山西太原師范學(xué)院附中2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題含解析

山西太原師范學(xué)院附中2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在一個(gè)袋子中裝有個(gè)除顏色外其他均相同的小球，其中有紅球個(gè)、白球個(gè)、黃球個(gè)，從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，連續(xù)摸次，則記下的顏色中有紅有黃但沒有白的概率為（）A． B． C． D．2．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為,一條漸近線的斜率為,則該雙曲線的方程為（）A． B． C． D．3．空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是A．(－10,2,8) B．(－10,2,－8) C．(5,2,－8) D．(－10,3,－8)4．若，則，就稱A是伙伴關(guān)系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴關(guān)系的集合的個(gè)數(shù)為（）A．15 B．16 C． D．5．獨(dú)立性檢驗(yàn)中，假設(shè):運(yùn)動(dòng)員受傷與不做熱身運(yùn)動(dòng)沒有關(guān)系.在上述假設(shè)成立的情況下，計(jì)算得的觀測(cè)值.下列結(jié)論正確的是A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為運(yùn)動(dòng)員受傷與不做熱身運(yùn)動(dòng)有關(guān)B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下，認(rèn)為運(yùn)動(dòng)員受傷與不做熱身運(yùn)動(dòng)無關(guān)C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為運(yùn)動(dòng)員受傷與不做熱身運(yùn)動(dòng)有關(guān)D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為運(yùn)動(dòng)員受傷與不做熱身運(yùn)動(dòng)無關(guān)6．已知偶函數(shù)在單調(diào)遞減，則不等式的解集為（）A． B． C． D．7．若是第四象限角，，則（）A． B． C． D．8．設(shè)S為復(fù)數(shù)集C的非空子集，若對(duì)任意，都有，則稱S為封閉集．下列命題：①集合為整數(shù)，i為虛數(shù)單位）}為封閉集；②若S為封閉集，則一定有；③封閉集一定是無限集；④若S為封閉集，則滿足的任意集合T也是封閉集.其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知二項(xiàng)式的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為A．－20 B．－15 C．15 D．2010．隨機(jī)變量的分布列如右表，若，則（）012A． B． C． D．11．在的展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為（）A．45 B．55 C．120 D．16512．對(duì)任意復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．定積分的值為_____．14．已知，其中為實(shí)數(shù)，為虛數(shù)單位，則___________.15．已知滿足約束條件則的最小值為______________.16．下列說法中錯(cuò)誤的是__________（填序號(hào)）①命題“，有”的否定是“”，有”；②已知，，，則的最小值為；③設(shè)，命題“若，則”的否命題是真命題；④已知，，若命題為真命題，則的取值范圍是.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）甲乙兩人報(bào)名參加由某網(wǎng)絡(luò)科技公司舉辦的“技能闖關(guān)”雙人電子競(jìng)技比賽，比賽規(guī)則如下：每一輪“闖關(guān)”結(jié)果都采取計(jì)分制，若在一輪闖關(guān)中，一人過關(guān)另一人未過關(guān)，過關(guān)者得1分，未過關(guān)得分；若兩人都過關(guān)或都未過關(guān)則兩人均得0分.甲、乙過關(guān)的概率分別為和，在一輪闖關(guān)中，甲的得分記為.（1）求的分布列；（2）為了增加趣味性，系統(tǒng)給每位報(bào)名者基礎(chǔ)分3分，并且規(guī)定出現(xiàn)一方比另一方多過關(guān)三輪者獲勝，此二人比賽結(jié)束.表示“甲的累積得分為時(shí)，最終認(rèn)為甲獲勝”的概率，則，其中，，，令.證明：點(diǎn)的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為；（3）在第（2）問的條件下求，并嘗試解釋游戲規(guī)則的公平性.18．（12分）已知四棱錐的底面為菱形，且，，，與相交于點(diǎn).（1）求證：底面；（2）求直線與平面所成的角的值；（3）求平面與平面所成二面角的值.（用反三角函數(shù)表示）19．（12分）已知等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，若，且，，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意正整數(shù)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．（12分）如圖,某軍艦艇位于島的的正西方處,且與島的相距12海里.經(jīng)過偵察發(fā)現(xiàn),國(guó)際海盜船以10海里/小時(shí)的速度從島嶼出發(fā)沿北偏東30°方向逃竄,同時(shí),該軍艦艇從處出發(fā)沿北偏東的方向勻速追趕國(guó)際海盜船,恰好用2小時(shí)追上.（1）求該軍艦艇的速度.（2）求的值.21．（12分）已知函數(shù)．（1）若，證明：；（2）若只有一個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍．22．（10分）已知函數(shù).（1）時(shí)，求在點(diǎn)處的函數(shù)切線方程；（2）時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】分析：由已知得取出的3球中有2紅1黃或2黃1紅，2紅1黃的情況有3種，2黃1紅的情況也有3種，由此能求出記下的顏色中有紅有黃但沒有白的概率.詳解：從袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸到紅球、白球、黃球的概率分別為，由已知得取出的3球中有2紅1黃或2黃1紅，2紅1黃的情況有3種，2黃1紅的情況也有3種，下的顏色中有紅有黃但沒有白的概率為.故選：C.點(diǎn)睛：本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率計(jì)算公式的合理運(yùn)用.2、C【解題分析】

