2024屆遼寧省莊河高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末經(jīng)典試題含解析

2024屆遼寧省莊河高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末經(jīng)典試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則()A． B． C． D．2．設(shè)，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知曲線在處的切線與直線平行，則的值為（）A．-3 B．-1 C．1 D．34．已知函數(shù)，若存在，使得有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．設(shè)a=e1eA．a(chǎn)>c>b B．c>a>b C．c>b>a D．a(chǎn)>b>c6．已知m∈R，若函數(shù)f(x)=1x+1-mx-m-3(-1<x?0)A．-94,-2 B．（-97．設(shè)fx=sinxcosA．12 B．32 C．-8．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則（）A．2019 B． C．2020 D．9．某產(chǎn)品的銷(xiāo)售收入（萬(wàn)元）關(guān)于產(chǎn)量（千臺(tái)）的函數(shù)為；生產(chǎn)成本（萬(wàn)元）關(guān)于產(chǎn)量（千臺(tái)）的函數(shù)為，為使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品()A．9千臺(tái) B．8千臺(tái) C．7千臺(tái) D．6千臺(tái)10．已知雙曲線，，是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，直線，的斜率分別為，若的最小值為2，則雙曲線的離心率為()A． B． C． D．11．設(shè)函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．12．函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)可能為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，將標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5的五塊區(qū)域染上紅、黃、綠三種顏色中的一種，使得相鄰區(qū)域有公共邊的顏色不同，則不同的染色方法有______種14．__________.15．在平面凸四邊形ABCD中，，點(diǎn)M，N分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，且，若，，則的值為_(kāi)_______.16．在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，若使直線與圓有交點(diǎn)的概率為，則__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)f（x）＝x＋，且此函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)（1，5）．（1）求實(shí)數(shù)m的值并判斷f（x）的奇偶性；（2）判斷函數(shù)f（x）在[2，＋∞）上的單調(diào)性，證明你的結(jié)論．18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為（1）寫(xiě)出曲線的普通方程;（2）若直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;(Ⅱ)若存在兩個(gè)極值點(diǎn),,證明:.20．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，若存在，使不等式成立，求的最小值.21．（12分）（本小題滿(mǎn)分10分）選修4-1：幾何證明選講如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，AB的延長(zhǎng)線與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，且CB=CE．（1）證明：∠D=∠E；（2）設(shè)AD不是⊙O的直徑，AD的中點(diǎn)為M，且MB=MC，證明：△ADE為等邊三角形．22．（10分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,利用概率和為1得到答案.【題目詳解】隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,

,

答案為D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了正態(tài)分布,利用正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.2、C【解題分析】

分別求解出集合和，根據(jù)交集的結(jié)果可確定的范圍.【題目詳解】，本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)交集的結(jié)果求解參數(shù)范圍的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線在處的切線的斜率，根據(jù)兩直線平行斜率相等即可得到的值?！绢}目詳解】因?yàn)椋跃€在處的切線的斜率為，由于曲線在處的切線與直線平行，故，即，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題4、B【解題分析】

先將化為,再令,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:,然后通過(guò)導(dǎo)數(shù)求得的最大值代入可得.【題目詳解】若存在，使得有解,即存在,使得,令,則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:,因?yàn)?當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上遞增,在上遞減,所以,所以.故選B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了不等式能成立問(wèn)題,屬中檔題.5、B【解題分析】

依據(jù)y=lnx的單調(diào)性即可得出【題目詳解】∵b=ln而a=e1e>0,c=又lna=lne1所以lnc>lna，即有c>a，因此c>a>b【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小。6、B【解題分析】

通過(guò)參變分離、換元法，把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化成直線y=m與拋物線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【題目詳解】∵-1<x≤0,∴0<x+1≤1，∵函數(shù)f(x)在-1<x≤0有兩個(gè)不同零點(diǎn)?方程m=(1x+1)2∴m=t2-3t在t≥1有且僅有兩個(gè)不同的根?y=m∴-【題目點(diǎn)撥】通過(guò)換元把復(fù)雜的分式函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟知的二次函數(shù)，但要注意換元后新元的取值范圍.7、A【解題分析】

曲線在點(diǎn)π6,fπ【題目詳解】∵f∴f【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)求導(dǎo)及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解題分析】

