河北省秦皇島市達標(biāo)名校2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

河北省秦皇島市達標(biāo)名校2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)X～N(1,σ2),其正態(tài)分布密度曲線如圖所示,且P(X≥3)＝0.0228,那么向正方形OABC中隨機投擲10000個點,則落入陰影部分的點的個數(shù)的估計值為()(附：隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%)A．6038 B．6587 C．7028 D．75392．如圖，已知電路中4個開關(guān)閉合的概率都是，且是互相獨立的，燈亮的概率為（）A． B． C． D．3．已知13個村莊中，有6個村莊道路在維修，用表示從13個村莊中每次取出9個村莊中道路在維修的村莊數(shù)，則下列概率中等于的是（）A． B． C． D．4．從1，2，3，4這4個數(shù)中，不放回地任意取兩個數(shù)，兩個數(shù)都是偶數(shù)的概率是（）A． B． C． D．5．點是曲線上任意一點,則點到直線的距離的最小值是（）A．１ B． C．２ D．6．函數(shù)的周期，振幅，初相分別是（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)圖象經(jīng)過點，則該函數(shù)圖象的一條對稱軸方程為（）A． B． C． D．8．已知10個產(chǎn)品中有3個次品，現(xiàn)從其中抽出若干個產(chǎn)品，要使這3個次品全部被抽出的概率不小于0.6，則至少應(yīng)抽出的產(chǎn)品個數(shù)為（）A．7 B．8 C．9 D．109．如圖，在菱形ABCD中，，線段AD，BD，BC的中點分別為E，F(xiàn)，K，連接EF，F(xiàn)K．現(xiàn)將繞對角線BD旋轉(zhuǎn)，令二面角A－BD－C的平面角為，則在旋轉(zhuǎn)過程中有（）A． B． C． D．10．的值等于（）A．1 B．－1 C． D．11．若為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)與的虛部相等，則實數(shù)的值是A． B．2 C．1 D．12．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式為（）．A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知甲盒中僅有一個球且為紅球，乙盒中有3個紅球和4個藍球，從乙盒中隨機抽取個球放在甲盒中，放入個球后，甲盒中含有紅球的個數(shù)為，則的值為________14．復(fù)數(shù)的虛部是．15．如圖所示，AC與BD交于點E，AB∥CD，AC=3，AB=2CD=6，當(dāng)tanA=2時，=_____．16．已知復(fù)數(shù)滿足，則的取值范圍是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，能對農(nóng)作物造成嚴重傷害，每只紅鈴蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)和平均溫度有關(guān)，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.平均溫度21232527293133平均產(chǎn)卵數(shù)/個7112124661153251.92.43.03.24.24.75.8（1）根據(jù)散點圖判斷，與（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)關(guān)于平均溫度的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）并由判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程.（計算結(jié)果精確到0.01）（2）根據(jù)以往統(tǒng)計，該地每年平均溫度達到以上時紅鈴蟲會造成嚴重傷害，需要人工防治，其他情況均不需要人工防治，記該地每年平均溫度達到以上的概率為.記該地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率為，求的最大值，并求出相應(yīng)的概率.附：回歸方程中，，.參考數(shù)據(jù)52151771371781.33.618．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，，點在上．（1）求證：；（2）若，求三棱錐的體積．19．（12分）已知（其中且，是自然對數(shù)的底）.（1）當(dāng)，時，求函數(shù)在處的切線方程；（2）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最小值；（3）若且關(guān)于的不等式在上恒成立，求證：.20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為．（1）若與相交于兩點，，求；（2）圓的圓心在極軸上，且圓經(jīng)過極點，若被圓截得的弦長為，求圓的半徑．21．（12分）如圖，在多面體中，四邊形是菱形，⊥平面且.(1)求證：平面⊥平面；(2)若設(shè)與平面所成夾角為，且，求二面角的余弦值.22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為以為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求圓的普通方程；（2）直線的極坐標(biāo)方程是，射線：與圓的交點為、，與直線的交點為,求線段的長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：求出，即可得出結(jié)論.詳解：由題意得，P(X≤－1)＝P(X≥3)＝0.0228，∴P(－1＜X＜3)＝1－0.0228×2＝0.9544，∴1－2σ＝－1，σ＝1，∴P(0≤X≤1)＝P(0≤X≤2)＝0.3413，故估計的個數(shù)為10000×(1－0.3413)＝6587，故選：B.點睛：本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個量和的應(yīng)用，考查曲線的對稱性.2、C【解題分析】