根據(jù)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)可以求出,再根據(jù)一條漸近線的斜率為,可求出的關(guān)系,最后聯(lián)立,解方程求出,求出方程即可.【題目詳解】因?yàn)殡p曲線一個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,一條漸近線的斜率為,所以有,而,所以,因此有.故選：C【題目點(diǎn)撥】本題考查了求雙曲線方程,考查了雙曲線的漸近線方程,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.3、B【解題分析】

直接利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可.【題目詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是,根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，解得，所以點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是(－10,2,－8)，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用，意在考查對(duì)基本公式的掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】

首先確定具有伙伴集合的元素有，“和”，“和”等四種可能，它們組成的非空子集的個(gè)數(shù)為即為所求.【題目詳解】根據(jù)伙伴關(guān)系集合的概念可知：－1和1本身也具備這種運(yùn)算，這樣所求集合即由－1,1,3和，2和這“四大”元素所組成的集合的非空子集．所以滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為24－1＝15.故選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查新定義概念的理解，考查集合子集的個(gè)數(shù)以及非空子集的個(gè)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.5、A【解題分析】

先找到的臨界值，根據(jù)臨界值表找到犯錯(cuò)誤的概率，即對(duì)“運(yùn)動(dòng)員受傷與不做熱身運(yùn)動(dòng)沒有關(guān)系”可下結(jié)論。【題目詳解】，因此，在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為運(yùn)動(dòng)員受傷與不做熱身運(yùn)動(dòng)有關(guān)，故選：A?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，根據(jù)臨界值表找出犯錯(cuò)誤的概率是解這類問題的關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題。6、B【解題分析】

因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，那么不等式轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性，解不等式.【題目詳解】函數(shù)是偶函數(shù)，在單調(diào)遞減，，即.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了偶函數(shù)利用單調(diào)性解抽象不等式，關(guān)鍵是利用公式轉(zhuǎn)化不等式，利用的單調(diào)性解抽象不等式，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.7、C【解題分析】

確定角所處的象限，并求出的值，利用誘導(dǎo)公式求出的值．【題目詳解】是第四象限角，則，，且，所以，是第四象限角，則，因此，，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角求值，考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求值時(shí)，要確定對(duì)象角的象限，于此確定所求角的三角函數(shù)值符號(hào)，結(jié)合相關(guān)公式求解，考查計(jì)算能力，屬于中等題．8、B【解題分析】

