2024屆四川樂(lè)山市數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆四川樂(lè)山市數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若平面四邊形ABCD滿(mǎn)足，則該四邊形一定是()A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．直角梯形2．拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A．（0，2） B．（2，0） C．（0，4） D．（4，0）3．已知，是兩個(gè)向量，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．設(shè)全集U＝R，集合，，則集合()A． B．C． D．5．若函數(shù)f(x)=xex,x≥0x2+3x,x<0A．[0,2) B．[0,2] C．[-3,0]6．用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+?+n2=n4A．k2+1C．k2+17．雙曲線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有相同的（）A．頂點(diǎn) B．焦點(diǎn) C．漸近線(xiàn) D．離心率8．某部門(mén)將4名員工安排在三個(gè)不同的崗位，每名員工一個(gè)崗位，每個(gè)崗位至少安排一名員工，且甲乙兩人不安排在同一崗位，則不同的安排方法共有（）A．66種 B．36種 C．30種 D．24種9．設(shè)，向量，，且，則（）A． B． C． D．10．如圖所示，函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程是，則（）A． B．1 C．2 D．011．已知函數(shù)，若的兩個(gè)極值點(diǎn)的等差中項(xiàng)在區(qū)間上，則整數(shù)（）A．1或2 B．2 C．1 D．0或112．在極坐標(biāo)系中，直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為（）A． B．2 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在(2x2-1x14．已知集合2，3，，，集合A、B是集合U的子集，若，則稱(chēng)“集合A緊跟集合B”，那么任取集合U的兩個(gè)子集A、B，“集合A緊跟集合B”的概率為_(kāi)_____．15．若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是面積為的半圓面，則該圓錐的高為_(kāi)_____．16．在正方體中，為的中點(diǎn)，為底面的中心，為棱上任意一點(diǎn)，則直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角是____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）甲、乙兩個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球3次均未命中的概率為，甲投球未命中的概率恰是乙投球未命中的概率的2倍．（Ⅰ）求乙投球的命中率；（Ⅱ）若甲投球１次，乙投球２次，兩人共命中的次數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．18．（12分）一輛汽車(chē)前往目的地需要經(jīng)過(guò)個(gè)有紅綠燈的路口.汽車(chē)在每個(gè)路口遇到綠燈的概率為（可以正常通過(guò)），遇到紅燈的概率為（必須停車(chē)）.假設(shè)汽車(chē)只有遇到紅燈或到達(dá)目的地才停止前進(jìn)，用隨機(jī)變量表示前往目的地途中遇到紅燈數(shù)和綠燈數(shù)之差的絕對(duì)值.（1）求汽車(chē)在第個(gè)路口首次停車(chē)的概率；（2）求的概率分布和數(shù)學(xué)期望.19．（12分）在一次考試中某班級(jí)50名學(xué)生的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如表，規(guī)定75分以下為一般，大于等于75分小于85分為良好，85分及以上為優(yōu)秀.經(jīng)計(jì)算樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差.為評(píng)判該份試卷質(zhì)量的好壞，從其中任取一人，記其成績(jī)?yōu)?，并根?jù)以下不等式進(jìn)行評(píng)判①；②；③評(píng)判規(guī)則：若同時(shí)滿(mǎn)足上述三個(gè)不等式，則被評(píng)為優(yōu)秀試卷；若僅滿(mǎn)足其中兩個(gè)不等式，則被評(píng)為合格試卷；其他情況，則被評(píng)為不合格試卷.（1）試判斷該份試卷被評(píng)為哪種等級(jí)；（2）按分層抽樣的方式從3個(gè)層次的學(xué)生中抽出10名學(xué)生，再?gòu)某槌龅?0名學(xué)生中隨機(jī)抽出4人進(jìn)行學(xué)習(xí)方法交流，用隨機(jī)變量表示4人中成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.20．（12分）如圖，在等腰梯形中，，，，，梯形的高為，是的中點(diǎn)，分別以為圓心，，為半徑作兩條圓弧，交于兩點(diǎn).（1）求的度數(shù)；（2）設(shè)圖中陰影部分為區(qū)域，求區(qū)域的面積.21．（12分）《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)之為鱉臑．首屆中國(guó)國(guó)際進(jìn)口博覽會(huì)的某展館棚頂一角的鋼結(jié)構(gòu)可以抽象為空間圖形陽(yáng)馬．如圖所示，在陽(yáng)馬中，底面．（1）若，斜梁與底面所成角為，求立柱的長(zhǎng)（精確到）；（2）證明：四面體為鱉臑；（3）若，，，為線(xiàn)段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求面積的最小值．22．（10分）一個(gè)盒子內(nèi)裝有8張卡片，每張卡片上面寫(xiě)著1個(gè)數(shù)字，這8個(gè)數(shù)字各不相同，且奇數(shù)有3個(gè)，偶數(shù)有5個(gè)．每張卡片被取出的概率相等．（Ⅰ）如果從盒子中一次隨機(jī)取出2張卡片，并且將取出的2張卡片上的數(shù)字相加得到一個(gè)新數(shù)，求所得新數(shù)是偶數(shù)的概率；（Ⅱ）現(xiàn)從盒子中一次隨機(jī)取出1張卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上寫(xiě)著的數(shù)是偶數(shù)則停止取出卡片，否則繼續(xù)取出卡片．設(shè)取出了次才停止取出卡片，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】試題分析：因?yàn)?所以四邊形ABCD為平行四邊形，又因?yàn)?所以BD垂直AC，所以四邊形ABCD為菱形.考點(diǎn)：向量在證明菱形當(dāng)中的應(yīng)用.點(diǎn)評(píng)：在利用向量進(jìn)行證明時(shí)，要注意向量平行與直線(xiàn)平行的區(qū)別，向量平行兩條直線(xiàn)可能共線(xiàn)也可能平行.2、A【解題分析】