用，代入已知等式，得，可以變形為：，說(shuō)明是等差數(shù)列，故可以求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出的值.【題目詳解】因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以為公差的等差數(shù)列，，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為，故本題選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查了公式的應(yīng)用，考查了等差數(shù)列的判定義、以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.9、B【解題分析】

根據(jù)題意得到利潤(rùn)關(guān)于產(chǎn)量的函數(shù)式，再由導(dǎo)數(shù)求得使利潤(rùn)最大時(shí)的產(chǎn)量，即可求解出答案?！绢}目詳解】設(shè)利潤(rùn)為萬(wàn)元，則，，令，得，令，得，∴當(dāng)時(shí)，取最大值，故為使利潤(rùn)最大，應(yīng)生產(chǎn)8千臺(tái)．選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。10、A【解題分析】

先假設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，利用點(diǎn)差法，可得斜率之間為定值，再利用的最小值為2，即可求得雙曲線的離心率．【題目詳解】由題意，可設(shè)點(diǎn)，，．，且．兩式相減得．再由斜率公式得：．根據(jù)的最小值為2，可知，所以a=b.所以，故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性，利用點(diǎn)差法進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．11、D【解題分析】令,則，設(shè)，令，，則，發(fā)現(xiàn)函數(shù)在上都是單調(diào)遞增，在上都是單調(diào)遞減，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，得，所以函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)需滿(mǎn)足，即．應(yīng)選答案D。點(diǎn)睛：解答本題時(shí)充分運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，先將函數(shù)解析式中的參數(shù)分離出來(lái)，得到，然后構(gòu)造函數(shù)，分別研究函數(shù)，的單調(diào)性，從而確定函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，得，所以函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于，即．使得問(wèn)題獲解。12、D【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出導(dǎo)函數(shù)函數(shù)值的符號(hào)，然后結(jié)合所給的四個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析、判斷后可得正確的結(jié)論．【題目詳解】由圖象可知，函數(shù)在時(shí)是增函數(shù)，因此其導(dǎo)函數(shù)在時(shí)，有（即函數(shù)的圖象在軸上方），因此排除A、C．從原函數(shù)圖象上可以看出在區(qū)間上原函數(shù)是增函數(shù)，所以，在區(qū)間上原函數(shù)是減函數(shù)，所以；在區(qū)間上原函數(shù)是增函數(shù)，所以．所以可排除C．故選D．【題目點(diǎn)撥】解題時(shí)注意導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系，即函數(shù)遞增（減）時(shí)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)大（小）于零，由此可判斷出導(dǎo)函數(shù)圖象與x軸的相對(duì)位置，從而得到導(dǎo)函數(shù)圖象的大體形狀．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、30【解題分析】

由題意按照分類(lèi)分步計(jì)數(shù)原理，可逐個(gè)安排，注意相鄰不同即可.【題目詳解】對(duì)于1，有三種顏色可以安排；若2和3顏色相同，有兩種安排方法，4有兩種安排，5有一種安排，此時(shí)共有；若2和3顏色不同，則2有兩種，3有一種.當(dāng)5和2相同時(shí)，4有兩種；當(dāng)5和2不同，則4有一種，此時(shí)共有，綜上可知，共有種染色方法.故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了排列組合問(wèn)題的綜合應(yīng)用，分類(lèi)分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，染色問(wèn)題的應(yīng)用，屬于中檔題.14、1【解題分析】

由即可求得【題目詳解】【題目點(diǎn)撥】利用和或差的極限等于極限的和或差，此題是一道基礎(chǔ)題。15、【解題分析】

通過(guò)表示，再利用可計(jì)算出，再計(jì)算出可得答案.【題目詳解】由于M，N分別是邊AD，BC的中點(diǎn)，故，，所以，所以，所以，而，所以，即，故，故答案為【題目點(diǎn)撥】本題主要考查向量的基底表示，數(shù)量積運(yùn)算，意在考查學(xué)生的空間想象能力，運(yùn)算能力，邏輯分析能力，難度較大.16、【解題分析】

分析：先根據(jù)直線與圓相交的關(guān)系得出不等式得b的取值范圍，然后由概率為建立等式求解即可.詳解：圓心到直線的距離：故答案為：點(diǎn)睛：考查直線與圓的位置關(guān)系，然后再結(jié)合幾何概型求解即可.屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）m＝1，奇函數(shù)；（2）f（x）在[2，＋∞）上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析．【解題分析】