由題意直接驗(yàn)證①的正誤；令x＝y(tǒng)可推出②是正確的；舉反例集合S＝{0}判斷③錯(cuò)誤；S＝{0}，T＝{0，1}，推出﹣1不屬于T，判斷④錯(cuò)誤．【題目詳解】解：由a，b，c，d為整數(shù)，可得（a+bi）+（c+di）＝（a+c）+（b+d）i∈S；（a+bi）﹣（c+di）＝（a﹣c）+（b﹣d）i∈S；（a+bi）（c+di）＝（ac﹣bd）+（bc+ad）i∈S；集合S＝{a+bi|（a，b為整數(shù)，i為虛數(shù)單位）}為封閉集，①正確；當(dāng)S為封閉集時(shí)，因?yàn)閤﹣y∈S，取x＝y(tǒng)，得0∈S，②正確；對(duì)于集合S＝{0}，顯然滿足所有條件，但S是有限集，③錯(cuò)誤；取S＝{0}，T＝{0，1}，滿足S?T?C，但由于0﹣1＝﹣1不屬于T，故T不是封閉集，④錯(cuò)誤．故正確的命題是①②，故選B．【題目點(diǎn)撥】本題是新定義題，考查對(duì)封閉集概念的深刻理解，對(duì)邏輯思維能力的要求較高.9、C【解題分析】

利用二項(xiàng)式系數(shù)之和為64解得，再利用二項(xiàng)式定理得到常數(shù)項(xiàng).【題目詳解】二項(xiàng)式的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為64當(dāng)時(shí)，系數(shù)為15故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理，先計(jì)算出是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.10、B【解題分析】分析：根據(jù)題目條件中給出的分布列，可以知道和之間的關(guān)系，根據(jù)期望為，又可以得到一組關(guān)系，這樣得到方程組，解方程組得到的值.進(jìn)而求得.詳解：根據(jù)題意，解得則故選B.點(diǎn)睛：本題考查期望、方差和分布列中各個(gè)概率之間的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.11、D【解題分析】分析：由題意可得展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為，再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)化為，從而得到答案．詳解：的展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．12、B【解題分析】分析：由題可知，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及基本概念逐一核對(duì)四個(gè)選項(xiàng)得到正確答案.詳解：已知?jiǎng)t選項(xiàng)A，，錯(cuò)誤.選項(xiàng)B，，正確.選項(xiàng)C，，錯(cuò)誤.選項(xiàng)D，，不恒成立，錯(cuò)誤.故選B.點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)模的計(jì)算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】14、【解題分析】

將左邊的復(fù)數(shù)利用乘法法則表示為一般形式，然后利用復(fù)數(shù)相等，得出虛部相等，求出的值．【題目詳解】，所以，故答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)相等條件的應(yīng)用，在處理復(fù)數(shù)相等時(shí)，將其轉(zhuǎn)化為“實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等”這一條件，考查對(duì)復(fù)數(shù)概念的理解，屬于基礎(chǔ)題．15、8【解題分析】

由題意畫出可行域，利用圖像求出最優(yōu)解，再將最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)即可求出的最小值.【題目詳解】由題意畫出約束條件的可行域如圖所示，由圖像知，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，取得最小值，聯(lián)立，解得，代入目標(biāo)函數(shù)，.故答案為：8【題目點(diǎn)撥】本題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.16、①④【解題分析】①命題“，有”的否定是“?x1，x2∈M，x1≠x2，有[f（x1）﹣f（x2）]（x2﹣x1）≤0”，故不正確；②已知a＞0，b＞0，a+b=1，則=（）（a+b）=5+≥5+2即的最小值為，正確；③設(shè)x，y∈R，命題“若xy=0，則x2+y2=0”的否命題是“若xy≠0，則x2+y2≠0”，是真命題，正確；④已知p：x2+2x﹣3＞0，q：＞1，若命題（￢q）∧p為真命題，則￢q與p為真命題，即，則x的取值范圍是（﹣∞，﹣3）∪（1，2]∪[3，+∞），故不正確．故答案為①④．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）分布列見解析；（2）見解析；（3），試解釋游戲規(guī)則的公平性見解析【解題分析】

