ABC，，則平面，，到平面的距離為3，，解得：，所以三棱錐的外接球的半徑，故可得外接球的表面積為.故選：B【題目點撥】本題主要考查了棱錐的外接球的表面積的求解，考查了學生直觀想象和運算求解能力，確定三棱錐的外接球的半徑是關鍵.5、C【解題分析】作出三棱錐P?ABC的直觀圖如圖所示，過A作AD⊥BC，垂足為D，連結(jié)PD.由三視圖可知PA⊥平面ABC，BD=AD=1,CD=PA=2,∴.∴，.∴三棱錐P?ABC的四個面中，側(cè)面PBC的面積最大.故選C.點睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應深刻理解三視圖之間的關系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.6、B【解題分析】

根據(jù)等價轉(zhuǎn)化的思想，可得在定義域中有兩個不同的實數(shù)根，然后利用根的分布情況，可得，最后利用導數(shù)判斷單調(diào)性，可得結(jié)果.【題目詳解】令，依題意得方程有兩個不等正根，，則，，令，在上單調(diào)遞減，，故的取值范圍是，故選：B【題目點撥】本題考查根據(jù)函數(shù)極值點求參數(shù)，還考查二次函數(shù)根的分布問題，難點在于使用等價轉(zhuǎn)化的思想，化繁為簡，屬中檔題.7、C【解題分析】

以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出結(jié)果．【題目詳解】∵在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點，

∴以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，

設正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為2，

則B（2，2，0），C1（0，2，2），M（1，2，1），D1（0，0，2），C（0，2，0），N（0，1，1），

∴MN⊥CC1，故A正確；∴MN⊥平面ACC1A1，故B成立；

∵∴MN和AB不平行，故C錯誤；

平面ABCD的法向量又MN?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD，故D正確．

故選C．【題目點撥】本題考查命題的真假判斷，考空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．8、C【解題分析】分析：首先求得函數(shù)的導函數(shù)，然后結(jié)合導函數(shù)研究函數(shù)的切線即可.詳解：由函數(shù)的解析式可得：，則，即函數(shù)在處切線斜率為.本題選擇C選項.點睛：本題主要考查導函數(shù)與原函數(shù)切線之間的關系，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.9、B【解題分析】

由題，分析莖葉圖，找出質(zhì)量在[499,501]的個數(shù)，再求其概率即可.【題目詳解】這個數(shù)據(jù)中位于的個數(shù)為，故所求概率為故選B【題目點撥】本題考查了莖葉圖得考查，熟悉莖葉圖是解題的關鍵，屬于基礎題.10、D【解題分析】

由題意可得為等邊三角形，求出點的坐標，然后代入雙曲線中化簡，然后求出即可【題目詳解】由題意可得，由，可得為等邊三角形所以有，代入雙曲線方程可得結(jié)合化簡可得，可解得因為，所以所以點到直線的距離為故選：D【題目點撥】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，雙曲線的方程及化簡運算能力，屬于中檔題.11、B【解題分析】解：數(shù)列即：，據(jù)此可得數(shù)列的通項公式為：，由解得：，即是這個數(shù)列的第項.本題選擇B選項.12、A【解題分析】

根據(jù)回歸直線方程過樣本中心點，計算出并代入回歸直線方程，求得的值，然后將代入回歸直線方程，求得預測的用電量度數(shù).【題目詳解】解：，，，線性回歸方程為：，當時，，當氣溫為時，用電量度數(shù)為68，故選A．【題目點撥】本小題主要考查回歸直線方程過樣本中心點，考查方程的思想，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】，∴，由余弦定理得，∴，故答案為.14、【解題分析】

根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，其導數(shù)為，可知函數(shù)偶函數(shù)在時是減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)零點即可求解.【題目詳解】構(gòu)造函數(shù),其導數(shù)為，當時，，所以函數(shù)單調(diào)遞減，又，所以當時，，即，因為為奇函數(shù)，所以為偶函數(shù)，所以當時，的解為，即的解為，綜上x的取值范圍是.【題目點撥】本題主要考查了抽象函數(shù)，導數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的零點，屬于難題.15、【解題分析】分析：由題，利用二項展開式即可求得.詳解：根據(jù)題意，則即答案為.點睛：本題考查二項展開式及展開式的系數(shù)，屬中檔題.16、【解題分析】