燈泡不亮包括四個開關(guān)都開，或下邊的2個都開，上邊的2個中有一個開，這三種情況是互斥的，每一種情況中的事件是相互獨立的，根據(jù)概率公式得到結(jié)果．【題目詳解】由題意知，本題是一個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，燈泡不亮包括四個開關(guān)都開，或下邊的2個都開，上邊的2個中有一個開，這三種情況是互斥的，每一種情況中的事件是相互獨立的，燈泡不亮的概率是，燈亮和燈不亮是兩個對立事件，燈亮的概率是，故選：．【題目點撥】本題結(jié)合物理的電路考查了有關(guān)概率的知識，考查對立事件的概率和項和對立事件的概率，本題解題的關(guān)鍵是看出事件之間的關(guān)系，燈亮的情況比較多，需要從反面來考慮，屬于中檔題．3、D【解題分析】

根據(jù)古典概型的概率公式可得解.【題目詳解】由可知選D.【題目點撥】本題考查古典概型的概率公式，容易誤選B，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解題分析】試題分析：從4個數(shù)中任取2個數(shù)包含的基本事件有:共6個，其中兩個都是偶數(shù)的基本事件有共1個，所以所求概率為．故A正確．考點：古典概型概率．5、B【解題分析】，則，即，所以，故選B．6、C【解題分析】

利用求得周期，直接得出振幅為，在中令求得初相.【題目詳解】依題意，，函數(shù)的振幅為，在中令求得初相為.故選C.【題目點撥】本小題主要考查中所表示的含義，考查三角函數(shù)周期的計算.屬于基礎(chǔ)題.其中表示的是振幅，是用來求周期的，即，要注意分母是含有絕對值的.稱為相位，其中稱為初相.還需要知道的量是頻率，也即是頻率是周期的倒數(shù).7、C【解題分析】

首先把點帶入求出，再根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸即可．【題目詳解】把點帶入得，因為，所以，所以，函數(shù)的對稱軸為．當(dāng)，所以選擇C【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，需要記憶?？既呛瘮?shù)的性質(zhì)有：單調(diào)性、周期性、對稱軸、對稱中心、奇偶性等．屬于中等題．8、C【解題分析】

根據(jù)題意，設(shè)至少應(yīng)抽出個產(chǎn)品，由題設(shè)條件建立不等式，由此能求出結(jié)果.【題目詳解】解：要使這3個次品全部被抽出的概率不小于0.6，設(shè)至少抽出個產(chǎn)品，則基本事件總數(shù)為，要使這3個次品全部被抽出的基本事件個數(shù)為，由題設(shè)知：，所以，即，分別把A，B，C，D代入，得C，D均滿足不等式，因為求的最小值，所以.故選：C.【題目點撥】本題考查概率的應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理的進行等價轉(zhuǎn)化.9、B【解題分析】

首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后的幾何體，表示和，轉(zhuǎn)化為在兩個有公共底邊的等腰三角形比較頂角的問題，還需考慮和兩種特殊情況.【題目詳解】如圖，繞旋轉(zhuǎn)形成以圓為底面的兩個圓錐，(為圓心，為半徑，為的中點)，，，當(dāng)且時，與等腰中，為公共邊，，,.當(dāng)時，,當(dāng)時，,綜上，。C.D選項比較與的大小關(guān)系，如圖即比較與的大小關(guān)系，根據(jù)特殊值驗證：又當(dāng)時，,當(dāng)時，，都不正確.故選B.【題目點撥】本題考查了二面角的相關(guān)知識，考查空間想象能力，難度較大，本題的難點是在動態(tài)的旋轉(zhuǎn)過程中，如何轉(zhuǎn)化和，從而達到比較的目的，或考查和兩種特殊情況，可快速排除選項.10、B【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的計算方法，可得的值，進而可得，可得答案．【題目詳解】解：根據(jù)復(fù)數(shù)的計算方法，可得，則，故選：．【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)的混合運算，解本題時，注意先計算括號內(nèi)，再來計算復(fù)數(shù)平方，屬于基礎(chǔ)題．11、D【解題分析】