試題分析：（1）函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)（1，5）將此點(diǎn)代入函數(shù)關(guān)系式求出m的值即可，因?yàn)楹瘮?shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，需要判斷函數(shù)是否滿(mǎn)足關(guān)系式或者．滿(mǎn)足前者為偶函數(shù)，滿(mǎn)足后者為奇函數(shù)，否則不具有奇偶性．此題也可以將看做與兩個(gè)函數(shù)的和，由的奇偶性判斷出的奇偶性．（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義式：區(qū)間上的時(shí)，的正負(fù)來(lái)確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性．試題解析：（1）（1）∵f（x）過(guò)點(diǎn)（1，5），∴1＋m＝5?m＝1．對(duì)于f（x）＝x＋，∵x≠2，∴f（x）的定義域?yàn)椋ǎ蓿?）∪（2，＋∞），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．∴f（－x）＝－x＋＝－f（x）．∴f（x）為奇函數(shù)．另解：，，定義域均與定義域相同，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，因此可以得出也為奇函數(shù)．（2）證明：設(shè)x1，x2∈[2，＋∞）且x1<x2，則f（x1）－f（x2）＝x1＋－x2－＝（x1－x2）＋＝．∵x1，x2∈[2，＋∞）且x1<x2，∴x1－x2<2，x1x2>1，x1x2>2．∴f（x1）－f（x2）<2．∴f（x）在[2，＋∞）上單調(diào)遞增．考點(diǎn)：1、求函數(shù)表達(dá)式；2、證明函數(shù)的奇偶性；3、證明函數(shù)的單調(diào)性．18、(1).(2).【解題分析】分析：(1)利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的公式可得曲線的普通方程為.(2)聯(lián)立直線的參數(shù)方程與C的二次方程可得.結(jié)合直線參數(shù)的幾何意義有.利用三角函數(shù)的性質(zhì)可知的取值范圍是.詳解：(1)由得.將，代入上式中,得曲線的普通方程為.(2)將的參數(shù)方程(為參數(shù))代入的方程,整理得.因?yàn)橹本€與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以,化簡(jiǎn)得.又,所以，且.設(shè)方程的兩根為,則，，所以,所以.由，得，所以,從而，即的取值范圍是.點(diǎn)睛：本題主要考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，直線參數(shù)方程的幾何意義及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.19、(Ⅰ)切線方程為y=0；(Ⅱ)證明見(jiàn)解析【解題分析】

（Ⅰ）求出當(dāng)k=2時(shí)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由直線的點(diǎn)斜式方程，可得切線方程；（Ⅱ）由題意存在兩個(gè)極值點(diǎn),,求導(dǎo)令導(dǎo)函數(shù)得0可得,，將之代入轉(zhuǎn)化成證明，再由函數(shù)的單調(diào)性即可證明.【題目詳解】(Ⅰ)當(dāng)k=2時(shí),,即有f(1)=0，所以,f′(1)=0.所以切線方程為y=0；(Ⅱ)因?yàn)?，存在兩個(gè)極值點(diǎn),,所以,是的根，設(shè)>，,所以,，，解得，因?yàn)?，因?yàn)?，，，即證，即證又，則轉(zhuǎn)化為，即證，由(Ⅰ)可知,當(dāng)k=2時(shí),,在（0，+∞）單調(diào)遞減，而，因?yàn)?，，即恒成立，故得證.【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式恒成立，證明不等式恒成立通常運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，本題將不等式轉(zhuǎn)化為已知函數(shù)求單調(diào)性，在利用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性進(jìn)行證明，屬于難題.20、（1）見(jiàn)解析；（2）2【解題分析】分析：（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）問(wèn)題等價(jià)于，令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求出，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值，從而求出的最小值即可.詳解：（1）解：∵∴∴當(dāng)即時(shí)，對(duì)恒成立此時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間當(dāng)，即時(shí)，由，得，由，得此時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為,無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）解：由，得：當(dāng)時(shí)，上式等價(jià)于令據(jù)題意，存在，使成立，則只需，令，顯然在上單調(diào)遞增而，∴存在，使，即又當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增∴當(dāng)時(shí)，有極小值（也是最小值）∴∵，即，∴，∴又，且，∴的最小值為2.點(diǎn)睛：本題是以導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于較難題，近來(lái)高考在逐年加大對(duì)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的考查力度，不僅題型在變化，而且問(wèn)題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個(gè)層次：第一層次主要考查求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二層次是