根據(jù)拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程求得，從而得焦點(diǎn)坐標(biāo)．【題目詳解】由題意，，∴焦點(diǎn)在軸正方向上，坐標(biāo)為．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題考查拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題．解題時(shí)要掌握拋物線(xiàn)四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式．3、B【解題分析】分析：先化簡(jiǎn)已知條件，再利用充分條件必要條件的定義判斷.詳解：由題得，所以，所以或或，所以或或.因?yàn)榛蚧蚴堑谋匾浅浞謼l件,所以“”是“”的必要非充分條件.故答案是：B.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查充分條件和必要條件，考查向量的數(shù)量積，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)判定充要條件常用的方法有定義法、集合法、轉(zhuǎn)化法，本題利用的是集合法.4、A【解題分析】

求出，然后求解即可.【題目詳解】全集，集合，則集合，所以，故選A.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是有關(guān)集合的運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)單題目.5、A【解題分析】

先作y=f(x)的圖象與直線(xiàn)y=-x+2的圖象在同一直角坐標(biāo)系中的位置圖象，再結(jié)合函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用即可得解．【題目詳解】設(shè)h(x)=xe則h(x)=1-x則h(x)在(0,1)為增函數(shù)，在(1,+∞)為減函數(shù)，則y=f(x)的圖象與直線(xiàn)y=-x+2的圖象在同一直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，由圖可知，當(dāng)g(x)有三個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍為：0?a<2，故選：A．【題目點(diǎn)撥】本題考查了作圖能力及函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．6、C【解題分析】

首先分析題目求用數(shù)學(xué)歸納法證明1+1+3+…+n1=n4+n22時(shí)，當(dāng)n=k+【題目詳解】當(dāng)n=k時(shí)，等式左端=1+1+…+k1，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+（k+1）1，增加了項(xiàng)（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+…+（k+1）1．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，屬于中檔題./7、C【解題分析】

根據(jù)選項(xiàng)分別寫(xiě)出兩個(gè)雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，比較后得到答案.【題目詳解】的頂點(diǎn)是，焦點(diǎn)是，漸近線(xiàn)方程是，離心率是；的頂點(diǎn)是，焦點(diǎn)是，漸近線(xiàn)方程是，離心率，比較后可知只有漸近線(xiàn)方程一樣.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題型.8、C【解題分析】