先化簡與，再根據(jù)它們虛部相等求出m的值.【題目詳解】由題得，因為復(fù)數(shù)與的虛部相等，所以.故選D【題目點撥】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算和復(fù)數(shù)相等的概念，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解題分析】

根據(jù)最值計算，利用周期計算，當(dāng)時取得最大值2，計算，得到函數(shù)解析式.【題目詳解】由題意可知，因為:當(dāng)時取得最大值2，所以:，所以:，解得:，因為:，所以:可得，可得函數(shù)的解析式:．故選D．【題目點撥】本題主要考查了正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象求得函數(shù)的解析式，熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

當(dāng)抽取個球時，的取值為，根據(jù)古典概型概率計算公式，計算出概率，并求得期望值.當(dāng)抽取個球時，的取值為，根據(jù)古典概型概率計算公式，計算出概率，并求得期望值.【題目詳解】解：甲盒中含有紅球的個數(shù)的取值為1，2，則，.則；甲盒中含有紅球的個數(shù)的值為1，2，3，則，，.則.∴.故答案為：.【題目點撥】本小題主要考查隨機變量期望值的計算方法，考查古典概型概率計算公式，考查組合數(shù)的計算，屬于中檔題.14、【解題分析】試題分析：因為，，所以，復(fù)數(shù)的虛部是．考點：復(fù)數(shù)的代數(shù)運算，復(fù)數(shù)的概念．點評：簡單題，復(fù)數(shù)的除法，要注意分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，實現(xiàn)分母實數(shù)化．15、12【解題分析】分析：根據(jù)余弦定理求出，再由余弦定理可得，根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式求解即可.詳解：由,可知，在中，,，，故答案為.點睛：本題主要考查平面向量數(shù)量積公式，余弦定理及特殊角的三角函數(shù)，屬于簡單題.對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.16、【解題分析】因為，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在以原點為圓心，半徑為的圓上．表示復(fù)數(shù)對應(yīng)的點與點的距離，故.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）當(dāng)時，.【解題分析】

（1）根據(jù)散點圖判斷更適宜作為關(guān)于的回歸方程類型；對兩邊取自然對數(shù)，求出回歸方程，再化為y關(guān)于x的回歸方程；（2）由對其求對數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求出函數(shù)的最值以及對應(yīng)的值.【題目詳解】解：（1）由散點圖可以判斷，適宜作為卵數(shù)關(guān)于溫度的回歸方程類型.對兩邊取自然對數(shù)，得，由數(shù)據(jù)得，，所以，，所以關(guān)于的線性回歸方程為，關(guān)于的回歸方程為.（2）由得，因為，令得，解得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有唯一的極大值為，也是最大值；所以當(dāng)時，.【題目點撥】本題考查了線性回歸方程的求法與應(yīng)用問題，也考查了概率的計算與應(yīng)用問題，屬于中檔題.18、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