分別設出直線與曲線和曲線的切點，然后求導利用切線的幾何意義利用斜率相等可得答案.【題目詳解】設直線與曲線切于點，與曲線切于點，則有，從而，，，．所以切線方程，所以．故答案為：.【題目點撥】本題主要考查導數(shù)的幾何意義,兩曲線的公切線問題，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）.【解題分析】

（1）若取出的紅球的個數(shù)不少于白球的個數(shù)，則有紅、紅白、紅白三種情況，然后利用分類計數(shù)原理可得出答案；（2）若取出的球的總分不少于分，則有紅、紅白、紅白和紅白四種情況，然后利用分類計數(shù)原理可得出答案；（3）由題意得出箱子里紅球和白球都是個，并求出操作三次的情況總數(shù)，以及恰有一次取到個紅球且有一次取到個白球的情況數(shù)，然后利用古典概型的概率公式可得出答案.【題目詳解】（1）若取出的紅球個數(shù)不少于白球個數(shù)，則有紅、紅白、紅白三種情況，其中紅有種取法，紅白有種取法，紅白有種取法.因此，共有種不同的取法；（2）若取出的個球的總分不少于分，則有紅、紅白、紅白和紅白四種情況.其中紅有種取法，紅白有種取法，紅白有種取法，紅白有種不同的取法.因此，共有種不同的取法；（3）由題意知，箱子中個球中紅球有個，白球也為個，從這個球中取出個球，取出個紅球只有一種情況，取出個白球也只有一種情況，取出紅白有種情況，總共有種情況.若取出的個球放入一箱子里，記“從箱子中任意取出個球，然后放回箱子中去”為一次操作，如果操作三次，共有種不同情況.恰有一次取到個紅球且有一次取到個白球共有種情況，因此，恰有一次取到個紅球并且恰有一次取到個白球的概率為.【題目點撥】本題考查分類計數(shù)原理以及概率的計算，在解題時要熟練利用分類討論思想，遵循不重不漏的原則，考查運算求解能力，屬于中等題.18、（1）最小值為f(1)＝1.（2）a<.（3）見解析【解題分析】試題分析：（1）可先求f′（x），從而判斷f（x）在x∈[1，+∞）上的單調(diào)性，利用其單調(diào)性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（2）求h′（x），可得，若f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，需h′（x）＜0有正數(shù)解．從而轉(zhuǎn)化為：有x＞0的解．通過對a分a=0，a＜0與當a＞0三種情況討論解得a的取值范圍；（3）可用數(shù)學歸納法予以證明．當n=1時，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1?，即時命題成立；設當n=k時，命題成立，即成立，再去證明n=k+1時，成立即可（需用好歸納假設）．試題解析：（1），定義域為．在上是增函數(shù)．．（2）因為因為若存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以有正數(shù)解．即有的解當時，明顯成立．②當時，開口向下的拋物線，總有的解；③當時，開口向上的拋物線，即方程有正根．因為，所以方程有兩正根．當時，；，解得．綜合①②③知：．或：有的解即有的解，即有的解，的最大值，（3）（法一）根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，當時，，即．令，則有，．，．(法二)當時，．，，即時命題成立．設當時，命題成立，即．時，．根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，當時，，即．令，則有，則有，即時命題也成立．因此，由數(shù)學歸納法可知不等式成立．考點：1．利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；2．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；3．數(shù)學歸納法．19、（1）6；（2）13.【解題分析】

（1）將直線參數(shù)方程代入圓的直角坐標方程，利用求解得到結(jié)果；（2）寫出的普通方程并假設圓的直角坐標方程，利用弦長為建立與的關系，再結(jié)合圓心到直線距離公式得到方程，解方程求得，即為圓的半徑.【題目詳解】（1）由，得將代入，得設兩點對應的參數(shù)分別為，則故（2）直線的普通方程為設圓的方程為圓心到直線的距離為因為，所以解得：或（舍）則圓的半徑為【題目點撥】本題考查直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義、極坐標與直角坐標的互化、參數(shù)方程化普通方程.解決直線參數(shù)方程問題中距離之和或積的關鍵，是明確直線參數(shù)方程標準形式中的參數(shù)的幾何意義，將距離問題轉(zhuǎn)化為韋達定理的形式.20、（1）最大值為-1，最小值為（2）1【解題分析】

（1）先求出導函數(shù)，代入即可求得，于是可知函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，于是得到最值；（2）不等式可化為，分和兩種情況討論即得答案.【題目詳解】（1）由，有，得，故則，令，得，故函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為由，，，，得