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，第一步先將4名員工分成3組并去掉甲乙同組的情況，第二步將3組員工安排到3個(gè)不同的崗位。【題目詳解】解：由題意可得，完成這件事分兩步，第一步，先將4名員工分成3組并去掉甲乙同組的情況，共有種，第二步，將3組員工安排到3個(gè)不同的崗位，共有種，∴根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的安排方法共有種，故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查計(jì)數(shù)原理，考查組合數(shù)的應(yīng)用，考查不同元素的分配問(wèn)題，通常用除法原理，屬于中檔題．9、B【解題分析】試題分析：由知，則，可得．故本題答案應(yīng)選B．考點(diǎn)：1.向量的數(shù)量積；2.向量的模．10、B【解題分析】分析：由切線(xiàn)方程確定切點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：由切線(xiàn)方程可知，當(dāng)時(shí)，，切點(diǎn)坐標(biāo)為，即，函數(shù)在處切線(xiàn)的斜率為，即，據(jù)此可知：.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查切線(xiàn)的幾何意義及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.11、B【解題分析】

根據(jù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)、極值點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)之間的關(guān)系可確定的取值范圍，結(jié)合為整數(shù)可求得結(jié)果.【題目詳解】由題意得：.有兩個(gè)極值點(diǎn)，，解得：或.方程的兩根即為的兩個(gè)極值點(diǎn)，，綜上可得：，又是整數(shù)，.故選：.【題目點(diǎn)撥】本題考查極值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，關(guān)鍵是明確極值點(diǎn)是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，從而利用根與系數(shù)關(guān)系構(gòu)造方程.12、C【解題分析】試題分析：將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)可得和，圓心到直線(xiàn)的距離，故，所以應(yīng)選C.考點(diǎn)：極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)之間的互化．【易錯(cuò)點(diǎn)晴】極坐標(biāo)和參數(shù)方程是高中數(shù)學(xué)選修內(nèi)容中的核心內(nèi)容，也是高考必考的重要考點(diǎn).解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，一定要扎實(shí)掌握極坐標(biāo)與之交坐標(biāo)之間的關(guān)系，并學(xué)會(huì)運(yùn)用這一關(guān)系進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)換.本題在解答時(shí)充分利用題設(shè)條件，運(yùn)用將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，最后通過(guò)直角坐標(biāo)中的運(yùn)算公式求出弦長(zhǎng)，從而使問(wèn)題巧妙獲解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、240【解題分析】

直接利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式得到答案.【題目詳解】(2當(dāng)r=2時(shí)，展開(kāi)式為：C6含x7的項(xiàng)的系數(shù)是故答案為240【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題型.14、【解題分析】

由題意可知集合U的子集有個(gè)，然后求出任取集合U的兩個(gè)子集A、B的個(gè)數(shù)m，及時(shí)A、B的所有個(gè)數(shù)n，根據(jù)可求結(jié)果.【題目詳解】解：集合2，3，，的子集有個(gè)，集合A、B是集合U的子集，任取集合U的兩個(gè)子集A、B的所有個(gè)數(shù)共有個(gè)，，若，則B有個(gè)，若A為單元數(shù)集，則B的個(gè)數(shù)為個(gè)，同理可得，若2，，則只要1個(gè)即，則A、B的所有個(gè)數(shù)為個(gè)，集合A緊跟集合B”的概率為．故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概率公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是基本事件個(gè)數(shù)的確定．15、【解題分析】試題分析：設(shè)圓錐母線(xiàn)為，底面圓的半徑，圓錐側(cè)面積，所以，又半圓面積，所以，，故，所以答案應(yīng)填：．考點(diǎn)：1、圓錐側(cè)面展開(kāi)圖面積；2、圓錐軸截面性質(zhì)．16、90°【解題分析】