（1）證明，轉(zhuǎn)化成證明平面即可．（2）根據(jù)，可得，從而得出體積．【題目詳解】證明：（1）取中點，連結(jié)，則，，四邊形為平行四邊形，，又，，，又，，平面，．解：（2），，三棱錐的體積為：．【題目點撥】本題考查了線線垂直的證明，通常轉(zhuǎn)化成證明線面垂直．三棱錐體積的計算，選擇不同的底對應(yīng)的頂點，得到的體積相同．那么通常選擇已知的高和底從而求出體積．19、（1）;（2）當(dāng)或時，最小值為，當(dāng)時，最小值為;（3）見解析.【解題分析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，再寫出切點坐標(biāo)，就可以寫出切線方程．（2）當(dāng)時，，求導(dǎo)得單調(diào)性時需要分類討論,,，再求最值．（3）將恒成立問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，設(shè)，，求出，再令設(shè)，，求最大值小于，進而得出結(jié)論．【題目詳解】解：（1），時，，，，，函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）當(dāng)時，，，令，解得或，當(dāng)時，即時，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，；當(dāng)時，即時，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，；③當(dāng)時，即時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，．綜上所述：當(dāng)或時，最小值為；當(dāng)時，最小值為.（3）證明：由題意知，當(dāng)時，在上恒成立，在上恒成立，設(shè)，，，在上恒成立，在上單調(diào)遞減，，，存在使得，即，因為，所以.當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，設(shè)，，，在恒成立，在上單調(diào)遞增，，在單調(diào)遞增，，．【題目點撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了最值問題，考查了不等式恒成立問題.若要證明，一般地，只需說明即可；若要證明恒成立，一般只需說明即可，即將不等式問題轉(zhuǎn)化為最值問題.20、（1）6；（2）13.【解題分析】

（1）將直線參數(shù)方程代入圓的直角坐標(biāo)方程，利用求解得到結(jié)果；（2）寫出的普通方程并假設(shè)圓的直角坐標(biāo)方程，利用弦長為建立與的關(guān)系，再結(jié)合圓心到直線距離公式得到方程，解方程求得，即為圓的半徑.【題目詳解】（1）由，得將代入，得設(shè)兩點對應(yīng)的參數(shù)分別為，則故（2）直線的普通方程為設(shè)圓的方程為圓心到直線的距離為因為，所以解得：或（舍）則圓的半徑為【題目點撥】本題考查直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、參數(shù)方程化普通方程.解決直線參數(shù)方程問題中距離之和或積的關(guān)鍵，是明確直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)形式中的參數(shù)的幾何意義，將距離問題轉(zhuǎn)化為韋達定理的形式.21、(1)見解析;(2).【解題分析】

（1）根據(jù)已知可得和，由線面垂直判定定理可證平面，再由面面垂直判定定理證得平面⊥平面.（2）解法一：向量法，設(shè)，以為原點，作，以的方向分別為軸，軸的正方向，建空間直角坐標(biāo)系，求得的坐標(biāo)，運用向量的坐標(biāo)表示和向量的垂直條件，求得平面和平面的的法向量，再由向量的夾角公式，計算即可得到所求的值.解法二：三垂線法，連接AC交BD于O，連接EO、FO，過點F做FM⊥EC于M，連OM，由已知可以證明FO⊥面AEC，∠FMO即為二面角A-EC-F的平面角，通過菱形的性質(zhì)、勾股定理和等面積法求得cos∠FMO，得到答案.解法三：射影面積法，連接AC交BD于O，連接EO、FO，根據(jù)已知條件計算，，二面角的余弦值cosθ=，即可求得答案.【題目詳解】（1）證明：連結(jié)四邊形是菱形，，⊥平面，平面，，，平面，平面，平面，平面⊥平面.（2）解：解法一：設(shè)，四邊形是菱形，，、為等邊三角形，，是的中點，，⊥平面，，在中有，，，以為原點，作，以的方向分別為軸，軸的正方向，建空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則所以，，設(shè)平面的法向量為，由得設(shè)，解得.設(shè)平面的法向量為，由得設(shè)，解得.設(shè)二面角的為，則結(jié)合圖可知，二面角的余弦值為.解法二：∵EB⊥面ABCD，∴∠EAB即為EA與平面ABCD所成的角在Rt△EAB中，cos∠EAB=又AB=2,∴AE=∴EB=DF=1連接AC交BD于O，連接EO、FO菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴BD=AB=2矩形BEFD中，F(xiàn)O=EO=,EF=2,EO2+FO2=EF2,∴FO⊥EO又AC⊥面BEFD,FO?面BEFD,∴FO⊥AC,AC∩EO=O，AC、EO?面AEC,∴FO⊥面AEC又EC?面AEC,∴FO⊥EC過點F做FM⊥EC于M，連OM，又FO⊥EC,FM∩FO=F,FM、FO?面FMO,∴EC⊥面F