（1）由題意得：，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出的分布列.（2）由題意得，，，推導(dǎo)出，根據(jù)中點(diǎn)公式能證明點(diǎn)的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為；（3）由，求出，從而，，由此推導(dǎo)出甲獲勝的概率非常小，說明這種游戲規(guī)則是公平的.【題目詳解】（1），，，的分布列為：01（2）由題意得：，，.于是，有，整理可得：，根據(jù)中點(diǎn)公式有：，命題得證.（3）由（2）可知，于是又，所以，，.表示最終認(rèn)為甲獲勝概率，由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲過關(guān)的概率為0.5，乙過關(guān)的概率為0.6時(shí)，認(rèn)為甲獲勝的概率為，此時(shí)得出甲獲勝的概率非常小，說明這種游戲規(guī)則是公平的.【題目點(diǎn)撥】本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列，用概率說明游戲的公平性，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題.18、（1）見解析；（2）；（3）【解題分析】

（1）由已知中四棱錐P?ABCD的底面ABCD為菱形，且∠ABC＝60°，PB＝PD＝AB＝2，PA＝PC，AC與BD相交于點(diǎn)O，根據(jù)平行四邊形兩條對(duì)角線互相平分及等腰三角形三線合一，結(jié)合線面垂直的判定定理，我們易得到結(jié)論；

（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立坐標(biāo)系，分別求出各頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線

PB的方向向量與平面PCD的法向量，代入線面夾角的向量法公式，即可求出答案；（3）求出平面的法向量，代入面面夾角的向量法公式，即可求出答案.【題目詳解】（1）證明：因?yàn)锳BCD為菱形，

所以O(shè)為AC，BD的中點(diǎn)

因?yàn)镻B＝PD，PA＝PC，

所以PO⊥BD，PO⊥AC

所以PO⊥底面ABCD；

（2）解：因?yàn)锳BCD為菱形，所以AC⊥BD，

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系

又∠ABC＝60°，PA＝AB＝2

得，

所以則，

設(shè)平面PCD的法向量

有，所以，令

得，

，

直線與平面所成的角的值為；（3）設(shè)平面的法向量,因?yàn)?/p>

有，所以，令

得，，

由圖知，平面與平面所成二面角為鈍角，.【題目點(diǎn)撥】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求直線與平面的夾角，直線與平面垂直的判定，直線與平面所成的角，其中選擇合適的點(diǎn)及坐標(biāo)軸方向，建立空間坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)向量問題是解答此類問題的關(guān)鍵.19、（1），（2）【解題分析】

（1）分別根據(jù)，和成等差數(shù)列，分別表示為和的方程組，求出首項(xiàng)，即得通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果可求得，并且求出,利用裂項(xiàng)相消法求和，轉(zhuǎn)化為，恒成立，轉(zhuǎn)化為求數(shù)列的最值.【題目詳解】解：（1）因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以①，又因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，得②，由①②得，．所以，.（2），...令，則，則，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以的最小值為.又恒成立，所以，．【題目點(diǎn)撥】本題考查了數(shù)列通項(xiàng)的求法，和求數(shù)列的前項(xiàng)和的方法，以及和函數(shù)結(jié)合考查數(shù)列的最值，尤其在考查數(shù)列最值時(shí)，需先判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷的正負(fù)，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最值.20、（1）14海里/小時(shí)；（2）.【解題分析】分析：（1）由題設(shè)可以得到的長(zhǎng)，在中利用余弦定理可以得到的長(zhǎng)，從而得到艦艇的速度；（2）在中利用正弦定理可得的值.詳解：(1)依題意知，，，在中，由余弦定理得，解得，所以該軍艦艇的速度為海里/小時(shí)．(2)在中，由正弦定理，得，即．點(diǎn)睛：與解三角形相關(guān)的實(shí)際問題中，我們常常碰到方位角、俯角、仰角等，注意它們的差別.另外，把實(shí)際問題抽象為解三角形問題時(shí)，注意分析三角形的哪些量是已知的，要求的哪些量，這樣才能確定用什么定理去解決.21、（1）詳見解析；（2）.【解題分析】

（1）將代入，可得等價(jià)于，即，令，求出，可得的最小值，可得證；（2）分，三種情況討論，分別對(duì)求導(dǎo)，其中又分①若②③三種情況，利用