直線(xiàn)在平面內(nèi)的射影與垂直．【題目詳解】如圖，分別是的中點(diǎn)，連接，易知在上，，又在正方形中，是的中點(diǎn)，∴（可通過(guò)證得），又正方體中，而，∴，，∴，∴直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角是90°．故答案為90°．【題目點(diǎn)撥】本題考查兩異面直線(xiàn)所成的角，由于它們所成的角為90°，因此可通過(guò)證明它們相互垂直得到，這又可通過(guò)證明線(xiàn)面垂直得出結(jié)論，當(dāng)然也可用三垂線(xiàn)定理證得．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）分布列見(jiàn)解析，【解題分析】【試題分析】（1）依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用對(duì)立事件及獨(dú)立事件的概率公式建立方程求解；（2）先求出，，的概率，再寫(xiě)出概率分布表，運(yùn)用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式計(jì)算：解：設(shè)“甲投球一次命中”為事件，“乙投球一次命中”為事件.（Ⅰ）由題意得：，解得，所以乙投球的命中率為．（Ⅱ）由題設(shè)和（Ⅰ）知，甲投球的命中率為，則有，，，，可能的取值為0，1,2,3，故，，，，的分布列為：0123的數(shù)學(xué)期望．點(diǎn)睛：隨機(jī)變量的概率及分布是高中數(shù)學(xué)中的選修內(nèi)容，也是高考考查的重要考點(diǎn)。解答本題的第一問(wèn)時(shí)，充分依據(jù)題設(shè)條件借助方程思想，運(yùn)用對(duì)立事件及獨(dú)立事件的概率公式建立方程，然后通過(guò)解方程求出其概率是；解答第二問(wèn)時(shí)，先分別求出，，的概率，再寫(xiě)出概率分布表，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式求出使得問(wèn)題獲解。18、（1）;（2）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望.【解題分析】

（1）汽車(chē)在第3個(gè)路口首次停車(chē)是指汽車(chē)在前兩個(gè)路口都遇到綠燈，在第3個(gè)路口遇到綠燈，由此利用相互獨(dú)立事件概率乘法公式能求出汽車(chē)在第3個(gè)路口首次停車(chē)的概率．（2）設(shè)前往目的地途中遇到綠燈數(shù)為，則，用隨機(jī)變量表示前往目的地途中遇到紅燈數(shù)和綠燈數(shù)之差的絕對(duì)值．的可能取值為0，2，4，，，，由此能求出的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．【題目詳解】解：（1）由題意知汽車(chē)在前兩個(gè)路口都遇到綠燈，在第3個(gè)路口遇到綠燈，汽車(chē)在第3個(gè)路口首次停車(chē)的概率為：．（2）設(shè)前往目的地途中遇到綠燈數(shù)為，則，用隨機(jī)變量表示前往目的地途中遇到紅燈數(shù)和綠燈數(shù)之差的絕對(duì)值．則的可能取值為0，2，4，則，，，，的概率分布列為：024數(shù)學(xué)期望．【題目點(diǎn)撥】本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式、二項(xiàng)分布的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.19、（1）該份試卷應(yīng)被評(píng)為合格試卷；（2）見(jiàn)解析【解題分析】

（1）根據(jù)頻數(shù)分布表，計(jì)算，，的值，由此判斷出“該份試卷應(yīng)被評(píng)為合格試卷”.（2）利用超幾何分布分布列計(jì)算公式，計(jì)算出分布列，并求得數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】（1），，，因?yàn)榭忌煽?jī)滿(mǎn)足兩個(gè)不等式，所以該份試卷應(yīng)被評(píng)為合格試卷.（2）50人中成績(jī)一般、良好及優(yōu)秀的比例為，所以所抽出的10人中，成績(jī)優(yōu)秀的有3人，所以的取值可能為0，1，2，3；；；.所以隨機(jī)變的分布列為0123故.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查正態(tài)分布的概念，考查頻率的計(jì)算，考查超幾何分布的分布列以及數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，屬于中檔題.20、（1）（2）【解題分析】

（1）設(shè)梯形的高為，求得，在中，由正弦定理求得，即可得到.（2）由（1），在中，由余弦定理，列出方程，解得，利用面積公式，即可求解.【題目詳解】（1）設(shè)梯形的高為，因?yàn)?，所?在中，由正弦定理，得，即，解得.又，且，所以.（2）由（1）得.在中，由余弦定理推論，得，即，解得（舍去）.因?yàn)椋?【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，其中在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要抓住題設(shè)條件和利用某個(gè)定理的信息，合理應(yīng)用正弦定理和余弦定理求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）；（2）詳見(jiàn)解析；（3）.【解題分析】

（1）推導(dǎo)出側(cè)棱在平面上的射影是，從而是側(cè)棱與平面所成角，，從